沪教版 (五四制)八年级下册第一节 一次函数的概念同步达标检测题

这是一份沪教版 (五四制)八年级下册第一节 一次函数的概念同步达标检测题，共58页。试卷主要包含了下列函数中，哪些是一次函数?，若直线与直线平行，求m的值．等内容，欢迎下载使用。



模块一：一次函数的概念
知识精讲
一次函数的概念
一般地，解析式形如（，是常数，且）的函数叫做一次函数；
一次函数的定义域是一切实数；
当时，解析式就成为（是常数，且）这时，y是x
的正比例函数，所以正比例函数是一次函数的特例；
一般地，我们把函数（为常数）叫做常值函数．它的自变量由所讨论的问
题确定．
例题解析
例1.下列函数中，哪些是一次函数?
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）．
例2.（1）已知函数是一次函数，则k的取值范围是_________；
（2）当m=________时，函数是一次函数，且不是正比例函数．
例3.已知一个一次函数，当自变量时，函数值为；当时，．求这个函数的解析式．
例4.已知一次函数是一次函数，求实数k的值．
例5．（2020·上海市格致初级中学）如图，正方形ABCD的顶点A、B落在x轴正半轴上，点C落在正比例函数y＝kx（k＞0）上，点D落在直线y＝2x上，且点D的横坐标为a．
（1）直接写出A、B、C、D各点的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）求出k的值；
（3）将直线OC绕点O旋转，旋转后的直线将正方形ABCD的面积分成1：3两个部分，求旋转后得到的新直线解析式．
模块二：一次函数的图像
知识精讲
一次函数的图像：
一般地，一次函数（，是常数，且）的图像是一条直线．一次函数的图像也称为直线，这时，我们把一次函数的解析式称为这一直线的表达式．
画一次函数的图像时，只需描出图像上的两个点，然后过这两点作一条直线．
一次函数的截距：
一条直线与y轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y轴上的截距，简称直线的截距，
一般地，直线（）与y轴的交点坐标是，直线（）的截距是b．
一次函数图像的平移：
一般地，一次函数（）的图像可由正比例函数的图像平移得到．当时，向上平移个单位；当时，向下平移个单位．
（函数平移口诀简记为：“上加下减，左加右减”）
直线位置关系：
如果，那么直线与直线平行．
反过来，如果直线与直线平行，那么，．
例题解析
例1.若一次函数函数图像过原点，求a的值，并在坐标系中画出函数的图像．
例2.若一次函数，当x=2时，y=-1，且函数图像的截距为-3，求函数的解析式．
例3.若一次函数y=-x +b的图像的截距是-4，求将这个一次函数向左平移2个单位后的函数解析式．
例4.将直线y=x+1向右平移1个单位，相当于将直线y=x+1向上平移了多少个单位?
例5.已知一次函数的图像平行于直线y=x，且当时，函数y的值是1，求这个函数解析式．
例6.若直线与直线平行，求m的值．
例7.根据下列条件，求解相应的直线表达式．
（1）直线经过（3，2）以及（1，1）；
（2）直线经过（7，0）以及截距是14；
（3）直线经过以及截距是．
例8.直线与已知直线平行，且不经过第三象限，求的值．
例9.设点P(3，m)，Q(n，2)都在函数y=x+b的图象上，求m+n的值．
例10.设一次函数的图像过点P（3，2），它与轴、轴的正半轴分别交于A、B两点，且OA+BO=12时，求一次函数的解析式．
例11.已知一次函数与的图像在第四象限内交于一点，求整数的值．
例12.已知两个一次函数和；
（1）、为何值时，两函数的图像重合?
（2）、满足什么关系时，两函数的图像相互平行?
（3）、取何值时，两函数图像交于轴上同一点，并求这一点的坐标．
例13.（1）一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为48，求的值；
（2）一次函数的图像与两坐标围成的三角形的面积是10，截距是，求一次函数的解析式．
例14.（1）求直线与轴所围成的三角形的面积；
（2）求直线与直线与轴所围成的三角形的面积．
例15.如图，已知由轴、一次函数的图像及分别过点C（1，0）、D（4，0）
两点作平行于轴的两条直线所围成的图形ABDC的面积为7，试求这个一次函数的解析式．
模块三：一次函数的性质
知识精讲
一次函数的增减性：
一般地，一次函数（为常数，）具有以下性质：
当时，函数值随自变量的值增大而增大，图像为上升；
当时，函数值随自变量的值增大而减小，图像为下降．
2、一次函数图像的位置情况：
直线（，）过且与直线平行，由直线在平面直角坐标系内的位置情况可知：（要用图像的平移推导可得）
当，且时，直线经过一、二、三象限；
当，且时，直线经过一、三、四象限；
当，且时，直线经过一、二、四象限；
当，且时，直线经过二、三、四象限．
例题解析
例1.如果一次函数y=kx+b的图象经过第一象限，且与轴负半轴相交，那么（ ）
， B．，b<0C．，b>0D．，
例2.一次函数y=－2x+3的图象不经过的象限是 （ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
例3.根据下列条件填空：
（1）已知函数，当等于______时，它是一次函数，此时它的图象经过__________象限，y随x的增大而_____________；
（2）如果一次函数和的图象的交点在第一象限，则的取值范围是_________；
（3）已知关于的一次函数的图象与轴的交点在轴的上方，且随 的增大而减小，则的取值范围是________________．
例4.设，将一次函数与的图像画在同一平面直角坐标系内，则有一组，取值，使得下列四幅图中的一个为正确的是（ ）
AB C D
例5.若、是一元二次方程的两个实根（），在一次函数中，随的增大而减小，则一次函数的图像一定经过（）
A、第一、二、四象限B、第一、二、三象限
C、第二、三、四象限D、第一、三、四象限
例6.已知，而且，那么直线一定经过（）
A、第一、二象限； B、第二、三象限； C、第三、四象限； D、第一、四象限
例7.在式子．
例8.已知一次函数中随的增大而增大，它的图像与两坐标轴构成的直角三角形的面积不超过，反比例函数的图像在第二、四象限，求满足以上条件的的整数值．
例9.如图，已知函数的图象与轴交于点A，一次函数的图象经过点B（0，），并且与轴以及的图象分别交于点C、D；
（1）若点D的横坐标为1，求四边形AOCD的面积（即图中阴影部分的面积）；
（2）在第（1）小题的条件下，在轴上是否存在这样的点P，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形；如果存在，求出点P坐标；如果不存在，说明理由；
（3）若一次函数的图象与函数的图象的交点D始终在第一象限，则系数的取值范围是________（请直接写出结果）．
例10．（2018·上海崇明区·八年级期中）已知：如图，在直角坐标平面中，点在轴的负半轴上，直线经过点，与轴相交于点，点是点关于原点的对称点，过点的直线轴，交直线于点，如果．
（1）求直线的表达式；
（2）如果点在直线上，且是等腰三角形，请求出点的坐标．
例11．（2018·上海普陀区·）如图，已知一次函数的图像与x轴、轴分别交于点A、B，且BC∥AO，梯形AOBC的面积为10．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）求直线AC的表达式．
例12．（2017·上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线交y轴于点A，交x轴于点B，以线段AB为边作菱形ABCD（点C、D在第一象限），且点D的纵坐标为9．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）求直线DC的解析式；
（3）除点C外，在平面直角坐标系xOy中是否还存在点P，使点A、B、D、P组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
例13.（2018·上海普陀区·）如图，在直角坐标xy系中，点A的坐标是（2，0）、点B的坐标是（0，2）、点C的坐标是（0，3），若直线CD的解析式为y=-x+3，则S△ABD为___________.
随堂检测
1.根据下列与的关系式，判断是否是关于的一次函数?
（1）；（2）；（3）．
2.已知：是一次函数，则m=_________．
3.已知一次函数（），把它的图像向右平移3个单位，再向下平移5个单位，所得到的图像与原来的图像重合，则=___________．
4.已知表示关于x的一次函数；
（1）求函数解析式；（2）求，的值；（3）如果，求实数．
5.若直线的截距是4，且y随x的增大而减小，求该直线的函数解析式．
6.若，请指出一次函数的图像所经过的象限．
7.已知是一次函数，且当时，，试写出满足条件的和，并写出解析式．
8.已知一次函数不经过第二象限，求m的取值范围．
9.已知直线，把这条直线沿轴向上平移5个单位，再沿轴向右平移3个单位，求两次平移后的直线解析式?
10.根据下列要求求一次函数解析式：
（1）一次函数经过A且其与y轴的截距为-2；
（2）一次函数的截距为-5，且与无交点；
（3）一次函数的图像经过点．
11.已知一次函数（）与轴、轴围成的三角形面积为24，且与直线平行，求此一次函数的解析式．
12.直线：过点B（-1，0）与轴交于点C，直线：与交于点P（2，5）且过点A（6，0），过点C与平行的直线交轴于点D；
（1）求直线CD的函数解析式；
（2）求四边形APCD的面积．
13.如图所示，直线与轴、轴分别交于点A和点B，D是轴上的一点，若将沿直线DA折叠，点B恰好落在轴正半轴上的点C处，求直线CD的解析式．
14.直线与轴、轴分别交于点A、点B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰，且，如果在第二象限内有一点（，），且的面积与的面积相等，求的值．
15．（2019·上海市民办新和中学八年级月考）如图，已知直线交轴于点，轴于点，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在双曲线上．
（1）求的值；
（2）将绕的中点旋转得到，请判断点是否在双曲线上，并说明理由.
16．（2018·上海虹口区·八年级期末）如图，一次函数y＝2x+4的图象与x、y轴分别相交于点A、B，四边形ABCD是正方形．
（1）求点A、B、D的坐标；
（2）求直线BD的表达式．
17．（2017·上海）如图,△AOB为正三角形,点B的坐标为(2,0),过点C(－2,0)作直线l交AO于D，交AB于E，且使△ADE和△DCO的面积相等.求直线l的解析式.
18．（2018·上海市闵行区上虹中学）如图，直线y＝k1x(x≥0)与双曲线y＝(x＞0)相交于点P(2，4)．已知点A(4，0)，B(0，3)，连接AB，将Rt△AOB沿OP方向平移，使点O移动到点P，得到△A′PB′.过点A′作A′C∥y轴交双曲线于点C，连接CP.
(1)求k1与k2的值；
(2)求直线PC的解析式；
(3)直接写出线段AB扫过的面积．
19．（2020·上海同济大学附属实验中学八年级月考）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（m，0），以AB为腰作等腰，如图所示．

（1）若的值为5平方单位，求m的值；
（2）记BC交y轴于点D，CE⊥y轴于点E，当y轴平分∠BAC时，求的值
（3）连接OC，当OC＋AC最小时，求点C的坐标．
第1讲 一次函数的概念及图像

模块一：一次函数的概念
知识精讲
一次函数的概念
一般地，解析式形如（，是常数，且）的函数叫做一次函数；
一次函数的定义域是一切实数；
当时，解析式就成为（是常数，且）这时，y是x
的正比例函数，所以正比例函数是一次函数的特例；
一般地，我们把函数（为常数）叫做常值函数．它的自变量由所讨论的问
题确定．
例题解析
例1.下列函数中，哪些是一次函数?
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）．
【难度】★
【答案】（2）、（3）、（4）、（6）．
【解析】判断是否是一次函数，要整理成的形式，一次函数有要是一次，且是整式几个注意点．（1）是二次函数，（5）是分式．
【总结】考查一次函数的基本概念，会判断两个量是否是一次函数关，一般要把关系式整理成概念的标准形式，找出对应．
例2.（1）已知函数是一次函数，则k的取值范围是_________；
（2）当m=________时，函数是一次函数，且不是正比例函数．
【难度】★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）一次函数，所以；（2）一次函数其中，要是一次，所以，又因为是一次函数，不是正比例函数，所以不能为0，
所以．
【总结】考查一次函数的基本概念中对于自变量一次的理解．
例3.已知一个一次函数，当自变量时，函数值为；当时，．求这个函数的解析式．
【难度】★★
【答案】．
【解析】设一次函数解析式为，将两点代入解二元一次方程组， 解得：，所以这个函数的解析式为：．
【总结】考察两点代入法求一次函数解析式，即两点代入转而解二元一次方程组．
例4.已知一次函数是一次函数，求实数k的值．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由一次函数的概念可知：，且，解得：或，又因为，所以．
【总结】考察一次函数的基本概念，对于自变量一次的及自变量系数不为零同时要满足的理解．
例5．（2020·上海市格致初级中学）如图，正方形ABCD的顶点A、B落在x轴正半轴上，点C落在正比例函数y＝kx（k＞0）上，点D落在直线y＝2x上，且点D的横坐标为a．
（1）直接写出A、B、C、D各点的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）求出k的值；
（3）将直线OC绕点O旋转，旋转后的直线将正方形ABCD的面积分成1：3两个部分，求旋转后得到的新直线解析式．
【答案】（1）点A、B、C、D的坐标分别为（a，0）、（3a，0）、（3a，2a）、（a，2a）；（2）k＝；（3）y＝（3±）x．
【分析】（1）点D的横坐标为a，则点D(a，2a)，则AB＝AD＝2a，进而 求解；
（2）将C点坐标代入y=kx即可求得k；
（3）根据题干，可求得直线OF的的解析式为，当y=2a时，可求出点E( ，2a)，由S△DEF＝S正方形ABCD，可列方程进而求出m．
【详解】解：（1）点D的横坐标为a，则点D（a，2a），
则AB＝AD＝2a，则点A、B、C的坐标分别为（a，0）、（3a，0）、（3a，2a），
故点A、B、C、D的坐标分别为（a，0）、（3a，0）、（3a，2a）、（a，2a）；
（2）将点C的坐标代入y＝kx得，2a＝3ak，解得k＝；
（3）设AF＝m，则点F（a，m），设直线OC旋转后交AD于点F，交CD于点E，
则直线OF的表达式为，当y＝2a时，y＝，
解得x=，故点E（，2a），由题意得：S△DEF＝S正方形ABCD＝，
即，解得：m＝，
则函数的表达式为y＝＝（3±）x．
【点睛】本题考查一次函数的性质、正方形的性质、面积的计算等，掌握一次函数的性质是解题关键．
模块二：一次函数的图像
知识精讲
一次函数的图像：
一般地，一次函数（，是常数，且）的图像是一条直线．一次函数的图像也称为直线，这时，我们把一次函数的解析式称为这一直线的表达式．
画一次函数的图像时，只需描出图像上的两个点，然后过这两点作一条直线．
一次函数的截距：
一条直线与y轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y轴上的截距，简称直线的截距，
一般地，直线（）与y轴的交点坐标是，直线（）的截距是b．
一次函数图像的平移：
一般地，一次函数（）的图像可由正比例函数的图像平移得到．当时，向上平移个单位；当时，向下平移个单位．
（函数平移口诀简记为：“上加下减，左加右减”）
直线位置关系：
如果，那么直线与直线平行．
反过来，如果直线与直线平行，那么，．
例题解析
例1.若一次函数函数图像过原点，求a的值，并在坐标系中画出函数的图像．
【难度】★
【答案】．
【解析】一次函数的图像过原点，即通过（0，0）点，且．把这点坐标代入解析式求解可得，所以解析式是．
【总结】一次函数的解析式与图像的关系，解析式中不为0的前提条件，以及图像过原点的在解析式中的含义．
例2.若一次函数，当x=2时，y=-1，且函数图像的截距为-3，求函数的解析式．
【难度】★
【答案】．
【解析】截距是-3，则，又因为过（2，-1）点，代入求解，得解析式为．
【总结】考查一次函数截距的意义，和待定系数法求一次函数解析式的方法．
例3.若一次函数y=-x +b的图像的截距是-4，求将这个一次函数向左平移2个单位后的函数解析式．
【难度】★
【答案】．
【解析】截距是-4，则，则解析式是，则平移后的解析式为：．
【总结】考察一次函数截距的意义，及函数图像平移与解析式变化的关系，即“上加下减，左加右减”．
例4.将直线y=x+1向右平移1个单位，相当于将直线y=x+1向上平移了多少个单位?
【难度】★★
【答案】个．
【解析】一次函数右移一个单位，解析式变为，
则相当于向上平移个单位．
【总结】考察一次函数图像平移与函数解析式变化的关系，即“上加下减，左加右减”．
例5.已知一次函数的图像平行于直线y=x，且当时，函数y的值是1，求这个函数解析式．
【难度】★★
【答案】．
【解析】设这个一次函数解析式为，由题易知，把点（-3，1）代入，可得．
所以这个一次函数解析式为．
【总结】考察两条直线平行与一次函数解析式的关系，即两条直线平行，相等．
例6.若直线与直线平行，求m的值．
【难度】★★
【答案】．
【解析】因为两条直线平行，所以可知相等且不相等，即，解得：；
因为不相等，所以．
【总结】考察两条直线平行与一次函数解析式的关系，两条直线平行，即无交点，而重合是两条直线有无数个交点，所以两条直线平行的含义是相等且不相等．
例7.根据下列条件，求解相应的直线表达式．
（1）直线经过（3，2）以及（1，1）；
（2）直线经过（7，0）以及截距是14；
（3）直线经过以及截距是．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）设直线的解析式为，把（3，2）和（1，1）代入，可得：，，
所以直线的解析式为；
设直线的解析式为，截距是14，则，再把（7，0）代入，可得．
所以直线的解析式为；
设直线的解析式为，截距是，则，再把（-3，0）代入，
可得，所以直线的解析式为．
【总结】考察两点代入法求解一次函数解析式的方法及截距的含义，两点代入法求解一次函数的解析式可转化为求解二元一次方程，从而求出对应的．
例8.直线与已知直线平行，且不经过第三象限，求的值．
【难度】★★
【答案】．
【解析】两条直线平行，则可知相等，即，可得：或，则截距为或．又因为图像不经过第三象限，所以舍去，即舍去，所以．
【总结】考察一次函数的的基本概念以及的符号与图像所过象限的关系．
例9.设点P(3，m)，Q(n，2)都在函数y=x+b的图象上，求m+n的值．
【难度】★★
【答案】5．
【解析】把点P(3，m)，Q(n，2)代入解析式y=x+b中，可得，两式子相减，得，整理得．
【总结】考察一次函数的应用，一次函数图像上的点的坐标都满足函数解析式．
例10.设一次函数的图像过点P（3，2），它与轴、轴的正半轴分别交于A、B两点，且OA+BO=12时，求一次函数的解析式．
【难度】★★
【答案】或．
【解析】由题易知，A点坐标为，B点坐标为，且A、B两点都在轴、轴的正 半轴上，所以，又点P（3，2）在此函数图像上，代入可得，
两个式子联立求解，可得：，解得：或，对应的或3．
所以该一次函数的解析式为或．
【总结】本题主要考查一次函数与两坐标轴的交点问题，注意分类讨论．
例11.已知一次函数与的图像在第四象限内交于一点，求整数的值．
【难度】★★★
【答案】1，0，1．
【解析】将两个解析式联立求解可得：，，所以交点坐标为，
因为交点在第四象限内，所以，解不等式得：，
所以整数的值为1，0，1．
【总结】考查对两个一次函数的交点坐标问题，并且注意每个象限内的点的横纵坐标的符号特征．
例12.已知两个一次函数和；
（1）、为何值时，两函数的图像重合?
（2）、满足什么关系时，两函数的图像相互平行?
（3）、取何值时，两函数图像交于轴上同一点，并求这一点的坐标．
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）且；（3），，坐标为（2，0）．
【解析】（1）由题可知，两个一次函数的比例系数和常数项都相等，即，
解得：；
两个一次函数的图像平行，则比例系数相等，常数不相等，所以，
即，且；
两个一次函数的图像交于轴上一点，即两个一次函数与轴的交点重合，先分
别求出与轴的交点，令，得，同理可得，由题可知，，
即，交点坐标为（-2，0）．
【总结】主要考查两个一次函数图像的平行、重合的关系与区别以及两条直线交点的含义．
例13.（1）一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为48，求的值；
（2）一次函数的图像与两坐标围成的三角形的面积是10，截距是，求一次函数的解析式．
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）一次函数与两轴围成的三角形面积公式是，所以，解得：；
（2）同理可知，，解得：，所以一次函数的解析式为或 ．
【总结】一次函数与两轴围成的面积公式，注意双解的情况．
例14.（1）求直线与轴所围成的三角形的面积；
（2）求直线与直线与轴所围成的三角形的面积．
【难度】★★★
【答案】（1）12；（2）．
【解析】（1）联立，解得交点坐标为（-4，-6），又因为两条直线与轴的交点坐标分别为（0，-4）和（0，2），所以这两条直线与轴围成的三角形面积
为；
（2）联立，解得交点坐标为（1，-2），又因为两条直线与轴的交点坐标分别为（2，0）和，所以这两条直线与轴围成的面积为．
【总结】考查一次函数与坐标轴所围成的三角形的面积的综合应用．
例15.如图，已知由轴、一次函数的图像及分别过点C（1，0）、D（4，0）
两点作平行于轴的两条直线所围成的图形ABDC的面积为7，试求这个一次函数的解析式．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】由题易知的坐标为（1,），的坐标为（4，）所围成的梯形的面积为=7，
解得：，所以一次函数的解析式是．
【总结】考查一次函数与面积的综合应用．
模块三：一次函数的性质
知识精讲
一次函数的增减性：
一般地，一次函数（为常数，）具有以下性质：
当时，函数值随自变量的值增大而增大，图像为上升；
当时，函数值随自变量的值增大而减小，图像为下降．
2、一次函数图像的位置情况：
直线（，）过且与直线平行，由直线在平面直角坐标系内的位置情况可知：（要用图像的平移推导可得）
当，且时，直线经过一、二、三象限；
当，且时，直线经过一、三、四象限；
当，且时，直线经过一、二、四象限；
当，且时，直线经过二、三、四象限．
例题解析
例1.如果一次函数y=kx+b的图象经过第一象限，且与轴负半轴相交，那么（ ）
， B．，b<0C．，b>0D．，
【难度】★
【答案】
【解析】一次函数的图像经过第一象限，且与轴负半轴相交，通过画图可知
．所以答案选．
【总结】考察一次函数的基本概念以及、的符号对一次函数图像所过象限的决定作用．
例2.一次函数y=－2x+3的图象不经过的象限是 （ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【难度】★
【答案】．
【解析】一次函数中，，通过画图，可知该一次函数的图像不经过第三象限，答案选
【总结】考察一次函数的基本概念、的符号对一次函数图像所过象限的决定作用．
例3.根据下列条件填空：
（1）已知函数，当等于______时，它是一次函数，此时它的图象经过__________象限，y随x的增大而_____________；
（2）如果一次函数和的图象的交点在第一象限，则的取值范围是_________；
（3）已知关于的一次函数的图象与轴的交点在轴的上方，且随 的增大而减小，则的取值范围是________________．
【难度】★★
【答案】（1）；一、三、四；增大；（2）；（3）．
【解析】(1)由题可知，要是一次函数则要满足，解得：．此时函数解析式为，它的图像经过第一、三、四象限，且随的增大而增大；
（2）联立与，可得交点坐标为，因为交点在第一象限，则，所以的取值范围是．
（3）由题易知，一次函数与轴的交点坐标为，且，又随的增大而减小，所以，从而可得．
【总结】考查一次函数的基本概念及、对一次函数图像所过象限及变化趋势的影响．
例4.设，将一次函数与的图像画在同一平面直角坐标系内，则有一组，取值，使得下列四幅图中的一个为正确的是（ ）
AB C D
【难度】★★
【答案】D
【解析】选项中，由图像可知，且图像过一、二、三象限，可知，而另一条直线的解析式为与轴的交点为在轴下方，则与上面那条直线矛盾，所以错误；选项中，两条直线与轴的交点坐标都在轴上方，可知，
且，这与题目中的矛盾，所以B错误；选项中，由题易知，上面那条直线解析
式为，下面那条直线解析式为，且．与轴交点都为（2，0）， 分别代入可得，解得：，与已知不符，所以错误；
选项中，由图可知，而两条直线有一条是随的增大而减小即作为，
中有一个小于0，正好相符，且满足题目中的条件，故选项D正确．
【总结】本题主要考查一次函数的性质及、对一次函数图像所过象限的影响．
例5.若、是一元二次方程的两个实根（），在一次函数中，随的增大而减小，则一次函数的图像一定经过（）
A、第一、二、四象限B、第一、二、三象限
C、第二、三、四象限D、第一、三、四象限
【难度】★★
【答案】
【解析】由题易知，又在一次函数中，随的增大而减小，可知，所以，所以一次函数的图像经过第一、二、四象限．故选
【总结】一次函数的基本概念，，对一次函数图像所过象限及变化趋势的影响．
例6.已知，而且，那么直线一定经过（）
A、第一、二象限； B、第二、三象限； C、第三、四象限； D、第一、四象限
【难度】★★★
【答案】
【解析】由题可得三式相加得，
，，可得，
当，，所以或-1．
当时，经过第一、二、三象限，当时，，
图像经过第二、三、四象限．两种情况下，图像第一定经过第二、三象限．故选
【总结】考察一次函数的图像特征及、对一次函数图像所过象限的影响．
例7.在式子．
【难度】★★★
【答案】14或-6．
【解析】由题可知存在如下几种种情况，
（1）当时，，则，解得：，则；
（2）当，则，：，则； （3）当时，，是个常值函数，不随的变化而变化，与题目不符．
【总结】本题主要考查一次函数的性质的运用，注意分类讨论．
例8.已知一次函数中随的增大而增大，它的图像与两坐标轴构成的直角三角形的面积不超过，反比例函数的图像在第二、四象限，求满足以上条件的的整数值．
【难度】★★★
【答案】整数值为1或2．
【解析】一次函数中随的增大而增大，可知，它的图像与两坐标轴构的直角三角形面积不超过可知；又反比例函数的图像在第二、四象限，可知，解不等式可得：，故整数解为1或者2．
【总结】考查一次函数与反比例函数的性质及一次函数与坐标轴所围成的三角形的面积问题．
例9.如图，已知函数的图象与轴交于点A，一次函数的图象经过点B（0，），并且与轴以及的图象分别交于点C、D；
（1）若点D的横坐标为1，求四边形AOCD的面积（即图中阴影部分的面积）；
（2）在第（1）小题的条件下，在轴上是否存在这样的点P，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形；如果存在，求出点P坐标；如果不存在，说明理由；
（3）若一次函数的图象与函数的图象的交点D始终在第一象限，则系数的取值范围是________（请直接写出结果）．
【难度】★★★
【答案】(1)；（2），（0，5），；（3）．
【解析】（1）由题易知的坐标为（0，1），点的横坐标为1，代入，得，即(1，2)；因为点的坐标为（0，-1），且经过点和点，
代入得：，解得：，
则一次函数的解析式为，继而可求出点的坐标为（，0）．
故阴影部分的面积为：
=．
（2）假设点的坐标为，则．
分三类情况讨论：当时，以点为圆心，为半径画圆，与轴的交点即为所求点．所以的坐标为；当时，以点为圆心，为半径画圆，与轴的交点即为所求点，所以点的坐标为（0，5）；当时，点即为线段的中垂线与轴的交点，则，解得：，即的坐标，综上，点的坐标为或（0，5）或；（3）因为点的坐标为（0，-1），可知中的，可得．
联立，可得交点坐标为，因为点在第一象限内，
所以，解不等式组，得．
【总结】本题综合性较强，主要考查一次函数的形式与面积的综合应用．
例10．（2018·上海崇明区·八年级期中）已知：如图，在直角坐标平面中，点在轴的负半轴上，直线经过点，与轴相交于点，点是点关于原点的对称点，过点的直线轴，交直线于点，如果．
（1）求直线的表达式；
（2）如果点在直线上，且是等腰三角形，请求出点的坐标．
【答案】（1）；（2）或．
【分析】（1）先求出点M的坐标，从而可得OM的长，再根据直角三角形的性质可得OA的长，从而可得点A的坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（2）先根据对称性得出点B的坐标，再根据两点之间的距离公式可得的长，然后根据等腰三角形的定义分三种情况建立等式求解即可．
【详解】（1）对于，当时，，则点的坐标为
，设，∵。
在中，，
则有，解得，即，∴点的坐标为
∵直线经过点。∴，解得
故直线的表达式为；
（2）点是点关于原点的对称点，点的坐标为
设直线上的点坐标为，则
，
由等腰三角形的定义，分以下三种情况：
①当时，是等腰三角形，则，解得或
或
此时，点D的坐标为或
②当时，是等腰三角形
则，解得或
或
此时，点D的坐标为或（与点重合，不能构成三角形，舍去）
③当时，是等腰三角形
则，解得
，此时，点的坐标为
综上，点的坐标为点或．
【点睛】本题考查了一次函数的几何应用、直角三角形的性质、等腰三角形的定义等知识点，较难的是题（2），依据题意，正确分三种情况讨论是解题关键．
例11．（2018·上海普陀区·）如图，已知一次函数的图像与x轴、轴分别交于点A、B，且BC∥AO，梯形AOBC的面积为10．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）求直线AC的表达式．
【答案】（1）A(-2,0)，B(0,4)，C（-3，4）；（2）y=-4x-8
【解析】分析：（1）令x与y分别为0，代入函数解析式即可求出B、A两点坐标，再根据梯形的面积公式可求出C点的坐标；
（2）结合A、C两坐标，利用待定系数法即可求出直线AC的解析式.
详解：（1）当x=0时，y=4,∴B(0,4),当y=0时，即2x+4=0，解得，x=-2，
∴A(-2,0),∴OA=2，OB=4，∵梯形AOBC的面积为10，∴ ．
解得，∴点C（-3，4）.
（2）设直线AC的表达式为（），
则，解得∴直线AC的表达式为．
点睛：本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征、利用待定系数法求一次函数解析式.运用点的坐标表示出线段的长，并结合梯形面积建立方程是解题的关键.
例12．（2017·上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线交y轴于点A，交x轴于点B，以线段AB为边作菱形ABCD（点C、D在第一象限），且点D的纵坐标为9．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）求直线DC的解析式；
（3）除点C外，在平面直角坐标系xOy中是否还存在点P，使点A、B、D、P组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）点A（0，4）；点B（，0）．（2）直线DC的解析式为．（3）点P的坐标为（，﹣5）或（﹣，13）．
【解析】（1）分别令一次函数中x=0、y=0，求出与之对应的y、x的值，由此即可得出点A、B的坐标；
（2）过点D作DE⊥y轴，垂足为E，由点D的纵坐标为9即可得出AE的长，根据菱形的性质得出AB=AD，结合勾股定理即可求出点D的坐标，由DC∥AB可设直线DC的解析式为，代入点D的坐标求出b值即可得出结论；
（3）假设存在，点C时以BD为对角线找出的点，再分别以AB、AD为对角线，根据平行四边形的性质（对角线互相平分）结合点A、B、D的坐标即可得出点P的坐标．
解：（1）令中x=0，则y=4，∴点A（0，4）；
令中y=0，则﹣x+4=0，解得：x=2，∴点B（2，0）．
（2）过点D作DE⊥y轴，垂足为E，如图1所示．∵点D的纵坐标为9，OA=4，
∴AE=5．∵四边形是ABCD是菱形，
∴AD=AB=，
∴DE==，∴D（，9）．
∵四边形是ABCD是菱形，∴DC∥AB，∴设直线DC的解析式为，
∵直线DC过点D（，9），∴b=11，∴直线DC的解析式为．
（3）假设存在．以点A、B、D、P组成的四边形是平行四边形还有两种情况（如图2）：
①以AB为对角线时，∵A（0，4），B（2，0），D（，9），
∴点P（0+2﹣，4+0﹣9），即（，﹣5）；
②以AD为对角线时，∵A（0，4），B（2，0），D（，9），
∴点P（0+﹣2，4+9﹣0），即（﹣，13）．
故除点C外，在平面直角坐标系xOy中还存在点P，使点A、B、D、P组成的四边形是平行四边形，点P的坐标为（，﹣5）或（﹣，13）．
“点睛”本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、菱形的性质、勾股定理以及待定系数法求函数解析，解题的关键是：（1）分别代入x=0，y=0，求出与之对应的y、x的值；（2）求出点D的坐标；（3）分别以AB、AD为对角线求出点P的坐标.本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行四边形的性质（对角线互相平分），结合三个顶点的坐标求出另一顶点坐标是关键.
例13.（2018·上海普陀区·）如图，在直角坐标xy系中，点A的坐标是（2，0）、点B的坐标是（0，2）、点C的坐标是（0，3），若直线CD的解析式为y=-x+3，则S△ABD为___________.
【答案】1
【解析】分析：先求出直线AB的解析式，根据直线AB与直线CD的k值相等可得出它们平行，根据平行线间的距离处处相等可得出，即可得出答案.
详解：设直线AB的解析式为，
∵A的坐标是（2，0）、点B的坐标是（0，2）、∴，解得，
∴直线AB的解析式为，∵直线CD的解析式为y=-x+3，
∴AB//CD，∴，
∵点A的坐标是（2，0）、点B的坐标是（0，2）、点C的坐标是（0，3），
∵BC=1，AO=2，∴，∴
故答案为：1.
点睛：本题考查了一次函数的性质及求平面直角坐标系中三角形的面积.解题的关键在于利用转化思想将求△ABD的面积转化为求△ABC的面积的问题.
随堂检测
1.根据下列与的关系式，判断是否是关于的一次函数?
（1）；（2）；（3）．
【难度】★
【答案】（1）、（3）是；（2）不是．
【解析】一次函数要符合的形式．所以（1）是；（2）不是；（3）是．
【总结】考察一次函数的基本概念
2.已知：是一次函数，则m=_________．
【难度】★
【答案】3．
【解析】一次函数要符合的形式．由题易知，
解得：，综上，．
【总结】考察一次函数的基本概念．
3.已知一次函数（），把它的图像向右平移3个单位，再向下平移5个单位，所得到的图像与原来的图像重合，则=___________．
【难度】★
【答案】．
【解析】函数的平移：上加下减，左加右减．根据题意可知向右平移三个单位得，
再向下平移5个单位得，所得到的图像与原来的图像重合，
即，整理可得：，即，．
【总结】考察一次函数图像的平移与解析式变化的关系．
4.已知表示关于x的一次函数；
（1）求函数解析式；（2）求，的值；（3）如果，求实数．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）一次函数的形式是，所以，综合可得，所以一次函数的解析式为；
（2）；；
（3）由题可知，，可得：．
【总结】考察一次函数的基本概念．利用一次函数关系式已知自变量求变量的值，和已知变量的值求自变量的值．
5.若直线的截距是4，且y随x的增大而减小，求该直线的函数解析式．
【难度】★★
【答案】．
【解析】根据一次函数的性质，可知，综合可得：．
所以该直线的解析式为．
【总结】一次函数中截距的含义，以及一次函数的性质．
6.若，请指出一次函数的图像所经过的象限．
【难度】★★
【答案】第一、二、四象限．
【解析】由，可知，所以，根据一次函数的性质，，可知图像经过第一、二、四象限．
【总结】考察的符号与一次函数图像的关系．
7.已知是一次函数，且当时，，试写出满足条件的和，并写出解析式．
【难度】★★
【答案】，，．
【解析】根据一次函数的性质，可知的系数要为0，即，得．
代入可得，因为，代入可得，
即．
【总结】一次函数的基本概念以及利用待定系数法求解一次函数解析式．
8.已知一次函数不经过第二象限，求m的取值范围．
【难度】★★
【答案】．
【解析】根据一次函数的性质，可知图像不经过第二象限，那么该一次函数图像经过的象限就分为两种情况，经过第一三象限或者经过第一三四象限，综上，可知，
所以可得．
【总结】考查一次函数中图像的关系．
9.已知直线，把这条直线沿轴向上平移5个单位，再沿轴向右平移3个单位，求两次平移后的直线解析式?
【难度】★★
【答案】．
【解析】根据一次函数图形平移规律：上加下减，左加右减．可知把这条直线沿轴上移5个单位，得，再沿轴右移3个单位，得．
【总结】考察一次函数图像的平移与解析式之间的关系．
10.根据下列要求求一次函数解析式：
（1）一次函数经过A且其与y轴的截距为-2；
（2）一次函数的截距为-5，且与无交点；
（3）一次函数的图像经过点．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】设一次函数的解析式为，
（1）因为截距为-2，所以，把（2,3）代入，即．
所以一次函数的解析式为；
（2）由截距为-5，可知解析式中的，与无交点，可知两条直线平行，
即，所以所求一次函数解析式为；
（3）把点代入中，得，
联立求解，可得：．
【总结】考察截距的意义以及待定系数法求一次函数的解析式．
11.已知一次函数（）与轴、轴围成的三角形面积为24，且与直线平行，求此一次函数的解析式．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由一次函数与两轴围成的直角三角形面积公式为，与直线平行可知 相等，即，代入面积公式，，得，
所以一次函数的解析式为．
【总结】考察一次函数与坐标轴围成的三角形的面积问题，注意分类讨论．
12.直线：过点B（-1，0）与轴交于点C，直线：与交于点P（2，5）且过点A（6，0），过点C与平行的直线交轴于点D；
（1）求直线CD的函数解析式；
（2）求四边形APCD的面积．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由经过点，代入得：，解得，
所以一次函数的解析式为．所以的坐标为（0，）．同理，由经
过点和，可得，所以．所以设与平行的直线的直线解析式为，因为过点（0，），可得：，
即所求函数解析式为；
（2）由的解析式为可得的坐标为（）．
由此可知
．
【总结】本题综合性较强，主要考查一次函数与面积的结合．
13.如图所示，直线与轴、轴分别交于点A和点B，D是轴上的一点，若将沿直线DA折叠，点B恰好落在轴正半轴上的点C处，求直线CD的解析式．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】一次函数解析式是，可知的坐标为（2，0），
的坐标为（）．在中，，
可得，．因为沿直线折叠，
点落在轴上的点，所以，点的坐标为（6，0），且．
在中，，，可得，即的坐标为．
由（6，0），，设一次函数解析式为，
代入可得，，解得，所以直线的解析式是．
【总结】本题主要考查一次函数与几何的综合，注意利用几何图形的性质解题．
14.直线与轴、轴分别交于点A、点B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰，且，如果在第二象限内有一点（，），且的面积与的面积相等，求的值．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】由题意知，，可求出，又因为是等腰直角三角形，
所以．过点()做平行于轴的直线，交轴与点，
则坐标为（）；交线段于点，则点纵坐标为，代入的解析式，
得：，解得：，所以（），且．
过点作直线的垂线段，垂足为，则的坐标为（）．因为，
且，所以
=2，解得：．
【总结】本题主要考查一次函数与几何的综合，注意利用几何图形的性质解题．
15．（2019·上海市民办新和中学八年级月考）如图，已知直线交轴于点，轴于点，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在双曲线上．
（1）求的值；
（2）将绕的中点旋转得到，请判断点是否在双曲线上，并说明理由.
【答案】（1）（2）点P在双曲线上，理由见解析
【分析】(1)由△AOB≌△ACB求得C点坐标,代入双曲线即可求得k值
(2)由B点找出关于AC中点的对称点即P点,得出P点坐标,判断是否在双曲线上
【详解】(1)由△AOB≌△ACB,BC=OB,AC=AO,则令y=0,x=3;x=0,y=,
即A(3,0)B(0,)设C(x,y) ，解得 ，
代入双曲线k=xy= ；
(2)设AC中点为D,则D点坐标D为:
即 ,再设P点坐标(x,y) ,解得:
把坐标代入双曲线y= 等式成立,故点P在双曲线上．
【点睛】此题考查一次函数综合题，解题关键在于利用旋转的性质得到三角形全等
16．（2018·上海虹口区·八年级期末）如图，一次函数y＝2x+4的图象与x、y轴分别相交于点A、B，四边形ABCD是正方形．
（1）求点A、B、D的坐标；
（2）求直线BD的表达式．
【答案】（1）A（﹣2，0），点B（0，4），D（2，﹣2）；（2）y＝﹣3x+4．
【分析】(1)由于ー次函数y=2x+4的图象与x、y轴分别相交于点A、B,所以利用函数解析式即可求出AB两点的坐标,然后过D作DH⊥x轴于H点,由四边形ABCD是正方形可以得到∠BAD=∠AOB=∠AHD=90°,AB=AD,接着证明△ABO≌△DAH,最后利用全等三角形的性质可以得到DH=AO=2,AH=BO=4,从而求出点D的坐标;
（2）利用待定系数法即可求解
【详解】解：（1）∵当y＝0时，2x+4＝0，x＝﹣2．∴点A（﹣2，0）．
∵当x＝0时，y＝4．∴点B（0，4）．过D作DH⊥x轴于H点，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠AOB＝∠AHD＝90°，AB＝AD．
∴∠BAO+∠ABO＝∠BAO+∠DAH，∴∠ABO＝∠DAH．∴△ABO≌△DAH．
∴DH＝AO＝2，AH＝BO＝4，∴OH＝AH﹣AO＝2．∴点D（2，﹣2）．
（2）设直线BD的表达式为y＝kx+b．∴ 解得 ，
∴直线BD的表达式为y＝﹣3x+4．
【点睛】此题考查一次函数综合题，利用全等三角形的性质是解题关键
17．（2017·上海）如图,△AOB为正三角形,点B的坐标为(2,0),过点C(－2,0)作直线l交AO于D，交AB于E，且使△ADE和△DCO的面积相等.求直线l的解析式.
【答案】所以直线l的解析式为.
试题分析：根据S△DCO=S△ADE可知S△DCO+S四边形DOBE=S△ADE+S四边形DOBE，从而得到S△BCE=S△AOB，根据△AOB为正三角形求出三角形的高，从而求出A点坐标，根据待定系数法求出AB的解析式，根据S△BCE=S△AOB，求出A点纵坐标，代入直线AB，可得E点横坐标，再利用待定系数法求出CD的解析式．
试题解析:由△ADE和△DCO的面积相等,可知△AOB和△CBE的面积相等,
而△AOB的面积为.设点E的坐标为(),则△CBE的面积为2.
由,得.又由直线AB的解析式为,
而E在AB上,则,有得E的坐标为().
又因为点C的坐标为(－2,0), 所以直线l的解析式为.
18．（2018·上海市闵行区上虹中学）如图，直线y＝k1x(x≥0)与双曲线y＝(x＞0)相交于点P(2，4)．已知点A(4，0)，B(0，3)，连接AB，将Rt△AOB沿OP方向平移，使点O移动到点P，得到△A′PB′.过点A′作A′C∥y轴交双曲线于点C，连接CP.
(1)求k1与k2的值；
(2)求直线PC的解析式；
(3)直接写出线段AB扫过的面积．
【答案】（1）k1＝2，k2＝8；（2）；（3）22
试题分析：（1）把点P（2，4）代入直线y=k1x，把点P（2，4）代入双曲线y=，可得k1与k2的值；
（2）根据平移的性质，求得C（6，），再运用待定系数法，即可得到直线PC的表达式；
（3）延长A'C交x轴于D，过B'作B'E⊥y轴于E，根据△AOB≌△A'PB'，可得线段AB扫过的面积=平行四边形POBB'的面积+平行四边形AOPA'的面积，据此可得线段AB扫过的面积．
试题解析：（1）把点P（2，4）代入直线y=k1x，可得4=2k1，∴k1=2，
把点P（2，4）代入双曲线y=，可得k2=2×4=8；
（2）∵A（4，0），B（0，3），∴AO=4，BO=3，
如图，延长A'C交x轴于D，由平移可得，A'P=AO=4，
又∵A'C∥y轴，P（2，4），∴点C的横坐标为2+4=6，当x=6时，y==，即C（6，），
设直线PC的解析式为y=kx+b，把P（2，4），C（6，）代入可得
，解得，∴直线PC的表达式为y=﹣x+；
（3）如图，延长A'C交x轴于D，由平移可得，A'P∥AO，又∵A'C∥y轴，P（2，4），
∴点A'的纵坐标为4，即A'D=4，如图，过B'作B'E⊥y轴于E，∵PB'∥y轴，P（2，4），
∴点B'的横坐标为2，即B'E=2，又∵△AOB≌△A'PB'，
∴线段AB扫过的面积=平行四边形POBB'的面积+平行四边形AOPA'的面积=BO×B'E+AO×A'D=3×2+4×4=22．
考点：1、反比例函数与一次函数的交点问题；2、待定系数法求一次函数解析式；3、坐标与图形变化﹣平移
19．（2020·上海同济大学附属实验中学八年级月考）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（m，0），以AB为腰作等腰，如图所示．

（1）若的值为5平方单位，求m的值；
（2）记BC交y轴于点D，CE⊥y轴于点E，当y轴平分∠BAC时，求的值
（3）连接OC，当OC＋AC最小时，求点C的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）由求解的长，利用勾股定理列方程求解，结合的位置，即可得到答案；
（2）过作于，证明求解由等面积法得作 在上，利用勾股定理可得从而可得答案；
（3）由（2）同理可得：，证明在上，设直线与轴分别交于，过作于 使 连接交于 则此时最小，利用等腰三角形的性质与中点坐标公式得的坐标，求解的解析式，再求直线与的交点坐标即可．
【详解】解：（1）
（负根舍去），又
在轴的负半轴上，
（2）过作于，



由勾股定理得：

作 在上，
轴平分∠BAC，

由勾股定理得：

（3）由（2）同理可得：，
在直线上，设直线与轴分别交于，
则
过作于 使 连接交于
则此时最小，为的中点，
设为 解得：
为 解得：
即当最小时，
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，三角形全等的判定与性质，三角形角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，分式的约分，利用平方根的含义解一元二次方程，轴对称的性质，求解一次函数的解析式及交点坐标，掌握以上知识是解题的关键．