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初中数学北师大版八年级下册3 线段的垂直平分线教学设计
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这是一份初中数学北师大版八年级下册3 线段的垂直平分线教学设计,共5页。教案主要包含了知识与技能,过程与方法,情感态度,教学重点,教学难点,教学说明,归纳结论等内容,欢迎下载使用。
【知识与技能】
证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理
【过程与方法】
经历探索、猜测、证明的过程,进一步发展学生的推理证明能力,丰富对几何图形的认识
【情感态度】
通过小组活动,学会与他人合作,并能与他人交流思维的过程和结果.
【教学重点】
运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题.
【教学难点】
垂直平分线的性质定理在实际问题中的运用.
一.情景导入,初步认知
如图,A、B表示两个仓库,要在A、B一侧的河岸边建造一个码头,使它到两个仓库的距离相等,码头应建在什么位置?
【教学说明】从实际问题入手,提高学生的学习兴趣,使学生明白数学来源于生活,用于生活.
二.思考探究,获取新知
探究1:垂直平分线的性质.
已知:如图,直线MN⊥AB,垂足是C,且AC=BC,P是MN上的点.求证:PA=PB.
证明:∵MN⊥AB,
∴∠PCA=∠PCB=90°
∵AC=BC,PC=PC,
∴△PCA≌△PCB(SAS).
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)
【归纳结论】线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
探究2:垂直平分线判定
你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?
逆命题就很容易写出来.“如果有一个点到线段两个端点的距离相等,那么这个点在这条线段的垂直平分线上.”
写出逆命题后时,就想到判断它的真假.如果真,则需证明它;如果假,则需用反例说明.
引导学生分析证明过程.
已知:线段AB,点P是平面内一点且PA=PB.
求证:P点在AB的垂直平分线上.
证明:过点P作已知线段AB的垂线PC,PA=PB,PC=PC,
∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理).
∴AC=BC,
即P点在AB的垂直平分线上
【教学说明】此处证明可让学生用多种方法证明.
【归纳结论】到一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
三.运用新知,深化理解
1.已知:如图,在 △ABC 中,AB = AC,O 是 △ABC 内一点,且 OB = OC.求证:直线 AO 垂直平分线段BC.
证明:∵ AB = AC,
∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).
同理,点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.
∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线(两点确定一条直线).
2.如图,DE为△ABC的AB边的垂直平分线,D为垂足,DE交BC于E, AC = 5,BC = 8,求△AEC的周长.
解:∵DE为△ABC的AB边的垂直平分线,
∴AE=BE.
∴C△AEC=AC+AE+CE=AC+BE+CE=AC+BC=5+8=13.
3.如图,已知:线段CD垂直平分AB,AB平分∠DAC. 求证:AD∥BC
证明:∵CD是AB的垂直平分线,
∴AC=BC,
∴∠CAB=∠B,
又∵∠CAB=∠DAB,
∴∠DAB=∠B,∴AD∥BC.
4.如图,已知:AD是△ABC的高,E为AD上一点,且BE=CE. 求证:△ABC是等腰三角形.
证明:∵BE=CE,AD⊥BC
∴AD是BC的垂直平分线,
∴AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形.
5.如图,已知:AB⊥BC,CD⊥BC,∠AMB=75°,∠DMC=45°,AM=DM. 求证:AB=BC.
证明:连接AC.
∠AMD=180°-75°-45°=60°,且AM=DM,
∴△AMD是等边三角形.
∴AM=AD.
又∵∠MDC=90°-45°=45°,
∴∠MDC=∠DMC,
∴CD=CM,
∴AC为DM的垂直平分线,
又∵CD=CM
∴CH是∠DCM角平分线
∴∠ACM=90°-45°=45°,
∴∠BAC=180°-∠B=∠ACM=90°-∠ACM=45°
∴AB=BC.
【教学说明】学生是第一次证明一条直线是已知线段的垂直平分线,因此老师要引导学生理清证明的思路和方法并给出完整的证明过程.
四.师生互动,课堂小结
通过这节课的学习你有哪些新的收获?还有哪些困惑?
五.教学板书
布置作业:教材“习题1.7”中第1、3 题.
由于本节课是对垂直平分线的性质与判定的综合应用,学生掌握起来难度较大,所以要引导学生理清证明的思路和方法并给出完整的证明过程.
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