专题11：圆锥曲线（七大题型）-2024年新高考新题型试卷结构冲刺讲义

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1.（2）椭圆的离心率为，则（ ）
A. B. C. D. 2
2. （8）设双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与交于两点，，则的离心率为（ ）
A. B. 2C. D.
3. 已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过与垂直的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点．
（1）证明：直线过定点；
（2）设为直线与直线的交点，求面积的最小值．
题型一：椭圆的方程
【典例例题】
例1.（2024春·新高考）（多选）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P是C上一点，则（ ）
A．B．的最大值为8
C．的取值范围是D．的取值范围是
【变式训练】
1.（2024春·河南省）若椭圆和的方程分别为和（且）则称和为相似椭圆．己知椭圆，过上任意一点P作直线交于M，N两点，且，则的面积最大时，的值为（ ）
A. B. C. D.
2.（2024春·湖南长沙）（多选）椭圆的标准方程为为椭圆的左、右焦点，点．的内切圆圆心为，与分别相切于点，则（ ）
A．B．
C．D．
题型二：椭圆的离心率
【典例例题】
例1.（2024·黑龙江）已知为椭圆上一点，分别为的左、右焦点，且，若外接圆半径与其内切圆半径之比为，则的离心率为 ．
【变式训练】
1.（2024春·广东省东莞）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，点在上，且，，则椭圆的离心率为（ ）
A.B.C.D.
2.（2024春·湖北武汉）已知椭圆 的左右焦点为．直线与椭圆相交于两点， 若， 且， 则椭圆的离心率为 ．
3.（2024春·广东汕头市）已知椭圆，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，直角边与椭圆分别交于另外两点．若这样的有且仅有一个，则该椭圆的离心率的取值范围是______．
4.（2024春·河北）如图，已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，A、B、C、D是它们的公共点，且都在圆上，直线与x轴交于点P，直线与双曲线交于点，记直线、的斜率分别为、，若椭圆的离心率为，则的值为（ ）

A. 2 B. C. D. 4
题型三：双曲线的方程
【典例例题】
例1.如图，加斯帕尔·蒙日是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆（或双曲线）上两条相互垂直的切线的交点的轨迹方程为圆，该圆称为外准圆，也叫蒙日圆．则双曲线 的蒙日圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1.（2024春·广西桂林）已知双曲线，直线与双曲线相切于点，与两条渐近线相交于，两点，则此时三角形（O为原点）的面积为（ ）
A．B．1C．D．2
2．（2024春·河北）已知双曲线的离心率为2，左､右顶点分别为，右焦点为，是上位于第一象限的两点，，若，则（ ）
A．B．C．D．
3.（2024春·四川成都）若双曲线的左、右焦点分别为，过右焦点的直线与双曲线交于两点，已知的斜率为，，且，，则直线的斜率是（ ）
A．B．C．D．
题型四：双曲线的离心率
【典例例题】
例1.（2024春·江西赣州）已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D. 若，则双曲线的离心率取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1.（2024·吉林长春）已知双曲线的左，右焦点分别为为右支上一点，的内切圆圆心为，直线交轴于点，则双曲线的离心率为 .
2.（2024春·新高考）如图，已知双曲线的一条弦所在直线的倾斜角为，点关于原点的对称点为，若，双曲线的离心率为，则（ ）

A．3B．C．D．4
3.（2024·新疆乌鲁木齐）设双曲线的左、右焦点分别为，，A是右支上一点，满足，直线交双曲线于另一点，且，则双曲线的离心率为 ．
题型五：抛物线
【典例例题】
例1.（2024·安徽）（多选）设是坐标原点，抛物线的焦点为，点，是抛物线上两点，且.过点作直线的垂线交准线于点，则（ ）
A．过点恰有2条直线与抛物线有且仅有一个公共点
B．的最小值为2
C．的最小值为
D．直线恒过焦点
【变式训练】
1.（2024春·黑龙江）圆心在抛物线上，且与直线相切的圆一定过的点是（ ）
A．B．
C．D．
2.（2024春·甘肃）已知过抛物线焦点的直线交于，两点，点，在的准线上的射影分别为点，，线段的垂直平分线的倾斜角为，若，则（ ）
A．B．1C．2D．4
3．（2024春·新疆乌鲁木齐）设抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与交于A，B两点，以为直径的圆与准线切于点，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
4.（2024·贵州贵阳）（多选）已知抛物线的焦点为为坐标原点，其准线与轴交于点，经过点的直线与抛物线交于不同两点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．存在
C．不存在以为直径且经过焦点的圆
D．当的面积为时，直线的倾斜角为或
题型六：直线与圆锥曲线的位置关系
【典例例题】
例1.（2024春·广东省深圳外国语学校、执信中学）已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，是椭圆上的点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为的左顶点，过的直线交椭圆于、两点，直线、分别交直线于、两点，是线段的中点，在轴上求出一定点，使得.
【变式训练】
1.（2024春·广州市华南师大附中第一次调研）已知椭圆的离心率为，斜率为2的直线l与x轴交于点M，l与C交于A，B两点，D是A关于y轴的对称点．当M与原点O重合时，面积为．
(1)求C的方程；
(2)当M异于O点时，记直线与y轴交于点N，求周长的最小值．
2.（2024春·广东惠州）已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到焦点的最长距离为．
（1）求椭圆的方程：
（2）直线（不过原点）与抛物线相交于两点，以为直径的圆经过原点，且此直线也与椭圆相交于两点，求面积的最大值及此时直线的方程.
3.（2024春·广东广州市）在平面直角坐标系中，点，点是平面内的动点.若以PF为直径的圆与圆内切，记点P的轨迹为曲线E．
（1）求E的方程；
（2）设点，，，直线AM，AN分别与曲线E交于点S，T（S，T异于A），，垂足为H，求的最小值．
4.（2024春·河北廊坊）已知抛物线C：的焦点为F，圆M：．点是抛物线C上一点，
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若点P在圆M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求面积的最大值．
题型七：圆锥曲线新颖题型
【典例例题】
例1.（2024春·广东汕头）已知点为双曲线上的动点.
(1)判断直线与双曲线的公共点个数，并说明理由；
(2)（i）如果把（1）的结论推广到一般双曲线，你能得到什么相应的结论？请写出你的结论，不必证明；
（ii）将双曲线的两条渐近线称为“退化的双曲线”，其方程为，请利用该方程证明如下命题：若为双曲线上一点，直线：与的两条渐近线分别交于点，则为线段的中点.
【变式训练】
1.（2024春·四川雅安）我们把形如和的两个双曲线叫做共轭双曲线．设共轭双曲线，的离心率分别为，，则当取得最大值时，（ ）
A．B．C．D．
2.（2024春·安徽合肥）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线，分别为的离心率，且，点分别为椭圆的左､右顶点.
(1)求双曲线的方程；
(2)设过点的动直线交双曲线右支于两点，若直线的斜率分别为.
（i）试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
（ii）求的取值范围.
3.（2024春·安徽黄山）如图，已知曲线是以原点O为中心、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以原点O为中心，为焦点的双曲线的一部分，A是曲线和曲线的交点，且为钝角，我们把曲线和曲线合成的曲线C称为“月蚀圆”．设.

(1)求曲线和所在的椭圆和双曲线的标准方程；
(2)过点作一条与x轴不垂直的直线，与“月蚀圆”依次交于B，C，D，E四点，记G为CD的中点，H为BE的中点．问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
一、单项选择
1.（2024春·江西省）椭圆与椭圆的（ ）
A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等
2．（2024春·广东深圳）已知双曲线的左、右焦点分别为、，经过的直线交双曲线的左支于，，的内切圆的圆心为，的角平分线为交于M，且，若，则该双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．2
3.（2024春·内蒙古赤峰）过双曲线的右顶点作斜率为的直线，与的两条渐近线分别交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3.（2024春·天津）已知分别为双曲线的左、右焦点，过向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为点，且（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、多项选择
4．（2024春·辽宁）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，倾斜角为的直线过点且与交于，两点，若的面积为，则 （ ）
A． B．
C．以为直径的圆与轴仅有个交点 D．或
5.（2024春·山东日照）如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球，球切于点E，F（E，F是截口椭圆C的焦点）．设图中球，球的半径分别为4和1，球心距，则（ ）
A．椭圆C的中心不在直线上 B．
C．直线与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为
D．椭圆C的离心率为
6.（2024春·广东广州）双曲线具有如下性质：双曲线在任意一点处的切线平分该点与两焦点连线的夹角.设为坐标原点，双曲线的左右焦点分别为，右顶点到一条渐近线的距离为2，右支上一动点处的切线记为，则（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．双曲线的离心率为
C．当轴时，
D．过点作，垂足为
8.（2024春·广东东莞）已知双曲线的左､右焦点分别为为坐标原点，直线与双曲线的渐近线交于点（在第二象限，在第一象限），下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若的面积为2，则双曲线的焦距的最小值为4
D．若的面积为2，则双曲线的焦距的最小值为8
简答题
9.（2024春·广东惠州市）如图，已知半圆C1：与x轴交于A、B两点，与y轴交于E点，半椭圆C2：的上焦点为F，并且是面积为的等边三角形，将由C1、C2构成的曲线，记为“Γ”．

（1）求实数a、b的值；
（2）直线l：与曲线Γ交于M、N两点，在曲线Γ上再取两点S、T（S、T分别在直线l两侧），使得这四个点形成的四边形MSNT的面积最大，求此最大面积；
（3）设点，P是曲线Γ上任意一点，求的最小值．
10. （2024春·广东省潮州市） 设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；
（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.
11.（2024春·广东省深圳市龙岗区）已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，．当时，的面积为5．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线与轴交于点，且，，求证：为定值．