第2章 一元二次函数、方程和不等式 素能培优(一) 含参数的一元二次不等式 2025届高考数学一轮总复习(适用于新高考新教材)ppt

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含参数的一元二次不等式的求解,一般需要对参数进行分类讨论,针对参数取值的不同范围,分别进行求解.分类讨论主要有以下几种情况:
命题点1 按照二次项系数的符号分类求解
在不等式ax2+bx+c>0(<0)中,二次项系数a的符号决定不等式解集的形式,因此当二次项系数含参数时,需要对该参数的值进行分类讨论,一般应分a=0,a>0,a<0三种情况分类.
例1解关于x的不等式ax2-4ax+3a>0(a∈R).
解 不等式可化为a(x-1)(x-3)>0.(1)当a=0时,不等式化为0>0,无解;(2)当a>0时,不等式化为(x-1)(x-3)>0,解得x<1或x>3;(3)当a<0时,不等式化为(x-1)(x-3)<0,解得10时,不等式的解集为{x|x<1或x>3};当a<0时,不等式的解集为{x|1例2解关于x的不等式ax2-(2a+1)x+a+1<0.
解 不等式可化为(x-1)[ax-(a+1)]<0.①当a=0时,不等式化为-x+1<0,解得x>1;
[对点训练1](多选题)关于x的不等式ax2+(1-2a2)x-2a<0的解集中恰有3个正整数,则a的值可以为(　　)
命题点2 按照判别式的符号分类求解
由于一元二次不等式的解集与相应一元二次方程的实数根有关,因此方程根的情况决定不等式解集的形式,而方程根的情况由判别式确定,因此需要对判别式的符号进行分类讨论.
例3解关于x的不等式x2-4x+q+3≤0.
解 判别式Δ=16-4q-12=4-4q.①当4-4q<0,即q>1时,不等式解集为空集;②当4-4q=0,即q=1时,不等式解集为{2};
[对点训练2]解关于x的不等式x2+2x+a>0.
命题点3 按照两根的大小关系分类求解
当一元二次不等式对应的一元二次方程有实数根时,其解集与两个根的大小有关,而两根的大小关系与参数的取值有关,因此应根据两根的大小对参数进行分类讨论.
例4解关于x的不等式a2x2-(a2+2)x+2<0.
[对点训练3]解关于x的不等式x2-x-a2+a<0(其中0≤a≤1).
命题点4 多种分类综合求解
在含参数的一元二次不等式中,如果参数的取值影响着二次项系数的符号、判别式的取值、两根的大小关系等多个方面,就需要从多个方面对参数进行多次讨论,这时一般是先讨论二次项系数的符号,再讨论判别式取值的符号,最后再分析两根的大小关系,按照这一顺序进行求解.
例5解关于x的不等式ax2+(2a-1)x-2<0.
[对点训练4]已知a∈R,解关于x的不等式ax2+(a+3)x+3>0.