专题05：三角函数图像及性质（五大题型）-2024年新高考新题型试卷结构冲刺讲义

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A. B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【详解】由题，
得，
则或，
因为，所以，
.
故选：A
2.（9）（多选） 已知函数，则（ ）
A. 函数为偶函数
B. 曲线的对称轴为
C. 在区间单调递增
D. 的最小值为
【答案】AC
【解析】
【详解】
，
即，
对于A，，易知为偶函数，所以A正确；
对于B，对称轴为，故B错误；
对于C，，单调递减，则
单调递增，故C正确；
对于D，，则，所以，故D错误；
故选：AC
题型一：三角函数概念及诱导公式
【典例例题】
例1.（2024春·新高考）已知角的终边经过点，且，则的值是（ ）
A．B．C．12D．13
【答案】B
【详解】根据任意角三角函数定义，
，所以.
故选：B.
【变式训练】
1.（2024春·江西南昌）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．“为第一象限角”是“为第一象限角或第三象限角”的充分不必要条件
B．“，”是“”的充要条件
C．设，，则“”是“”的充分不必要条件
D．“”是“”的必要不充分条件
【答案】AC
【详解】对于A,因为为第一象限角，
所以，
则,
当为偶数时，为第一象限角，
当为奇数时，为第三象限角，
所以充分性成立；
当时，为第一象限角，则，为第二象限角，
即必要性不成立，故A正确；
对于B，当，时，
成立，则充分性成立；
当时，或，,
故必要性不成立，则B错误；
对于C，，
而，
则，故则“”是“”的充分不必要条件，故C正确；
对于D,当时，,
则，
则，故充分性成立，
当时，，
则，
则成立，
所以“”是“”的充要条件，故D错误，
故选：AC.
2.（2024春·广东省揭阳市）已知角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由于角的终边经过点，
所以，
所以.
故选：A
3.（2024春·广东省）已知，则（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
4.（2024春·广西桂林）已知，则（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
题型二：三角恒等变换
【典例例题】
例1.（2024春·湖北省）已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】因为，结合题设，
所以，而，
所以，
即，所以，
所以.
故选：D
【变式训练】
1.（2024春·江西省）（多选）下列等式正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【详解】对A，，A选项正确；
对B，，B选项正确；
对C，，C选项错误；
对D，
，所以D选项正确.
故选：ABD
2.（2024春·湖北省）（多选）计算下列各式的值，其结果为2的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【详解】对于A：
，A正确；
对于B：
，B错误；
对于C：
，C正确；
对于D：，D错误.
故选：AC.
3.（2024春·惠州市）已知，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】因为，
所以．
两边除以，得．
故选：D．
4.（2024春·广东省东莞市）已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】，即，
由，
故选：A.
题型三：三角函数的图像及性质
【典例例题】
例1.（2024春·新疆） 已知函数满足，若，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】因为满足，所以，
所以，，又，所以，
得，
因为，，
所以，所以，，
，
因为，所以.
故选：D.
【变式训练】
1.（2024春·广东省）关于函数的性质，下列叙述正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．是偶函数
C．的图象关于直线对称D．在区间上单调递增
【答案】BCD
【详解】做出函数的图象，且函数的定义域为，
由函数的图象可知，最小正周期为π，A错误；
又，所以是定义域上的偶函数，B正确；
根据函数的图象知，的图象关于直线对称，C正确；
根据的图象知，在区间上单调递增，D正确．
故选：BCD．

2.（2024春·湖南长沙）设函数，已知方程在上有且仅有2个根，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由题意可知，的图象与直线在上仅有2个交点，
由，得，
所以，解得：.
故选：C
3.（2024春·广东省东莞市）（多选）已知函数，，是的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 与对称轴相同B. 与周期相同
C. 的最大值是D. 不可能是奇函数
【答案】BC
【解析】
【详解】由题意知，所以，
对A：的对称轴为，，解得，；
的对称轴为，，解得，，
所以与的对称轴不相同，故A错误；
对B：的周期为，的周期为，
所以与的周期相同，故B正确；
对C：，
因为，所以，故C正确；
对D：当，，，
所以，此时为奇函数，故D错误；
故选：BC.
4.（2024春·黑龙江）（多选）若在上仅有一个最值，且为最大值，则的值可能为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】BD
【解析】
【详解】因为，所以，
所以由题意得，Z，
解得，Z,
为负整数时，的范围时小于零的，与已知不符.
时，；时，.
因为，故A不正确；由题可知BD正确，C不正确.
故选：BD．
题型四：三角函数图像变换问题
【典例例题】
例1.（2024春·湖北武汉）若函数的图象向左平移个单位长度后，其图象与函数的图象重合，则的值可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由题可得的图象与函数的图象重合，
则，即，，
解得，，故的值可以为.
故选：D．
【变式训练】
1.（2024春·河南郑州）将函数图象上所有点的横坐标都缩短到原来的，再向左平移个单位，得到函数的图象，则是（ ）
A. 周期为的奇函数B. 周期为的偶函数
C. 周期为的奇函数D. 周期为的偶函数
【答案】C
【解析】
【详解】将函数图象上所有点的横坐标都缩短到原来的，可得的图象，
再向左平移个单位，得到函数的图象，
故是周期为的奇函数.
故选：C.
2.（2024春·重庆）（多选）关于函数，则下列命题正确的是（ ）
A．的图象关于点对称
B．函数的最小正周期为
C．在区间上单调递增
D．将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，再把图象向右平移个单位长度得到的函数为
【答案】ACD
【详解】由于，所以，
故的图象关于点对称，A正确，
函数的最小正周期为，故B错误，
当时，，故C正确，
将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到，
再把图象向右平移个单位长度得到的函数为，D正确，
故选：ACD
3.（2024春·浙江）（多选）函数相邻两个最高点之间的距离为为的对称中心，将函数的图象向左平移后得到函数的图象，则（ ）
A．在上存在极值点
B．方程所有根的和为
C．若为偶函数，则正数的最小值为
D．若在上无零点，则正数的取值范围为
【答案】AC
【详解】依题意，，解得，由，得，
而，则，，，
对于A，当时，，显然当时，函数取得极大值，A正确；
对于B，由，得函数的图象关于点对称，直线过点，
因此直线与的图象交点关于点对称，共有个交点，
即方程共有个根，所有根的和为，不存在使得，B错误；
对于C，函数是偶函数，则，
，因此当时，正数取得最小值，C正确；
对于D，函数，当时，，
由在上无零点，得，
则，解得，显然，
即，于是，所以正数的取值范围为，D错误.
故选：AC
题型五：的图像及性质
【典例例题】
例1.（2024春·河北）函数的部分图像如图所示，则，的值分别是（ ）

A．2，B．2，C．2，D．4，
【答案】B
【详解】设的周期为，
则由图像知，
所以，则，
因为在处取得最大值，
所以，
得，
因为，
所以.
故选：B
【变式训练】
1.（2024春·广西南宁）（多选）在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．在适当的直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．，频率为，初相为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在上的值域为
D．若把图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位，则所得函数是
【答案】BCD
【详解】由图象可得，
频率是，
即，
，
对于A，，初相是，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，因为，所以，
在上的值域为，故C正确；
对于D，把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数为，
又向左平移个单位，得到的函数为，故D正确；
故选：BCD.
2.（2024春·安徽省合肥）（多选）已知函数的图象过点，，其部分图象如图所示，则（ ）
A.
B. 的图象关于直线对称
C. 在区间上单调递增
D. 将的图象向右平移个单位后所得图象关于原点对称
【答案】BC
【解析】
【详解】由图象得，，则，
由，因为，所以或，
又函数图象过点，由五点画图法知：，
若，所以，解得：；
若，所以，解得：；
由图可知，，则，解得：，所以，，
所以，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，，
可得在区间上单调递增,故C正确.
对于D，将图象向右平移个单位可得：
，不为奇函数，故D错误.
故选：BC.
3.（2024春·甘肃省）已知点是函数的图象的一个对称中心，则（ ）
A. 奇函数
B. ，
C. 若在区间上有且仅有条对称轴，则
D. 若在区间上单调递减，则或
【答案】BC
【解析】
【详解】依题意，点是函数的图象的一个对称中心，
所以，且①，B选项正确.
则，
所以
，
由于是奇数，所以是偶函数，
A选项错误.
C选项，，
将代入得：
，
整理得，
由于在区间上有且仅有条对称轴，
所以，解得，由于，所以，
对应，所以C选项正确.
D选项，在区间上单调递减，
，
将代入得：
，
整理得，
则，解得，而，所以或，
时，，符合单调性，
时，，不符合单调性，所以舍去
所以，所以D选项错误.
故选：BC
4.（2024春·广东省）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. 的单调递增区间是
B. 的单调递增区间是
C. 在上有3个零点
D. 将函数图象向左平移3个单位长度得到的图象所对应的函数为奇函数
【答案】AC
【解析】
【详解】由图象得，周期，得，
所以，．
令，解得，
故单调递增区间为．A正确，B错误；
令，解得，
令得，解得，可知C选项正确；
函数图象关于直线对称，向左平移3个单位长度，图象关于轴对称，得到的函数为偶函数，故D错误．
故选：AC．
一、单项选择
1.（2024春·广东深圳）若角的终边过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为角的终边过点，所以，所以.
故选：A
2．（2024春·湖南长沙）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，所以，所以，
所以.
故选：D
3.（2024春·江西）已知为锐角，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为为锐角，则，
则，
整理可得，解得，
所以，
.
故选：C.
4.（2024春·广州市）已知，，，则的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【详解】，
，
，分子分母同时除以得：
①，
由于，所以，所以，
所以，
所以，
即，代入①得：
，解得.
故选：B
5．（2024春·河北）已知函数满足对于任意都有.若函数在区间上有且仅有一个零点，则的最大值为（ ）
A．3B．C．D．5
【答案】A
【详解】因为，则在取得最值，
所以的图象关于直线对称，且，
又函数在区间上有且仅有一个零点，设的最小正周期为，
所以，即，所以.
所以的最大值为3.
故选：A.
6．（2024春·湖北武汉）如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意，则，所以，
设，因为，
所以，解得，
所以
，
所以，又由图可知，所以.
故选：B.
7．（2024春·四川）函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】函数图象向左平移个单位长度后，
得的图象，
由已知得，
所以，
所以，
所以，，
所以，，
因为，所以的最小值为3，
故选：C.
二、多项选择
8.（2024春·广州铁一中学）下列式子中，运算结果为1的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【详解】对A，，A正确；
对B，，B错误；
对C，，C错误；
对D，，D正确．
故选：AD.
9.（2024春·贵州黔东南）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．的图象关于点中心对称
C．的最小正周期是
D．在上有最大值，且最大值为
【答案】BCD
【详解】由，解得，
则函数的定义域为，
令，则，令函数，
当时，，，
且函数在上单调递增，在上单调递减，
而函数在上单调递增，因此函数在上单调递增，
在上单调递减，从而函数的图象不关于直线对称，A错误；
在上有最大值，且最大值为，D正确；
显然，
，
因此的图象关于点中心对称，B正确；
由对称性可得在上单调递减，在上单调递增，
则在上不具有周期性，又，
所以的最小正周期为，C正确.
故选：BCD
10．（2024春·湖南）已知函数在上单调，且，则的取值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【详解】因为在上单调，，
所以，
因为，所以，又，
如下图依次讨论对应为点四种情况，
若，则，满足；
若，则，满足；
由，若，则，满足；
若，则，不满足，其它情况均不符合.
故选：ACD
11．（2024春·广西桂林）关于函数有下述四个结论，其中结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．的图象关于点对称
D．在上单调递增
【答案】BCD
【详解】，
对于A，的最小正周期为，故A错误，
对于B, ,故的图象关于直线对称，B正确，
对于C，，故的图象关于点对称，C正确，
对于D，时，，故在上单调递增，D正确，
故选：BCD
12．（2024春·黑龙江齐齐哈尔）已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．当时，的最小正周期为
B．当时，的最小值为
C．当时，在区间上有4个零点
D．若在上单调递减，则
【答案】AB
【详解】当时，，所以的最小正周期为，A选项正确；
当时，，
所以的最小值为，B选项正确；
当时，，
令，解得或，此时或或，
在区间上有3个零点，C选项错误；
，设，
在上单调递减，则，根据复合函数的单调性，
在上单调递增，所以，解得，D选项错误.
故选：AB
13．（2024春·江苏）已知函数（，），且，，则（ ）
A．B．的最小正周期为
C．在上单调递减D．为奇函数
【答案】BC
【详解】解：因为函数（，），且，
所以，又，所以，故A错误；
，则， 则，
又，则，所以，故B正确；
，因为，所以，故C正确；
，为偶函数，故D错误，
故选：BC
14．（2024春·重庆）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的值域为
B．的对称中心为
C．在上的递增区间为
D．在上的极值点个数为1
【答案】ACD
【详解】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，时，，且关于单调递增，
又在时单调递增，
令，解得，
所以在上的递增区间为，故C正确；
对于D，时，，
在时，当且仅当，即时，函数有唯一极值点.
故选：ACD.
15．（2024春·山西吕梁）已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象先关于轴对称，然后再向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．函数为奇函数D．函数在区间上单调递增
【答案】AD
【详解】根据函数的部分图象，
可得A＝2，，∴ω＝2，
对于A选项，结合五点法作图，可得，故A正确，
，将函数的图象平移后得到函数的图象，
则，
对于B选项，由，得到的对称轴为，
显然不是其对称轴，故，故B错误，
对于C选项，函数显然不是奇函数，故C错误，
对于D选项，，的递增区间即的递减区间，
令，
解得，
故的递增区间是，
当时，的递增区间是，故D正确，
故选：AD．
16．（2024春·山东）已知函数的部分图像如图所示，则（ ）
A．
B．是图象的一条对称轴
C．在上有两个不相等的解，则
D．已知函数，当取最大值时，
【答案】ABD
【详解】对于A：因为周期，所以．
对于B：代入得，所以，
则，因为，所以，则，其对称轴为，所以是的对称轴．
对于C：因为，所以或，
因为，所以令，所以或有两个解，
结合的图像，与有一个交点，与有一个交点，共两个交点，所以符合题意，答案错误．
对于D：，
令，所以．
所以当时取到最大值，此时．
故选：ABD.
17．（2024春·江西南昌）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．图象的对称中心为
B．是奇函数
C．
D．在区间上单调递减
【答案】BC
【详解】因为，
对于A选项，由可得，
所以，函数图象的对称中心为，A错；
对于B选项，，
所以，为奇函数，B对；
对于C选项，，C对；
对于D选项，当时，，单调递减，
所以，在区间上单调递增，D错.
故选：BC.
18．（2024春·江西）已知函数（，，），若的图象过，，三点，其中点B为函数图象的最高点（如图所示），将图象上的每个点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）

A．B．
C．的图象关于直线对称D．在上单调递减
【答案】BC
【详解】由题意得，，，所以，.
由，得，由图知在上单调递增，
所以，，所以，.
又，只可能，所以，
所以，，故A错误，B正确；
因为，所以的图象关于直线对称，故C正确；
令（），解得（），
令，得，又包含但不是其子集，故D错误.
故选：BC.
三、填空题
20.（2024春·广东实验中学1月段考）已知均为锐角，且，若，则________.
【答案】5
【解析】
【详解】由，可得2sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]
所以2[sin(α＋β)cs α＋cs(α＋β)sin α]＝3[sin(α＋β)cs α－cs(α＋β)sin α]
从而sin(α＋β)cs α＝5cs(α＋β)sin α，所以tan(α＋β)＝5tan α，所以.
故答案为：.
21．（2024春·广东深圳）若函数的最小正周期为，其图象关于点中心对称，则 ．
【答案】
【详解】由得，，所以，
又的图象关于点中心对称，
所以,解得，又，
所以，.
故答案为：