高三物理二轮复习(命题规律+知识荟萃+经典例题+精选习题)(江苏专用)专题05　圆周运动　万有引力与航天(原卷版+解析)

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专题05 圆周运动 万有引力与航天
【命题规律】
1、命题角度：
（1）圆周运动的动力学分析；
（2）万有引力定律、天体运动、宇宙航行.
2、常考题型：选择题，在计算题中，圆周运动通常与能量观点综合考查．
【知识荟萃】
★考向一、圆周运动
1．常见的圆周运动
2．圆周运动的三种临界情况
（1）接触面滑动临界：摩擦力达到最大值．
（2）接触面分离临界：FN＝0.
（3）绳恰好绷紧：FT＝0；绳恰好断裂：FT达到绳子最大承受拉力．
（4）竖直面内的圆周运动两种模型
①绳球模型：小球能通过最高点的条件是v≥eq \r(gR)。
②杆球模型：小球能到达最高点的条件是v≥0。
★考向二、万有引力定律 天体运动
1．卫星的发射及运行
2.天体质量和密度的计算
3．双星问题
4．卫星变轨和能量问题
（1）点火加速，v突然增大，Geq \f(Mm,r2)（2）点火减速，v突然减小，Geq \f(Mm,r2)>meq \f(v2,r)，卫星将做近心运动。
（3）同一卫星在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。
（4）卫星经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。
5．同向运动的卫星从相距最近到再次相距最近（或最远）的时间
（1）同向运动的卫星从相距最近到再次相距最近，卫星A的周期是T1，卫星B的周期是T2（T1＞T2），B应比A多转一圈，可由ω2t－ω1t＝2π（或eq \f(t,T2)－eq \f(t,T1)＝1）求得t＝eq \f(T1T2,T1－T2).
（2）二者开始相距最近，到再次相距最远，B应比A多转半圈，可由ω2t－ω1t＝π（或eq \f(t,T2)－eq \f(t,T1)＝eq \f(1,2)）求得t＝eq \f(T1T2,2(T1－T2)).
【经典例题】
【例题1】如图所示，长的轻杆两端分别固定着可以视为质点的小球、，放置在光滑水平桌面上，轻杆中点有一竖直方向的固定转动轴，小球、的质量分别为、。当轻杆以角速度绕轴在水平桌面上转动，则（ ）
A．转轴受到轻杆拉力的大小为
B．轻杆给小球的作用力等于轻杆给小球的作用力
C．小球的线速度是小球线速度的3倍
D．小球的向心加速度是小球的向心加速度的3倍
【例题2】“双星系统”是指在相互间万有引力的作用下，绕连线上某点O做匀速圆周运动的两个孤立星球组成的系统。如图所示，若忽略其他星球的影响，可以将A星球和B星球看成“双星系统”。已知A星球的公转周期为T，A星球和B星球之间的距离为L，B星球表面重力加速度为g，半径为R，引力常量为G，不考虑B星球的自转。则（ ）
A．A星球和B星球的质量之和为
B．A星球的质量为
C．A星球和B星球的动量大小相等
D．A星球和B星球的加速度大小相等
【例题3】如图所示，长度为3L的轻杆一端固定质量为M的小球，另一端连接在固定在天花板上的转轴O上，轻杆可以在竖直平面内自由转动。小球通过与O点等高的定滑轮用足够长的轻绳连接一物块，滑轮与转轴相距5L，用手将小球缓慢放下，当杆与绳垂直时，撤去手，系统恰能平衡。忽略一切摩擦，重力加速度为g，sin53°＝0.8，cs53°＝0.6。
（1）求物块质量m；
（2）将小球从图中水平位置释放，当杆与绳垂直时，求小球的速度和杆对小球的拉力；
（3）在（2）的条件下，通过计算说明杆是否能运动到竖直位置。
【例题4】如图所示的离心装置：水平轻杆被固定在竖直转轴的O点，质量为m的小圆环A和轻质弹簧套在轻杆上，弹簧两端分别固定于O和A，弹簧劲度系数为，小环A与水平杆的动摩擦因数μ=0.5，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。套在竖直转轴上的质量同为m的光滑小圆环B通过可轻质杆与小圆环A相连，链接处可自由转动。装置静止时，长为L的轻质杆与竖直方向的夹角为37°，弹簧处于原长状态。取重力加速度为g，sin37°=0.6，cs37°=0.8，竖直转轴带动装置由静止开始缓慢加速转动，求：
（1）装置静止时，小环A受杆的摩擦力大小f；
（2）轻杆与竖直方向夹角为53°时的角速度ω；
（3）轻杆与竖直方向夹角为从37°变化到53°的过程中，竖直转轴对装置所做的功W。
【精选习题】
一、单选题
1．2021年11月8日，“天问一号”环绕器成功实施近火制动，准确进入遥感使命轨道。制动前环绕器在轨道I上运动，在P点制动后进入轨道Ⅱ运动。如图所示，环绕器沿轨道I、Ⅱ运动到P点的速度大小分别为vI、vⅡ；加速度大小分别为aI、aⅡ。则（ ）
A．vI>vⅡ aI=aⅡB．vIaⅡ
2．如图所示，轻杆长为0.5m，一端固定在水平轴上的点，另一端系一个质量为1kg的小球（视为质点）。小球以O为圆心在竖直平面内做圆周运动，若小球通过最高点的速度大小为2m/s，通过最低点的速度大小为4m/s，重力加速度g=10m/s2。下列说法正确的是（ ）
A．小球在最低点处于失重状态
B．小球通过最高点时的角速度为2rad/s
C．小球通过最低点时轻杆对小球有向上的拉力作用，且大小为42N
D．小球通过最高点时小球对轻杆有向上的拉力作用，且大小为2N
3．我国航天人发扬“两弹一星”精神砥砺前行，从“东方红一号”到“北斗”不断创造奇迹。“北斗”导航系统第49颗卫星为地球倾斜同步轨道卫星，该卫星的轨道平面与地球赤道平面成一定夹角。它绕地球做匀速圆周运动的运行周期等于地球的自转周期，关于地球倾斜同步轨道卫星（ ）
A．卫星的向心加速度大于地球表面重力加速度
B．卫星的发射速度一定大于11.2km/s
C．卫星一天两次经过赤道正上方同一位置
D．卫星的运行速度大于第一宇宙速度
4．2021年，“天问一号”火星探测器成功实施近火制动，进入近火点280km、远火点5.9×104km的停泊轨道，在轨运行周期为两个火星日，则（ ）
A．探测器发射速度大于16.7km/s
B．探测器在近火点的动能大于在远火点的动能
C．探测器在远火点的速度大于火星的第一宇宙速度
D．火星同步卫星的轨道高度大于5.9×104km
5．2021年10月16日，神舟十三号载人飞船成功入轨，并通过加速与空间站交会对接。对接前，飞船和空间站在轨运行的情形如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．图中A是空间站，B是飞船
B．飞船通过向前方喷气后才能与空间站完成交会对接
C．对接后飞船的机械能比对接前在轨运行时机械能大
D．对接后飞船的速度比对接前在轨运行时速度大
6．某同学经过长时间的观察后发现，路面出现水坑的地方，如果不及时修补，水坑很快会变大，善于思考的他结合学过的物理知识，对这个现象提出了多种解释，则下列说法中不合理的解释是（ ）
A．车辆上下颠簸过程中，某些时刻处于超重状态
B．把坑看作凹陷的弧形，车对坑底的压力比平路大
C．车辆的驱动轮出坑时，对地的摩擦力比平路大
D．坑洼路面与轮胎间的动摩擦因数比平直路面大
7．如图所示，小球沿竖直光滑圆轨道内侧运动到最高点时，小球的机械能E机、重力势能Ep（取圆轨道的最低点重力势能为零）和动能Ek的相对大小（用柱形高度表示），可能正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图甲所示，被称为“魔力陀螺”玩具的陀螺能在圆轨道外侧旋转不脱落，其原理可等效为如图乙所示的模型：半径为的磁性圆轨道竖直固定，质量为的铁球（视为质点）沿轨道外侧运动，、分别为轨道的最高点和最低点，轨道对铁球的磁性引力始终指向圆心且大小不变，不计摩擦和空气阻力，重力加速度为，则（ ）
A．铁球绕轨道可能做匀速圆周运动
B．由于磁力的作用，铁球绕轨道运动过程中机械能不守恒
C．铁球在点的速度必须大于
D．轨道对铁球的磁性引力至少为，才能使铁球不脱轨
二、解答题
9．雪车比赛是2022年北京冬奥会一项惊险刺激的竞技类项目，部分赛道如图所示，半径的圆弧与一倾斜直轨道相切于B点，直轨道与水平面间的夹角，运动员俯卧在雪车上沿轨道滑动，运动员和雪车的总质量，经过最低点O时速度，再经过B点时的速度，已知雪车与轨道之间的动摩擦因数，重力加速度，，。
（1）求经最低点O时轨道对雪车的支持力大小；
（2）求从最低点O运动到B点过程中雪车克服轨道摩擦力做的功；
（3）若雪车到达直轨道最高点C时速度刚好减为零，则轨道的长度为多少？
10．如图所示，质量为m的小球，长为L的细线，构成圆锥摆．当细线与竖直方向成θ角时，小球以一定的线速度v在水平面内做匀速圆周运动．重力加速度取g，求：
（1）小球做匀速圆周运动的角速度ω；
（2）改变细线长度L，小球仍以线速度v做匀速圆周运动，细线拉力F与长度L之间的关系。
11．“天问一号”是中国首个火星探测器，其名称来源于我国著名爱国主义诗人屈原的长诗《天问》。2021年2月10日19时52分我国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，成功实现环绕火星运动，成为我国第一颗人造火星卫星。在“天问一号”环绕火星做匀速圆周运动时，周期为，轨道半径为，已知火星的半径为，引力常量为，不考虑火星的自转。求：
（1）“天问一号”环绕火星运动的线速度的大小；
（2）火星的质量；
（3）火星表面的重力加速度的大小。
12．某兴趣小组设计了一个“螺丝”形的竖直轨道模型，如图所示。将一质量为的小球（视为质点）放在点，用弹簧装置将其从静止弹出，使其沿着半圆形竖直光滑轨道和运动（与圆心在同一水平线上），、是材料相同的水平面，其中段，足够长，是与、点相切的竖直圆形光滑管道（管径很小，、相互靠近且错开）。已知弧的半径，圆弧的半径和的半径，小球与、间的动摩擦因数均为，其余轨道均光滑，弹簧的最大弹性势能，小球运动时始终没有脱离轨道（重力加速度取）。求：
（1）小球通过点的最小速度；
（2）若弹簧以最大弹性势能将小球弹出，小球最终停下来的位置距点的距离s；
（3）以点为坐标原点，水平方向建立轴如图，求弹簧弹性势能随小球停止位置坐标变化的关系。
水平面
内的圆周
运动
水平转盘上的物体
Ff＝mω2r
圆锥摆模型
mgtan θ＝mrω2
竖直面
内的圆
周运动
轻绳模型
最高点的临界条件：mg＝meq \f(v2,r)
最高点和最低点间的过程要用能量观点（动能定理）
轻杆模型
最高点的临界条件vmin＝0
倾斜面内的圆周运动
倾斜转盘上的物体
电场、重力场叠加中的圆周运动
带电小球在叠加场中的圆周运动
等效法
关注六个位置的动力学方程，最高点、最低点、等效最高点、等效最低点，最左边和最右边位置
磁场中的圆周运动
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动
qvB＝meq \f(v2,r)
在地面附近静止
忽略自转：Geq \f(Mm,R2)＝mg，故GM＝gR2（黄金代换式）
考虑自转
两极：Geq \f(Mm,R2)＝mg
赤道：Geq \f(Mm,R2)＝mg0＋mω2R
卫星的
发射
第一宇宙速度：v＝eq \r(\f(GM,R))＝eq \r(gR)＝7.9 km/s
（天体）卫星在圆轨道上运行
Geq \f(Mm,r2)＝Fn＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(man→an＝\f(GM,r2)→an∝\f(1,r2),m\f(v2,r)→v＝\r(\f(GM,r))→v∝\f(1,\r(r)),mω2r→ω＝\r(\f(GM,r3))→ω∝\f(1,\r(r3)),m\f(4π2,T2)r→T＝\r(\f(4π2r3,GM))→T∝\r(r3)))
越高越慢，只有T与r变化一致
变轨
（1）由低轨变高轨，瞬时点火加速，稳定在高轨道上时速度较小、动能较小、机械能较大；由高轨变低轨，反之．
（2）卫星经过两个轨道的相切点，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度．
（3）根据开普勒第三定律，半径（或半长轴）越大，周期越长.
模型概述
两星在相互间引力作用下都绕它们连线上的某一点做匀速圆周运动
特点
角速度（周期）
相等
向心力
各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供eq \f(Gm1m2,l2)＝m1ω2r1，eq \f(Gm1m2,l2)＝m2ω2r2
轨迹半径关系
（1）r1＋r2＝l
（2）m1r1＝m2r2
总质量
m1＋m2＝eq \f(4π2l3,GT2)
2022年高三物理二轮复习资料（命题规律+知识荟萃+经典例题+精选习题）
（江苏专用）
专题05 圆周运动 万有引力与航天
【命题规律】
1、命题角度：
（1）圆周运动的动力学分析；
（2）万有引力定律、天体运动、宇宙航行.
2、常考题型：选择题，在计算题中，圆周运动通常与能量观点综合考查．
【知识荟萃】
★考向一、圆周运动
1．常见的圆周运动
2．圆周运动的三种临界情况
（1）接触面滑动临界：摩擦力达到最大值．
（2）接触面分离临界：FN＝0.
（3）绳恰好绷紧：FT＝0；绳恰好断裂：FT达到绳子最大承受拉力．
（4）竖直面内的圆周运动两种模型
①绳球模型：小球能通过最高点的条件是v≥eq \r(gR)。
②杆球模型：小球能到达最高点的条件是v≥0。
★考向二、万有引力定律 天体运动
1．卫星的发射及运行
2.天体质量和密度的计算
3．双星问题
4．卫星变轨和能量问题
（1）点火加速，v突然增大，Geq \f(Mm,r2)（2）点火减速，v突然减小，Geq \f(Mm,r2)>meq \f(v2,r)，卫星将做近心运动。
（3）同一卫星在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。
（4）卫星经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。
5．同向运动的卫星从相距最近到再次相距最近（或最远）的时间
（1）同向运动的卫星从相距最近到再次相距最近，卫星A的周期是T1，卫星B的周期是T2（T1＞T2），B应比A多转一圈，可由ω2t－ω1t＝2π（或eq \f(t,T2)－eq \f(t,T1)＝1）求得t＝eq \f(T1T2,T1－T2).
（2）二者开始相距最近，到再次相距最远，B应比A多转半圈，可由ω2t－ω1t＝π（或eq \f(t,T2)－eq \f(t,T1)＝eq \f(1,2)）求得t＝eq \f(T1T2,2(T1－T2)).
【经典例题】
【例题1】如图所示，长的轻杆两端分别固定着可以视为质点的小球、，放置在光滑水平桌面上，轻杆中点有一竖直方向的固定转动轴，小球、的质量分别为、。当轻杆以角速度绕轴在水平桌面上转动，则（ ）
A．转轴受到轻杆拉力的大小为
B．轻杆给小球的作用力等于轻杆给小球的作用力
C．小球的线速度是小球线速度的3倍
D．小球的向心加速度是小球的向心加速度的3倍
【答案】 A
【解析】
CD．小球、的线速度和向心加速度分别为
由此可知小球、的线速度大小相等，小球、的向心加速度大小相等，CD错误；
AB．轻杆给小球、的作用力分别提供两个小球做圆周运动的向心力
根据牛顿第三定律可知，小球、对杆的拉力大小分别为
则转轴受到轻杆拉力的大小为
由此可知，轻杆给小球的作用力不等于轻杆给小球的作用力，且转轴受到轻杆拉力的大小为，A正确，B错误。
故选A。
【例题2】“双星系统”是指在相互间万有引力的作用下，绕连线上某点O做匀速圆周运动的两个孤立星球组成的系统。如图所示，若忽略其他星球的影响，可以将A星球和B星球看成“双星系统”。已知A星球的公转周期为T，A星球和B星球之间的距离为L，B星球表面重力加速度为g，半径为R，引力常量为G，不考虑B星球的自转。则（ ）
A．A星球和B星球的质量之和为
B．A星球的质量为
C．A星球和B星球的动量大小相等
D．A星球和B星球的加速度大小相等
【答案】 C
【解析】
ABC．设B星球质量为M，B表面某物体的质量为m，忽略自转的影响，则有
解得
B球到O点的距离为，A球质量为，到O点的距离为，则
可得
由于它们角速度相同且则
，
又因为
联立解得
A星球质量
故AB错误，C正确；
D．A星球与B星球的引力大小相同，质量不同，所以加速度大小不等，故D错误。
故选C。
【例题3】如图所示，长度为3L的轻杆一端固定质量为M的小球，另一端连接在固定在天花板上的转轴O上，轻杆可以在竖直平面内自由转动。小球通过与O点等高的定滑轮用足够长的轻绳连接一物块，滑轮与转轴相距5L，用手将小球缓慢放下，当杆与绳垂直时，撤去手，系统恰能平衡。忽略一切摩擦，重力加速度为g，sin53°＝0.8，cs53°＝0.6。
（1）求物块质量m；
（2）将小球从图中水平位置释放，当杆与绳垂直时，求小球的速度和杆对小球的拉力；
（3）在（2）的条件下，通过计算说明杆是否能运动到竖直位置。
【答案】 （1）0.6Mg；（2），1.3Mg；（3）杆可以运动到竖直位置，理由见详解。
【解析】
（1）当杆与绳垂直时，受力分析如图所示
根据几何关系得
根据平衡条件得
解得
（2）设小球下降的高度为h，小球的速度为v，杆与绳垂直，物块速度与小球速度大小相等，如图所示
小球下降的高度
物块上升的高度
整个系统机械能守恒
解得
把小球的重力分解如图所示
根据牛顿第二定律得
（3）假设小球可以到达竖直位置，小球下降的高度为3L，物块上升的高度为
如图所示，设小球的速度为v'，物块的速度为
根据机械能守恒得
解得
所以，杆可以运动到竖直位置
【例题4】如图所示的离心装置：水平轻杆被固定在竖直转轴的O点，质量为m的小圆环A和轻质弹簧套在轻杆上，弹簧两端分别固定于O和A，弹簧劲度系数为，小环A与水平杆的动摩擦因数μ=0.5，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。套在竖直转轴上的质量同为m的光滑小圆环B通过可轻质杆与小圆环A相连，链接处可自由转动。装置静止时，长为L的轻质杆与竖直方向的夹角为37°，弹簧处于原长状态。取重力加速度为g，sin37°=0.6，cs37°=0.8，竖直转轴带动装置由静止开始缓慢加速转动，求：
（1）装置静止时，小环A受杆的摩擦力大小f；
（2）轻杆与竖直方向夹角为53°时的角速度ω；
（3）轻杆与竖直方向夹角为从37°变化到53°的过程中，竖直转轴对装置所做的功W。
【答案】 （1）；（2）；（3）
【解析】
（1）装置静止时，设杆对A、B的作用力为F，由平衡条件，对B
对A，由平衡条件
联立可得
（2）由于竖直转轴带动装置由静止开始缓慢加速转动，所以B处于动平衡状态，合力始终为零，A的任一状态都可看作是一个匀速圆周运动状态。当轻杆与竖直方向夹角为53°时，对B有
设弹簧弹力为T，对A，由牛顿第二定律
又
联立可得
（3）轻杆与竖直方向夹角为从37°变化到53°的过程，由动能定理

又
由（2）中分析知在杆与竖直方向夹角变化过程中摩擦力大小不变
所以有
联立可得
【精选习题】
一、单选题
1．2021年11月8日，“天问一号”环绕器成功实施近火制动，准确进入遥感使命轨道。制动前环绕器在轨道I上运动，在P点制动后进入轨道Ⅱ运动。如图所示，环绕器沿轨道I、Ⅱ运动到P点的速度大小分别为vI、vⅡ；加速度大小分别为aI、aⅡ。则（ ）
A．vI>vⅡ aI=aⅡB．vIaⅡ
【答案】 A
【解析】
“天问一号” 在P点制动后进入轨道Ⅱ运动，故“天问一号”在轨道I上的P点速度大小大于轨道在Ⅱ运动到P点的速度，故
vI>vⅡ
“天问一号”的加速度是由万有引力产生
可知在同一P点，万有引力对“天问一号”产生的加速度相同，与卫星所在轨道无关，故
aI=aⅡ
A正确，BCD错误；
故选A。
2．如图所示，轻杆长为0.5m，一端固定在水平轴上的点，另一端系一个质量为1kg的小球（视为质点）。小球以O为圆心在竖直平面内做圆周运动，若小球通过最高点的速度大小为2m/s，通过最低点的速度大小为4m/s，重力加速度g=10m/s2。下列说法正确的是（ ）
A．小球在最低点处于失重状态
B．小球通过最高点时的角速度为2rad/s
C．小球通过最低点时轻杆对小球有向上的拉力作用，且大小为42N
D．小球通过最高点时小球对轻杆有向上的拉力作用，且大小为2N
【答案】 C
【解析】
A．小球在最低点时，向心加速度方向竖直向上指向圆心，小球处于超重状态，故A错误；
B．设小球过最高点的速度为v1=2m/s，则小球通过最高点时的角速度为
故B错误；
C．设小球通过最低点的速度为v2=4m/s，在最低点小球受到重力和轻杆对小球向上的拉力，由牛顿第二定律可得
代入数据解得
故C正确；
D．设小球在最高点受轻杆对小球作用力方向向下，由牛顿第二定律可得
代入数据解得
则小球通过最高点时轻杆对小球的作用力为方向向上的支持力，大小为2N，由牛顿第三定律知，小球对轻杆有向下的拉力作用，大小为2N，故D错误。
故选C。
3．我国航天人发扬“两弹一星”精神砥砺前行，从“东方红一号”到“北斗”不断创造奇迹。“北斗”导航系统第49颗卫星为地球倾斜同步轨道卫星，该卫星的轨道平面与地球赤道平面成一定夹角。它绕地球做匀速圆周运动的运行周期等于地球的自转周期，关于地球倾斜同步轨道卫星（ ）
A．卫星的向心加速度大于地球表面重力加速度
B．卫星的发射速度一定大于11.2km/s
C．卫星一天两次经过赤道正上方同一位置
D．卫星的运行速度大于第一宇宙速度
【答案】 C
【解析】
A．根据
可得
可知，卫星的向心加速度小于地球表面重力加速度，选项A错误；
B．卫星没有脱离地球的引力，则其发射速度一定小于11.2km/s，选项B错误；
C．倾斜同步卫星若某时刻经过赤道正上方某位置，经过半个周期，恰好地球也转了半个周期，因此又会经过赤道上方的同一位置，故该卫星在一个周期内有2次经过赤道上同一位置，故C正确。
D．第一宇宙速度是所有绕地球做圆周运动卫星的最大速度，则卫星的运行速度小于第一宇宙速度，选项D错误。
故选C。
4．2021年，“天问一号”火星探测器成功实施近火制动，进入近火点280km、远火点5.9×104km的停泊轨道，在轨运行周期为两个火星日，则（ ）
A．探测器发射速度大于16.7km/s
B．探测器在近火点的动能大于在远火点的动能
C．探测器在远火点的速度大于火星的第一宇宙速度
D．火星同步卫星的轨道高度大于5.9×104km
【答案】 B
【解析】
A．由于“天问一号”是火星探测器，故探测器发射速度小于16.7km/s，A错误；
B．根据开普勒第二定律可知，探测器在近火点的速度大于在远火点的速度，故可得探测器在近火点的动能大于在远火点的动能，B正确；
C．根据万有引力提供向心力，即有
解得
由于探测器在远火点的大于火星的半径，故探测器在远火点的速度小于火星的第一宇宙速度，C错误；
D．根据万有引力提供向心力，即有
解得
可知，轨道半径越大，探测器运行的周期越长，又在轨运行周期为两个火星日，故可得火星同步卫星的轨道高度小于5.9×104km，D错误。
故选B。
5．2021年10月16日，神舟十三号载人飞船成功入轨，并通过加速与空间站交会对接。对接前，飞船和空间站在轨运行的情形如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．图中A是空间站，B是飞船
B．飞船通过向前方喷气后才能与空间站完成交会对接
C．对接后飞船的机械能比对接前在轨运行时机械能大
D．对接后飞船的速度比对接前在轨运行时速度大
【答案】 C
【解析】
A．飞船从低空加速度到高空与空间站对接，因此A是飞船，B 是空间站，A错误；
B．飞船通过向后方喷气加速运动，才能做离心运动与空间站完成交会对接，B错误；
C．对接后飞船到高空运行，轨道半径增加，机械能比对接前在轨运行时机械能大，C正确；
D．对接后飞船的轨道半径增加，速度比对接前在轨运行时速度小，D错误。
故选C。
6．某同学经过长时间的观察后发现，路面出现水坑的地方，如果不及时修补，水坑很快会变大，善于思考的他结合学过的物理知识，对这个现象提出了多种解释，则下列说法中不合理的解释是（ ）
A．车辆上下颠簸过程中，某些时刻处于超重状态
B．把坑看作凹陷的弧形，车对坑底的压力比平路大
C．车辆的驱动轮出坑时，对地的摩擦力比平路大
D．坑洼路面与轮胎间的动摩擦因数比平直路面大
【答案】 D
【解析】
A．车辆上下颠簸过程中，可能在某些时刻加速度向上，则汽车处于超重状态，A正确，不符合题意；
B．把坑看作凹陷的弧形，根据牛顿第二定律有
则根据牛顿第三定律，把坑看作凹陷的弧形，车对坑底的压力比平路大，B正确，不符合题意；
C．车辆的驱动轮出坑时，对地的摩擦力比平路大，C正确，不符合题意；
D．动摩擦因数由接触面的粗糙程度决定，而坑洼路面可能比平直路面更光滑则动摩擦因数可能更小，D错误，符合题意。
故选D。
7．如图所示，小球沿竖直光滑圆轨道内侧运动到最高点时，小球的机械能E机、重力势能Ep（取圆轨道的最低点重力势能为零）和动能Ek的相对大小（用柱形高度表示），可能正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】 D
【解析】
设轨道半径为R，则小球运动到最高点时，速度最小为
即动能不为零，则机械能E机大于重力势能Ep；最高点的重力势能
Ep=2mgR
最小动能为
即在最高点时的动能
故选D。
8．如图甲所示，被称为“魔力陀螺”玩具的陀螺能在圆轨道外侧旋转不脱落，其原理可等效为如图乙所示的模型：半径为的磁性圆轨道竖直固定，质量为的铁球（视为质点）沿轨道外侧运动，、分别为轨道的最高点和最低点，轨道对铁球的磁性引力始终指向圆心且大小不变，不计摩擦和空气阻力，重力加速度为，则（ ）
A．铁球绕轨道可能做匀速圆周运动
B．由于磁力的作用，铁球绕轨道运动过程中机械能不守恒
C．铁球在点的速度必须大于
D．轨道对铁球的磁性引力至少为，才能使铁球不脱轨
【答案】 D
【解析】
AB．小铁球在运动的过程中受到重力、轨道的支持力和磁力的作用，其中铁球受轨道的磁性引力始终指向圆心且大小不变，支持力的方向过圆心，它们都始终与运动的方向垂直，所以磁力和支持力都不能对小铁球做功，只有重力会对小铁球做功，所以小铁球的机械能守恒，在最高点的速度最小，在最低点的速度最大．小铁球不可能做匀速圆周运动，故AB错误；
C．小铁球在运动的过程中受到重力、轨道的支持力和磁力的作用，在最高点轨道对小铁球的支持力的方向可以向上，小铁球的速度只要大于0即可通过最高点，故C错误；
D．由于小铁球在运动的过程中机械能守恒，所以小铁球在最高点的速度越小，则机械能越小，在最低点的速度也越小，根据
F＝m
可知小铁球在最低点时需要的向心力越小．而在最低点小铁球受到的重力的方向向下，支持力的方向也向下、只有磁力的方向向上．要使铁球不脱轨，轨道对铁球的支持力一定要大于0．所以铁球不脱轨的条件是：小铁球在最高点的速度恰好为0，而且到达最低点时，轨道对铁球的支持力恰好等于0．根据机械能守恒定律，小铁球在最高点的速度恰好为0，到达最低点时的速度满足
mg•2Rmv2
轨道对铁球的支持力恰好等于0，则磁力与重力的合力提供向心力，即
F﹣mg
联立得
F＝5mg
故D正确。
故选D。
二、解答题
9．雪车比赛是2022年北京冬奥会一项惊险刺激的竞技类项目，部分赛道如图所示，半径的圆弧与一倾斜直轨道相切于B点，直轨道与水平面间的夹角，运动员俯卧在雪车上沿轨道滑动，运动员和雪车的总质量，经过最低点O时速度，再经过B点时的速度，已知雪车与轨道之间的动摩擦因数，重力加速度，，。
（1）求经最低点O时轨道对雪车的支持力大小；
（2）求从最低点O运动到B点过程中雪车克服轨道摩擦力做的功；
（3）若雪车到达直轨道最高点C时速度刚好减为零，则轨道的长度为多少？
【答案】 （1）；（2）；（3）
【解析】
（1）在O点，由牛顿第二定律
解得
（2）在从O至B的过程中，设克服摩擦力做的功为由动能定理得：
解得
（3）从B到坡顶的过程中，由动能定理得：
联立解得
10．如图所示，质量为m的小球，长为L的细线，构成圆锥摆．当细线与竖直方向成θ角时，小球以一定的线速度v在水平面内做匀速圆周运动．重力加速度取g，求：
（1）小球做匀速圆周运动的角速度ω；
（2）改变细线长度L，小球仍以线速度v做匀速圆周运动，细线拉力F与长度L之间的关系。
【答案】 （1）或；（2）F＝m（＋）或或F=m（＋）
【解析】
（1）（解法1）设圆周运动的半径为R，则
R＝Lsinθ
ω＝
解得
ω＝
（解法2）设圆周运动的半径为R，则
R＝Lsinθ
mgtanθ＝mω2R
解得
ω＝
（2）设改变细线长度为L，细线与竖直方向夹角为α，拉力为F，以v做匀速圆周运动所需的向心力为F1，则
F1＝
F＝＝
sin2α＝1－cs2α
csα＝
F＝＝
LF2－mv2F－m2g2L＝0
解得
F＝m（＋）
或
或F=m（＋）
11．“天问一号”是中国首个火星探测器，其名称来源于我国著名爱国主义诗人屈原的长诗《天问》。2021年2月10日19时52分我国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，成功实现环绕火星运动，成为我国第一颗人造火星卫星。在“天问一号”环绕火星做匀速圆周运动时，周期为，轨道半径为，已知火星的半径为，引力常量为，不考虑火星的自转。求：
（1）“天问一号”环绕火星运动的线速度的大小；
（2）火星的质量；
（3）火星表面的重力加速度的大小。
【答案】 （1）；（2）；（3）
【解析】
（1）由线速度定义可得
（2）设“天问一号”的质量为m，引力提供向心力有
得
（3）忽略火星自转，火星表面质量为的物体，其所受引力等于重力
得
12．某兴趣小组设计了一个“螺丝”形的竖直轨道模型，如图所示。将一质量为的小球（视为质点）放在点，用弹簧装置将其从静止弹出，使其沿着半圆形竖直光滑轨道和运动（与圆心在同一水平线上），、是材料相同的水平面，其中段，足够长，是与、点相切的竖直圆形光滑管道（管径很小，、相互靠近且错开）。已知弧的半径，圆弧的半径和的半径，小球与、间的动摩擦因数均为，其余轨道均光滑，弹簧的最大弹性势能，小球运动时始终没有脱离轨道（重力加速度取）。求：
（1）小球通过点的最小速度；
（2）若弹簧以最大弹性势能将小球弹出，小球最终停下来的位置距点的距离s；
（3）以点为坐标原点，水平方向建立轴如图，求弹簧弹性势能随小球停止位置坐标变化的关系。
【答案】 （1）；（2）；（3），，
【解析】
（1）在点，当轨道对小球的弹力恰好为零时
解得
（2）过，根据机械能守恒，可得
解得
恰到点，即有
解得
因和故小球可滑到点右侧，所以
解得
（3）小球过停段，则，即有
解得
小球最终停在段，小球恰好回到点，即有
所以，故要使小球最终停在段，弹簧弹性势能应满足
过后恰好返回点，根据能量守恒，有
当时，过返回停段，即有
解得
当时，第二次过返回停段，即有
解得
水平面
内的圆周
运动
水平转盘上的物体
Ff＝mω2r
圆锥摆模型
mgtan θ＝mrω2
竖直面
内的圆
周运动
轻绳模型
最高点的临界条件：mg＝meq \f(v2,r)
最高点和最低点间的过程要用能量观点（动能定理）
轻杆模型
最高点的临界条件vmin＝0
倾斜面内的圆周运动
倾斜转盘上的物体
电场、重力场叠加中的圆周运动
带电小球在叠加场中的圆周运动
等效法
关注六个位置的动力学方程，最高点、最低点、等效最高点、等效最低点，最左边和最右边位置
磁场中的圆周运动
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动
qvB＝meq \f(v2,r)
在地面附近静止
忽略自转：Geq \f(Mm,R2)＝mg，故GM＝gR2（黄金代换式）
考虑自转
两极：Geq \f(Mm,R2)＝mg
赤道：Geq \f(Mm,R2)＝mg0＋mω2R
卫星的
发射
第一宇宙速度：v＝eq \r(\f(GM,R))＝eq \r(gR)＝7.9 km/s
（天体）卫星在圆轨道上运行
Geq \f(Mm,r2)＝Fn＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(man→an＝\f(GM,r2)→an∝\f(1,r2),m\f(v2,r)→v＝\r(\f(GM,r))→v∝\f(1,\r(r)),mω2r→ω＝\r(\f(GM,r3))→ω∝\f(1,\r(r3)),m\f(4π2,T2)r→T＝\r(\f(4π2r3,GM))→T∝\r(r3)))
越高越慢，只有T与r变化一致
变轨
（1）由低轨变高轨，瞬时点火加速，稳定在高轨道上时速度较小、动能较小、机械能较大；由高轨变低轨，反之．
（2）卫星经过两个轨道的相切点，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度．
（3）根据开普勒第三定律，半径（或半长轴）越大，周期越长.
模型概述
两星在相互间引力作用下都绕它们连线上的某一点做匀速圆周运动
特点
角速度（周期）
相等
向心力
各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供eq \f(Gm1m2,l2)＝m1ω2r1，eq \f(Gm1m2,l2)＝m2ω2r2
轨迹半径关系
（1）r1＋r2＝l
（2）m1r1＝m2r2
总质量
m1＋m2＝eq \f(4π2l3,GT2)