江苏省泰州市姜堰区四校联考2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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（考试时间：120分钟 总分：150分）
注意事项：
请将答案正确填写在答题卡上
第一部分 选择题
一、单选题
1. ﹣3相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．
【详解】根据相反数定义可得：－3的相反数是3，
故选D．
【点睛】本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键．
2. 下列各式中计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据整式的加减，幂的运算法则，积的乘方，计算判断即可．
【详解】解：A. ，选项错误，不符合题意；
B. ，选项错误，不符合题意；
C. ，选项错误，不符合题意；
D. ，选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查整式的加减，幂的运算法则，积的乘方，掌握运算法则是解题的关键．
3. 如图，，，，则∠1的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据三角形外角的性质求出，再根据平行线的性质即可得到．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，平行线的性质，熟知三角形的一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角之和是解题的关键．
4. 下面不是正方体展开图的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】正方体展开图共分四种模型，依次为“1—4—1型”、“2—3—1型”、“2—2—2型”、“3—3型”，据此进一步判断即可．
【详解】A选项属于正方体展开图的1—4—1型；
B选项属于正方体展开图的2—3—1型；
D选项属于正方体展开图的2—2—2型；
以上三者皆可折叠成一个正方体，
C选项不能，因为在折叠过程之中会有正方形重叠，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方体展开图的识别，熟练掌握相关概念是解题关键．
5. 某函数的图象如图所示，当时，在该函数图象上可找到n个不同的点，，……，，使得，则n的最大取值为（ ）

A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】设，判断出点，，……，在正比例函数上，根据图象判断出正比例函数的图象与某函数的图象最多有5个交点，不可能有6个交点，即可得到答案．
【详解】解：设，
则……，，
即点，，……，在正比例函数上，
如图，正比例函数的图象与某函数的图象最多有5个交点，
∴n的最大取值为5，
故选A．
【点睛】此题考查了正比例函数的图象和性质，根据题意构造正比例函数，利用数形结合是解题的关键．
6. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，抛物线的对称轴是直线，若，则t的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把点，代入，得出m和n的表达式，再根据得出，即可求解．
【详解】解：把点代入得：，
把点代入得：，
∵，
∴，
即，整理得：，
由①可得：，
由②可得：，
∵抛物线的对称轴是直线，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的对称轴，点与二次函数图象的关系，解题的关键是掌握二次函数对称轴为直线．
第二部分 非选择题 （共132分）
二、填空题
7. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解即可．
【详解】解：若代数式有意义，则，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义，分母不为零是解题的关键．
8. 已知为正整数，点在第一象限中，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据点在第一象限，则，根据为正整数，则，即可．
【详解】∵点在第一象限中，
∴，
∴，
∵为正整数，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查平面直角坐标系的知识，解题的关键是掌握点的坐标的性质．
9. 分解因式：________.
【答案】
【解析】
【分析】考查提取公因式法和平方差公式法因式分解，解题的关键是掌握提公因式和平方差公式因式分解法．
【详解】解：，
故答案为：．
10. 正八边形的一个内角的度数是____ 度．
【答案】135
【解析】
【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为正整数）求出内角和，然后再计算一个内角的度数即可.
【详解】正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°=1080°，
每一个内角的度数为： 1080°÷8=135°，
故答案为135.
11. 若圆锥底面圆的半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面积的计算公式（为底面圆的半径，为圆锥的母线长）即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积计算，熟记圆锥的侧面积计算的公式是解题的关键．
12. 若函数与的图像的交点坐标为, 则的值是______.
【答案】-2
【解析】
【分析】求出两函数组成的方程组的解，即可得出a、b的值，再分别代入求出即可.
【详解】解：由题意得：
把①代入②得: ，
整理得: x2+ 2x+1=0，
解得:
∴交点坐标是(-1,-2)，
∴ a= -1，b= -2，
∴= -1 +（-1）= -2.
故答案为：- 2.
【点睛】本题主要考查函数交点坐标求法与运用；求出两函数组成的方程组的解，即为交点坐标是本题的解题关键.
13. 根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当飞行时间t为___________s时，小球达到最高点．
【答案】2
【解析】
【分析】将函数关系式转化为顶点式即可求解．
【详解】根据题意，有，
当时，有最大值．
故答案为：2．
【点睛】本题考查二次函数解析式的相互转化及应用，解决本题的关键是熟练二次函数解析式的特点及应用．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，将点P绕着原点O顺时针旋转后的坐标为___．
【答案】
【解析】
【分析】本题综合考查全等三角形与一次函数，将点P绕着原点O顺时针旋转后点为，过作交于，于，过作于，即可得到，可求出点坐标和直线解析式，最后根据求出点坐标即可．
【详解】如图，将点P绕着原点O顺时针旋转后点为，过作交于，于，过作于，

由题意可得：，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴直线直线解析式为，
∴设，
∵第一象限，
∴
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，与相交于点P，则的值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】连接，由题意易得，，然后由相似三角形的对应边成比例，易得，即可得，在中，即可求得，继而求得答案．
【详解】解：如图：连接，
∵四边形是正方形，
∴，，，，
∴，
根据题意得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．
16. 若实数x，y满足关系式，则的最大值为______．
【答案】4
【解析】
【分析】将适当变形得到用含有x的代数式表示的形式，再利用配方法变形后，根据x的取值范围即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
，
∵，
，
∴，
当时，解得：，，
∴要使，必须使，
∴当时的最大值为．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了代数式的极值、配方法等知识点，利用配方法对式子灵活变形是解题的关键．
三、解答题
17. （1）计算：
（2）解方程：
【答案】（1）原式；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查实数的运算及分式方程，熟记各个运算方法是解题的关键，注意分式方程最后要检验．（1）首先进行乘方运算，开方运算，负整数指数幂的运算，零指数幂的运算，最后进行加减计算即可；（2）方程两边同乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程，求解即可，最后要把x的值代入到最简公分母进行检验．
【详解】解：（1）原式；
；
；
（2）方程两边同乘得；
；
解得：；
检验：当时，；
所以原方程的解为：．
18. 解不等式组：．
【答案】.
【解析】
【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【详解】
解不等式①得：，解不等式②得：，不等式组的解集为．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解答此题的关键．
19. 先化简，再求值：，其中
【答案】，．
【解析】
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
，
当时，原式
【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确对分式进行通分、约分是关键．
20. 如图，三个顶点的坐标分别为，，.
（1）请画出关于原点对称的；
（2）在轴上求作一点P，使的周长最小，请画出，并直接写出的坐标．
【答案】（1）答案见解析
（2）作图见解析，P坐标为
【解析】
【分析】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
（1）根据网格结构找出点、、关于原点的对称点、、的位置，然后顺次连接即可；
（2）找出点关于轴的对称点，连接与轴相交于一点，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点的位置，然后连接、并根据图象写出点的坐标即可．
【小问1详解】
如图所示；
【小问2详解】
作点关于x轴的对应点，连接交x轴于点P，则点P为所求的点，连接，则为所求的三角形．此时点P坐标为．
21. 某校学生会向全校2300名学生发起了“爱心捐助”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图1、图2所示的统计图：
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机调查的学生人数为_________，图1中m的值是_________．
（2）本次调查获取的样本数据的平均数为_________元、众数为_________元、中位数为_________元；
（3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额不少于30元的学生人数．
【答案】（1）50；40
（2）26.4；30；30
（3）本次捐款金额不少于30元的学生有1288人
【解析】
【分析】(1)根据样本容量=频数÷所占百分数，合理选择计算即可．
(2)根据加权平均数，众数，中位数的定义计算．
（3）根据样本估计总体的思想计算．
【小问1详解】
∵(人)，，
所以接受随机调查的学生人数为50人，，
故答案为：50，40．
【小问2详解】
根据题意，得，
众数是30元，
中位数是，
故答案为：26.4；30；30．
【小问3详解】
（人）
∴本次捐款金额不少于30元的学生有1288人．
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图，样本估计总体的思想，众数即出现次数最多的数据、中位数将数据排序后中间数据或中间两个数据的平均数、加权平均数，熟练掌握统计图的意义，三数的概念是解题的关键．
22. 将图中的A型、B型、C型矩形纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．
（1）搅匀后从中摸出1个盒子，求摸出的盒子中是型矩形纸片的概率；
（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的两个盒子中摸出一个盒子，求2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率（不重叠无缝隙拼接）．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）画树状图得出所有等可能结果，从中找打2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的结果数，利用概率公式计算可得．
【详解】解：（1）搅匀后从中摸出1个盒子有3种等可能结果，
所以摸出的盒子中是型矩形纸片的概率为；
（2）画树状图如下：
由树状图知共有6种等可能结果，其中2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的有4种结果，
所以2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率为．
【点睛】考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
23. 某市为了解决居民用水问题，计划将该市自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工，则恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的2倍．若由甲、乙队先合做10天，则余下的工程由甲队单独完成还需5天．这项工程的规定时间是多少天？
【答案】这项工程的规定时间是20天
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，设这项工程的规定时间是天，根据等量关系列出方程得，再解方程并检验即可求解，理清题意，根据等量关系列出方程是解题的关键．
【详解】解：设这项工程的规定时间是天，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：这项工程的规定时间是20天．
24. （1）如图，的高、相交于点，且．求证：．
（2）在的形外有一点，若到、的距离相等，且，则、相等吗？若相等，请画图并给予证明；若不相等，请画图并说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）不一定成立，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据，，得到，再根据，得到，进而得到，结论即可得出；
（2）当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时，有AB=AC；否则，AB≠AC．
【详解】（1）证明：∵
∴
即
∵，∴
∴
即
∴
（2）不一定成立

当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时
在
∴
∴
否则，AB≠AC．
【点睛】此题主要考查三角形的内角和、等角对等边性质和全等三角形的判定及性质，熟练运用性质是解题关键．
25. 如图，已知一次函数y1＝kx＋b的图像与函数y2＝（x＞0）的图像交于A（6，－），B（，n）两点，与y轴交于点C，将直线AB沿y轴向上平移t个单位长度得到直线DE，DE与y轴交于点F．
（1）求y1与y2的解析式；
（2）观察图像，直接写出y1＜y2时x的取值范围；
（3）连接AD，CD，若△ACD的面积为6，则t的值为 ．
【答案】（1），；
（2）；
（3）2．
【解析】
【分析】（1）将两函数A、B的坐标值分别代入两个函数解析式求出未知系数即可；
（2）由图像可知当x在A、B两点之间时y1（3）根据平移性质可知，CF=t，求出两直线之间的距离即为△ACD的高CG，通过A、C坐标求出线段AC长，列出△ACD面积=的代数式求解即可．
【小问1详解】
∵一次函数y1＝kx＋b的图像与函数y2＝（x＞0）的图像交于A（6，－），B（，n）两点，
∴， ，
解得：， ，
∴y1、y2的解析式为：，；
【小问2详解】
从图像上可以看出，当x在AB两点之间时，y1∴x的取值范围为：；
【小问3详解】
作CG⊥DE于G，如图，
∵直线DE是直线AB沿y轴向上平移t个单位长度得到，
∴，CF=t，
∵直线AB的解析式为，
∴直线AB与y轴的交点为C，与x轴的交点为，
即直线AB与x、y坐标轴的交点到原点O的距离相等，
∴∠FCA=45°，
∵CG⊥DE， ，
∴CG⊥AC，CG等于平行线AB、DE之间的距离，
∴∠GCF=∠GFC=45°，
∴CG==，
∵A、C两点坐标为：A（6，－），C，
∴线段AC=，
∴，
∵△ACD的面积为6，
∴3t=6，
解得：t=2．
【点睛】本题综合考查了一次函数、反比例函数，熟练掌握通过已知函数图像上的点的坐标求函数解析式，通过图像查看自变量取值范围，灵活运用平移的性质是解题关键．
26. 定义：两个二次项系数之和为，对称轴相同，且图像与轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数.例如：的友好同轴二次函数为．
（1）函数的友好同轴二次函数为 ．
（2）当时，函数的友好同轴二次函数有最大值为，求的值．
（3）已知点分别在二次函数及其友好同轴二次函数的图像上，比较的大小，并说明理由．
【答案】（1）；
（2）；
（3）当时，；当时，；当时，
【解析】
【分析】（1）根据友好同轴二次函数的定义，找出的友好同轴二次函数即可；
（2）根据友好同轴二次函数定义，找出的友好同轴二次函数，判断函数图像开口方向，利用函数的对称轴和自变量范围进行最大值讨论；
（3）先根据友好同轴二次函数的定义，找出的友好同轴二次函数，再把两点代入，作差后比较大小，为含参数的二次不等式，求解的范围即可．
小问1详解】
设友好同轴二次函数为，
由函数可知，
对称轴为直线，与轴交点为，
，，对称轴为直线，
，
友好同轴二次函数为；
【小问2详解】
由函数可求得，
该函数的友好同轴二次函数为；
①当时，时，，
解得：；
②当时，时，，
解得：；
综上所述，；
【小问3详解】
由函数可求得，
该函数的友好同轴二次函数为，
把分别代入可得，
，，
则，
，
，
①当时，，即，
，
解得：；
②当时，，即，
，
解得：；
③当时，，即，
，
解得：；
综上所述，当时，；
当时，；
当时，．
【点睛】本题考查二次函数的性质以及新定义问题，掌握二次函数的基本性质以及研究手段，准确根据题意求出符合要求的友好同轴二次函数是解题关键．