专题09：数列（五大题型）-2024年新高考新题型试卷结构冲刺讲义

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1.（3）记等差数列的前项和为，则（ ）
A. 120B. 140C. 160D. 180
2.（19）离散对数在密码学中有重要的应用．设是素数，集合，若，记为除以的余数，为除以的余数；设，两两不同，若，则称是以为底的离散对数，记为．
（1）若，求；
（2）对，记为除以的余数（当能被整除时，）．证明：，其中；
（3）已知．对，令．证明：．
题型一：等差数列
【典例例题】
例1.（2024春·新高考）设等差数列的前项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求．
【变式训练】
1.（2024春·新高考）已知数列的前n项和，则的值是（ ）
A．8094B．8095C．8096D．8097
2.（2024春·广州市华南师大附中）在数列中的相邻两项与之间插入一个首项为，公差为的等差数列的前项，记构成的新数列为，若，则前65项的和为（ ）
A．B．-13C．D．-14
3.（2024春·福建福州）已知数列的前项积为，且．
(1)证明：是等差数列；
(2)从中依次取出第1项，第2项，第4项……第项，按原来顺序组成一个新数列，求数列的前项和．
题型二：等比数列
【典例例题】
例1.（2024春·江西南昌）公比为的等比数列的前项和．
（1）求与的值；
（2）若，记数列的前项和为，求证：．
【变式训练】
1.（2024春·湖北省）各项为正的等比数列中，，则的前4项和（ ）
A. 40B. 121C. 27D. 81
2.（2024春·广东深圳）已知数列an满足lg3an+1=lg3an+1n∈N∗，且a2+a4+a6=9，则lg13a3+a5+a7的值是（ ）
A．−3B．5C．4D．−2
3.（2024春·广东省东莞市）在等比数列中，，，则（ ）
A. B. C. D.
4.（2024春·深圳市宝安区）（多选）已知数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A.若，则是等比数列 B.若是等比数列，则
C.若，则是等比数列 D.若是等比数列，且，则
题型三：数列求和
【典例例题】
例1.（2024春·河南郑州）设为数列的前项和，已知，且为等差数列．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）若数列满足，且，设为数列的前项和，集合，求（用列举法表示）．
【变式训练】
1.（2024春·安徽合肥）已知数列为等差数列，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，证明：．
2.（2024春·广东实验中学）已知等差数列的前项和为，，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，， 是数列的前项和.求
3.（2024春·广东省华附、深中、省实、广雅四校联考）已知数列的前项和满足.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
题型四：奇偶数列
【典例例题】
例1.（2024春·广州市）设数列的前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前2n项和.
【变式训练】
1. （2024春·湖南长沙）已知数列满足，，若为数列的前项和，则（ ）
A. 624B. 625C. 626D. 650
2.（2024春·黑龙江）已知数列的前项和为，满足，．
(1)若数列满足，求的通项公式；
(2)求数列的通项公式，并求．
3.（2024春·广州市华南师大附中）已知数列的前项和为，，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
题型五：数列情境题型
【典例例题】
例1.（2024下·山东菏泽）国际象棋是国际通行的智力竞技运动.国际象棋使用格黑白方格相间棋盘，骨牌为每格与棋盘的方格大小相同的格灰色方格.若某种黑白相间棋盘与骨牌满足以下三点：①每块骨牌覆盖棋盘的相邻两格；②棋盘上每一格都被骨牌覆盖；③没有两块骨牌覆盖同一格，则称骨牌构成了棋盘的一种完全覆盖.显然，我们能够举例说明格黑白方格相间棋盘能被骨牌完全覆盖.
(1)证明：切掉格黑白方格相间棋盘的对角两格，余下棋盘不能被骨牌完全覆盖；
(2)请你切掉格的黑白方格相间棋盘的任意两个异色方格，然后画出余下棋盘的一种骨牌完全覆盖方式，并证明：无论切掉的是哪两个异色方格，余下棋盘都能被骨牌完全覆盖；
(3)记格黑白方格相间棋盘的骨牌完全覆盖方式数为，数列的前n项和为，证明：.
【变式训练】
1.（2024春·广东省揭阳市）从2019年初，某生产新能源汽车零件企业不断引进技术，此后每年的零件销售额均比上一年增加15%，已知该企业从2019年到2023年底的零件总销售额为202万元，则该企业2019年的销售额约为（参考数据：，）（ ）
A. 30万元B. 35.2万元C. 40.4万元D. 42.3万元
2.（2024春·新疆）中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：今有米二百四十石，令甲，乙，丙､丁，戊五人递差分之，要将甲､乙二人数与丙､丁，戊三人数同.问：各该若干？其大意是：现有大米二百四十石，甲，乙，丙，丁，戊五人分得的重量依次成等差数列，要使甲，乙两人所得大米重量与丙，丁，戊三人所得大米重量相等，问每个人各分得多少大米？在这个问题中，丁分得大米重量为（ ）
A. 32石B. 40石C. 48石D. 56石
3.（2024春·惠州市）斐波那契数列:每项被 4 除所得的余数构成数列，则（ ）
A. 1B. 2C. 0D. 3
4.（2024春·山东济南）已知甲植物生长了一天，长度为，乙植物生长了一天，长度为.从第二天起，甲每天的生长速度是前一天的倍，乙每天的生长速度是前一天的，则甲的长度第一次超过乙的长度的时期是（ ）（参考数据：取）
A．第6天B．第7天C．第8天D．第9天
题型六：数列新定义题型
【典例例题】
例1.（2024春·云南昆明）若无穷数列an的各项均为整数．且对于∀i,j∈N∗，ij，使得ak=aiaj−ai−aj，则称数列an满足性质P．
(1)判断下列数列是否满足性质P，并说明理由．
①an=n，n=1，2，3，…；
②bn=n+2，n=1，2，3，…．
(2)若数列an满足性质P，且a1=1，求证：集合n∈N∗an=3为无限集；
(3)若周期数列an满足性质P，求数列an的通项公式．
(1)数列an不满足性质P；数列bn满足性质P，理由见解析
(2)证明见解析
(3)an=0或an=3．
【变式训练】
1.（2024春·广西桂林）若存在常数t，使得数列an满足an+1−a1a2a3⋅⋅⋅an=t（n≥1，n∈N），则称数列an为“Ht数列”.
(1)判断数列：1，2，3，8，49是否为“H1数列”，并说明理由；
(2)若数列an是首项为2的“Ht数列”，数列bn是等比数列，且an与bn满足i=1nai2=a1a2a3⋯an+lg2bn，求t的值和数列bn的通项公式；
(3)若数列an是“Ht数列”，Sn为数列an的前n项和，a1>1，t>0，试比较lnan与an−1的大小，并证明t>Sn+1−Sn−eSn−n.
2.（2024春·黑龙江）若有穷数列满足：，则称此数列具有性质.
(1)若数列具有性质，求的值；
(2)设数列A具有性质，且为奇数，当时，存在正整数，使得，求证：数列A为等差数列；
(3)把具有性质，且满足（为常数）的数列A构成的集合记作.求出所有的，使得对任意给定的，当数列时，数列A中一定有相同的两项，即存在.
3.（2024春·广东肇庆）若有穷数列满足：，则称此数列具有性质.
(1)若数列具有性质，求的值；
(2)设数列A具有性质，且为奇数，当时，存在正整数，使得，求证：数列A为等差数列；
(3)把具有性质，且满足（为常数）的数列A构成的集合记作.求出所有的，使得对任意给定的，当数列时，数列A中一定有相同的两项，即存在.
4.（2024春·江西南昌）已知数列为有穷正整数数列.若数列A满足如下两个性质，则称数列A为m的k减数列：
①；
②对于，使得的正整数对有k个.
(1)写出所有4的1减数列；
(2)若存在m的6减数列，证明：；
(3)若存在2024的k减数列，求k的最大值.
题型七：数列与五大“主干”知识点结合
【典例例题】
例1.（2024春·湖南·高三长郡中学校）2023年10月11日，中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机“九章三号”，求解高斯玻色取样数学问题比目前全球是快的超级计算机快一亿亿倍.相较传统计算机的经典比特只能处于0态或1态，量子计算机的量子比特（qubit）可同时处于0与1的叠加态，故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为是子比特，且自旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子间的自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为.
(1)若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2，且，求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率；
(2)若一条信息有种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为，，…，，则称（其中）为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为的信息熵；
(3)将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为（，2，3，⋯，，⋯）.证明：当无限增大时，的数学期望趋近于一个常数.
参考公式：时，，.
【变式训练】
1.（2024春·辽宁·校联考一模）（多选）已知数列的首项为，且，则（ ）
A．存在使数列为常数列 B．存在使数列为递增数列
C．存在使数列为递减数列 D．存在使得恒成立
2.（2024·陕西咸阳）数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：是质数．直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出，不是质数．现设，数列的前项和为，则使不等式成立的正整数的最大值为（ ）
A．11B．10C．9D．8
3.（2024春·湖北武汉）（多选） 如图，已知正方体顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 点Q移动4次后恰好位于点的概率为0
D. 点Q移动10次后仍在底面ABCD上的概率为
4.（2024下·江苏泰州）某游戏设置了两套规则，规则A：抛掷一颗骰子n次，若n次结果向上的点数之和大于2时，继续下一次抛掷，否则停止抛掷；规则B：抛掷一颗骰子一次，结果向上的点数大于2时，继续下一次抛掷，否则停止抛掷（最多抛掷次，即抛掷到次时无条件终止）．
(1)若执行规则A，求抛掷次数恰为1次的概率；
(2)若执行规则B，证明：抛掷次数的数学期望不大于3．
一、单项选择
1.（2024春·安徽）已知数列是等差数列，，则（ ）
A．B．C．D．
2.（2024春·浙江绍兴）设为是首项为，公比为的等比数列的前项和，且，则（ ）
A．B．C．D．
3.（2024·湖南长沙）古印度数学家婆什迦罗在《莉拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日4德拉玛（古印度货币单位），其后日增5德拉玛.朋友啊，请马上告诉我，半个月中，他总共布施多少德拉玛？在这个问题中，这人15天的最后7天布施的德拉玛总数为（ ）
A．413B．427C．308D．133
二、多项选择
4.（2024春·浙江丽水）设是等比数列的前n项和，q为的公比，则（ ）
A．为等比数列B．为等比数列
C．若，则存在使得D．若存在使得，则
5．（2024春·河北衡水）欧拉函数是数论中的一个基本概念，的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数（只有公因数1的两个正整数互质，且1与所有正整数（包括1本身）互质），例如，因为1，3，5，7均与8互质，则（ ）
A．B．数列单调递增
C．D．数列的前项和小于
三、简答题
6.（2024春·河北石家庄）已知正项数列满足.
(1)证明:数列是等比数列;
(2)若，数列的前项和为.证明:.
7.（2024春·安徽亳）记正项等比数列､等差数列的前项和分别为，已知，.
(1)求和的通项公式；
(2)设集合，求中元素的个数.
8.（2024春·内蒙古赤峰）记为数列的前项和，
(1)求，并证明
(2)若，求数列的前项和
9.（2024春·江西南昌）一枚质地均匀的小正四面体，其中两个面标有数字1，两个面标有数字2.现将此正四面体任意抛掷次，落于水平的桌面，记次底面的数字之和为.
(1)当时，记为被3整除的余数，求的分布列与期望；
(2)求能被3整除的概率.
10.（2024春·湖北省）设正整数数列，，，满足，其中.如果存在，3，，，使得数列中任意项的算术平均值均为整数，则称为“阶平衡数列”
（1）判断数列2，4，6，8，10和数列1，5，9，13，17是否为“4阶平衡数列”？
（2）若为偶数，证明：数列，2，3，，不是“阶平衡数列”，其中
（3）如果，且对于任意，数列均为“阶平衡数列”，求数列中所有元素之和的最大值．