第9章 平面解析几何 第6节 第1课时　双曲线的定义、方程与性质 2025届高考数学一轮总复习(适用于新高考新教材)ppt

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研考点 精准突破
强基础 固本增分
1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的____________________等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做______________,两焦点间的距离叫做____________________. 
数学表达式:P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|}
微点拨1.要注意定义中的“绝对值”,若没有绝对值,当|MF1|-|MF2|=2a(0<2a< |F1F2|)时,点M的轨迹为靠近点F2的双曲线的一支;当|MF1|-|MF2|=-2a(0<2a< |F1F2|)时,点M的轨迹为靠近点F1的双曲线的一支.2.要注意定义中2a的范围限制.若2a=|F1F2|,则点M的轨迹是以F1,F2为端点的两条射线;若2a>|F1F2|,则点M的轨迹不存在;若2a=0,则点M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
微点拨在双曲线的标准方程中,看x2与y2的系数的正负,若x2的系数为正,则焦点在x轴上;若y2的系数为正,则焦点在y轴上.即“焦点位置看正负,焦点随着正的跑”.
3.双曲线的几何性质
离心率决定双曲线开口的大小,e越大开口越大
A1(-a,0),A2(a,0)
(-∞,-2)∪(-1,+∞)
第1课时　双曲线的定义、方程与性质
GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI
考点一 双曲线的定义及其应用
例1(1)已知F1,F2分别为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上, |PF1|=2|PF2|,则cs∠F1PF2=__________. 
变式探究1(变条件变结论)在本例(1)中,若将条件“|PF1|=2|PF2|”改为“∠F1PF2=60°”,则△F1PF2的面积是多少?
考点二 双曲线的标准方程
(2)(2024·福建三明模拟)已知圆C1:(x+3)2+y2=9,圆C2:(x-3)2+y2=1,若动圆E与C1,C2都外切,则圆心E的轨迹方程为____________________. 
解析 圆C1:(x+3)2+y2=9的圆心为C1(-3,0),半径r1=3;圆C2:(x-3)2+y2=1的圆心为C2(3,0),半径r2=1.由于动圆E与圆C1,C2都外切,设动圆E的半径为r,则|EC1|=r+3,|EC2|=r+1,所以|EC1|-|EC2|=3-1=2<|C1C2|,所以点E的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线的右支.
考点三 双曲线的几何性质(多考向探究预测)
解析 利用双曲线的定义及标准方程,得到|PF1|-|PF2|=2a,|F1F2|=2c.又|PF2|=2a,所以|PF1|=4a.