专题06：平面向量（四大题型）-2024年新高考新题型试卷结构冲刺讲义

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A. 是一个半径为的圆B. 是一条与相交的直线
C. 上的点到的距离均为D. 是两条平行直线
题型一：平面向量的线性运算
【典例例题】
例1.（2024春·广东汕头市）在平行四边形中，点是上靠近的四等分点，与交于点，则（ ）
A. B.
C. D.
【变式训练】
1.（2024春·江西南昌）在中，点D是线段AB上靠近B的四等分点，点E是线段CD上靠近D的三等分点，则（ ）
A．B．C．D．
2.（2024春·辽宁辽阳）在中，，D为AB的中点，，P为CD上一点，且，则（ ）
A．B．C．D．
3.（2024春·江苏南京）如图1，儿童玩具纸风车的做法体现了数学的对称美，取一张正方形纸折出“十”字折痕，然后把四个角向中心点翻折，再展开，把正方形纸两条对边分别向中线对折，把长方形短的一边沿折痕向外侧翻折，然后把立起来的部分向下翻折压平，另一端折法相同，把右上角的角向上翻折，左下角的角向下翻折，这样，纸风车的主体部分就完成了，如图2，是一个纸风车示意图，则（ ）
A．B．
C．D．
故选：C．
题型二：平面向量的数量积运算
【典例例题】
例1.（2024春·湖南长沙） 已知单位向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【变式训练】
1.（2024春·河北衡水）若都为非零向量，且，，则向量的夹角为（ ）
A. B. C. D.
2.（2024春·广东省）已知非零向量与满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
3.（2024春·新疆）已知向量，，，且，则（ ）
A. B. C. D.
4.（2024春·河南郑州）已知向量在方向上的投影向量的模为，向量在方向上的投影向量的模为1，且，则向量与向量的夹角为（ ）
A. B. C. D.
题型三：平面向量的坐标表示及运算
【典例例题】
例1.（2024春·北京朝阳）在中，，当时，的最小值为.若，，其中，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1.（2024春·湖北省）在四边形中，四个顶点A，B，C，D的坐标分别是，，，，E，F分别为的中点，则（ ）
A. 10B. 12C. 14D. 16
2.（2024春·江西省）在平面直角坐标系中，已知向量与关于x轴对称，向量，则满足不等式的点的集合用阴影表示为（ ）
A．B．
C．D．
3.（2024春·安徽合肥） 已知向量，，若与共线，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4.（2024春·广东省东莞市）已知向量，，则使成立的一个充分不必要条件是______________．
题型四：平面向量在几何中的应用
【典例例题】
例1.（2024春·黑龙江）在中，若，则的面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1.（2024春·广东惠州市）如图，在三棱锥中，已知平面，，，则向量在向量上的投影向量为___________（用向量来表示）.

2.（2024春·江西省）在中，已知D为边BC上一点，，．若的最大值为2，则常数的值为（ ）
A．B．C．D．
3.（2024·江西）如图，正六边形的边长为，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024春·云南保山）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
一、单项选择
1.（2024春·广东省）已知向量，，且，则（ ）
A.2 B.3 C.4 D.
2.（2024春·新疆）已知向量，，则“//”是 ”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3．（2024·江西南昌）在中，是边上一点，且，则（ ）
A．B．
C．D．
4.（2024春·湖南衡阳）已知圆的半径为1，过圆外一点作一条切线与圆相切于点，，为圆上一个动点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．

5．（2024春·广东广州）如图所示，O点在内部，分别是边的中点，且有，则的面积与的面积的比为（ ）
A．B．C．D．
二、多选
6.（2024春·广西桂林）已知是夹角为的单位向量，，，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 在上的投影向量为
7.（2024春·贵州）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A．若，且，则为直角三角形
B．若，，，要使满足条件的三角形有且只有两个，则
C．若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形
D．若，则为钝角三角形
8．（2024春·湖北武汉）已知向量，，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．的最大值为6D．若，则
三、填空题
9.（2024春·广东华侨中学）已知，，且，则在上的投影向量为_______.
10.（2024春·广东深圳市）已知单位向量满足，则__________.
11.（2024春·吉林）已知向量，，则______．
12.（2024春·安徽）等边三角形的边长是，分别是与的中点，则__________.
13．（2024春·河北衡水）在中，是边的中点，，过点的直线交直线分别于两点，且，则 .
14．（2024春·陕西西安）在中，在上，且，在上，且.若，则 .
15．（2024春·天津和平）如图，在中，，过点的直线分别交直线于不同的两点，记，用表示 ；设，若，则的最小值为 ．
16．（2024春·天津）在梯形中，分别为线段和线段上的动点，且，则的取值范围为 ．
17．（2024春·广西）在矩形中，，，，，过M点作交于N点，若E，F分别是和上动点，且，则的最小值为 .
18．（2024春·北京大兴）如图是六角螺母的横截面，其内圈是半径为1的圆，外框是以为中心，边长为2的正六边形，则到线段的距离为 ；若是圆上的动点，则的取值范围是 .