湖南省永州市第九中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）

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1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查相反数，解题的关键是熟练掌握相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数），据此解答即可．
【详解】解：的相反数是．
故选：A．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念逐项判断即可．
【详解】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3. 新华网，2023年4月14日，我国首颗太阳探测卫星“夸父一号”已获得原始太阳观测数据大约84000000兆字节．将数据84000000用科学记数法表示为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对于一个绝对值较大数，用科学记数法写成的形式，其中，n是比原整数位数少1的数．
【详解】．
故选D．
【点睛】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据去括号法则，积的乘方法则，合并同类项法则以及同底数幂的除法法则逐项计算即可．
【详解】解：A、，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、与不能合并，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了去括号，积的乘方，合并同类项以及同底数幂的除法运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
5. 如图，一根直尺压在三角板的角上，欲使，则应使的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定，根据时，列式计算即可．
【详解】解：由题意得：，
当时，，
∴．
故选：A．
6. 若关于x的方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. k＞﹣1且k≠0B. k＞﹣1C. k＜﹣1D. k＜1且k≠0
【答案】A
【解析】
【分析】利用一元二次方程的概念及一元二次方程根的判别式计算即可.
【详解】根据题意得k≠0且△=（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，
所以k＞﹣1且k≠0．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根．
7. 要调查九年级学生周末完成作业的时间，下面最恰当的是（ ）
A. 对任课教师进行问卷调查B. 查阅学校的图书资料
C. 进入学校网站调查D. 对学生进行问卷调查
【答案】D
【解析】
【分析】对调查方式的合理性，调查对象的全面性，代表性，逐一判断．
【详解】解： A．对任课教师进行问卷调查，这种方式不合理；
B．查阅学校的图书资料，不合理；
C．进入学校网站调查，不合理；
D．对学生进行问卷调查，合理．
故选：D．
【点睛】本题考查了调查特点，关键是在选取样本时，选取的样本要全面，具有代表性．
8. 某中学八（1）班45名同学参加市“精准扶贫”捐款助学活动，共捐款400元，捐款情况记录表如下：
表格中捐款5元和8元人数不小心被墨水污染看不清楚．若设捐款5元的有x名同学，捐款8元的有y名同学，根据题意可得方程组（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设捐款5元的有x名同学，捐款8元的有y名同学，利用八（1）班学生人数为45得出一个方程，然后利用共捐款400元得出另外一个方程，再组成方程组即可．
【详解】解：设捐款5元的有x名同学，捐款8元的有y名同学，根据题意可得：
，即．
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，关键是利用总人数和总钱数作为等量关系列方程组．
9. 如图，内接于，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，过点O作于D，根据垂径定理求出，根据圆周角定理求出，根据余弦的定义求出，根据弧长公式计算，得到答案．
【详解】解：连接，过点O作于D，
则，
由圆周角定理得，，
∵，
∴，
∴，，
即，
∴(负值已舍)，
∴的长，
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心、弧长的计算、垂径定理的应用，掌握圆周角定理、垂径定理、弧长公式是解题的关键．
10. 如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形是边长为3的正方形，反比例函数的图像与边分别交于两点，的面积为4，点P为y轴上一点，则的最小值为（ ）
A. 3B. C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】由正方形的边长是3，得到点的横坐标和点的纵坐标为3，求得，，，根据三角形的面积列方程得到，，作关于轴的对称点，连接交轴于，则的长的最小值，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】正方形的边长是3，
点的横坐标和点的纵坐标为3，
，，，
，，
的面积为，
，
或（舍去），
，，
作关于轴的对称点，连接交轴于，则的长的最小值，
，
，，
，
即的最小值为，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的系数的几何意义，轴对称中最小距离问题，勾股定理，正方形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11. 将化成最简二次根式为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的化简方法，被开方数中的分子分母同时乘以3求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次根式的化简方法，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简方法．
12. 当________时，分式的值为零．
【答案】2
【解析】
【分析】根据分式的值为零的条件：分子为0，分母不为0，即可求出的值．
【详解】解：分式的值为零，
，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了分式值为零的条件，分母为零分式无意义，分子为零且分母不为零分式的值为零．
13. 点关于原点O对称的点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反即可求解．此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
【详解】点关于原点对称的点的坐标为，
故答案为：．
14. 对甲、乙两个小麦品种各100株小麦的株高（单位：）进行测量，算出平均数和方差为：，，，，于是可估计株高较整齐的小麦品种是______．
【答案】甲
【解析】
【分析】本题主要考查了方差与稳定性之间的关系，根据方差越小越稳定即可得到答案．
【详解】解：∵，，，，
∴，，
∴可估计株高较整齐的小麦品种是甲，
故答案为：甲．
15. 对于有理数a，b，定义一种新运算“⊙”，规定．则计算的值为______．
【答案】8
【解析】
【分析】根据题中的新定义进行计算即可得．
【详解】解：根据题中的新定义得：，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了有理数加减混合运算，绝对值的运算，解题的关键是理解题意．
16. 在平面直角坐标系中，如果点在一次函数图象上，那么点A和坐标原点的距离是 _____．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，先求出点A的坐标，再用勾股定理求解即可．
【详解】解：将点代入一次函数得，
∴点，
∴点A和坐标原点的距离是．
故答案为：5．
17. 如图，是平行四边形边的延长线上一点，，则____．

【答案】
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得到，，易证，由相似三角形的性质即可求解．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．
18. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数在几何图形中的应用，先根据公式得到，进而求出，再由二次函数的性质即可求出答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，的值最大，最大为63，
∴若，，则此三角形面积的最大值为，
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19. 计算：．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算，根据，，，，，再计算即可．
【详解】原式
．
20. 先化简，再求值：然后在0，1，三个数中选一个合适的数，代入求值．
【答案】，当时，原式
【解析】
【分析】本题主要考查了分式化简求值，先根据分式的混合计算法则化简，然后根据分式有意义的条件选择合适的值代值计算即可．
【详解】解：
，
∵分式要有意义，
∴，
∴且，
∴当时，原式
21. 如图，在平行四边形中，连接，为线段的中点，延长与的延长线交于点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）36
【解析】
【分析】本题主要考查平行四边形性质及应用，矩形的判定，全等三角形判定与性质，勾股定理以及三角函数等知识．
（1）由四边形是平行四边形，得，而点E是的中点，可得，即知，从而四边形是平行四边形；
（2）先证明四边形是矩形，再由，，求出，以及，，再求出即可得出结论．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
【小问2详解】
解：由（1）得：四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，，，
∴
∴
由勾股定理得，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形的面积，
所以，四边形的面积为36．
22. 第十九届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行．某网络经销商购进了一批以杭州亚运会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件30元．根据市场调查：在一段时间内，销售单价是45元时，每日销售量是550件；销售单价每涨1元，每日文化衫就会少售出10件．设该批文化衫的销售单价为元．
（1）请你写出销售量（件）与销售单价（元）的函数关系式．
（2）若经销商获得了10000元销售利润，则该文化衫单价应为多少元？
【答案】（1）
（2）若经销商获得了10000元销售利润，则该文化衫单价应为50元或80元
【解析】
【分析】本题主要考查了列函数关系式，一元二次方程的实际应用：
（1）根据销售单价每涨1元，每日文化衫就会少售出10件求出销售量即可；
（2）根据总利润单件利润销售量列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得：；
【小问2详解】
解：由题意得：，
整理得：，
解得或，
答：若经销商获得了10000元销售利润，则该文化衫单价应为50元或80元．
23. 2022年是我国航天事业辉煌的一年，神舟十四号和神舟十五号两个飞行乘组6位航天员在太空会师，在神州大地上掀起了航天热潮，某学校为了解本校学生对我国航天事业的了解情况，在全校范围内开展了航天知识竞赛，学校随机抽取了50名学生的成绩，整理并制成了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
其中这一组的数据如下：
61，62，62，63，64，64，64，64，64，64，64，64，64，64，66，67，67，69
根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）补全频数直方图，并计算______；
（2）这一组数据的众数是______，中位数是______；
（3）若将成绩在的记为“良好”，试估计全校3000名学生参与竞赛时成绩为“良好”的人数．
【答案】（1）补全图形见解析，0.28
（2）64；64 （3）1380名
【解析】
【分析】（1）先根据频率之和等于1求出m值，再根据频数=频率×总数求出a，b的值，最后补全频数分布直方图即可；
（2）根据众数和中位数的定义求解即可；
（3）先求出样本中“良好”的频率，再利用样本估计总体求解即可．
【小问1详解】
解：，
；
，
补全条形统计图如下：
故答案为：0.28；
【小问2详解】
解：这一组的数据按从小到大的顺序排列如下：
61，62，62，63，64，64，64，64，64，64，64，64，64，64，66，67，67，69
数据64出现次数最多，共10次，故众数为：64；
最中间的两个数为：64，64，故中位数为：，
故答案为：64；64；
【小问3详解】
解：（名）
答：估计全校3000名学生参与竞赛时成绩为“良好”的人数为1380名．
24. 在学习反比例函数后，数学兴趣小组参照学习反比例函数的过程与方法，探究函数的图象与性质，因为即y＝所以我们对比函数来进行探究．
列表如下：
（1）填空：a＝_______________，b＝_______________；
（2）在平面直角坐标系中以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，并用光滑的曲线画出函数图象；
（3）观察图象并分析表格，写出这个函数的两条性质：
①________________________；②______________________________．
（4）函数与直线交于点A，B，求的面积．

【答案】（1）7；
（2）见解析 （3）①当时，y随x的增大而增大；②函数没有最大值（答案不唯一）
（4）
【解析】
【分析】（1）将自变量代入计算即可；
（2）结合表格数据先描点，再连线即可作答；
（3）结合反比例函数的特点作答即可；
（4）先求出两个函数的交点坐标，再求出与x轴的交点坐标，问题随之得解．
【小问1详解】
在曲线上，
当时，；
当时，，
故答案为：7；．
【小问2详解】
函数图象如图所示
【小问3详解】
结合（2）中的函数图象有：
①当时，y随x的增大而增大；
②函数没有最大值（答案不唯一）．
【小问4详解】
根据题意得，
解得或．
当时，；
当时，，
∴交点为，．
如图，

当时，,
解得：，即与x轴交于点，
∴．
【点睛】本题是一道涉及反比例函数的拓展题，题目难度不大，通过类比，紧扣反比例函数的图象与性质，是解答本题的关键．
25. 如图，线段是半圆的直径，点为的中点，在线段的延长线上取点，过点作的切线，切点为，点是弧（不与点，重合）上一点，延长交于的延长线于点．
（1）连接，，若，求证：；
（2）在（1）的条件下，若，，求的半径．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，相似三角形的性质与判定：
（1）由线段是半圆的直径，是半圆的切线得到，进而证明，从而得到，由此即可证明；
（2）利用切线的性质和平行线的性质可得，利用勾股定理求出，证明，最后根据相似三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
证明：∵线段是半圆的直径，
∴，
∵是半圆切线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵是的切线，
∴∠．
∵，
∴．
∵，，
∴．
设半径为R，则．
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴的半径为．
26. 综合与探究．
如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接．
（1）求，，三点的坐标；
（2）若点是轴上一点，当为等腰三角形时，求点的坐标；
（3）点是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），，
（2）或或
（3）或
【解析】
【分析】（1）当时，即，解方程可得图象与轴交于点，，当时，，从而得图象与轴交于点；
（2）先利用勾股定理求出，再分当，当时，当时，三种情况讨论求解即可；
（3）分点在上方时和点在下方两种情况讨论求解即可．
【小问1详解】
解：当时，即，解得：．
∴图象与轴交于点，，
当时，，
∴图象与轴交于点，
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
当，则点P的坐标为或；
当时，∵，
∴，
∴点P的坐标为；
当时，设点P的坐标为，
∴，
∴，
解得，
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或或；
【小问3详解】
解：当点在上方时，

∵，
∴，即轴，
∴点与点关于抛物线的对称轴对称，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线；
∵，
∴；
当点在下方时，设交轴于点，

则，．
∵，
∴．
在中，，
∴，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，
，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，得，
解得：舍去，，
∴．
综上所述，点的坐标为或；
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数与坐标轴的交点坐标，一次函数与几何综合，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
捐款（元）
3
5
8
10
人数
2
■
■
31
组号
成绩
频数
频率
1
2
0.04
2
0.1
3
18
0.36
4
9
0.18
5
6
2
0.04
合计
50
1.000
x
…
1
2
3
4
．．．
…
5
－1
．．．
…
a
b
1
．．．