广东省汕头市潮阳实验学校2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题

这是一份广东省汕头市潮阳实验学校2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题，共20页。试卷主要包含了在复平面上，复数对应的点在，“”是“2a>2b”的，已知一组数据等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷 （选择题）
单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1．在复平面上，复数对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．“”是“2a>2b”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件
3．木雕是我国雕塑的一种，在我们国家常常被称为“民间工艺”.传统木雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形木雕，可视为将扇形OCD截去同心扇形OAB所得图形，已知，，，则该扇形木雕的面积为（ ）

A．B．C．D．
4．设，若函数有极值点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D． a<0
5．已知正项等比数列中，成等差数列.若数列中存在两项，使得为它们的等比中项，则的最小值为（ ）
A． 4B．3C．6D．9
6．已知函数（），若在区间内有且仅有3个零点和3条对称轴，
则的取值范围是（ ）
A．B．C． D．
7．已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若直线与双曲线的另一条渐近线交于点，且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A．B． C．D．
8．已知，，若不等式的解集中只含有两个正整数，
则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)
9．已知一组数据：3，3，4，4，4，x，5，5，6，6的平均数为，则（ ）
A． C．这组数据的中位数为4
B．若将这组数据每一个都加上0.3，则所有新数据的平均数变为5
D．这组数据的第70百分位数为5.5
10．已知定义在上的连续函数，其导函数为，且，函数y=fx+12为偶函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知正四面体的棱长为3，下列说法正确的是（ ）
A．平面与平面夹角的余弦值为
B．若点满足，则的最小值为
C．在正四面体内部有一个可任意转动的正四面体，则它的体积可能为
D．点在△ABC内，且，则点轨迹的长度为
第Ⅱ卷 （非选择题）
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12．已知向量a=1,m，b=m-2,1，若a⊥b，则的值为 ．
13．已知抛物线的焦点为，位于第一象限的点在上，为坐标原点，且满足，则外接圆的半径为 .
14. 已知直线与曲线相切，切点为，与曲线也相切，切点是，则的值为_________.
四、解答题(本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．（满分13分）在等差数列an中，a2+a4=a6=6．
(1)求an的通项公式；
(2)求数列1an+1an+a2+2an的前n项和Sn．
16．（满分15分）正四棱柱中，分别是棱的中点，.
(1)求正四棱柱的体积；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
17.（满分15分）在△ABC中，角所对的边分别为，其中，．
(1)求角的大小；
(2)如图，为△ABC外一点，，，求的最大值．
18．（满分17分）已知函数f'x是fx的导函数， .
（1）讨论fx的单调性；
（2）若有唯一零点.
① 求的取值范围；
② 当时，证明：.
19.（满分17分）如图，已知椭圆与椭圆有相同的离心率，
点在椭圆上．过点的两条不重合直线与椭圆相交于两点，与椭圆相交于
和四点．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)求证：；
(3)若，设直线的倾斜角分别为，求证：为定值．
潮阳实验学校2023-2024学年度高二第二学期第一次月考数学参考答案
一、单选题
1．【答案】C
【详解】因为，
所以，在复平面上，复数对应的点为.故选：C.
2．【答案】A
【详解】“”“”，
“” “”，
“”是“”的充分而不必要条件，
故“”是“”的的充分而不必要条件，故选：A
3.【答案】D
【详解】扇形OAB的圆心角为，又因为，，
所以该扇环形木雕的面积为.故选：B
4.【答案】D.
5．B
【详解】设正项等比数列公比为，由，，成等差数列，
有，即，得，由，解得，
若数列中存在两项，，使得为它们的等比中项，
则，即，得，则，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为3.
故选：B
6.【答案】C
【详解】函数．
当时，令，则，
若在有且仅有3个零点和3条对称轴，
则在有且仅有3个零点和3条对称轴，
则，解得.
故选：C．

7.B
【详解】已知双曲线的渐近线方程为，
双曲线右焦点到渐近线的距离为，
在中，，，所以，
设，则，，
因为，所以，
所以，所以，
在中，，
所以，即，即，
所以． 故选：B
8.【答案】C
【详解】定义域为，
，
令，再上，
再上单调递增，
从趋向于0时，趋向于0，则趋向于，
设，即，，
则在上，在上，
在上，在上，
在上单调递减，在上单调递增，
，
则等价于，
，定义域为，
则，即，等价于，
令，则，
，解得，，解得，
则当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
即的最大值在处取得，
令，解得，即函数与轴交于点，
函数当由时，，，则，
当由时，，，但的增长要远远大于，则，
作图象如下：
要使解集中只含有两个正整数，只能是2,3，
，解得，即
故选：C.
二、多选题
9.【答案】ABD
【详解】由题意得，解得，故A正确；
将这组数据从小到大排列为3，3，4，4，4，5，5，6，6，7，则中位数，故C错误；
若将这组数据每一个都加上0.3，则所有新数据的平均数变为，故B正确；
因为，所以这组数据的第百分位数为，故D正确．
故选：ABD．
10【答案】ABD
【详解】A项，在中，，
因为函数为偶函数，则，所以函数关于对称，
所以，故A正确；
B项，令，因为当时，
所以当时，，函数单调递增，
所以，所以，B正确；
C项，当时，，所以，函数单调递增，
所以当时，函数单调递减，则在取得最小值为1，
所以不存在，C错误；
D项，由函数关于对称，
当时，令，，函数单调递增，
所以，则，
所以，，
令，，
所以函数单调递减，，
所以，
所以，，
所以与的差大于与的差，
因为函数关于对称，当时，函数单调递增，
所以，D正确；
故选：ABD.
11.【答案】ABC
【详解】将正四面体补全为正方体，并如图建系，，
,
设面的一个法向量，面的一个法向量，
所以，，取，解得，
所以面的一个法向量，面的一个法向量，
设平面与平面夹角为时，A对.
，则共面，正四面体棱长为3，则正方体棱长为，
所以，，B对.
大正四面体内切球半径，小正四面体棱长为，此外接球半径，
，C对.
分别在上取使，延长至使，
，取的中点在以为球心，
为半径的球面上，且在内，作在平面上的射影，
为图中，显然不是一个完整的圆，
的轨迹长度不为，D错.
故选：ABC.
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
12.【答案】1
【详解】由，所以，则．故答案为：1
13.【答案】
【详解】由题可得，由，可得点的横坐标为，所以，
所以，
设外接圆的半径为，则由正弦定理可得，
所以外接圆的半径为.
故答案为：.
14.【答案】1
【详解】设直线与曲线相切于，又，所以直线的斜率为，
则处的切线方程为，即；
直线与曲线相切于，，
可得切线方程为，
即，
因为直线与两条曲线都相切，所以两条切线相同，
则且，
则，即
可得，解得，
故答案为：.
15.（1）设公差为，由可得，
解得，故. …………………………………………………………5分
（2），
所以
………………………………………………13分
16.（1）连接，因为，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为，所以.
因为，
所以，所以，
所以，所以，
所以.
所以正四棱柱的体积. ……………………………………………7分
（2）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，
，
则，
令，则，
则平面的法向量为.
设平面的法向量为，
，
则，
令，则，
则平面的法向量为.
.
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. …………………………15分
17.（1）因为，所以，
由正弦定理，可得，
整理可得，
又因为，
化简可得，
而，则，又，则 …………………………7分
（2）在中，由可得，
在中，由可得，
所以，
设，
由余弦定理，
，
可得，，
因此，
当且仅当时，即等号成立，
所以的最大值为，此时. …………………………15分
18.
…………5分
……10分
…………17分
19.（1）由题意知，两椭圆有相同的离心率，则有，，
又点在椭圆上，有，解得，
所以椭圆的标准方程为. ………………………………………………5分
（2）要证，即证，设，
当直线斜率不存在时，由椭圆对称性可知成立，
当直线斜率存在时，设斜率为，则方程为，
由得，
，
由得，
，
得，，
，，则有.
所以与等底等高，有. ………………………………10分
（3）由（2）可知，同理有，
由，可得，则有，
设直线的斜率为，直线方程为，设，
由得，
，
，
，
所以，
即，
化简得，即，由题意，所以，
所以.…………………………………………………………………………17分