章末复习教案 (4)

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章末复习【知识与技能】1.进一步理解并掌握锐角三角形函数的意义，能用定义进行相关的计算；2.熟记特殊角的三角函数值，能用计算器求任意锐角的三角函数值或利用锐角的三角函数值求相应角的度数；3.能用解直角三角形知识解决实际应用问题.【过程与方法】进一步增强学生分析问题、解决问题的能力，掌握数形结合的思想方法.【情感态度】进一步增强学生的数学应用意识，感受数学的转化思想方法，增强学生对数学学习的热情. 【教学重点】通过对本章知识的回顾，巩固所学知识，能熟练运用所学知识解决具体问题.【教学难点】运用锐角三角函数解决实际应用问题.知识框图，整体把握【教学说明】 教学前，教师应根据本章知识内容设计一个适合要求的知识结构框图，教学时，与学生一道回顾本章知识，按自己的设计思路展示出结构图，让学生加深对本章知识的系统理解.二、释疑解惑，加深理解问题1 请用计算器探索出锐角函数的函数值随自变量锐角从小到大的变化而变化的情况，你有什么发现?【教学说明】 教师可引导学生利用计算器求出 0°〜10°，10°〜20°，20°〜30°，……，80°〜90° 之间的某一锐角的三角函数值，通过分析得到的函数值，可获得锐角三角函数的一些简单性质.【归纳结论】 对于锐角A，它的正弦函数 (sinA)的函数值随自变量锐角A的增大而增大，且sinA必满足0＜ sinA＜1;它的余弦函数 (cosA)的函数值随锐角A的增大而减小，且 cosA必满足0＜COSA＜1;它的正切函数（tanA) 的函数值随锐角A的增大而增大，且tanA满足tanA＞0.试一试 若锐角A的余弦值cosA = 3，则锐角A的取值范围是（ ）A. 60°＜A＜90° B. 45°＜A＜60°C. 30°＜A＜45° D. 0°＜A＜30°分析与解 由于cos30°=0. 866,cos45°= 0. 707 ,cos60° =，且 cosA = = 0.75，知 cos45°＜cosA＜cos30°，结合余弦函数的性质，其函数值随角度的增大而减小，从而可知 30°＜A＜；45°，故应选 C.问题2 利用锐角三角函数定义及勾股定理，你能证明sin2A + cos2A = 1吗？你有何发现？问题3 若∠A + ∠B =90，你能探索出 tanA与tanB之间有什么关系吗？与同伴交流.【教学说明】 教师应引导学生构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系及相应锐角的三角函数的意义不难得出结论.经历由问题1的感性认识到问题2、3的理性思考可进一步开拓学生的思维能力，增强解题技能.【结论】 1.对于任意锐角A，总有sin2A + cos2A = 1 ；2.若两个锐角∠A，∠B满足∠A + ∠B = 90°， 则必有 tanA • tanB = 1.试一试 化简 tan1°·tan11°·tan21°·tan31°·tan89°·tan79°·tan69°·tan59°.分析与解 由 = = || = 1 sin23°， = = sin23°，及tan1°·tan89°=1 等可得到原式 = 1 sin23°+ sin23° 1 = 0.三、典例精析，复习新知例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，已知cosA=，求cosB和tanA的值.分析与解 结合图形及已知条件，由cosA= = ，故不妨设AC=m，则AB=3m，由勾股定理易得BC=m，从而cosB = = = ,tanA = = = .例2 如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点C，E是⊙O上一点，且∠BEC=45°.（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由.（2）若BE=8 cm，sin∠BCE = ，求⊙O的半径.分析与解 本例是一道圆、平行四边形、锐角三角函数的小综合问题，在（1）中可直接由∠BEC=45°得到∠BOC=90°（添加辅助线OC），再利用平行四边形性质，可得到∠OCD=∠BOC=90°，从而CD是⊙O的切线；在（2）中，应先连AE，利用圆的性质可得∠BAE=∠BCE，又AB为⊙O直径，故△ABC为直角三角形，这样由sin∠BCE= ，得到sin∠BAE= = ，又BE=8，从而得AB=10，故⊙O的半径为5.通过上面的分析可以发现，对于不是直角三角形中的锐角三角函数问题，常常需通过添加辅助线，将这一锐角三角函数转化为直角三角形中某个角的三角函数来解决问题. 例3 小刘同学在课外活动中观察吊车的工作过程，绘制了如图所示的平面图形，已知吊车吊臂的支点O距离地面的高=2米，当吊臂顶端由A点抬升至点（吊臂长度不变）时，地面B处的重物（大小忽略不计）被吊至处，紧绷着的吊缆=AB.AB垂直地面B于点B，垂直地面B于点C，吊臂长度O=OA=10 m，且cosA = ，sin = .（1）求此重物在水平方向移动的距离BC；（2）求此重物在竖直方向移动的距离C.（结果保留根号） 分析与解 过O作OF⊥AB于F，交于点E（如图），这样可在Rt△AOF中，利用OA=10， cosA= ，求出AF=6，从而得OF=8，在Rt△OE中，由O=10，sin=，得OE=5，从而BC=EF=OF-OE=8-5=3 m，即重物在水平方向移动的距离为3 m；同样，可求出AB=AF+BF=AF+=6+2=8，在Rt△OE中，可得E=.故C=E+EC =+2,这样C=C-=C-AB=+2-8=-6，即此重物在竖直方向移动的距离为（-6） m. 例 4 某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度.他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°,已知A点的高度AB为2 m，台阶AC的坡度为1∶ (即AB∶BC=1∶，且B、C、E三点在同一直线上，请根据以上条件求出树DE的高度（测倾器的高度忽略不计）. 分析与解 如图，过点A作AF⊥DE于F，则四边形ABEF为矩形.∴AF=BE，EF=AB=2.设DE=x，在Rt△CDE中，CE= = = .在Rt△AFD中，DF = DE EF = x 2，∴AE= = = .∵AF = BE = BC + CE，∴ = + .解得x=6.即树DE的高度为6m.例5 图甲是一个水桶模型示意图，水桶提手结构的平面图是轴对称图形，当点O到BC（或DE）的距离大于或等于⊙O的半径时（⊙O是桶口所在圆，半径为OA），提手才能从图甲的位置转到图乙的位置，这样的提手才合格.现用金属材料做了一个水桶提手（如图丙A-B-C-D-E-F，C-D是CD〖TX(〗,其余是线段），O是AF的中点，桶口直径AF=34 cm，AB=FE=5 cm，∠ABC=∠FED=149°.请通过计算判断这个水桶提手是否合格.（参考数据：≈17.72,tan73.6°≈3.40,sin75.4°≈0.97,）分析与解 要判断图丙中所示提手是否合格，可过O作OM⊥BC于M，只须比较OM与OA的大小即可.这时再连OB，在Rt△ABO中，由tan∠ABO = = = 3.4及tan73.6°=3.4可知∠ABO=73.6°，又∠ABC=149°，从而∠MBO=75.4°，又OB = = = ≈17.72，且sin∠MBO=，∴OM=OB·sin∠MBO=17.72×sin75.4°=17.72×0.97≈17.2，由OM＞OA知，这个提手是合格的.【教学说明】 上述所选四道题中的例1，例2可由学生自主探究，独立完成，然后相互交流，互相检查.例3、例4文字叙述较长，教师应作好引导，帮助学生分析，找出解决问题的突破口，让学生在理解的基础上探寻结论，进一步体验用锐角三角函数知识解决实际问题的过程、方法，加深对本章知识的理解. 四、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获？【教学说明】 师生相互交流，让学生谈谈自己的想法，提出来与大家分享，也可帮助学生进行知识、方法的提炼，形成完整的知识结构. 1.布置作业：从教材P84～85复习题28中选取.2.完成创优作业中本课时的练习.本课时为复习课，首先要让学生了解本章的知识体系，教学的展开以问题的解决为中心，指导学生自主理清由实际问题转化为三角函数模型的思路，增强学生数学问题的转化意识.