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沪教版八年级数学辅导讲义第7讲代数方程的复习(练习)原卷版+解析
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这是一份沪教版八年级数学辅导讲义第7讲代数方程的复习(练习)原卷版+解析，共29页。
第7讲 代数方程的复习（练习）夯实基础一、单选题1．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）某石油进口国这个月的石油进口量比上个月减少了5％，由于国际油价上涨，这个月进口石油的费用反而比上个月增加了14％．求这个月的石油价格相比上个月的增长率为．根据题意，得（ ）A． B．C． D．2．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）在下列方程中，有实数根的是（ ）A． B．C． D．二、填空题3．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）x=___________时，函数y=3x-2与函数y=5x+1有相同的函数值．4．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）根号内含有______________的方程叫做无理方程；_______________和_______________统称为有理方程．5．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）y轴上一点A到B(-1,5)、C(3，4)的距离相等，设点A的坐标是A(0，y)，那么点A 的坐标是_____________．6．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）在一块长方形镜面玻璃的四周，镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子．镜子的长与宽的比是3:1．已知镜面玻璃的价格是每平方米100元，边框的价格是每米20元，另外制作这面镜子还需加工费55元．如果制作这面镜子共花了210元，求这面镜子的长是__________，宽是___________．7．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）方程的解是________；8．（2020·上海市静安区实验中学八年级期中）某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设原计划每天加工x套，则根据题意可得方程为______三、解答题9．（2020·上海嘉定区·八年级期末）解方程：能力提升一、单选题1．（2020·上海浦东新区·八年级期末）下列方程中有实数解的是（ ）A．x2+3x+4＝0 B．+1＝0 C．＝ D．＝﹣x2．（2020·上海八年级期中）下列关于x的方程中，一定有实数根的是（ ）A．ax+1＝0 B．x5﹣a＝0 C． D．＝a3．（2020·上海市南汇第四中学八年级月考）下列方程中，有实数根的是（ ）A． B．C． D．4．（2020·上海市云岭实验中学八年级月考）下列方程有实数解的是（ ）A． B．C． D．5．（2020·上海浦东新区·八年级期末）下列方程中，一定有实数解的是（ ）A． B． C． D．6．（2020·上海浦东新区·上外浦东附中八年级期中）若方程 ax2bxc0(a 0) 中，a，b，c 满足 a+b+c=0 和 a-b+c=0，则方程 ax2bx c0 的两个根分 别是（ ）A．1，0 B．-1，0 C．1，-1 D．无法确定7．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如果方程有两个不同的实数解，那么p的取值范围是（ ）A． B． C． D．二、填空题8．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知方程和方程的解完全相同，则=____.9．（2020·上海市南汇第四中学八年级月考）方程的根是__________________．10．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如果的值与-x的值相等，那么x=__________．11．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）解方程，如果设__________=y，那么得到关于y的整式方程是______________________________． 12．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）一件工程要在计划日期内完成，如果甲单独做，刚好在计划日期完成，如果乙单独做，就要超过3天完成，现在由甲乙两人合作2天，剩下的工作由乙单独做，刚好在计划日期完成，那么计划日期是________天．13．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）一直小船顺水行驶9千米，再逆水行驶6千米，共用了3小时，又知小船顺水行驶12千米比逆水行驶12千米少用1小时，设小船在静水中的速度为x千米/时，水流的速度为y千米/时，可列方程组_______________________．14．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如果点A(3，4)，B(5，a)两点之间的距离是4，那么a=_____________．15．（2020·上海市静安区实验中学八年级期中）用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程化为关于的整式方程可以是 .三、解答题16．（2020·上海浦东新区·八年级期末）解方程：+＝17．（2020·上海市南汇第四中学八年级月考）18．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知购买甲种物品比乙种物品每件贵5元，某人用款300元买到甲种物品10件和乙种物品若干件．这时，他买到甲、乙物品的总件数比把这笔款全部购买甲种物品的件数多5件，问甲、乙物品每件各多少元？19．（2020·上海市南汇第四中学八年级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线的图像经过点，且与直线的图像轴交于点．（1）求的值；（2）求点的坐标．（3）求当取何值时，直线位于直线的下方．20．（2020·上海松江区·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正比例函数的图像与反比例函数的图像都经过点A（2，m）．(1)求反比例函数的解析式；(2)点B在轴的上，且OA=BA，反比例函数图像上有一点C，且∠ABC=90°，求点C坐标． 第7讲 代数方程的复习（练习）夯实基础一、单选题1．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）某石油进口国这个月的石油进口量比上个月减少了5％，由于国际油价上涨，这个月进口石油的费用反而比上个月增加了14％．求这个月的石油价格相比上个月的增长率为．根据题意，得（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】设这个月的石油价格相比上个月的增长率为，根据这个月进口石油的费用反而比上个月增加了14%列出方程即可．【详解】设这个月的石油价格相比上个月的增长率为，根据题意得，故选：B．【点睛】本题考查了增长率的问题，列出一元一次方程，注意找到正确的等量关系．2．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）在下列方程中，有实数根的是（ ）A． B．C． D．【答案】A【分析】一元二次方程要有实数根，则△≥0；算术平方根不能为负数；二次根式有意义，则被开方数大于等于0；分式方程化简后求出的根要满足原方程；即可作出判断.【详解】解：A、，方程有两个不相等的实数根，故A正确；B、算数平方根没有负数，则没有实数根，故B错误；C、中，则，，则没有实数根，故C错误；D、，解得使分母等于0，则方程无实数根，故D错误；故选择：A.【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系，算术平方根的定义，二次根式的定义，解分式方程，解题的关键是注意解分式方程要验根.二、填空题3．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）x=___________时，函数y=3x-2与函数y=5x+1有相同的函数值．【答案】-【解析】本题考查了函数值.根据有相同的函数值，也就是y的值相等解答解：由题意得：3x-2=5x+1解得：x=-4．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）根号内含有______________的方程叫做无理方程；_______________和_______________统称为有理方程．【答案】未知数的代数式 整式方程 分式方程 【分析】根据有理方程和无理方程的概念解答.【详解】解：根号内含有未知数的代数式的方程叫做无理方程，整式方程和分式方程统称为有理方程.故答案为：未知数的代数式；整式方程；分式方程.【点睛】本题考查了方程的分类，掌握有理方程和无理方程的概念是解题的关键.5．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）y轴上一点A到B(-1,5)、C(3，4)的距离相等，设点A的坐标是A(0，y)，那么点A 的坐标是_____________．【答案】．【分析】根据AB=AC，可得AB2=AC2，由此可列出方程，求解即可．【详解】解：根据AB=AC，可得AB2=AC2，即，即解得．所以，点A的坐标为：．故答案为：．【点睛】本题考查两点之间的距离公式．能根据两点之间的距离公式列出方程是解决此题的关键．6．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）在一块长方形镜面玻璃的四周，镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子．镜子的长与宽的比是3:1．已知镜面玻璃的价格是每平方米100元，边框的价格是每米20元，另外制作这面镜子还需加工费55元．如果制作这面镜子共花了210元，求这面镜子的长是__________，宽是___________．【答案】1.5； 0.5 【分析】根据题意设这面镜子的宽为x米，则长为3x米，由边框的钱数加上玻璃的钱数加上加工费等于210元列出方程解出即可．【详解】设这面镜子的宽为x米，则长为3x米，由题意得(x+3x)×2×20+3x×x×100+55=210解得：x=0.5∴3x=1.5（m），答：这面镜子的长是1.5m，宽是0.5m，故答案为：1.5；0.5．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用问题，准确找到等量关系列出方程式是解题的关键．7．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）方程的解是________；【答案】【分析】根据得或，解出x的值并检验即可．【详解】解：∵∴或经检验，为原方程的增根，应舍去所以，原方程的根是．故答案为：．【点睛】本题考查了无理方程，解题的关键是掌握解法，并注意检验．8．（2020·上海市静安区实验中学八年级期中）某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设原计划每天加工x套，则根据题意可得方程为______【答案】【分析】根据采用了新技术前所用的时间（天）+采用了新技术后所用的时间（天）=18天列方程即可．【详解】设原计划每天加工x套，根据题意得，故答案为：．【点睛】本题考查了分式方程的应用．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．三、解答题9．（2020·上海嘉定区·八年级期末）解方程：【答案】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解: 经检验：是原方程的根， 是增根，舍去. ∴原方程的根是.【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．能力提升一、单选题1．（2020·上海浦东新区·八年级期末）下列方程中有实数解的是（ ）A．x2+3x+4＝0 B．+1＝0 C．＝ D．＝﹣x【答案】D【分析】求出判别式即可判断A；根据算术平方根是一个非负数即可判断B；求出方程的解，代入x﹣3进行检验，即可判断C；解方程可得x＝0，进行检验，即可判断D．【详解】解：A、x2+3x+4＝0，△＝32﹣4×1×4＝﹣7＜0，即此方程无实数解，故本选项错误；B、可得＝﹣1，∵算术平方根是一个非负数，∴此方程无实数解，故本选项错误；C、＝，方程两边都乘（x﹣3）得：x＝3，∵x＝3代入x﹣3＝0，∴x＝3是原方程的增根，即原方程无解，故本选项错误；D、＝﹣x，x＝x2，解得x1＝0，x2＝1（是增根，舍去），故本选项正确；故选：D．【点睛】本题考查了无理方程：根号内含有未知数的方程叫无理方程；解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，常常采用平方法去根号．2．（2020·上海八年级期中）下列关于x的方程中，一定有实数根的是（ ）A．ax+1＝0 B．x5﹣a＝0 C． D．＝a【答案】B【分析】利用a＝0可对A进行判断；利用开方运算可求出x，则可对B进行判断；通过解分式方程对C进行判断；利用a＜0可对D进行判断．【详解】A、当a＝0时，方程ax+1＝0无解；B、x5＝a，则x＝；C、去分母得x＝a，检验x＝a时，x﹣a＝0，所以原方程无解；D、当a＜0时，方程＝a无解．故选：B．【点睛】本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等． 用乘方法来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．也考查了分式方程的解．3．（2020·上海市南汇第四中学八年级月考）下列方程中，有实数根的是（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据二次根式的性质逐项分析即可．【详解】A．∵x2+2≥2， ∴，故不正确；B．∵x-2≥0且2-x≥0，∴x=2，∴，故不正确；C．∵，∴，故不正确；D．∵x+1≥0，-x≥0，∴-1≤x≤0． ∵，∴x+1=x2，∴x2-x-1=0，∵∆=1+4=5＞0，∴x1=，x2=（舍去），∴有实数根，符合题意．故选D．【点睛】本题考查了二次根式的性质，无理方程的解法，以及一元二次方程的解法，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．4．（2020·上海市云岭实验中学八年级月考）下列方程有实数解的是（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】A选项根据等式左右两边的大小关系可以判断该方程是否有实根． B.解分式方程，进行验根即可得解； C选项根据等式左右两边的大小关系可以判断该方程是否有实根．D选项根据被开方数的非负性，容易求出x的大小，从而判断选项的正确与否．【详解】A. 中可得，此不等式组无解，即原方程无解，故A错误； B. ，去分母得整理得，5-x=3，解得x=2，经检验，原方程无解.C. 中，故原方程无解；D. 中x-1≥0，1-x≤0，可以得到x=1，检验x=1为方程的解.故选D．【点睛】本题考查了二次根式的非负性，同时也考查了解根式方程的基本方法，即将根式方程转化为整式方程，它体现数学中的转化思想．5．（2020·上海浦东新区·八年级期末）下列方程中，一定有实数解的是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先逐个对每一项的方程分析求解，即可得出结论．【详解】A. 通过移项得, 原方程有实数解，故本选项错误，B.方程 ，△=16>0，原方程有实数解，故本选项正确，C.解方程得，此时最简公分母为0，原方程没有实数解，故本选项错误，D项通过移项可知任何数的算术平方根都不可能为负数，故等式不成立，故本选项错误.故选B.【点睛】考查了无理方程，根的判别式以及分式方程的解法，在解无理方程时最常用的方法是两边平方法.6．（2020·上海浦东新区·上外浦东附中八年级期中）若方程 ax2bxc0(a 0) 中，a，b，c 满足 a+b+c=0 和 a-b+c=0，则方程 ax2bx c0 的两个根分 别是（ ）A．1，0 B．-1，0 C．1，-1 D．无法确定【答案】C【分析】由ax2+bx+c=0，可得：当x=1时，有a+b+c=0；当x=-1时，有a-b+c=0，故问题可求．【详解】由题意，一元二次方程ax2+bx+c=0，满足a−b+c=0，∴当x=−1时，一元二次方程ax2+bx+c=0即为：a×(−1)2+b×(−1)+c=0；∴a−b+c=0，∴当x=1时，代入方程ax2+bx+c=0，有a+b+c=0；方程的根是x1=1，x2=−1.故选:C.【点睛】考查一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解.7．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如果方程有两个不同的实数解，那么p的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先将无理方程化为一元二次方程，根据根的判别式可求得，再根据根与系数关系可求得，由此可得p的取值范围．【详解】解：∵，∴，，∵方程有两个不同的实数解，∴，解得：．又∵方程的两根，∴，即，∴，故选：D．【点睛】本题考查无理方程，一元二次方程根的判别式，根与系数关系．需注意本题中容易忽略由一个数的算术平方根是非负数，得出，从而根据根与系数关系得出．二、填空题8．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知方程和方程的解完全相同，则=____.【答案】1【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；分别解两个方程，解出的根使得两个方程的根相等，即可求得a的值．【详解】解方程（x+a）（x-3）=0，可得x=-a或x=3；解方程x2-2x-3=0，可得x=3或-1；∵两个方程的解相同，∴a=1．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，关键是求出方程的解．9．（2020·上海市南汇第四中学八年级月考）方程的根是__________________．【答案】x=2【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围，再根据乘法法则转化为一元一次方程求解即可．【详解】∵x+1≥0，x-2≥0，∴x≥2．∵，∴x+1=0或x-2=0，∴x1=-1（舍去），x2=2．故答案为：x=2．【点睛】本题考查了无理方程的解法，根据代数式有意义的条件求出未知数的取值范围是本题的易错点．10．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如果的值与-x的值相等，那么x=__________．【答案】-5【分析】两边平方得到，求出方程的解，把此方程的解代入原方程检验即可得出答案．【详解】解：根据题意得：，两边平方得：，即，，或，解得 ，检验：当时，，当时，，所以x=-5，故答案为：-5．【点睛】本题考查无理方程，解一元二次方程．能将无理方程转化成一元二次方程是解决此题的关键．需注意：因为一个数的算术平方根是非负的，所以一元二次方程的解中可能有不符合无理方程的解，结果一定要检验．11．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）解方程，如果设__________=y，那么得到关于y的整式方程是______________________________． 【答案】； 【分析】根据换元法进行替换即可；【详解】解：由题可知，若要得到y的整式方程，则令y=，可得，，故答案为：；；【点睛】本题主要考查了换元法解分式方程，掌握换元法解分式方程是解题的关键.12．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）一件工程要在计划日期内完成，如果甲单独做，刚好在计划日期完成，如果乙单独做，就要超过3天完成，现在由甲乙两人合作2天，剩下的工作由乙单独做，刚好在计划日期完成，那么计划日期是________天．【答案】6【分析】本题用到的关系为：工作时间=工作总量÷工作效率．可根据甲做2天的工作量+乙全程的工作量=1来列方程求解．【详解】设计划日期是x天，把一件工程看做1，那么甲的工作效率是1/x，乙的工作效率是1/(x+3)，根据题意列方程：，解得x=6，∴计划日期是6天.【点睛】此题考查了由实际问题抽象出分式方程找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题用到的关系为：工作时间=工作总量÷工作效率，当题中没有一些必须的量时，为了简便，应设其为1．13．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）一直小船顺水行驶9千米，再逆水行驶6千米，共用了3小时，又知小船顺水行驶12千米比逆水行驶12千米少用1小时，设小船在静水中的速度为x千米/时，水流的速度为y千米/时，可列方程组_______________________．【答案】【分析】先根据小船在静水中的速度为x千米/时，水流的速度为y千米/时，求出顺水速度为x+y，逆水速度为x-y，再根据题意列方程组即可.【详解】∵小船在静水中的速度为x千米/时，水流的速度为y千米/时，∴顺水速度x+y，逆水速度x-y，∴，故答案为.【点睛】本考查列方程组，根据题意找出等量关系是解题的关键．解题时需注意顺水速度和逆水速度的求法.14．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如果点A(3，4)，B(5，a)两点之间的距离是4，那么a=_____________．【答案】．【分析】根据两点之间的距离公式，列出无理方程，求解即可．【详解】解：因为点A(3，4)，B(5，a)两点之间的距离是4，所以，即，，，．故答案为：．【点睛】本题考查两点之间的距离公式，解无理方程，解一元二次方程．能利用两点之间的距离公式列出无理方程是解决此题的关键．15．（2020·上海市静安区实验中学八年级期中）用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程化为关于的整式方程可以是 .【答案】【分析】由题意化，再把换元后的方程去分母即可得到结果.【详解】由题意得，∴.故答案为.三、解答题16．（2020·上海浦东新区·八年级期末）解方程：+＝【答案】x＝2【分析】根据解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论，依次计算可得．【详解】解：+＝方程两边都乘以（x+1）（x﹣1），得：4+2（x﹣1）＝x（x+1），整理，得：x2﹣x﹣2＝0，解得：x＝﹣1或x＝2，检验：x＝﹣1时，（x+1）（x﹣1）＝0，舍去；x＝2时，（x+1）（x﹣1）＝3≠0；所以分式方程的解为x＝2．【点睛】本题考查了解分式方程，熟记解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解题的关键，注意验根．17．（2020·上海市南汇第四中学八年级月考）【答案】y=44【分析】先根据二次根式有意义的条件求出y的取值范围，然后通过平方化为整式方程求解．【详解】∵2y-7≥0，y+5≥0，∴y≥．∵，∴，∴2y-7=4+4+y+5，∴y-16=4，∴y2-32y+256=16y+80，∴y2-48y+176=0，∴(y-4)(y-44)=0，∴y1=4，y2=44，经检验：y1=4（舍），y2=44．∴y=44是原方程的解．【点睛】本题考查了无理方程的解法，通过平方转化为有理方程求解是解答本题的关键．18．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知购买甲种物品比乙种物品每件贵5元，某人用款300元买到甲种物品10件和乙种物品若干件．这时，他买到甲、乙物品的总件数比把这笔款全部购买甲种物品的件数多5件，问甲、乙物品每件各多少元？【答案】15，10【分析】通过理解题意可知本题存在两个等量关系：购买甲种物品比乙种物品每件贵5元；300元买到甲种物品10件和乙种物品且买到甲、乙物品的总件数，比把这笔款全都购买甲种物品的件数多5件．根据这两个等量关系可列出方程组．【详解】设甲、乙物品每件分别是x，y元，根据题意可得，，解得：，答：甲、乙物品每件分别是15，10元．【点睛】本题考查方程的应用，解题的关键是从题中找出关键的描述语，找到合适的等量关系列出方程组．19．（2020·上海市南汇第四中学八年级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线的图像经过点，且与直线的图像轴交于点．（1）求的值；（2）求点的坐标．（3）求当取何值时，直线位于直线的下方．【答案】（1）m=12；（2）C(4，4)；（3）x＞4【分析】（1）把代入即可求出m的值；（2）联立和，求出方程组的解，即可求出点C的坐标；（3）直接根据图像解答即可．【详解】（1）把代入，得，∴m=12；（2）解，得，∴C(4，4)；（3）由图像可知，当x＞4时，直线位于直线的下方．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，二元一次方程组的解与一次函数图像交点的关系，利用函数图像解不等式等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．20．（2020·上海松江区·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正比例函数的图像与反比例函数的图像都经过点A（2，m）．(1)求反比例函数的解析式；(2)点B在轴的上，且OA=BA，反比例函数图像上有一点C，且∠ABC=90°，求点C坐标．【答案】（1）反比例函数的解析式为：；（2）点C坐标为（4，）.【分析】（1）将点A坐标代入正比例函数解析式求出m，可得点A的完整坐标，再将点A代入反比例函数的解析式求出k即可；（2）过点A作AD垂直OB于D，根据等腰三角形三线合一可得OD=BD，求出B点坐标，利用两点间距离公式表示出AB、BC和AC，根据∠ABC=90°利用勾股定理列出方程，解方程即可解决问题.【详解】解：（1）将点A（2，m）代入，得：，∴A（2，），将点A（2，）代入得：，∴，∴反比例函数的解析式为：；（2）过点A作AD垂直OB于D，∵OA=BA，∴OD=BD，∵A（2，），∴OD=2，∴OB=4，即B（4，0），设点C坐标为（a，），则，，，∵∠ABC=90°，∴，即，整理得：，解得：a=4或-3，经检验，a=4或-3均是分式方程的解，∵x＞0，∴a=4，∴点C坐标为（4，）.【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、两点间距离公式、勾股定理以及解分式方程和一元二次方程等知识，灵活运用相关知识进行推理计算是解答本题的关键.
第7讲 代数方程的复习（练习）夯实基础一、单选题1．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）某石油进口国这个月的石油进口量比上个月减少了5％，由于国际油价上涨，这个月进口石油的费用反而比上个月增加了14％．求这个月的石油价格相比上个月的增长率为．根据题意，得（ ）A． B．C． D．2．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）在下列方程中，有实数根的是（ ）A． B．C． D．二、填空题3．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）x=___________时，函数y=3x-2与函数y=5x+1有相同的函数值．4．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）根号内含有______________的方程叫做无理方程；_______________和_______________统称为有理方程．5．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）y轴上一点A到B(-1,5)、C(3，4)的距离相等，设点A的坐标是A(0，y)，那么点A 的坐标是_____________．6．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）在一块长方形镜面玻璃的四周，镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子．镜子的长与宽的比是3:1．已知镜面玻璃的价格是每平方米100元，边框的价格是每米20元，另外制作这面镜子还需加工费55元．如果制作这面镜子共花了210元，求这面镜子的长是__________，宽是___________．7．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）方程的解是________；8．（2020·上海市静安区实验中学八年级期中）某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设原计划每天加工x套，则根据题意可得方程为______三、解答题9．（2020·上海嘉定区·八年级期末）解方程：能力提升一、单选题1．（2020·上海浦东新区·八年级期末）下列方程中有实数解的是（ ）A．x2+3x+4＝0 B．+1＝0 C．＝ D．＝﹣x2．（2020·上海八年级期中）下列关于x的方程中，一定有实数根的是（ ）A．ax+1＝0 B．x5﹣a＝0 C． D．＝a3．（2020·上海市南汇第四中学八年级月考）下列方程中，有实数根的是（ ）A． B．C． D．4．（2020·上海市云岭实验中学八年级月考）下列方程有实数解的是（ ）A． B．C． D．5．（2020·上海浦东新区·八年级期末）下列方程中，一定有实数解的是（ ）A． B． C． D．6．（2020·上海浦东新区·上外浦东附中八年级期中）若方程 ax2bxc0(a 0) 中，a，b，c 满足 a+b+c=0 和 a-b+c=0，则方程 ax2bx c0 的两个根分 别是（ ）A．1，0 B．-1，0 C．1，-1 D．无法确定7．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如果方程有两个不同的实数解，那么p的取值范围是（ ）A． B． C． D．二、填空题8．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知方程和方程的解完全相同，则=____.9．（2020·上海市南汇第四中学八年级月考）方程的根是__________________．10．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如果的值与-x的值相等，那么x=__________．11．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）解方程，如果设__________=y，那么得到关于y的整式方程是______________________________． 12．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）一件工程要在计划日期内完成，如果甲单独做，刚好在计划日期完成，如果乙单独做，就要超过3天完成，现在由甲乙两人合作2天，剩下的工作由乙单独做，刚好在计划日期完成，那么计划日期是________天．13．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）一直小船顺水行驶9千米，再逆水行驶6千米，共用了3小时，又知小船顺水行驶12千米比逆水行驶12千米少用1小时，设小船在静水中的速度为x千米/时，水流的速度为y千米/时，可列方程组_______________________．14．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如果点A(3，4)，B(5，a)两点之间的距离是4，那么a=_____________．15．（2020·上海市静安区实验中学八年级期中）用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程化为关于的整式方程可以是 .三、解答题16．（2020·上海浦东新区·八年级期末）解方程：+＝17．（2020·上海市南汇第四中学八年级月考）18．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知购买甲种物品比乙种物品每件贵5元，某人用款300元买到甲种物品10件和乙种物品若干件．这时，他买到甲、乙物品的总件数比把这笔款全部购买甲种物品的件数多5件，问甲、乙物品每件各多少元？19．（2020·上海市南汇第四中学八年级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线的图像经过点，且与直线的图像轴交于点．（1）求的值；（2）求点的坐标．（3）求当取何值时，直线位于直线的下方．20．（2020·上海松江区·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正比例函数的图像与反比例函数的图像都经过点A（2，m）．(1)求反比例函数的解析式；(2)点B在轴的上，且OA=BA，反比例函数图像上有一点C，且∠ABC=90°，求点C坐标． 第7讲 代数方程的复习（练习）夯实基础一、单选题1．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）某石油进口国这个月的石油进口量比上个月减少了5％，由于国际油价上涨，这个月进口石油的费用反而比上个月增加了14％．求这个月的石油价格相比上个月的增长率为．根据题意，得（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】设这个月的石油价格相比上个月的增长率为，根据这个月进口石油的费用反而比上个月增加了14%列出方程即可．【详解】设这个月的石油价格相比上个月的增长率为，根据题意得，故选：B．【点睛】本题考查了增长率的问题，列出一元一次方程，注意找到正确的等量关系．2．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）在下列方程中，有实数根的是（ ）A． B．C． D．【答案】A【分析】一元二次方程要有实数根，则△≥0；算术平方根不能为负数；二次根式有意义，则被开方数大于等于0；分式方程化简后求出的根要满足原方程；即可作出判断.【详解】解：A、，方程有两个不相等的实数根，故A正确；B、算数平方根没有负数，则没有实数根，故B错误；C、中，则，，则没有实数根，故C错误；D、，解得使分母等于0，则方程无实数根，故D错误；故选择：A.【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系，算术平方根的定义，二次根式的定义，解分式方程，解题的关键是注意解分式方程要验根.二、填空题3．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）x=___________时，函数y=3x-2与函数y=5x+1有相同的函数值．【答案】-【解析】本题考查了函数值.根据有相同的函数值，也就是y的值相等解答解：由题意得：3x-2=5x+1解得：x=-4．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）根号内含有______________的方程叫做无理方程；_______________和_______________统称为有理方程．【答案】未知数的代数式 整式方程 分式方程 【分析】根据有理方程和无理方程的概念解答.【详解】解：根号内含有未知数的代数式的方程叫做无理方程，整式方程和分式方程统称为有理方程.故答案为：未知数的代数式；整式方程；分式方程.【点睛】本题考查了方程的分类，掌握有理方程和无理方程的概念是解题的关键.5．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）y轴上一点A到B(-1,5)、C(3，4)的距离相等，设点A的坐标是A(0，y)，那么点A 的坐标是_____________．【答案】．【分析】根据AB=AC，可得AB2=AC2，由此可列出方程，求解即可．【详解】解：根据AB=AC，可得AB2=AC2，即，即解得．所以，点A的坐标为：．故答案为：．【点睛】本题考查两点之间的距离公式．能根据两点之间的距离公式列出方程是解决此题的关键．6．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）在一块长方形镜面玻璃的四周，镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子．镜子的长与宽的比是3:1．已知镜面玻璃的价格是每平方米100元，边框的价格是每米20元，另外制作这面镜子还需加工费55元．如果制作这面镜子共花了210元，求这面镜子的长是__________，宽是___________．【答案】1.5； 0.5 【分析】根据题意设这面镜子的宽为x米，则长为3x米，由边框的钱数加上玻璃的钱数加上加工费等于210元列出方程解出即可．【详解】设这面镜子的宽为x米，则长为3x米，由题意得(x+3x)×2×20+3x×x×100+55=210解得：x=0.5∴3x=1.5（m），答：这面镜子的长是1.5m，宽是0.5m，故答案为：1.5；0.5．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用问题，准确找到等量关系列出方程式是解题的关键．7．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）方程的解是________；【答案】【分析】根据得或，解出x的值并检验即可．【详解】解：∵∴或经检验，为原方程的增根，应舍去所以，原方程的根是．故答案为：．【点睛】本题考查了无理方程，解题的关键是掌握解法，并注意检验．8．（2020·上海市静安区实验中学八年级期中）某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设原计划每天加工x套，则根据题意可得方程为______【答案】【分析】根据采用了新技术前所用的时间（天）+采用了新技术后所用的时间（天）=18天列方程即可．【详解】设原计划每天加工x套，根据题意得，故答案为：．【点睛】本题考查了分式方程的应用．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．三、解答题9．（2020·上海嘉定区·八年级期末）解方程：【答案】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解: 经检验：是原方程的根， 是增根，舍去. ∴原方程的根是.【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．能力提升一、单选题1．（2020·上海浦东新区·八年级期末）下列方程中有实数解的是（ ）A．x2+3x+4＝0 B．+1＝0 C．＝ D．＝﹣x【答案】D【分析】求出判别式即可判断A；根据算术平方根是一个非负数即可判断B；求出方程的解，代入x﹣3进行检验，即可判断C；解方程可得x＝0，进行检验，即可判断D．【详解】解：A、x2+3x+4＝0，△＝32﹣4×1×4＝﹣7＜0，即此方程无实数解，故本选项错误；B、可得＝﹣1，∵算术平方根是一个非负数，∴此方程无实数解，故本选项错误；C、＝，方程两边都乘（x﹣3）得：x＝3，∵x＝3代入x﹣3＝0，∴x＝3是原方程的增根，即原方程无解，故本选项错误；D、＝﹣x，x＝x2，解得x1＝0，x2＝1（是增根，舍去），故本选项正确；故选：D．【点睛】本题考查了无理方程：根号内含有未知数的方程叫无理方程；解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，常常采用平方法去根号．2．（2020·上海八年级期中）下列关于x的方程中，一定有实数根的是（ ）A．ax+1＝0 B．x5﹣a＝0 C． D．＝a【答案】B【分析】利用a＝0可对A进行判断；利用开方运算可求出x，则可对B进行判断；通过解分式方程对C进行判断；利用a＜0可对D进行判断．【详解】A、当a＝0时，方程ax+1＝0无解；B、x5＝a，则x＝；C、去分母得x＝a，检验x＝a时，x﹣a＝0，所以原方程无解；D、当a＜0时，方程＝a无解．故选：B．【点睛】本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等． 用乘方法来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．也考查了分式方程的解．3．（2020·上海市南汇第四中学八年级月考）下列方程中，有实数根的是（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据二次根式的性质逐项分析即可．【详解】A．∵x2+2≥2， ∴，故不正确；B．∵x-2≥0且2-x≥0，∴x=2，∴，故不正确；C．∵，∴，故不正确；D．∵x+1≥0，-x≥0，∴-1≤x≤0． ∵，∴x+1=x2，∴x2-x-1=0，∵∆=1+4=5＞0，∴x1=，x2=（舍去），∴有实数根，符合题意．故选D．【点睛】本题考查了二次根式的性质，无理方程的解法，以及一元二次方程的解法，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．4．（2020·上海市云岭实验中学八年级月考）下列方程有实数解的是（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】A选项根据等式左右两边的大小关系可以判断该方程是否有实根． B.解分式方程，进行验根即可得解； C选项根据等式左右两边的大小关系可以判断该方程是否有实根．D选项根据被开方数的非负性，容易求出x的大小，从而判断选项的正确与否．【详解】A. 中可得，此不等式组无解，即原方程无解，故A错误； B. ，去分母得整理得，5-x=3，解得x=2，经检验，原方程无解.C. 中，故原方程无解；D. 中x-1≥0，1-x≤0，可以得到x=1，检验x=1为方程的解.故选D．【点睛】本题考查了二次根式的非负性，同时也考查了解根式方程的基本方法，即将根式方程转化为整式方程，它体现数学中的转化思想．5．（2020·上海浦东新区·八年级期末）下列方程中，一定有实数解的是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先逐个对每一项的方程分析求解，即可得出结论．【详解】A. 通过移项得, 原方程有实数解，故本选项错误，B.方程 ，△=16>0，原方程有实数解，故本选项正确，C.解方程得，此时最简公分母为0，原方程没有实数解，故本选项错误，D项通过移项可知任何数的算术平方根都不可能为负数，故等式不成立，故本选项错误.故选B.【点睛】考查了无理方程，根的判别式以及分式方程的解法，在解无理方程时最常用的方法是两边平方法.6．（2020·上海浦东新区·上外浦东附中八年级期中）若方程 ax2bxc0(a 0) 中，a，b，c 满足 a+b+c=0 和 a-b+c=0，则方程 ax2bx c0 的两个根分 别是（ ）A．1，0 B．-1，0 C．1，-1 D．无法确定【答案】C【分析】由ax2+bx+c=0，可得：当x=1时，有a+b+c=0；当x=-1时，有a-b+c=0，故问题可求．【详解】由题意，一元二次方程ax2+bx+c=0，满足a−b+c=0，∴当x=−1时，一元二次方程ax2+bx+c=0即为：a×(−1)2+b×(−1)+c=0；∴a−b+c=0，∴当x=1时，代入方程ax2+bx+c=0，有a+b+c=0；方程的根是x1=1，x2=−1.故选:C.【点睛】考查一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解.7．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如果方程有两个不同的实数解，那么p的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先将无理方程化为一元二次方程，根据根的判别式可求得，再根据根与系数关系可求得，由此可得p的取值范围．【详解】解：∵，∴，，∵方程有两个不同的实数解，∴，解得：．又∵方程的两根，∴，即，∴，故选：D．【点睛】本题考查无理方程，一元二次方程根的判别式，根与系数关系．需注意本题中容易忽略由一个数的算术平方根是非负数，得出，从而根据根与系数关系得出．二、填空题8．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知方程和方程的解完全相同，则=____.【答案】1【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；分别解两个方程，解出的根使得两个方程的根相等，即可求得a的值．【详解】解方程（x+a）（x-3）=0，可得x=-a或x=3；解方程x2-2x-3=0，可得x=3或-1；∵两个方程的解相同，∴a=1．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，关键是求出方程的解．9．（2020·上海市南汇第四中学八年级月考）方程的根是__________________．【答案】x=2【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围，再根据乘法法则转化为一元一次方程求解即可．【详解】∵x+1≥0，x-2≥0，∴x≥2．∵，∴x+1=0或x-2=0，∴x1=-1（舍去），x2=2．故答案为：x=2．【点睛】本题考查了无理方程的解法，根据代数式有意义的条件求出未知数的取值范围是本题的易错点．10．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如果的值与-x的值相等，那么x=__________．【答案】-5【分析】两边平方得到，求出方程的解，把此方程的解代入原方程检验即可得出答案．【详解】解：根据题意得：，两边平方得：，即，，或，解得 ，检验：当时，，当时，，所以x=-5，故答案为：-5．【点睛】本题考查无理方程，解一元二次方程．能将无理方程转化成一元二次方程是解决此题的关键．需注意：因为一个数的算术平方根是非负的，所以一元二次方程的解中可能有不符合无理方程的解，结果一定要检验．11．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）解方程，如果设__________=y，那么得到关于y的整式方程是______________________________． 【答案】； 【分析】根据换元法进行替换即可；【详解】解：由题可知，若要得到y的整式方程，则令y=，可得，，故答案为：；；【点睛】本题主要考查了换元法解分式方程，掌握换元法解分式方程是解题的关键.12．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）一件工程要在计划日期内完成，如果甲单独做，刚好在计划日期完成，如果乙单独做，就要超过3天完成，现在由甲乙两人合作2天，剩下的工作由乙单独做，刚好在计划日期完成，那么计划日期是________天．【答案】6【分析】本题用到的关系为：工作时间=工作总量÷工作效率．可根据甲做2天的工作量+乙全程的工作量=1来列方程求解．【详解】设计划日期是x天，把一件工程看做1，那么甲的工作效率是1/x，乙的工作效率是1/(x+3)，根据题意列方程：，解得x=6，∴计划日期是6天.【点睛】此题考查了由实际问题抽象出分式方程找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题用到的关系为：工作时间=工作总量÷工作效率，当题中没有一些必须的量时，为了简便，应设其为1．13．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）一直小船顺水行驶9千米，再逆水行驶6千米，共用了3小时，又知小船顺水行驶12千米比逆水行驶12千米少用1小时，设小船在静水中的速度为x千米/时，水流的速度为y千米/时，可列方程组_______________________．【答案】【分析】先根据小船在静水中的速度为x千米/时，水流的速度为y千米/时，求出顺水速度为x+y，逆水速度为x-y，再根据题意列方程组即可.【详解】∵小船在静水中的速度为x千米/时，水流的速度为y千米/时，∴顺水速度x+y，逆水速度x-y，∴，故答案为.【点睛】本考查列方程组，根据题意找出等量关系是解题的关键．解题时需注意顺水速度和逆水速度的求法.14．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如果点A(3，4)，B(5，a)两点之间的距离是4，那么a=_____________．【答案】．【分析】根据两点之间的距离公式，列出无理方程，求解即可．【详解】解：因为点A(3，4)，B(5，a)两点之间的距离是4，所以，即，，，．故答案为：．【点睛】本题考查两点之间的距离公式，解无理方程，解一元二次方程．能利用两点之间的距离公式列出无理方程是解决此题的关键．15．（2020·上海市静安区实验中学八年级期中）用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程化为关于的整式方程可以是 .【答案】【分析】由题意化，再把换元后的方程去分母即可得到结果.【详解】由题意得，∴.故答案为.三、解答题16．（2020·上海浦东新区·八年级期末）解方程：+＝【答案】x＝2【分析】根据解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论，依次计算可得．【详解】解：+＝方程两边都乘以（x+1）（x﹣1），得：4+2（x﹣1）＝x（x+1），整理，得：x2﹣x﹣2＝0，解得：x＝﹣1或x＝2，检验：x＝﹣1时，（x+1）（x﹣1）＝0，舍去；x＝2时，（x+1）（x﹣1）＝3≠0；所以分式方程的解为x＝2．【点睛】本题考查了解分式方程，熟记解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解题的关键，注意验根．17．（2020·上海市南汇第四中学八年级月考）【答案】y=44【分析】先根据二次根式有意义的条件求出y的取值范围，然后通过平方化为整式方程求解．【详解】∵2y-7≥0，y+5≥0，∴y≥．∵，∴，∴2y-7=4+4+y+5，∴y-16=4，∴y2-32y+256=16y+80，∴y2-48y+176=0，∴(y-4)(y-44)=0，∴y1=4，y2=44，经检验：y1=4（舍），y2=44．∴y=44是原方程的解．【点睛】本题考查了无理方程的解法，通过平方转化为有理方程求解是解答本题的关键．18．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知购买甲种物品比乙种物品每件贵5元，某人用款300元买到甲种物品10件和乙种物品若干件．这时，他买到甲、乙物品的总件数比把这笔款全部购买甲种物品的件数多5件，问甲、乙物品每件各多少元？【答案】15，10【分析】通过理解题意可知本题存在两个等量关系：购买甲种物品比乙种物品每件贵5元；300元买到甲种物品10件和乙种物品且买到甲、乙物品的总件数，比把这笔款全都购买甲种物品的件数多5件．根据这两个等量关系可列出方程组．【详解】设甲、乙物品每件分别是x，y元，根据题意可得，，解得：，答：甲、乙物品每件分别是15，10元．【点睛】本题考查方程的应用，解题的关键是从题中找出关键的描述语，找到合适的等量关系列出方程组．19．（2020·上海市南汇第四中学八年级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线的图像经过点，且与直线的图像轴交于点．（1）求的值；（2）求点的坐标．（3）求当取何值时，直线位于直线的下方．【答案】（1）m=12；（2）C(4，4)；（3）x＞4【分析】（1）把代入即可求出m的值；（2）联立和，求出方程组的解，即可求出点C的坐标；（3）直接根据图像解答即可．【详解】（1）把代入，得，∴m=12；（2）解，得，∴C(4，4)；（3）由图像可知，当x＞4时，直线位于直线的下方．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，二元一次方程组的解与一次函数图像交点的关系，利用函数图像解不等式等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．20．（2020·上海松江区·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正比例函数的图像与反比例函数的图像都经过点A（2，m）．(1)求反比例函数的解析式；(2)点B在轴的上，且OA=BA，反比例函数图像上有一点C，且∠ABC=90°，求点C坐标．【答案】（1）反比例函数的解析式为：；（2）点C坐标为（4，）.【分析】（1）将点A坐标代入正比例函数解析式求出m，可得点A的完整坐标，再将点A代入反比例函数的解析式求出k即可；（2）过点A作AD垂直OB于D，根据等腰三角形三线合一可得OD=BD，求出B点坐标，利用两点间距离公式表示出AB、BC和AC，根据∠ABC=90°利用勾股定理列出方程，解方程即可解决问题.【详解】解：（1）将点A（2，m）代入，得：，∴A（2，），将点A（2，）代入得：，∴，∴反比例函数的解析式为：；（2）过点A作AD垂直OB于D，∵OA=BA，∴OD=BD，∵A（2，），∴OD=2，∴OB=4，即B（4，0），设点C坐标为（a，），则，，，∵∠ABC=90°，∴，即，整理得：，解得：a=4或-3，经检验，a=4或-3均是分式方程的解，∵x＞0，∴a=4，∴点C坐标为（4，）.【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、两点间距离公式、勾股定理以及解分式方程和一元二次方程等知识，灵活运用相关知识进行推理计算是解答本题的关键.
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