第3章 函数与基本初等函数 第4节 函数性质的综合应用2025届高考数学一轮总复习(适用于新高考新教材)ppt

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研考点 精准突破
强基础 固本增分
常用结论1.关于函数奇偶性与单调性的常用结论(1)奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反.(2)当函数图象具有对称中心时,在对称中心两侧的单调性相同;当函数图象具有对称轴时,在图象的对称轴两侧的单调性相反.2.关于函数奇偶性与周期性的常用结论(1)若f(a-x)=f(x)且f(x)为偶函数,则f(x)的周期为a;(2)若f(a-x)=f(x)且f(x)为奇函数,则f(x)的周期为2a;(3)若f(x+a)与f(x+b)(a≠b)都是偶函数,则f(x)的周期是2|a-b|;(4)若f(x+a)与f(x+b)(a≠b)都是奇函数,则f(x)的周期是2|a-b|;(5)若f(x+a)与f(x+b)(a≠b)中一个是奇函数,另一个是偶函数,则f(x)的周期是4|a-b|.
题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.若f(x)是偶函数,且在(-∞,0]上单调递增,则有f(2)>f(-3).(　　)2.若函数f(x+1)是奇函数,则有f(-x-1)=-f(x+1).(　　)3.若f(3-x)=-f(x),则f(x)图象关于点(3,0)对称.(　　)4.若函数f(x)的周期为2,且图象关于直线x=1对称,则f(x)为偶函数.(　　)
题组二 回源教材5.(人教A版必修第一册复习参考题3第9题改编)已知奇函数f(x)在[a,b]上单调递减,那么f(x)在[-b,-a]上单调__________;若偶函数f(x)在[a,b]上单调递减,那么f(x)在[-b,-a]上单调__________. 
解析 奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反.
题组三 连线高考7.(2020·全国Ⅱ,理9)设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x)(　　)
8.(2021·新高考Ⅱ,14)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x):______________________________________________. ①f(x1x2)=f(x1)f(x2);②当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0;③f'(x)是奇函数.
f(x)=x4(答案不唯一,f(x)=x2n(n∈N*)均满足)
解析 令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)·f(1)=f(x),即f(x+1)=f(x)-f(x-1).从而f(x+2)=f(x+1)-f(x),f(x+3)=f(x+2)-f(x+1).消去f(x+2)和f(x+1),得到f(x+3)=-f(x),从而f(x+6)=f(x),故f(x)的周期为6.令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)·f(0),得f(0)=2,f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1-1=-2,f(4)=f(3)-f(2)=-2-(-1)=-1,f(5)=f(4)-f(3)=-1-(-2)=1,f(6)=f(5)-f(4)=1-(-1)=2,
考点一 函数奇偶性与单调性的综合
例1(1)(2024·北京房山模拟)已知函数f(x)=2x-sin x,则下列选项正确的是(　　)A.f(2.7)解析 f(x)=2x-sin x,因为cs x∈[-1,1],故f'(x)=2-cs x>0,所以f(x)在(0,+∞)内单调递增,因为2.7(2)(2024·广东东莞模拟)已知函数f(x)=x2+2|x|,则f(x-1)>f(-1)的解集为(　　)A.(2,+∞)B.(-∞,0)∪(2,+∞)C.(0,2)D.(-∞,0)
解析 容易判断函数f(x)为偶函数,又当x>0时f(x)=x2+2x单调递增,所以由f(x-1)>f(-1)得f(|x-1|)>f(1),因此|x-1|>1,解得x>2或x<0,即解集为(-∞,0)∪(2,+∞),故选B.
(3)(2020·新高考Ⅰ,8)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是(　　)A.[-1,1]∪[3,+∞)B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3]
规律方法综合运用奇偶性与单调性解题的方法技巧(1)比较大小:先利用奇偶性将不在同一单调区间上的自变量的函数值转化到同一个单调区间上,再根据单调性比较大小;(2)解不等式:根据函数的奇偶性,将不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式.如果函数是奇函数,当函数值前面有“-”时,可通过函数是奇函数将“-”移到括号内;如果函数是偶函数,可根据f(-x)=f(x)=f(|x|)将函数值都化为自变量为正值的形式.根据单调性,将 “f”去掉,得到具体的不等式,即可解不等式.
考点二 函数奇偶性、对称性与周期性的综合
解析 (方法1)因为f(2x+1)是奇函数,所以f(-2x+1)=-f(2x+1),且有f(2×0+1)=f(1)=0,又因为f(x+2)是偶函数,所以f(x+2)=f(-x+2),令x=1代入得f(3)=f(1)=0,在f(-2x+1)=-f(2x+1)中,令x=1代入得f(-1)=-f(3)=0,故一定有f(-1)=0,故选B.(方法2)因为f(x+2)是偶函数,所以f(x)的图象关于直线x=2对称,又因为f(2x+1)是奇函数,所以f(x)的图象关于点(1,0)对称,于是函数f(x)的周期为T=4×|2-1|=4.由于f(2x+1)是奇函数,所以f(2×0+1)=f(1)=0,而f(x+2)是偶函数,所以f(x+2)=f(-x+2),令x=1代入得f(3)=f(1)=0,因此f(-1)=0,故选B.(方法3)因为函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)是偶函数,f(2x+1)是奇函数,
(2)(多选题)(2024·重庆模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0,且y=f(2-x)为偶函数,则下列说法一定正确的是(　　)A.函数f(x)的周期为2B.函数f(x)的图象关于直线x=2对称C.函数f(x)为偶函数D.函数f(x)的图象关于点(3,0)对称
解析 对于选项A,因为f(x+2)+f(x)=0,则f(x+4)+f(x+2)=0,可得f(x+4)=f(x),所以函数f(x)的周期为4,故A错误;对于选项B,因为y=f(2-x)为偶函数,则f(2-x)=f(2+x),所以f(x)的图象关于直线x=2对称,故B正确;对于选项C,因为函数f(x)的图象关于直线x=2对称,则f(-x)=f(4+x),由函数f(x)的周期为4,可得f(-x)=f(4+x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数,故C正确;对于选项D,因为f(-x)=f(x),且f(x+2)+f(x)=0,可得f(x+2)+f(-x)=0,又因为函数f(x)的周期为4,则f(x+6)+f(-x)=0,所以函数f(x)的图象关于点(3,0)对称,故D正确.故选BCD.
解析 由本例(1)解答可知,f(1)=0,f(3)=0,又函数周期为4,所以f(5)=f(7)=f(9)=f(11)=…=0,
规律方法综合运用奇偶性、对称性与周期性解题的策略(1)奇偶性可认为是对称性的特殊情形,所以已知相关函数的奇偶性,可通过平移与对称性联系起来;(2)已知相关函数的奇偶性或对称性,可以推得函数的周期,反之,由函数的周期性以及奇偶性,可以推得其对称性;(3)利用函数的周期性将自变量较大的函数值转化为自变量较小的函数值,直到自变量的值在已知解析式的区间或与已知的函数值建立关系,必要时可再次利用奇偶性、对称性将自变量的符号进行转化.
[对点训练1](2024·江西赣州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x+1)是偶函数,且当x∈(0,1]时,f(x)=x2,则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 023)=(　　)A.-1B.0C.1D.1 012
解析 因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x),①且f(0)=0,又因为f(x+1)是偶函数,所以f(x+1)=f(-x+1),即f(x)=f(2-x),②所以f(2)=f(0)=0,由①②可得-f(-x)=f(2-x),所以-f(2-x)=f(4-x),则f(-x)=f(4-x),则函数f(x)的周期为4.当x∈(0,1]时,f(x)=x2,则f(1)=1,所以f(-1)=-f(1)=-1=f(3),所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 023)=506[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]=0,故选B.
考点三 函数多种性质的综合应用
解析 ∵f(x+1)在R上为偶函数,∴f(x+1)=f(-x+1),∴f(x)图象关于直线x=1对称.∵f(x+2)在R上为奇函数,∴f(x+2)+f(-x+2)=0,∴f(x)图象关于点(2,0)对称,且f(2)=0.又f(x+1)=f(-x+1),∴f(x)=f(-x+2)(将上式中的x换成x-1),①又f(x+2)+f(-x+2)=0,∴f(-x+2)=-f(x+2),②∴由①②得f(x)=-f(x+2),③∴由③得f(x+2)=-f(x+4)(将③中的x换成x+2),④∴由③④得f(x)=f(x+4),∴f(x)的一个周期为T=4,且f(0)=0,f(x)图象关于(0,0)对称.又对任意x1,x2∈[0,1],都有(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0,∴f(x)在[0,1]上单调递增.
∴f(x)在一个周期内的草图为
规律方法函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性是函数的四大性质,它们往往综合在一起命题,通常要借助函数的奇偶性及对称性获得函数的周期,通过奇偶性、对称性及周期性将单调区间进行转化,从而研究函数在整个定义域上的相关性质.
[对点训练2](多选题)(2024·河南洛阳模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),f(x+2)=-f(x),且f(x)在[-1,0]上单调递增,则下列结论中正确的是(　　)A.f(x)是周期函数B.f(x)的图象关于直线x=1对称C.f(x)在[1,2]上单调递增D.f(2)=f(0)
解析 由于f(x+y)=f(x)+f(y),取x=y=0得f(0)=0;取y=-x,则有f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0,即函数f(x)是R上的奇函数,由f(x+2)=-f(x)得f(x+4)=-f(x+2)=f(x),因此函数f(x)是以4为周期的周期函数,故A选项正确;f(x+2)=-f(x)=f(-x),因此f(x)的图象关于直线x=1对称,故B选项正确;因为f(x)在[-1,0]上单调递增,则f(x)在[0,1]上单调递增,于是得f(x)在[1,2]上单调递减,故C选项错误;由f(x+2)=-f(x)得f(2)=-f(0)=0=f(0),故D选项正确.故选ABD.