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    浙江省金丽衢十二校2024届高三下学期第二次联考数学试题 Word版含解析

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    浙江省金丽衢十二校2024届高三下学期第二次联考数学试题 Word版含解析

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    这是一份浙江省金丽衢十二校2024届高三下学期第二次联考数学试题 Word版含解析,共21页。试卷主要包含了 已知集合,,则, 若复数z满足, 双曲线的离心率e的可能取值为, 已知函数若,则的取值范围为, 关于函数,下列说法正确的是等内容,欢迎下载使用。
    命题人:永康一中 高雄略 何承生 审核:浦江中学
    本卷分选择题和非选择题两部分.考试时间为120分钟,试卷总分为150分.请考生将所有试题的答案涂、写在答题纸上.
    选择题部分
    一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1. 已知集合,,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】根据交集定义求解即可.
    【详解】因为,,
    所以.
    故选:D.
    2. 若复数z满足:,则为( )
    A. 2B. C. D. 5
    【答案】C
    【解析】
    【分析】利用共轭复数的概念及复数相等的充要条件求出,进而求出.
    【详解】设,则
    所以,即,
    所以.
    故选:C.
    3. 若函数为偶函数,则实数a的值为( )
    A. B. 0C. D. 1
    【答案】A
    【解析】
    【分析】根据偶函数满足的关系即可化简求解.
    【详解】的定义域为,,
    由于为偶函数,故,
    故,故
    故选:A
    4. 双曲线的离心率e的可能取值为( )
    A. B. C. D. 2
    【答案】A
    【解析】
    【分析】由题得到或,再利用离心率,即可求出结果.
    【详解】由,得到或,
    当时,,
    当,双曲线,,
    所以,
    故选:A.
    5. 在中,“A,B,C成等差数列且成等比数列”是“是正三角形”的( )
    A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
    C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
    【答案】C
    【解析】
    【分析】根据给定条件,利用等差、等比数列的定义,结合正余弦定理及充分条件、必要条件的定义判断即得.
    【详解】在中,由A,B,C成等差数列,得,而,则,
    由成等比数列,得,由正弦定理得,
    由余弦定理得,即,解得,因此是正三角形;
    若是正三角形,则,,
    因此A,B,C成等差数列且成等比数列,
    所以“A,B,C成等差数列且成等比数列”是“是正三角形”的充要条件.
    故选:C
    6. 已知抛物线的焦点为F,以F为圆心的圆交于A,B两点,交的准线于C,D两点,若四边形ABCD是矩形,则圆的方程为( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】依题意知,圆的圆心坐标为,且点为该矩形对角线的交点,利用点到直线的距离与点到的距离相等,可求得直线的方程为:,从而可求得 点坐标,从而可求得圆的半径,于是可得答案.
    【详解】解:由题可得:抛物线的焦点为 ,
    所以圆的圆心坐标为,
    因为四边形ABCD是矩形,且为 直径,为直径,为圆的圆心,
    所以点为该矩形对角线的交点,
    所以点到直线的距离与点到的距离相等,
    故点到直线的距离 ,
    所以直线的方程为: ,
    所以 ,
    故圆的半径 ,
    所以圆的方程为.
    故选:D
    【点睛】本题考查抛物线的简单性质,考查圆的标准方程的确定,分析得到点F为该矩形ABCD的两条对角线的交点是关键,考查作图、分析与运算能力,属于中档题.
    7. 已知函数若,则的取值范围为( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】由题意可知,转化为.结合图像构造函数,,求出函数的值域即为本题答案.
    【详解】由题意可知,即,所以.
    由图像可得,设,.
    则,.令,则
    当时,当时
    所以在单调递减,在单调递增.
    所以在时取得最小值,
    可得.
    故选:B
    8 在三棱锥中,底面是边长为2的正三角形,若为三棱锥的外接球直径,且与所成角的余弦值为,则该外接球的表面积为( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】记球心为,取中点为、中点为,连接,易得,,由,即可求出,由此即可求出答案.
    【详解】如图所示:记球心为,取中点为、中点为,连接,
    记外接球半径为,
    在中,,,,
    在中,,,
    在中,,
    所以AC与BD所成角为,即,
    在中,,,
    所以,
    解得:,
    所以该外接球的表面积为:
    故选:A

    二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
    9. 关于函数,下列说法正确的是( )
    A. 最小正周期为B. 关于点中心对称
    C. 最大值为D. 在区间上单调递减
    【答案】BC
    【解析】
    【分析】首先化简函数的解析式,再根据三角函数的性质,判断选项.
    【详解】,

    函数的最小正周期,故A错误;
    ,所以函数图象关于点中心对称,故B正确;
    ,所以函数的最大值为,故C正确;
    由,,函数在区间单调递增,
    所以函数在区间上单调递增,故D错误.
    故选:BC
    10. 设定义在R上的函数的导函数为,若,均有,则( )
    A. B. (为的二阶导数)
    C. D. 是函数的极大值点
    【答案】AB
    【解析】
    【分析】由,令,即可判断A;由已知得,即得函数,确定,从而可得,求导数,即可判断B;令,判断其单调性,即可判断C;根据极值点与导数的关系可判断D.
    【详解】由,,令,则,A正确;
    当时,由得,故,
    即,则(c为常数),则,
    满足该式,故,则,
    将代入中,得,
    即,而,故,
    则,,,
    故,B正确;
    令,,故在上单调递增,
    故,即,C错误;
    由于,令,即得,
    令,即得,
    故在上单调递减,在上单调递增,
    故是函数的极小值点,D错误,
    故选:AB
    11. 已知正方体,的棱长为1,点P是正方形上的一个动点,初始位置位于点处,每次移动都会到达另外三个顶点.向相邻两顶点移动的概率均为,向对角顶点移动的概率为,如当点P在点处时,向点,移动的概率均为,向点移动的概率为,则( )
    A. 移动两次后,“”的概率为
    B. 对任意,移动n次后,“平面”的概率都小于
    C. 对任意,移动n次后,“PC⊥平面”的概率都小于
    D. 对任意,移动n次后,四面体体积V的数学期望(注:当点P在平面上时,四面体体积为0)
    【答案】ACD
    【解析】
    【分析】先求出点在移动次后,点的概率,再结合由向量法求出线面垂直、线面平行和三棱锥的体积,对选项一一判断即可得出答案.
    【详解】设移动次后,点在点的概率分别为,
    其中,
    ,解得:,
    对于A,移动两次后,“”表示点移动两次后到达点,
    所以概率为,故A正确;

    对于B,以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
    所以,,
    因为,,
    设平面的法向量为,则,
    取,可得,所以,
    而,平面,
    所以当点位于或时,平面,
    当移动一次后到达点或时,所以概率,故B错误;
    对于C,所以当点位于时,PC⊥平面,
    所以移动n次后点位于,则,故C正确;
    对于D,四面体体积V的数学期望
    ,因为,
    所以点到平面的距离为,
    同理点到平面的距离分别为,
    所以,
    所以,
    当为偶数,所以,
    当为奇数,所以,故D正确.
    故选:ACD.
    【点睛】关键点睛:本题的关键点是先求出点在移动次后,点的概率,再结合由向量法求出线面垂直、线面平行和三棱锥的体积,对选项一一判断即可得出答案.
    非选择题部分
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
    12. 己知圆柱的轴截面面积为4,则该圆柱侧面展开图的周长最小值为__________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】将圆柱的母线长和底面圆半径分别设为,根据已知和基本不等式求出侧面展开图面积的最小值.
    【详解】设圆柱的母线长和底面圆半径分别设为,根据已知得,
    由题意可得圆柱侧面展开图的周长可以表示为,
    当且仅当时,即,时等号成立.
    故答案为:
    13. 某中学的A、B两个班级有相同的语文、数学、英语教师,现对此2个班级某天上午的5节课进行排课,2节语文课,2节数学课,1节英语课,要求每个班级的2节语文课连在一起,2节数学课连在一起,则共有__________种不同的排课方式.(用数字作答)
    【答案】8
    【解析】
    【分析】由表示数学课,表示语文课,表示英语课,按上午的第1、2、3、4、5节课顺序,列出所有可能情况可得答案.
    【详解】由表示数学课,表示语文课,表示英语课,
    按上午的第1、2、3、4、5节课排列,可得
    若班排课为,则班排课为,
    若班排课为,则班排课为,
    若班排课为,则班排课为,或班排课为,
    若班排课为,则班排课为,或班排课为,
    若班排课为,则班排课为,
    若班排课为,则班排课为,
    则共有8种不同的排课方式.
    故答案为:8.
    14. 设正n边形的边长为1,顶点依次为,若存在点P满足,且,则n的最大值为__________.(参考数据:)
    【答案】5
    【解析】
    【分析】由题意确定P点的轨迹,分类讨论,结合向量的运算说明正六边形中以及时不符合题意,说明时满足题意,即可得答案.
    【详解】由题意知点P满足,则P点在以为直径的圆上,
    当时,设为的中点,如图,


    当共线且方向时,即三点共线时,取最小值,
    此时,则,
    则,故时,不满足题意;
    当时,设为的中点,如图,

    ,当共线且反向时,取最小值,
    此时共线,,

    则,
    则当共线且同向时,必有,
    故时,存在点P满足,且;
    当时,如图,正七边形的顶点到对边的高h必大于正六边形对边之间的高,依此类推,

    故此时不存点P满足,且;
    故n的最小值为5,
    故答案为:5
    【点睛】难点点睛:本题考查了平面向量的运算以及向量的模的最值问题,综合性较强,难度加大,难点在于要分类讨论正n边形的情况,结合向量的加减运算,确定模的最值情况.
    四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    15. 已知等差数列的前n项和为,且.
    (1)求;
    (2)求数列的前n项和.
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)根据的关系求通项公式即可;
    (2)裂项相消法求和即可得解.
    【小问1详解】
    由①
    所以当时,②
    ②①得:,整理得:,
    所以.
    【小问2详解】
    由(1)知,
    所以,
    所以.
    .
    16. 如图,在四棱锥中,四边形ABCD是边长为2的正方形,平面平面ABCD,,点E是线段AD的中点,.
    (1)证明://平面BDM;
    (2)求平面AMB与平面BDM的夹角.
    【答案】(1)证明见解析
    (2).
    【解析】
    【分析】(1)连接交于,连接,根据条件证明//即得;
    (2)先证明平面,依题建系,求出相关点和向量的坐标,分别求得平面AMB与平面BDM的法向量,最后由空间向量的夹角公式求解即得.
    小问1详解】
    如图,连接交于,连接,由是的中点可得,
    易得与相似,所以,
    又,所以//,
    又平面平面,所以//平面;
    【小问2详解】
    因平面平面,且平面平面,由,点E是线段AD的中点可得
    又平面,故得平面.如图,取的中点为,分别以为轴的正方向,建立空间直角坐标系.
    则,,
    ,则,.
    设平面的法向量为,由,
    则,故可取;
    设平面的法向量为,由,
    则,故可取.
    故平面与平面的夹角余弦值为,
    所以平面与平面的夹角为.
    17. 某工厂生产某种元件,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于82为合格品,小于82为次品,现抽取这种元件100件进行检测,检测结果统计如下表:
    (1)现从这100件样品中随机抽取2件,若其中一件为合格品,求另一件也为合格品的概率;
    (2)关于随机变量,俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式:
    若随机变量X具有数学期望,方差,则对任意正数,均有成立.
    (i)若,证明:;
    (ii)利用该结论表示即使分布未知,随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为90%,那么根据所给样本数据,请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信?(注:当随机事件A发生的概率小于0.05时,可称事件A为小概率事件)
    【答案】(1)
    (2)(i)证明见解析;(ii)不可信.
    【解析】
    【分析】(1)由条件概率的公式进行求解即可;
    (2)(i)由求出,再结合切比雪夫不等式即可证明;(ii)设随机抽取100件产品中合格品的件数为,,由切比雪夫不等式判断出,进而可得出结论.
    【小问1详解】
    记事件为抽到一件合格品,事件为抽到两个合格品,
    【小问2详解】
    (i)由题:若,则

    所以或
    由切比雪夫不等式可知,
    所以;
    (ii)设随机抽取100件产品中合格品的件数为,
    假设厂家关于产品合格率为的说法成立,则,
    所以,
    由切比雪夫不等式知,,
    即在假设下100个元件中合格品为70个的概率不超过0.0225,此概率极小,由小概率原理可知,一般来说在一次试验中是不会发生的,据此我们有理由推断工厂的合格率不可信.
    18. 已知椭圆的左顶点和下顶点B,焦距为,直线l交椭圆L于C,D(不同于椭圆的顶点)两点,直线AD交y轴于M,直线BC交x轴于N,且直线MN交l于P.
    (1)求椭圆L的标准方程;
    (2)若直线AD,BC的斜率相等,证明:点P在一条定直线上运动.
    【答案】(1)
    (2)证明见解析
    【解析】
    【分析】(1)由顶点坐标和焦距可求出椭圆标准方程;
    (2)设直线AD,BC的斜率为k,联立直线和椭圆方程,得到联立直线和椭圆方程由于,所以,可得点,利用消元法可得点P的轨迹方程,即可得证.
    【小问1详解】
    由已知得:,所以,所以椭圆
    【小问2详解】
    设直线的斜率为.
    则直线,直线,得
    联立得,易知.
    由,得,于是.
    同理:
    由于,所以,即,得①,
    同理②,
    由①②得,
    故点在直线上运动.
    【点睛】关键点点睛:本题的关键是设出直线的方程,联立直线方程和椭圆方程,得到点的坐标,从而得解.
    19. ①在微积分中,求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则,法则中有结论:若函数,的导函数分别为,,且,则
    .
    ②设,k是大于1的正整数,若函数满足:对任意,均有成立,且,则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.
    结合以上两个信息,回答下列问题:
    (1)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数;
    (2)计算:;
    (3)证明:,.
    【答案】(1)不是区间上的2阶无穷递降函数;
    (2)
    (3)证明见解析
    【解析】
    【分析】(1)根据函数为区间上的k阶无穷递降函数的定义即可判断;
    (2)通过构造,再结合即可得到结果;
    (3)通过换元令令,则原不等式等价于,再通过构造函数,根据题干中函数为区间上的k阶无穷递降函数的定义证出,即可证明结论.
    【小问1详解】
    设,
    由于,
    所以不成立,
    故不是区间上的2阶无穷递降函数.
    【小问2详解】
    设,则,
    设,
    则,
    所以,得.
    【小问3详解】
    令,则原不等式等价于,
    即证,
    记,则,
    所以,
    即有对任意,均有,
    所以,
    因为,
    所以,
    所以,证毕!
    【点睛】方法点睛:利用函数方法证明不等式成立问题时,应准确构造相应的函数,注意题干条件中相关限制条件的转化.
    测试指标
    元件数(件)
    12
    18
    36
    30
    4

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