第3章函数与基本初等函数素能培优(三) 幂、指、对数的大小比较2025届高考数学一轮总复习(适用于新高考新教材)ppt

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幂、指、对数的大小比较是高考的热点题型,常以选择题的形式出现,主要考查指数、对数的互化、运算性质以及指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质.比较大小时,既有常规方法,也有一些灵活巧妙的方法,以下通过例题对比较大小的常用方法进行归纳总结.
命题点1 利用函数单调性比较大小
例1(2024·山东日照模拟)已知a=lg23,b=lg46,c=lg89,则a,b,c的大小顺序为(　　)A.a又因为函数y=3x在R上单调递增,1>0.9>0.5,所以31>30.9>30.5,所以b>a>c,故选C.
命题点2 借助中间值比较大小
规律方法当底数、指数、真数等都不相同时,可寻找中间量0,1或者其他能判断大小关系的中间量,借助中间值进行大小关系的判定.
命题点3 利用基本不等式比较大小
例3(2024·浙江杭州模拟)已知a=lg75,b=lg97,c=lg119,则(　　)A.a规律方法当两个对数的底数与真数都不相同时,可通过作差并利用换底公式化为同底数的对数,然后利用基本不等式将两个对数的积进行放缩,从而确定差的符号,进而得到两个对数的大小关系.
命题点4 通过函数图象比较大小
例4(2024·江西南昌模拟)若正数x,y,z满足5x=6y=lg7z,则(　　)A.z>y>xB.x>z>yC.y>z>xD.z>x>y
解析设5x=6y=lg7z=k>1,则x=lg5k,y=lg6k,z=7k,在同一坐标系中作出y=lg5x,y=lg6x,y=7x的图象(如图所示),由图象可知7k>lg5k>lg6k,即z>x>y,故选D.
规律方法借助函数与方程思想,将要比较大小的量视为相关函数图象上点的纵坐标或横坐标,然后通过图象的高低位置进行大小比较.
[对点训练4](多选题)(2024·湖北孝感模拟)已知实数a,b,c满足cln a=c·eb=1,则下列关系式中可能成立的是(　　)A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a
命题点5 构造函数比较大小
A.aA.a规律方法某些数或式子的大小关系问题,看似与函数单调性无关,但仔细挖掘问题的内在联系,抓住其本质,将各个值中共同的量用变量替换,构造函数,利用导数研究得到函数的单调性,即可比较大小.
命题点6 取特殊值法比较大小
(2)(2024·云南昆明模拟)已知实数a,b,c满足ln(ln b)=a=ln c,则a,b,c的大小关系为(　　)A.a>b>cB.c>b>aC.b>c>aD.a>c>b
解析 (方法1　取特殊值法)不妨取a=0,则b=e,c=1,于是有b>c>a,故选C.(方法2　构造函数法)设f(x)=ln x-x,则 ,当00,则函数f(x)在(0,1)内单调递增,当x>1时,f'(x)<0,则函数f(x)在(1,+∞)内单调递减,所以f(x)max=f(1)=-1<0,所以ln xc>a,故选C.
规律方法当要比较大小的几个量不是具体数值,而是具有某种等量关系的几个字母时,可以将其中的字母取一组符合等量关系的特殊的简单数值,通过这组特殊数值来确定它们的大小关系.
[对点训练6](2024·湖南岳阳模拟)已知正数a,b,c,满足aln b=b·ec=c·a,则a,b,c的大小关系为(　　)A.a

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