高三物理一轮复习精讲精练第一讲曲线运动运动的合成与分解(原卷版+解析)

这是一份高三物理一轮复习精讲精练第一讲曲线运动运动的合成与分解(原卷版+解析)，共28页。试卷主要包含了曲线运动，运动的合成与分解，小船过河模型，绳端模型等内容，欢迎下载使用。

一、曲线运动
1.概念：运动的轨迹是曲线的运动
2.速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向．
3.曲线运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动．
a恒定：匀变速曲线运动；a变化：非匀变速曲线运动．
3.做曲线运动的条件：
(1)运动学角度：物体的加速度方向跟速度方向不在同一条直线上．
(2)动力学角度：物体所受的合外力方向跟速度方向不在同一条直线上．
二、运动的合成与分解
1.基本概念
(1)运动的合成：已知分运动求合运动。
(2)运动的分解：已知合运动求分运动。
2.分解原则：可根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解。
3.遵循的规律：位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。
知识训练
考点一、曲线运动的概念和理解
1.运动轨迹的判断
(1)若物体所受合力方向与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动．
(2)若物体所受合力方向与速度方向不在同一直线上，则物体做曲线运动．
2.曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系
(1)速度方向与运动轨迹相切；
(2)合力方向指向曲线的“凹”侧；
(3)运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间．
3.速率变化的判断
例1、关于曲线运动，以下说法中正确的是( )
A．在恒力作用下的物体不可能做曲线运动
B．曲线运动一定是变速运动
C．做曲线运动的物体所受合力可以为零
D．曲线运动的速度大小一定变化
例2、(多选)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星在由地球飞向月球时，沿曲线从M点向N点飞行的过程中，探月卫星所受合力方向可能是下列图中的( )
例3、如图所示，一物体仅在三个共点恒力F1、F2、F3的作用下以速度v0水平向右做匀速直线运动，其中F1斜向右上方，F2竖直向下，F3水平向左。某时刻撤去其中的一个力，其他力的大小和方向不变，则下列说法正确的是( )
A．如果撤去的是F1，则物体做匀变速曲线运动，速率减小
B．如果撤去的是F1，则物体做加速度变化的曲线运动
C．如果撤去的是F2，则物体做匀变速曲线运动，速率将保持不变
D．如果撤去的是F3，物体将向右做匀减速直线运动
课堂随练
训练1、(多选)一质点做曲线运动，它的速度方向和加速度方向的关系是( )
A．质点速度方向时刻在改变
B．质点加速度方向时刻在改变
C．质点速度方向一定与加速度方向相同
D．质点速度方向一定沿曲线的切线方向
训练2、(多选)初速度不为零的小球只受到一个大小不变的力的作用，下列说法正确的是( )
A．小球可能做曲线运动
B．小球的位置可能保持不变
C．小球的速度大小可能保持不变
D．小球的加速度一定保持不变
训练3、质点做匀变速曲线运动轨迹的示意图如图所示，且质点运动到D点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直。在质点从A点运动到E点的过程中，下列说法中正确的是( )
A．质点经过C点的速率比经过D点的大
B．质点经过A点时的加速度方向与速度方向的夹角小于90°
C．质点经过D点时的加速度比经过B点的大
D．质点从B到E的过程中加速度方向与速度方向的夹角先增大后减小
考点二、运动的合成与分解
1.合运动和分运动的关系
①等时性：各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等
②独立性：各分运动独立进行，不受其他分运动的影响
③等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动有完全相同的效果
2.合运动的性质判断
(1)加速度(或合外力)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(变化：变加速运动,不变：匀变速运动))
(2)加速度(或合外力)与速度方向eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(共线：直线运动,不共线：曲线运动))
3.两个直线运动的合运动
例1、跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是( )
A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B．风力越大，运动员着地时的竖直速度越大，有可能对运动员造成伤害
C．运动员下落时间与风力无关
D．运动员着地速度与风力无关
例2、(多选)(2022·北京西城区期末)如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个由蜡做成的小圆柱体R。R从坐标原点以速度v0＝0.02 m/s匀速上浮的同时，玻璃管沿x轴正方向做初速度为0的匀加速直线运动。测出t时刻R的x、y坐标值分别为0.25 m和0.10 m。则此时( )
A．玻璃管的速度的大小为0.05 m/s
B．玻璃管的加速度的大小为0.02 m/s2
C．蜡块的运动轨迹方程为x－25y2＝0
D．蜡块的运动轨迹方程为8x2－5y＝0
例3、(2022·陕西西安市长安一中月考)如图所示是物体在相互垂直的x方向和y方向运动的v－t图像．以下判断正确的是( )
A．在0～1 s内，物体做匀速直线运动
B．在0～1 s内，物体做匀变速直线运动
C．在1～2 s内，物体做匀变速直线运动
D．在1～2 s内，物体做匀变速曲线运动
课堂随练
训练1、(多选)如图所示，某同学在研究运动的合成时做了下述活动：用左手沿黑板推动直尺竖直向上运动，运动中保持直尺水平，同时，用右手沿直尺向右移动笔尖。若该同学左手的运动为匀速运动，右手相对直尺的运动为初速度为零的匀加速运动。则关于笔尖的实际运动，下列说法中正确的是( )
A．笔尖做匀速直线运动
B．笔尖做匀变速直线运动
C．笔尖做匀变速曲线运动
D．笔尖的速度方向与水平方向夹角逐渐变小
训练2、(2021·广东深圳高三调研)2019北京航展，我国五代战机“歼－20”再次闪亮登场。表演中，战机先水平向右，再沿曲线ab向上(如图)，最后沿陡斜线直入云霄。设飞行路径在同一竖直面内，飞行速率不变。则沿ab段曲线飞行时，战机( )
A．所受合外力大小为零
B．所受合外力方向竖直向上
C．竖直方向的分速度逐渐增大
D．水平方向的分速度不变
训练3、(多选)质量为2 kg的质点在xOy平面上做曲线运动，在x方向的速度—时间图像和y方向的位移—时间图像如图所示，下列说法正确的是( )
A．质点的初速度为5 m/s
B．质点所受的合外力为3 N，做匀加速曲线运动
C．2 s末质点速度大小为6 m/s
D．2 s内质点的位移大小约为12 m
考点三、小船过河模型
1.两类问题，三种情景
例1、(多选)(2022·江苏省如东中学月考)如图所示，一条河宽为24 m，水流速度恒为2 m/s，现要将小船上的货物由此岸的A处沿直线送到正对岸下游18 m处的B处，已知小船的速度最大可达2 m/s，取sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6，g取10 m/s2，下列说法正确的有( )
A．如果小船以最小速度航行，小船的速度为1.2 m/s
B．如果小船以最小速度航行，小船的速度为1.6 m/s
C．如果要使小船在最短时间内抵达B处，最短时间为12 s
D．如果要使小船在最短时间内抵达B处，最短时间为12.5 s
例2、有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河。一条小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直，小船在静水中的速度大小为eq \f(2v,\r(3))。
回程与去程所用时间之比为( )
A．3∶2 B．2∶1
C．3∶1 D．2eq \r(3)∶1
课堂随练
训练1、(多选)假设一只小船匀速横渡一条河流，当船头垂直对岸方向航行时，在出发后10 min到达对岸下游120 m处；若船头保持与河岸成α角向上游航行，出发后12.5 min到达正对岸，两次渡河时小船相对于静水的速度大小相同．以下说法正确的是( )
A．水流的速度大小为0.2 m/s
B．船头与河岸间的夹角α为60°
C．小船在静水中的速度大小为0.6 m/s
D．河的宽度为200 m
训练2、(2014·四川卷)有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河．小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直．去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为( )
A．eq \f(kv,\r(k2－1)) B．eq \f(v,\r(1－k2)) C．eq \f(kv,\r(1－k2)) D．eq \f(v,\r(k2－1))
考点四、绳端模型
1.绳(杆)端速度分解模型
(1)模型特点
沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等。
(2)绳(杆)端速度的分解思路
2.四种常见的速度分解模型
例1、如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当汽车匀速向左运动时，物体M的受力和运动情况是( )
A．绳的拉力等于M的重力
B．绳的拉力大于M的重力
C．物体M向上做匀速运动
D．物体M向上做匀加速运动
例2、如图所示，不计所有接触面之间的摩擦，斜面固定，a、b两物体质量分别为m1和m2，且m1A．v2sin θ B．eq \f(v2,sin θ) C．v2cs θ D．eq \f(v2,cs θ)
例3、如图所示，一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(可视为质点)。将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成 θ＝30°角，球B的速度大小为v2，则( )
A．v2＝eq \f(1,2)v1 B．v2＝2v1 C．v2＝v1 D．v2＝eq \r(3)v1
课堂随练
训练1、A、B两物体通过一根跨过光滑轻质定滑轮的不可伸长的轻绳相连放在水平面上，现物体A以v1的速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角分别是α、β时，如图所示，物体B的运动速度为(绳始终有拉力)( )
A．eq \f(v1sin α,sin β) B．eq \f(v1cs α,sin β) C．eq \f(v1sin α,cs β) D．eq \f(v1cs α,cs β)
训练2、如图所示，小球a、b用一细直棒相连，a球置于水平地面上，b球靠在竖直墙面上，释放后b球沿竖直墙面下滑，当滑至细直棒与水平地面成θ角时，a、b两小球的速度大小的比值为( )
A．sin θ B．cs θ
C．tan θ D．eq \f(1,tan θ)
同步训练
1、关于物体的受力和运动，下列说法中正确的是( )
A．物体在不垂直于速度方向的合力作用下，速度大小可能一直不变
B．物体做曲线运动时，某点的加速度方向就是通过这一点曲线的切线方向
C．物体受到变化的合力作用时，它的速度大小一定改变
D．做曲线运动的物体，一定受到与速度不在同一直线上的外力作用
2、如图所示，这是质点做匀变速曲线运动的轨迹的示意图。已知质点在B点的加速度方向与速度方向垂直，则下列说法中正确的是( )
A．C点的速率小于B点的速率
B．A点的加速度比C点的加速度大
C．C点的速率大于B点的速率
D．从A点到C点加速度与速度的夹角先增大后减小，速率是先减小后增大
3、(2015广东)如果所示，帆板在海面上以速度v朝正西方向运动，帆船以速度v朝正北方向航行，以帆板为参照物 （ ）
A．帆船朝正东方向航行，速度大小为v
B．帆船朝正西方向航行，速度大小为v
C．帆船朝南偏东45°方向航行，速度大小为v
D．帆船朝北偏东45°方向航行，速度大小为v
4、(多选)河宽l＝300 m，水速u＝1 m/s，船在静水中的速度v＝3 m/s，要求轨迹为直线并到达正对岸上游100 m处，设船头与河岸的夹角为α，则( )
A．sin α＝0.6
B．sin α＝0.8
C．过河时间为t＝125 s
D．过河时间为t＝120 s
5、物体在相互垂直的x方向和y方向运动的v­t图像如图1和图2所示。以下判断正确的是( )
A．在0～1 s内，物体做匀速直线运动
B．在0～1 s内，物体做匀变速直线运动
C．在1～2 s内，物体做匀变速直线运动
D．在1～2 s内，物体做匀变速曲线运动
6、(多选)(2022·重庆市一中上学期期末)如图所示，有一不可伸长的轻绳，绕过光滑定滑轮C，与质量为m的物体A连接，A放在倾角为θ的光滑斜面上，绳的另一端和套在固定竖直杆上的物体B连接，连接物体B的绳最初水平。从当前位置开始，使物体B以速度v沿杆匀速向下运动，设绳的拉力为T，在此后的运动过程中，下列说法正确的是( )
A．物体A做加速运动
B．物体A做匀速运动
C．T小于mgsin θ
D．T大于mgsin θ
7、如图所示，一根长直轻杆AB在墙角沿竖直墙与水平地面滑动。当AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面滑动的速度大小为v2，则v1、v2的关系是( )
A．v1＝v2 B．v1＝v2cs θ
C．v1＝v2tan θ D．v1＝v2sin θ两个互成角度的分运动
合运动的性质
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动
匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
如果v合与a合共线，为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
渡河时间
(1)渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关，与水流速度无关；
(2)船头正对河岸时，渡河时间最短，tmin＝eq \f(d,v1)(d为河宽)
渡河位移
若v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cs θ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，xmin＝d
若v船第一讲 曲线运动 运动的合成与分解
知识梳理
一、曲线运动
1.概念：运动的轨迹是曲线的运动
2.速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向．
3.曲线运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动．
a恒定：匀变速曲线运动；a变化：非匀变速曲线运动．
3.做曲线运动的条件：
(1)运动学角度：物体的加速度方向跟速度方向不在同一条直线上．
(2)动力学角度：物体所受的合外力方向跟速度方向不在同一条直线上．
二、运动的合成与分解
1.基本概念
(1)运动的合成：已知分运动求合运动。
(2)运动的分解：已知合运动求分运动。
2.分解原则：可根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解。
3.遵循的规律：位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。
知识训练
考点一、曲线运动的概念和理解
1.运动轨迹的判断
(1)若物体所受合力方向与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动．
(2)若物体所受合力方向与速度方向不在同一直线上，则物体做曲线运动．
2.曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系
(1)速度方向与运动轨迹相切；
(2)合力方向指向曲线的“凹”侧；
(3)运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间．
3.速率变化的判断
例1、关于曲线运动，以下说法中正确的是( )
A．在恒力作用下的物体不可能做曲线运动
B．曲线运动一定是变速运动
C．做曲线运动的物体所受合力可以为零
D．曲线运动的速度大小一定变化
【答案】B
【解析】在恒力作用下物体可以做曲线运动，如做平抛运动的物体只受重力，是恒力，故A错误；曲线运动速度的方向沿轨迹的切线的方向，所以曲线运动的速度的方向必定是改变的，所以曲线运动一定是变速运动，故B正确；曲线运动是变速运动，有加速度，由牛顿第二定律知，合力不为零，故C错误；曲线运动的速度方向一定变化，其大小不一定变化，如匀速圆周运动，故D错误。
例2、(多选)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星在由地球飞向月球时，沿曲线从M点向N点飞行的过程中，探月卫星所受合力方向可能是下列图中的( )
【答案】BC
【解析】“嫦娥一号”探月卫星在由地球飞向月球时，沿曲线从M点向N点飞行的过程中，所受合力方向指向轨迹的内侧，故B、C是可能的，A、D不可能．
例3、如图所示，一物体仅在三个共点恒力F1、F2、F3的作用下以速度v0水平向右做匀速直线运动，其中F1斜向右上方，F2竖直向下，F3水平向左。某时刻撤去其中的一个力，其他力的大小和方向不变，则下列说法正确的是( )
A．如果撤去的是F1，则物体做匀变速曲线运动，速率减小
B．如果撤去的是F1，则物体做加速度变化的曲线运动
C．如果撤去的是F2，则物体做匀变速曲线运动，速率将保持不变
D．如果撤去的是F3，物体将向右做匀减速直线运动
【答案】A
【解析】物体在三个共点力F1、F2、F3的作用下以速度v0水平向右做匀速直线运动，说明三个共点力平衡，如果撤去F1，则F2、F3的合力与F1等大反向，合力与初速度不在一条直线上，物体做匀变速曲线运动，合力与运动方向的夹角大于90°，做负功，所以速率减小，故A正确，B错误；由上分析可知，撤去F2之后，物体做类平抛运动，加速度保持不变，合力与运动方向的夹角小于90°，做正功，所以速率增大，故C错误；撤去F3后，合力水平向右，合力与速度方向相同，所以物体向右做匀加速直线运动，故D错误。
课堂随练
训练1、(多选)一质点做曲线运动，它的速度方向和加速度方向的关系是( )
A．质点速度方向时刻在改变
B．质点加速度方向时刻在改变
C．质点速度方向一定与加速度方向相同
D．质点速度方向一定沿曲线的切线方向
【答案】AD
【解析】质点做曲线运动，其速度方向沿轨迹的切线方向，方向时刻在改变，且与加速度方向不在一条直线上，加速度的方向可能是不变的，故选项A、D正确，B、C错误。
训练2、(多选)初速度不为零的小球只受到一个大小不变的力的作用，下列说法正确的是( )
A．小球可能做曲线运动
B．小球的位置可能保持不变
C．小球的速度大小可能保持不变
D．小球的加速度一定保持不变
【答案】AC
【解析】当小球的速度方向与力F不共线时，小球做曲线运动，选项A正确；小球所受合外力不为零，一定会运动，所以小球的位置不可能保持不变，选项B错误；若力F与速度垂直，力F的大小不变，方向不断变化，则小球能做匀速圆周运动，速度的大小保持不变，选项C正确；小球所受的合外力大小不变，方向不确定，所以加速度不一定保持不变，选项D错误。
训练3、质点做匀变速曲线运动轨迹的示意图如图所示，且质点运动到D点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直。在质点从A点运动到E点的过程中，下列说法中正确的是( )
A．质点经过C点的速率比经过D点的大
B．质点经过A点时的加速度方向与速度方向的夹角小于90°
C．质点经过D点时的加速度比经过B点的大
D．质点从B到E的过程中加速度方向与速度方向的夹角先增大后减小
【答案】A
【解析】质点做匀变速曲线运动，所以加速度大小不变，C错误；由于质点在D点时速度方向与加速度方向垂直，则在A、B、C点时速度方向与加速度方向的夹角大于90°，B错误；质点由C到D点的过程，速度方向与加速度方向的夹角大于90°，所以经过C点的速率比经过D点的大，A正确；质点从B到E的过程中加速度方向与速度方向的夹角逐渐减小，D错误。
考点二、运动的合成与分解
1.合运动和分运动的关系
①等时性：各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等
②独立性：各分运动独立进行，不受其他分运动的影响
③等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动有完全相同的效果
2.合运动的性质判断
(1)加速度(或合外力)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(变化：变加速运动,不变：匀变速运动))
(2)加速度(或合外力)与速度方向eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(共线：直线运动,不共线：曲线运动))
3.两个直线运动的合运动
例1、跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是( )
A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B．风力越大，运动员着地时的竖直速度越大，有可能对运动员造成伤害
C．运动员下落时间与风力无关
D．运动员着地速度与风力无关
【答案】C
【解析】运动员同时参与了两个分运动，竖直方向向下落的运动和水平方向随风飘的运动，两个分运动同时发生，相互独立，水平方向的风力大小不影响竖直方向的运动，即落地时间不变，故A错误，C正确；不论风速大小，运动员竖直方向的分运动不变，则下落时间和竖直方向下落的速度不变，但水平风速越大，水平方向的速度越大，则落地的合速度越大，故B、D错误．
例2、(多选)(2022·北京西城区期末)如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个由蜡做成的小圆柱体R。R从坐标原点以速度v0＝0.02 m/s匀速上浮的同时，玻璃管沿x轴正方向做初速度为0的匀加速直线运动。测出t时刻R的x、y坐标值分别为0.25 m和0.10 m。则此时( )
A．玻璃管的速度的大小为0.05 m/s
B．玻璃管的加速度的大小为0.02 m/s2
C．蜡块的运动轨迹方程为x－25y2＝0
D．蜡块的运动轨迹方程为8x2－5y＝0
【答案】BC
【解析】蜡块水平方向做匀加速运动，则eq \f(vx,2)t＝eq \f(1,2)at2＝0.25 m，竖直方向做匀速运动，有v0t＝0.1 m，解得t＝5 s，vx＝0.1 m/s，a＝0.02 m/s2，A错误，B正确；由x＝eq \f(1,2)at2＝0.01t2，y＝v0t＝0.02t，消掉t解得x－25y2＝0，C正确，D错误。
例3、(2022·陕西西安市长安一中月考)如图所示是物体在相互垂直的x方向和y方向运动的v－t图像．以下判断正确的是( )
A．在0～1 s内，物体做匀速直线运动
B．在0～1 s内，物体做匀变速直线运动
C．在1～2 s内，物体做匀变速直线运动
D．在1～2 s内，物体做匀变速曲线运动
【答案】C
【解析】在0～1 s内，物体水平方向为匀速直线运动，竖直方向为匀加速直线运动，则合运动为匀变速曲线运动，故选项A、B错误；在1～2 s内，物体水平方向初速度为：v0x＝4 m/s，加速度为：ax＝4 m/s2，竖直方向初速度为：v0y＝3 m/s，加速度为：ay＝3 m/s2，根据平行四边形定则合成可以得到合初速度为v＝5 m/s，合加速度为a＝5 m/s2，而且二者方向在同一直线上，可知，合运动为匀变速直线运动，故选项C正确，D错误．
课堂随练
训练1、(多选)如图所示，某同学在研究运动的合成时做了下述活动：用左手沿黑板推动直尺竖直向上运动，运动中保持直尺水平，同时，用右手沿直尺向右移动笔尖。若该同学左手的运动为匀速运动，右手相对直尺的运动为初速度为零的匀加速运动。则关于笔尖的实际运动，下列说法中正确的是( )
A．笔尖做匀速直线运动
B．笔尖做匀变速直线运动
C．笔尖做匀变速曲线运动
D．笔尖的速度方向与水平方向夹角逐渐变小
【答案】CD
【解析】笔尖同时参与了竖直向上的匀速运动和水平向右初速度为零的匀加速运动,合运动为匀变速曲线运动,所以A、B选项错误,C选项正确;由于水平速度增大,所以笔尖的速度方向与水平方向夹角逐渐变小,故D选项正确。
训练2、(2021·广东深圳高三调研)2019北京航展，我国五代战机“歼－20”再次闪亮登场。表演中，战机先水平向右，再沿曲线ab向上(如图)，最后沿陡斜线直入云霄。设飞行路径在同一竖直面内，飞行速率不变。则沿ab段曲线飞行时，战机( )
A．所受合外力大小为零
B．所受合外力方向竖直向上
C．竖直方向的分速度逐渐增大
D．水平方向的分速度不变
【答案】C
【解析】因为战机做速率不变的曲线运动，所以合外力不为零且方向与速度方向垂直，故A、B错误；对任一点的速度正交分解，如图所示
vy＝vcs α，vx＝vsin α，根据题意知α减小，vy增加，vx减小，故C正确，D错误。
训练3、(多选)质量为2 kg的质点在xOy平面上做曲线运动，在x方向的速度—时间图像和y方向的位移—时间图像如图所示，下列说法正确的是( )
A．质点的初速度为5 m/s
B．质点所受的合外力为3 N，做匀加速曲线运动
C．2 s末质点速度大小为6 m/s
D．2 s内质点的位移大小约为12 m
【答案】ABD
【解析】由x方向的速度—时间图像可知，质点在x方向的加速度为1.5 m/s2，受力Fx＝3 N，由y方向的位移—时间图像可知，质点在y方向做匀速直线运动，速度为vy＝4 m/s，受力Fy＝0。因此质点的初速度为5 m/s，A正确；质点受到的合外力为3 N，显然，质点初速度方向与合外力方向不在同一条直线上，做匀加速曲线运动，B正确；2 s末质点速度应该为v＝eq \r(62＋42) m/s＝2eq \r(13) m/s，C错误；2 s内质点在x方向上位移大小x＝vxt＋eq \f(1,2)at2＝9 m，y方向上位移大小y＝8 m，合位移大小l＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(145) m≈12 m，D正确。
考点三、小船过河模型
1.两类问题，三种情景
例1、(多选)(2022·江苏省如东中学月考)如图所示，一条河宽为24 m，水流速度恒为2 m/s，现要将小船上的货物由此岸的A处沿直线送到正对岸下游18 m处的B处，已知小船的速度最大可达2 m/s，取sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6，g取10 m/s2，下列说法正确的有( )
A．如果小船以最小速度航行，小船的速度为1.2 m/s
B．如果小船以最小速度航行，小船的速度为1.6 m/s
C．如果要使小船在最短时间内抵达B处，最短时间为12 s
D．如果要使小船在最短时间内抵达B处，最短时间为12.5 s
【答案】BD
【解析】
小船为到达B处，小船的实际路径须沿着AB方向，如果小船以最小速度航行，小船的速度方向与AB方向垂直，如图甲所示，设AB与河岸的夹角为θ，由几何关系可知tan θ＝eq \f(24,18)＝eq \f(4,3)，解得θ＝53°，有eq \f(v船,v水)＝sin 53°，解得v船＝v水sin 53°＝1.6 m/s；
为使小船在最短时间内到达B处，小船应以最大速度航行，由于小船的最大速度与水速相同，并且合速度方向即为AB的方向，所以AB的方向是在两个速度的角平分线上，即船速指向上游，与河岸成74°，如图乙所示，因此小船的合速度v＝2v船cs 53°＝2.4 m/s，由几何关系可知AB＝eq \r(182＋242) m＝30 m，小船运动的最短时间tmin＝eq \f(AB,v)＝12.5 s。
例2、有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河。一条小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直，小船在静水中的速度大小为eq \f(2v,\r(3))。
回程与去程所用时间之比为( )
A．3∶2 B．2∶1
C．3∶1 D．2eq \r(3)∶1
【答案】B
【解析】设河宽为d，则去程所用的时间t1＝eq \f(d,\f(2v,\r(3)))＝eq \f(\r(3)d,2v)；返程时的合速度v′＝ ＝eq \f(v,\r(3))，回程的时间为t2＝eq \f(d,\f(v,\r(3)))＝eq \f(\r(3)d,v)。故回程与去程所用时间之比为t2∶t1＝2∶1，选项B正确。
课堂随练
训练1、(多选)假设一只小船匀速横渡一条河流，当船头垂直对岸方向航行时，在出发后10 min到达对岸下游120 m处；若船头保持与河岸成α角向上游航行，出发后12.5 min到达正对岸，两次渡河时小船相对于静水的速度大小相同．以下说法正确的是( )
A．水流的速度大小为0.2 m/s
B．船头与河岸间的夹角α为60°
C．小船在静水中的速度大小为0.6 m/s
D．河的宽度为200 m
【答案】AD
【解析】船头垂直对岸方向航行时，如图甲所示，由x＝v2t1，得水流的速度大小为v2＝eq \f(x,t1)＝eq \f(120,600) m/s＝0.2 m/s，选项A正确；船头保持与河岸成α角向上游航行时，如图乙所示，v2＝v1cs α，d＝v1sin α·t2，由图甲可得d＝v1t1，联立解得sin α＝eq \f(4,5)，船头与河岸间的夹角不是60°，v1≈0.33 m/s，d＝200 m，选项B、C错误，D正确．
训练2、(2014·四川卷)有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河．小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直．去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为( )
A．eq \f(kv,\r(k2－1)) B．eq \f(v,\r(1－k2)) C．eq \f(kv,\r(1－k2)) D．eq \f(v,\r(k2－1))
【答案】B
【解析】 设河岸宽为d，船速为u，则根据渡河时间关系得eq \f(d,u)∶eq \f(d,\r(u2－v2))＝k，解得u＝eq \f(v,\r(1－k2))，所以B选项正确．
考点四、绳端模型
1.绳(杆)端速度分解模型
(1)模型特点
沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等。
(2)绳(杆)端速度的分解思路
2.四种常见的速度分解模型
例1、如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当汽车匀速向左运动时，物体M的受力和运动情况是( )
A．绳的拉力等于M的重力
B．绳的拉力大于M的重力
C．物体M向上做匀速运动
D．物体M向上做匀加速运动
【答案】B
【解析】汽车匀速向左运动，其速度可分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，沿绳子方向的分速度v′＝vcs θ，汽车在匀速向左运动的过程中，绳子与水平方向的夹角θ减小，所以v′增大，即物体M向上做加速运动，又因为v′变化不均匀，所以不是匀加速运动，故选项C、D错误；由于物体M向上做加速运动，由F－mg＝ma可知，绳子的拉力大于物体M的重力，故选项A错误，B正确．
例2、如图所示，不计所有接触面之间的摩擦，斜面固定，a、b两物体质量分别为m1和m2，且m1A．v2sin θ B．eq \f(v2,sin θ) C．v2cs θ D．eq \f(v2,cs θ)
【答案】C
【解析】物体a的速度与绳上各点沿绳方向的速度大小相等，所以绳的速度等于a的速度v1，而b的实际速度v2可分解为沿绳子方向的分速度和垂直于绳子的分速度。因此v1跟v2的关系如图所示，由图可看出a的速度大小v1＝v2cs θ，C正确。
例3、如图所示，一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(可视为质点)。将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成 θ＝30°角，球B的速度大小为v2，则( )
A．v2＝eq \f(1,2)v1 B．v2＝2v1 C．v2＝v1 D．v2＝eq \r(3)v1
【答案】C
【解析】球A与球形容器球心等高，速度v1方向竖直向下，速度分解如图所示，有v11＝v1sin 30°＝eq \f(1,2)v1，球B此时速度方向与杆成 α＝60°角，因此v21＝v2cs 60°＝eq \f(1,2)v2，沿杆方向两球速度相等，即v21＝v11，解得v2＝v1，C项正确。
课堂随练
训练1、A、B两物体通过一根跨过光滑轻质定滑轮的不可伸长的轻绳相连放在水平面上，现物体A以v1的速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角分别是α、β时，如图所示，物体B的运动速度为(绳始终有拉力)( )
A．eq \f(v1sin α,sin β) B．eq \f(v1cs α,sin β) C．eq \f(v1sin α,cs β) D．eq \f(v1cs α,cs β)
【答案】D
【解析】设物体B的运动速度为vB，速度分解如图甲所示，则有vB＝eq \f(v绳B,cs β)①
物体A的合运动对应的速度为v1，它的速度分解如图乙所示，则有v绳A＝v1cs α②
由于对应同一根绳，故v绳B＝v绳A③
联立①②③式解得vB＝eq \f(v1cs α,cs β)，选项D正确．
训练2、如图所示，小球a、b用一细直棒相连，a球置于水平地面上，b球靠在竖直墙面上，释放后b球沿竖直墙面下滑，当滑至细直棒与水平地面成θ角时，a、b两小球的速度大小的比值为( )
A．sin θ B．cs θ
C．tan θ D．eq \f(1,tan θ)
【答案】C
【解析】分别将a球、b球速度沿棒的方向与垂直于棒的方向分解，对a球，有v＝vacs θ，对B球，有v＝vbsin θ，则va∶vb＝tan θ。
同步训练
1、关于物体的受力和运动，下列说法中正确的是( )
A．物体在不垂直于速度方向的合力作用下，速度大小可能一直不变
B．物体做曲线运动时，某点的加速度方向就是通过这一点曲线的切线方向
C．物体受到变化的合力作用时，它的速度大小一定改变
D．做曲线运动的物体，一定受到与速度不在同一直线上的外力作用
【答案】D
【解析】如果合力与速度方向不垂直，必然有沿速度方向的分力，速度大小一定改变，故A错误；物体做曲线运动时，通过某一点的曲线的切线方向是该点的速度方向，而不是加速度方向，比如平抛运动，故B错误；物体受到变化的合力作用时，它的速度大小可以不改变，比如匀速圆周运动，故C错误；物体做曲线运动的条件是一定受到与速度不在同一直线上的外力作用，故D正确。
2、如图所示，这是质点做匀变速曲线运动的轨迹的示意图。已知质点在B点的加速度方向与速度方向垂直，则下列说法中正确的是( )
A．C点的速率小于B点的速率
B．A点的加速度比C点的加速度大
C．C点的速率大于B点的速率
D．从A点到C点加速度与速度的夹角先增大后减小，速率是先减小后增大
【答案】C
【解析】质点做匀变速曲线运动，B点到C点的过程中加速度方向与速度方向夹角小于90°，所以C点的速率比B点速率大，故A错误，C正确；质点做匀变速曲线运动，则加速度大小和方向不变，所以质点经过C点时的加速度与A点的相同，故B错误；质点从A点运动到C点的过程中，质点运动到B点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则有A点速度与加速度方向夹角大于90°，C点的加速度方向与速度方向夹角小于90°，故D错误。
3、(2015广东)如果所示，帆板在海面上以速度v朝正西方向运动，帆船以速度v朝正北方向航行，以帆板为参照物 （ ）
A．帆船朝正东方向航行，速度大小为v
B．帆船朝正西方向航行，速度大小为v
C．帆船朝南偏东45°方向航行，速度大小为v
D．帆船朝北偏东45°方向航行，速度大小为v
【答案】D
【解析】此题考查相对速度以及不同参考系中速度转换，以帆板为参考素，求此参考系中帆船的速度，就是求解帆船参对帆板的速度v船对板 = v船 – v板 ；通过矢量合成与分解，求得帆船相对帆板的速度朝北偏东450，大小为v ，选项A正确。
4、(多选)河宽l＝300 m，水速u＝1 m/s，船在静水中的速度v＝3 m/s，要求轨迹为直线并到达正对岸上游100 m处，设船头与河岸的夹角为α，则( )
A．sin α＝0.6
B．sin α＝0.8
C．过河时间为t＝125 s
D．过河时间为t＝120 s
【答案】BC
【解析】设船头与上游河岸夹角为α，x＝100 m，则有(vcs α－u)t＝x，vtsin α＝l，两式联立得sin α＝0.8，t＝125 s。
5、物体在相互垂直的x方向和y方向运动的v­t图像如图1和图2所示。以下判断正确的是( )
A．在0～1 s内，物体做匀速直线运动
B．在0～1 s内，物体做匀变速直线运动
C．在1～2 s内，物体做匀变速直线运动
D．在1～2 s内，物体做匀变速曲线运动
【答案】C
【解析】在0～1 s内，物体在水平方向做匀速运动，竖直方向做匀加速运动，合运动为匀变速曲线运动，故选项A、B错误；在1～2 s内，水平方向初速度大小为v0x＝4 m/s，加速度大小为ax＝4 m/s2，竖直方向初速度大小为v0y＝3 m/s，加速度大小为ay＝3 m/s2，根据平行四边形定则可以得到合速度大小为v＝5 m/s，合加速度大小为a＝5 m/s2，而且二者方向在同一直线上，合运动为匀变速直线运动，故选项C正确，D错误
6、(多选)(2022·重庆市一中上学期期末)如图所示，有一不可伸长的轻绳，绕过光滑定滑轮C，与质量为m的物体A连接，A放在倾角为θ的光滑斜面上，绳的另一端和套在固定竖直杆上的物体B连接，连接物体B的绳最初水平。从当前位置开始，使物体B以速度v沿杆匀速向下运动，设绳的拉力为T，在此后的运动过程中，下列说法正确的是( )
A．物体A做加速运动
B．物体A做匀速运动
C．T小于mgsin θ
D．T大于mgsin θ
【答案】AD
【解析】由图可知绳端的速度为vBsin α，与B的位置有关，因为B为匀速运动，B下降过程中α变大，因此物体A做加速运动，T大于mgsin θ，故A、D正确，B、C错误。
7、如图所示，一根长直轻杆AB在墙角沿竖直墙与水平地面滑动。当AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面滑动的速度大小为v2，则v1、v2的关系是( )
A．v1＝v2 B．v1＝v2cs θ
C．v1＝v2tan θ D．v1＝v2sin θ
【答案】C
【解析】将A、B两点的速度分解为沿AB方向与垂直于AB方向的分速度，沿AB方向的速度分别为v1∥和v2∥，由于AB不可伸长，两点沿AB方向的速度分量应相同，则有v1∥＝v1cs θ，v2∥＝v2sin θ，由v1∥＝v2∥，得v1＝v2tan θ，C正确。
两个互成角度的分运动
合运动的性质
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动
匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
如果v合与a合共线，为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
渡河时间
(1)渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关，与水流速度无关；
(2)船头正对河岸时，渡河时间最短，tmin＝eq \f(d,v1)(d为河宽)
渡河位移
若v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cs θ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，xmin＝d
若v船