安徽省蚌埠市怀远县万福学区2023-2024学年九年级下学期月考数学试题（原卷版+解析版）

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说明：共8大题，计23小题，满分150分，作答时间120分钟．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 下列事件中，是必然事件的是（ ）
A. 购买一张彩票中奖B. 射击一千次，命中靶心
C. 太阳每天从西方升起D. 任意画一个三角形，其内角和是
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查必然事件、随机事件的意义和判定方法，根据必然事件、随机事件的意义进行判断即可．
【详解】解：购买一张彩票，可能中奖，也可能不中奖，因此选项A不正确；
射击运动员射击一次，可能命中靶心，也可能命不中靶心，因此选项B不正确；
太阳每天只从东方升起，不会从西方升起，因此选项C不正确；
任意三角形的内角和都是180°，因此选项D正确；
故选：D．
2. 若抛物线的图象关于y轴对称，则k的值为（ ）
A. 0B. C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质．抛物线关于轴对称，则对称轴为轴，，且，据此即可求解．
详解】解：抛物线关于轴对称，
对称轴为轴，
，且，
；
故选：C．
3. 下列正面摆放的几何体中，左视图是三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据左视图逐项分析判断即可求解．
【详解】A.左视图是长方形，故该选项不符合题意；
B.左视图是长方形，故该选项不符合题意；
C.左视图是三角形，故该选项符合题意；
D.左视图是梯形，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了三视图的定义，掌握三视图的定义是解题的关键．
4. 某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分时，该顾客可获奖品一份，那么该顾客获奖的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了几何概率，根据整个转盘四个圆，则圆心角为，而阴影部分占有，即可得出答案．
【详解】解：由于整个转盘四个圆，则圆心角为，而阴影部分占有，
故指针指向阴影部分的概率为，
故选：C．
5. 如图，AD，BC相交于点O，由下列条件仍不能判定△AOB与△DOC相似的是（ ）
A. AB∥CDB. ∠C＝∠BC. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题中已知∠AOB＝∠DOC是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．
【详解】解：A、由AB∥CD能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
B、由∠AOB＝∠DOC、∠C＝∠B能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
C、由 、∠AOB＝∠DOC能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
D、已知两组对应边的比相等： ，但其夹角不一定对应相等，不能判定△AOB与△DOC相似，故本选项符合题意．
故选：D
【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
6. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：春晚主持人在舞台上主持春晚节目时，总是站在黄金分割点处，这样观众看上去，感觉最好．苦春晚舞台长28米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义得出，整理即可得出答案，熟练掌握黄金分割的定义是解此题的关键．
【详解】解：由题意得：，
，
故选：B．
7. 如图，这是一个地铁站入口的双翼闸机的示意图双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，过点作于，作于，则，同理可得：，结合双翼边缘的端点A与B之间的距离为，即可得出答案．
详解】解：如图，过点作于，作于，
，
则在中，，
同理可得：，
双翼边缘的端点A与B之间的距离为，
可以通过闸机的物体的最大宽度为，
故选：C．
8. 如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理，得，根据平移规律右加，得到，计算即可，本题考查了勾股定理，数轴上数的平移，熟练掌握定理和平移规律是解题的关键．
【详解】∵，，，
∴，
根据平移规律右加，得到即，
故选D．
9. 在反比例函数（为常数）图象上有三点，若，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，由得出反比例函数（为常数）的图象位于第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，结合即可得出答案．
【详解】解：，
反比例函数（为常数）的图象位于第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，
，
，
故选：C．
10. 已知抛物线与轴交于、，则关于的方程的解为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，将方程变形为，对应的抛物线为，得出抛物线与轴的交点坐标为，，即可得解，解题的关键是将变形为．
【详解】将方程变形为，
关于的方程对应的抛物线为．
抛物线是将抛物线向右平移一个单位长度得到，且抛物线与轴交于、，
抛物线与轴的交点坐标为，，
方程的解是，．
故选C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 已知⊙O的半径为6，圆心到直线AB距离5，直线AB与⊙O的位置关系是____．
【答案】相交
【解析】
【分析】若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
【详解】解：根据圆心到直线的距离5小于圆的半径6，则直线和圆相交．
故答案是：相交．
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，能够熟练运用数量关系判断直线和圆的位置关系．
12. 如图，在中，，顶点分别在反比例函数与的图象上，则的值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，相似三角形的判定与性质、求角的正切值，作轴于 ，轴于，则，，证明得出，再由正切的定义即可得出答案．
【详解】解：如图，作轴于点F，轴于，
，
则，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
13. 合肥骆岗中央公园是世界上最大的城市公园，位于合肥原骆岗机场，总面积平方公里，其中景观绿地面积约平方公里，第十四届中国国际园博会就选在这里，为此市政府对高速公路进行全方位升级．如图，这是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：米，米，，，则警示牌的高为__________米．（结果保留根号）
【答案】
【解析】
【分析】设米，根据米， ，，得到
,继而得到米，继而得到米，计算米，结合，根据计算即可，本题考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值，熟练掌握解直角三角形的基本方法是解题的关键．
【详解】设米，
∵米， ，，
∴,
∴米，
∴米，
∵米， ，
∴，
∴，
解得，
故答案为：．
14. 如图，是以为直径的半圆的中点，点在上，且的长度为长度的2倍，是直径上一个动点，连接，．
（1）如图1，当点在点处时，的度数为__________．
（2）如图2，图中阴影部分的周长的最小值是__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、轴对称的性质、求弧长、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）连接，得出是等腰直角三角形，即，根据的长度为长度的2倍，计算得出；
（2）连接，延长至，使得，连接、、，链接交于，当点、、三点依次在同一直线上时，的值最小，根据等边三角形的判定与性质结合勾股定理得出，再求出的长度，即可得解．
【详解】解：（1）如图，连接，
是以为直径的半圆的中点，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
的长度为长度的2倍，
，
，
故答案为：；
（2）如图，连接，延长至，使得，连接、、，链接交于，
，
是以为直径的半圆的中点，
，
点、点关于对称，
，，
，，
当点、、三点依次在同一直线上时，的值最小，
的长度为长度的2倍，
，
的长为，
，
是等边三角形，
，
，
阴影部分的周长的最小值为，
故答案为：．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了绝对值的性质和特殊角的三角函数值．先利用特殊角的三角函数值代入计算，再计算加减即可解答．
【详解】解：
．
16. 已知：关于x的二次函数的图象与x轴有交点．求k的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】二次函数的图象与x轴有交点，得方程有实数根，得，计算即可，本题考查了抛物线与x轴的交点，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
【详解】解：二次函数的图象与轴有交点，
，
解得，
故答案为：．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．

（1）画出绕点B逆时针旋转得到的．
（2）以原点为位似中心，相似比为，在轴的左侧画出将放大后的．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了位似变换、旋转变化作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解此题的关键．
（1）根据网格结构找出点、、以点为旋转中心逆时针旋转后的对应点，然后顺次连接即可；
（2）利用位似图形得性质得出对应点位置即可得出答案．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：如图，即为所求，

18. 如图，点，都在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，于点，轴于点，，，，求反比例函数的解析式及点的坐标．
【答案】反比例函数的解析式为，点．
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特点，由，，，，得出四边形，是矩形，则，，从而求出点即可，又点的横坐标为，代入解析式即可求解，用待定系数法求一次函数解析式，以及矩形的性质，熟练掌握这些性质是解题关键．
【详解】∵，，，，
∴，，
∴四边形，是矩形，
∴，，
∵，，，
∴，，
∴点，
∵点在的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
由，即点的横坐标为，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴点．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 情暖金秋，爱在重阳．为弘扬中华民族优秀传统文化，营造尊老、爱老、助老氛围，重阳节上午，某医院将进入幸福社区开展了重阳节关爱老年人健康义诊活动，为配合义诊活动，该社区居委会计划从A小区的甲、乙与B小区的丙、丁中招募两名志愿者．
（1）甲成功入选志愿者是__________（填“必然事件”或“随机事件”）．
（2）用列表法或画树状图法，求所招募的两名志愿者恰好来自同一小区的概率．
【答案】（1）随机事件
（2）
【解析】
【分析】（1）根据事件的分类属性判定是随机事件．
（2）用列表法计算概率．
本题考查了事件分类，画树状图或列表法计算概率，熟练掌握概率计算方法是解题的关键．
【小问1详解】
根据题意，得这是一个随机事件，
故答案为：随机事件．
【小问2详解】
根据题意，用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有12种等可能出现结果，其中两名志愿者恰好来自同一小区的结果有4种，
两名志愿者恰好来自同一小区的概率为．
20. 如图，在南海一次演习中，驻岛屿A处的侦察兵发现一艘“敌舰”在正东方向180海里的B处，且正在沿北偏西向D处的侦察兵航行，便立即通知在岛屿A正北方向C处的驱逐舰沿东北方向前去追赶拦截．已知驱逐舰恰好在边上的中点E处将“敌舰”截停，求A，C两点间的距离．（参考数据：，，）
【答案】30海里
【解析】
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，过点作的垂线段，垂足为，解，求出，，．在中求出，从而得出结论．
【详解】解：如图，过点作的垂线段，垂足为，
由题意可知．
在中，，
，
．
，
．
是的中点，
，．
在中，，
，
．
答：A，C两点间的距离为30海里．
六、（本题满分12分）
21. 如图，是的外接圆，是的直径，C是延长线上一点，在上，连接，若．
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，利用同弧所对的圆周角相等、等腰三角形的性质及直径所对的圆周角是直角即可得到与垂直，即是的切线；
（2）设交于点H，由，得到，根据垂径定理，设，则．利用勾股定理求出，从而利用勾股定理求得的长．
【小问1详解】
解：证明：如图1，连接．
是的直径，
，
．
，
．
，，
，
，
为的切线．
【小问2详解】
解：如图2，设交于点H．
，
，
，．
，
．
设，则．
，，
，
，
解得，
，
，
．
【点睛】本题是圆的综合，考查了切线的判定，，圆周角的有关性质，垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用勾股定理建立方程是解题的关键．
七、（本题满分12分）
22. 如图，抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点，直线经过B，C两点．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）已知P为抛物线上一点（不与点重合），若点关于轴对称的点恰好在直线上，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，以为对角线画平行四边形，将抛物线的顶点沿直线平移得到的抛物线恰好经过点M，求平移后的抛物线的函数表达式．
【答案】（1）
（2）．
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质：
（1）由直线求出点B，C的坐标可得c的值，从而求出函数解析式；
（2）设点的坐标为，求得点的坐标为，代入直线，求出的值即可；
（3）求出，点的坐标为，及直线，设平移后的抛物线的顶点坐标为，平移后的抛物线的函数表达式为，代入，求出的值即可
【小问1详解】
解：直线与轴，轴分别交于B，C两点，
令，则，解得，
令则
，，
，
抛物线的函数表达式为．
【小问2详解】
解：设点的坐标为．
点与点关于轴对称，
点的坐标为．
点恰好在直线上，
，
整理得，
解得，．
点不与点重合，
．
【小问3详解】
解：由（2）知点的坐标为，
当时，，解得，
．
四边形为平行四边形，
点的坐标为．
，
抛物线的顶点坐标为．
直线经过点，
，解得，
．
设平移后的抛物线的顶点坐标为，
平移后的抛物线的函数表达式为．
平移后的抛物线经过点，
，
解得（舍去），，
平移后的抛物线的函数表达式为．
八、（本题满分14分）
23. 如图，在矩形中，，，是边上一动点，将沿折叠得到．
（1）连接，若，求此时的面积．
（2）①若点P，E，D在同一直线上，求此时的长度．②若射线与矩形的边交于点M，当时，求的长．
【答案】（1）
（2）①，②长为或．
【解析】
【分析】（1）在中，解直角三角形求出，由折叠的性质得到，过点作于点，求出，即可求解；
（2）①利用勾股定理求出，证明，利用全等三角形的性质，即可得出结果；分当点在边上时，当点在边上时，两种情况讨论，利用勾股定理建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：在中，，，
，
．
由折叠知，
．
如图1，过点作于点，
，
；
【小问2详解】
解：①如图2，
由折叠知，
．
，
．
又，，
，
，
，
；
②如图3，当点在边上时，
设，则，，
，
．
如图4，当点在边上时，
设，则，，
，
．
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，三角形全等的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
甲
乙
丙
丁
甲
——
乙甲
丙甲
丁甲
乙
甲乙
——
丙乙
丁乙
丙
甲丙
乙丙
——
丁丙
丁
甲丁
乙丁
丙丁
——