广东省佛山市顺德区华侨中学（港澳班）等学校2024届高三下学期3月联考数学试题及答案

这是一份广东省佛山市顺德区华侨中学（港澳班）等学校2024届高三下学期3月联考数学试题及答案，共15页。试卷主要包含了单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．E．均不是
2．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．E．均不是
3．已知，分别是关于的方程，的根，则下面为定值2023的是（ ）
A．B．C．D．E．均不是
4．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图像，且函数是偶函数，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．E．均不是
5．以下不满足的角是（ ）
A．B．C．D．E．均不是
6．已知，为双曲线（，）的两个焦点，为双曲线上的任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3E．均不是
7．设等差数列，的前项和分别为，，若对任意正整数都有，则（ ）
A．B．C．D．E．均不是
8．一个弹性小球从10米自由落下，着地后反弹到原来高度的处，再自由落下，又弹回到上一次高度的处，假设这个小球能无限次反弹，则这个小球在这次运动中所经过的总路程为（ ）
A．50B．60C．70D．80E．均不是
9．如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．E．均不是
10．已知，则被10除所得的余数为（ ）
A．9B．3C．1D．0E．均不是
11．在《周易》中，长横“”表示阳爻，两个短横“”表示阴爻.有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有种组合方法，这便是《系辞传》所说“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”.有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次，八种情况.所谓的“算卦”，就是两个八卦的叠合，即共有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析.在一次所谓“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是（ ）
A．B．C．D．E．均不是
12．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．E．均不是
13．已知圆：（）与双曲线：（，），若在双曲线上存在一点，使得过点所作的圆的两条切线，切点为、，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．E．均不是
14．如图，点在边长为1的正方形边上运动，是的中点，当点沿运动时，点经过的路程与的面积的函数的图象的形状大致是（ ）
A．B．
C．D．
E．均不是
15．已知函数，给出下列四个结论：
①函数的最小正周期是；
②函数在区间上是减函数；
③函数的图象关于直线对称；
④函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到.
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4E．0
二、解答题
16．已知函数．
(1)当时，求函数在上的取值范围；
(2)当时，求函数在上的最大值.
17．设数列满足，．
(1)计算，猜想的通项公式并加以证明；
(2)求数列，求的前项和．
18．已知双曲线的渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为，过点作直线（不与轴重合）与双曲线相交于两点，过点作直线的垂线为垂足．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)是否存在实数，使得直线过定点，若存在，求的值及定点的坐标；若不存在，说明理由.
19．一般地，任何一个复数（，）都可以表示成形式，其中，是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角表示式，简称三角形式.为了与“三角形式”区分开来，（，）叫做复数的代数表示式，简称“代数形式”.
(1)画出复数对应的向量，并把表示成三角形式；
(2)已知，，，其中，.试求（结果表示代数形式）.
20．已知关于的不等式的解集为.
(1)求，的值；
(2)求不等式组所表示的平面区域的面积.
参考答案：
1．D
【分析】
求二次函数值域可得集合，解指数不等式可得集合，再求交集即可.
【详解】因为，所以，所以，
又因为，所以.
所以.
故选：D.
2．D
【分析】
运用对数运算公式计算即可.
【详解】由题意知，，，，
因为，，
所以由换底公式可得，，
又因为（），
所以，
所以由换底公式可得.
故选：D.
3．C
【分析】
由与关于直线对称，关于直线对称可得与为同一点即可求得结果.
【详解】由已知条件可知，，，
令，，，
如图所示，
曲线与曲线关于直线对称，曲线关于直线对称，
设曲线分别与曲线，交于点， ，
则点，关于直线对称，
而点关于直线对称的点为，即为点，
则，即.
故选：C.
4．A
【分析】
结合图象变换求得解析式，再结合偶函数性质求解即可.
【详解】由题意知，（）
又因为为偶函数，所以关于轴对称.
所以，，解得，，
又，所以当时，取得最小值为.
故选：A.
5．D
【分析】
利用诱导公式及反三角函数的定义即可求解.
【详解】对于A项，，故A项正确；
对于B项，令，则，所以，故B项正确；
对于C项，，故C项正确；
对于D项，，故D项不成立.
故选：D.
6．A
【分析】
设出点，，坐标，运用数量积坐标公式可得，结合可得，进而可求得离心率.
【详解】如图，
设，，，
则（当且仅当在顶点时取等号），
所以，即，
所以.
故选：A.
7．C
【分析】
运用等差数列的等和性及等差数列前项和公式求解即可.
【详解】由等差数列的等和性可得，
.
故选：C.
8．C
【分析】
运用等比数列求和公式计算可得解析式，结合极限思想即可求解.
【详解】由题意知，这个小球在这次运动中第次反弹着地后所经过的总路程为，
假设这个小球能无限次反弹，
所以这个小球在这次运动中所经过的总路程为.
故选：C.
9．C
【分析】在上取点，使，连接、，过点作于点，结合题意可得平面，平面，故点到直线距离的最小值为，计算出即可得.
【详解】在上取点，使，连接、，过点作于点，
由，故，又平面， 平面，
故平面，由平面，平面，故，
故，又，，、平面，
故平面，故到平面的距离为，
又在线段上，故点到直线距离的最小值为，
由，故，则，
故.
故选：C.
10．C
【分析】
由题意可得，将其展开式写出后可得，即可得解.
【详解】，
由，
故被10除所得的余数为.
故选：C.
11．B
【分析】由题意，基本事件的总数为，这六爻恰好有三个阳爻包含基本事件数为，由此能求出这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率.
【详解】在一次所谓“算卦”中得到六爻，
基本事件的总数为，
这六爻恰好有三个阳爻包含的基本事件数为，
所以这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是.
故选：B.
12．B
【分析】
得到圆的圆心与半径后，借助切线性质可得，即可得，即可得.
【详解】圆可化为，即圆心为，半径为，
故圆心到点的距离为，
则，由，故，
故.
故选：B.
13．B
【分析】由圆的切线的性质可得，即双曲线与圆有交点，即，即可计算离心率的范围.
【详解】由，故，则，
即双曲线与圆有交点，
即，即，即，
即双曲线的离心率的取值范围是.
故选：B.
14．A
【分析】
求出点在对应线段上时的解析式，结合图象判断即可得.
【详解】当点在上时，，
当点在上时，
，
当点在上时，，
其中A选项符合要求，B、C、D都不符合要求，故A正确.
故选：A.
15．B
【分析】根据降幂公式和辅助角公式化简三角函数式，结合正弦函数的图像与性质即可判断.
【详解】，
对于①，因为，则的最小正周期，故①错误；
对于②，由函数解析式可知，满足时单调递减，
解得，当时，单调递减区间为，故②正确；
对于③，由函数解析式可知，对称轴满足，
解得，所以当时，对称轴为，故③正确；
对于④，函数的图象向左平移个单位可得，故④错误.
故正确结论的个数是个.
故选：B.
16．(1)
(2)
【分析】（1）对函数配方后，可得其对称轴，从而可求得其单调区间，进而可求出的取值范围，
（2）对函数配方后，可得其对称轴，然后分和两种情况求出函数的最大值
【详解】（1）当时，，
对称轴为直线，
函数在上单调递减，在上单调递增，
，，，，
函数在区间上的取值范围是；
（2）当时，，
对称轴为直线，
当时，函数在上的最大值；
当时，函数在上的最大值；
函数在上的最大值.
17．(1)，，，猜想，证明见解析
(2)
【分析】
（1）利用递推关系式可求得，由此可猜想得到通项公式；利用数学归纳法可证得通项公式成立；
（2）由（1）可得，采用错位相减法可求得.
【详解】（1）由，得：；；；
由此可猜想，证明如下：
当时，，即成立；
假设当时，成立，
那么当时，，即成立；
综上所述：当时，.
（2）由（1）得：，
，，
两式作差得：，
.
18．(1)
(2)存在实数，使得直线过定点
【分析】
（1）焦点到渐近线的距离为，在根据渐近线方程求出；
（2）计算出的直线方程，再令即可求出定点坐标.
【详解】（1）
焦点到渐近线的距离不妨求直线的距离，渐近线方程，得
所以双曲线方程为；
（2）
假设存在实数，使得直线过定点,
设直线，则．
联立，消得
则．
直线，令得:
又
当即时，为定值
所以存在实数，使得直线过定点.
19．(1)图象见解析，
(2)
【分析】（1）根据对应的点在第四象限画出图象，求得复数的模和辅角即可；
（2）根据，进而求得，，再利用复数的乘法求解.
【详解】（1）因为对应的点在第四象限，
所以对应的向量如图所示.
易得，，，
所以.
所以.
（2）因为，
所以.
又，，
所以.
所以.
所以，
，
.
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据三个“二次”的关系列方程求解；
（2）由约束条件画出可行域，然后求面积即可.
【详解】（1）由题意得是方程的两根，
则，即有.
（2）由得，
由约束条件画出可行域，如图所示，
在中，分别令，2得，3，
在中，分别令，2得，，
则不等式组所表示的平面区域的面积.