专题07 圆与母子型相似结合型：切割线定理反A模型压轴题专题—2023-2024学年挑战中考压轴题重难点题型分类

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切割线定理：反A模型
1．（北雅）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC＝6，tan∠CDA＝，求BE的长．

2．（南雅）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且CD2＝CA•CB．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC＝10，，求BE的长．

3.（长郡）已知：如图，⊙的直径垂直于弦，过点的切线与直径的延长线相交于点，连结．
（1）求证：是⊙的切线．
（2）求证：．
（3）若，，求直径的长．

4．（明德）如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB，延长AB交DC于点E，CF⊥AB于点F．
（1）求证：直线DE与⊙O相切；
（2）若EB＝2，EC＝4，求⊙O的半径及AC、AD的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．

5．（雅礼）如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有一点E，且EF＝ED．
（1）求证：DE是⊙O的切线
（2）若tanA＝，探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明；
（3）在（2）的条件下，若OF＝1，求⊙O的半径和CD的长．
6．（青竹湖）如图，已知AB是⊙O的直径，直线AC与⊙O相切于点A，过点B作BD∥OC交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）求证：DE2＝EB•EA；
（3）若BE＝1，，求线段AD的长度．
7．（北雅）如图①，△ABC内接于⊙O，点P是△ABC的内切圆的圆心，AP交边BC于点D，交⊙O于点E，经过点E作⊙O的切线分别交AB、AC延长线于点F、G．
（1）求证：BC∥FG；
（2）探究：PE与DE和AE之间的关系；
（3）当图①中的FE＝AB时，如图②，若FB＝3，CG＝2，求AG的长．
8．（青竹湖）如图，⊙O经过△ABC的顶点A、C，并与AB边相交于点D，过点D作DF∥BC，交AC于点E，交⊙O于点F，连接DC，点C为弧DF的中点．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，DF＝4，求CE•CA的值；
（3）在（2）的条件下，连接AF，若BD＝AF，求AD的长．

9．（麓山国际）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB点F，连接BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）求证：PC＝PF；
（3）若tan∠ABC＝，AB＝14，求线段PC的长．
10．（青竹湖）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA延长线上一点，∠ACD＝∠B．
（1）求证：DC为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，sinB＝，求CD和AD的长；
（3）在（2）的条件下，线段DF分别交AC，BC于点E，F且∠CEF＝45°，求CF的长．
图形
相似的证明
结论
因为
∽
①;
②