第8章 立体几何与空间向量 第1节 基本立体图形及空间几何体的表面积与体积 2025届高考数学一轮总复习(适用于新高考新教材)ppt

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从题型和题量上看,高考对本专题考查基本稳定在“两小一大”的方式,总分约22分.从考查内容上看,小题主要考查空间几何体的结构特征、体积与表面积、球与几何体的切接、空间位置关系的判断等,难度中等或中低等.解答题多以几何体为载体,考查空间位置关系的证明、空间角的求解等,难度中等.对直观想象、逻辑思维、数学运算的数学核心素养要求较高.
本章的复习建议(1)掌握特殊几何体的结构特征,熟记体积与表面积公式,理解并会应用空间平行与垂直的相关定理与结论,这是解决立体几何问题的基础.(2)注意对直观想象核心素养的训练,通过动手画图,观察分析图形,对空间几何体中位置关系的证明与应用等,都可以有效提升空间想象能力.(3)重视图形的作用,解立体几何问题,可将题目已知或隐含的条件标注在图形上,达到只通过图形就能表述出题目的已知与所求的效果.(4)归纳空间几何体中常见的建系方法与技巧,并能合理运用.(5)通过题目的训练,提升运算正确率,尤其是利用空间向量求解空间角的问题.
第1节 基本立体图形及空间几何体的表面积与体积
研考点 精准突破
强基础 固本增分
1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征
围成多面体的每一个面都是平面图形,没有曲面
微思考有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗?
提示 不一定.如图所示的几何体满足条件,但不是棱柱.
(2)旋转体的结构特征
微点拨旋转体要抓住“旋转”这一特点,弄清底面、侧面及展开图的形状.
2.空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是:(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',且使∠x'O'y'=45°(或135°),它们确定的平面表示水平面.(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段.(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,在直观图中长度为原来的一半.
九十度,画一半,横不变,纵减半,平行关系不改变,画出图形更直观
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
微点拨一些几何体表面上的最短距离问题,常常“化曲为直”,利用几何体的侧(表)面展开解决.
4.空间几何体的表面积与体积公式
微点拨柱体、锥体、台体体积公式之间的关系: 
题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.菱形的直观图仍是菱形.(　　)2.用两个平行平面截圆柱,夹在两平行平面间的部分仍是圆柱.(　　)3.棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分.(　　)4.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.(　　)
题组二 回源教材5.(人教A版必修第二册习题8.1第7题改编)如图,由平面图形围成的长方体是(　　)
解析 由侧面展开图可知这个长方体中相对的两个最小的矩形被涂色,剩余的两组对面中,一组被涂色,另一组是原色.
6.(人教A版必修第二册8.3.2节例4改编)如图,圆柱的底面直径和高都等于球的直径,则球与圆柱的体积之比为(　　) A.1∶2B.2∶3C.3∶4D.4∶5
7.(人教A版必修第二册8.3.2节例3)如图,某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成,半球的直径是0.3 m,圆柱高0.6 m.如果在浮标表面涂一层防水漆,每平方米需要0.5 kg涂料,那么给1 000个这样的浮标涂防水漆需要涂料__________kg. 
解析 一个浮标的表面积为2π×0.15×0.6+4π×0.152=0.847 8(m2),所以给1 000个这样的浮标涂防水漆约需涂料0.847 8×0.5×1 000=423.9(kg).
题组三 连线高考8.(2021·全国甲,文14)已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30π,则该圆锥的侧面积为__________. 
9.(2023·新高考Ⅱ,14)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为__________. 
解析 如图所示,在正四棱锥P-ABCD中,平面A'B'C'D'∥平面ABCD.点O',O分别为正四棱台ABCD-A'B'C'D'上、下底面的中心,O'H'⊥A'B',OH⊥AB,点H',H为垂足.由题意,得AB=4,A'B'=2,PO'=3.易知△PO'H'∽△POH,
考点一 基本立体图形(多考向探究预测)
考向1 结构特征例1(多选题)下列说法中不正确的有(　　)A.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线B.直角三角形绕其一边所在直线旋转一周所形成的几何体是圆锥C.棱台的上、下底面一定是相似多边形,但侧棱长不一定相等D.棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形
解析 只有当这两点的连线平行于轴时才是母线,故A不正确;当以直角三角形斜边所在直线为旋转轴时,其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥,它是由两个同底圆锥组成的几何体,故B不正确;棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等,故C正确;棱柱的各个侧面都是平行四边形,但不一定全等,故D不正确.
[对点训练1]下列说法不正确的有(　　)A.既是直四棱柱又是平行六面体的几何体是长方体B.棱锥的侧棱长一定大于棱锥的底面边长C.以半圆直径所在的直线为旋转轴,旋转一周形成的曲面是球D.一个矩形以其对边的中点连线为旋转轴,旋转180°所形成的几何体是圆柱
解析 A中,既是直四棱柱又是平行六面体的几何体,此时底面可能不是矩形,所以不一定为长方体,所以A不正确;B中,棱锥的侧棱长不一定大于棱锥的底面边长,例如正四棱锥的底面边长为4,侧棱长为3,此时侧棱长小于底面边长,所以B不正确;C中,以半圆直径所在的直线为旋转轴,旋转一周形成的曲面是球面,所以C不正确;D中,一个矩形以其对边的中点连线为旋转轴,旋转180°,所形成的几何体是圆柱,所以D正确.
(2)已知△ABC是边长为a的正三角形,那么水平放置的△ABC的直观图△A'B'C'的面积为(　　)
解析 (方法1)根据题意,建立如图1所示的平面直角坐标系,再按照斜二测画法画出△ABC的直观图,如图2所示.
变式探究(交换条件与结论)例(2)变为:已知水平放置的△ABC的直观图△A'B'C'是边长为a的正三角形,则△ABC的面积为__________. 
[对点训练2] 水平放置的△ABC的直观图如图所示,已知A'C'=3,B'C'=2,则△ABC中AB边上的中线的长度为__________. 
考向3 展开图例3(2024·湖南郴州模拟)已知圆台的上、下底面圆半径分别为10和5,侧面积为300π,AB为圆台的一条母线(点B在圆台的上底面圆周上),M为AB的中点,一只蚂蚁从点B出发,绕圆台侧面一周爬行到点M,则蚂蚁爬行所经路程的最小值为(　　)A.30B.40C.50D.60
解析 因为圆台上底面半径为10,下底面半径为5,母线长为l,所以S=πl(10+5)=15πl=300π,解得l=20.将圆台所在的圆锥展开如图所示,且设扇形的圆心为O.线段M1B就是蚂蚁经过的最短距离.
规律方法在解决空间折线(段)最短问题时,一般考虑其 展开图,采用化曲为直的策略,将空间问题平面化. 注意多面体表面展开图可能有不同的排布(如长方 体),一定先观察立体图形每个面的形状,全面考虑 问题,借助展开图,培养直观想象素养.
[对点训练3](2024·甘肃张掖模拟)已知圆台的下底面半径是上底面半径的2倍,其侧面展开图是一个面积为6π的半圆环,则该圆台的高为_________.
解析 设圆台上底面半径为r,母线长为l,则其下底面半径为2r.由题可知,圆台对应的圆锥的母线长为2l.因为圆台的侧面展开图是一个面积为6π的半圆环,
考点二 简单几何体的表(侧)面积
例4(1)(多选题)(2024·湖北黄冈中学模拟)一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等,则下列结论正确的是(　　)
A.圆柱的侧面积为2πR2B.圆锥的侧面积为2πR2C.圆柱的侧面积与球的表面积相等D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2
(2)(2024·甘肃兰州模拟)如图所示是某研究性学习小组制作的一楼阁仿真模型的屋顶部分,它可以看作是不含下底面的正四棱台和正三棱柱的组合体,已知正四棱台上底、下底、侧棱的长度(单位:dm)分别为2,6,4,正三棱柱各棱长均相等,则该结构表面积为(　　)
规律方法几何体表面积的求法
(2)如图1所示的塔的第七层塔身可近似地视为一个高2.8 m、底面边长为2 m的正六棱柱,塔顶可近似地视为一个高1 m的正六棱锥,如图2所示,则该塔的第七层塔身及其塔顶的表面积之和约为(　　)
考点三 简单几何体的体积
例5(1)(2024·山西太原模拟)某农场的粮仓中间部分可近似看作是圆柱,圆柱的底面半径为4 m,上、下两部分可以近似看作是完全相同的圆锥,圆柱的高是圆锥高的8倍,且这两个圆锥的顶点相距10 m,制作该粮仓至少需要材料(　　)(材料厚度忽略不计)
解析 (方法1　直接法)如图所示,正四棱台中四边形AA1C1C为等腰梯形.连接AC,A1C1,过点A1作A1G⊥AC,交AC于点G,则A1G为棱台的高.在正四棱台中,
(方法2　补形法)如图,延长各侧棱交于点O,连接AC,A1C1,过O作OG⊥AC,交AC于点G,交平面A1B1C1D1于点H,且点H恰为A1C1的中点,
[对点训练5](1)(2024·河北承德模拟)如图是某学生制作的一个模型,该模型为圆柱中挖去圆台余下的部分,圆柱和挖去的圆台上、下底面圆的圆心重合,圆柱的底面半径和高均为3,挖去的圆台上底面半径为1,下底面半径为2,则该模型的体积为(　　)
解析 由题设,圆台上底面积S1=π,下底面积S2=4π,
所以该模型的体积为27π-7π=20π.
(2)(2024·广东茂名模拟)如图所示的花瓶的瓶体可以看作3个几何体的组合体,上面的几何体Ⅰ是直棱柱,中间的几何体Ⅱ是棱台,下面的几何体Ⅲ也是棱台,几何体Ⅲ的下底面与几何体Ⅰ的底面是全等的六边形,几何体Ⅲ的上底面面积是下底面面积的4倍,若几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的高之比分别为3∶3∶5,则几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的体积之比为(　　) A.3∶6∶10B.3∶9∶25C.3∶21∶35D.9∶21∶35
解析 设上面的六棱柱的底面面积为S,高为3m,则几何体Ⅱ的高为3m,几何体Ⅲ的高为5m,由上到下的三个几何体体积分别记为V1,V2,V3,则V1=3mS,