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2024年江苏省宿迁市沭阳县中考数学一模试卷 （含解析）
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这是一份2024年江苏省宿迁市沭阳县中考数学一模试卷 （含解析），共27页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）实数﹣3的相反数是（ ）
A．﹣B．C．3D．﹣3
2．（3分）下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（ ）
A．y＝6xB．y＝﹣6xC．y＝D．y＝﹣
3．（3分）抛物线y＝x2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，0）B．（2，0）C．（0，2）D．（0，﹣2）
4．（3分）2023年5月30日上午，我国载人航天飞船“神舟十六号”发射圆满成功，与此同时，中国载人航天办公室也宣布计划在2030年前实现中国人首次登陆距地球平均距离为38.4万千米的月球．将384000用科学记数法表示应为（ ）
A．38.4×104B．3.84×105C．3.84×106D．0.384×106
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6B．4ab﹣ab＝4
C．（a+1）2＝a2+1D．（﹣a3）2＝a6
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，则tanB＝（ ）
A．B．3C．D．
7．（3分）若k为任意整数，则（2k+3）2﹣4k2的值总能（ ）
A．被2整除B．被3整除C．被5整除D．被7整除
8．（3分）如图，直角三角形ACB中，两条直角边AC＝8，BC＝6，将△ACB绕着AC中点M旋转一定角度，得到△DFE，点F正好落在AB边上，DE和AB交于点G，则AG的长为（ ）
A．1.4B．1.8C．1.2D．1.6
二.填空题（共10小题，每小题3分，满分30分．每个小题只有一个选项是正确的，请把正确选项的字母涂在答题卡相应的位置）
9．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
10．（3分）小张在“阳光大课间”活动中进行了5次一分钟跳绳练习，所跳个数分别为：160，163，160，157，160．这组数据的众数为 ．
11．（3分）分解因式：x2y﹣y3＝ ．
12．（3分）已知a为正整数，点P（4，2﹣a）在第一象限中，则a＝ ．
13．（3分）在Rt△ABC中，若两直角边长为6cm、8cm，则它的外接圆的面积为 ．
14．（3分）在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣csB）2＝0，则∠C的度数是 ．
15．（3分）关于x的分式方程+＝3有增根，则m＝ ．
16．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+2mx+1，当x＞4时，函数值y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ．
17．（3分）如图，Rt△OAB与Rt△OBC位于平面直角坐标系中，∠AOB＝∠BOC＝30°，BA⊥OA，CB⊥OB，若AB＝，反比例函数y＝（k≠0）恰好经过点C，则k＝ ．
18．（3分）点E在边长为4的正方形ABCD的边BC上，点F在边CD上，∠EAF＝45°，则△AEF面积的最小值为 ．
三.解答题（本大题共10题，满分96分，请在答题纸的指定区域内作答，并写出证明或演算步骤）
19．（8分）计算：（1+π）0+2﹣|﹣3|+2sin45°．
20．（8分）先化简，再求值：，其中x是方程x2﹣2x﹣3＝0的根．
21．（8分）4月23日是世界读书日．为了解学生的阅读喜好，丰富学校图书资源，某校将课外书籍设置了四类：文学类、科技类、艺术类、其他类，随机抽查了部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的一类，将抽查结果绘制成如图统计图（不完整）．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求被抽查的学生人数，并求出扇形统计图中m的值．
（2）请将条形统计图补充完整．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
（3）若该校共有1200名学生，根据抽查结果，试估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数．
22．（8分）“石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都做出“石头”“剪子”“布”3种手势中的1种，其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，“布”赢“石头”，手势相同不分输赢．假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种．
（1）甲每次做出“石头”手势的概率为 ；
（2）用画树状图或列表的方法，求乙不输的概率．
23．（10分）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，4）和点B，点B在点A的下方，AC平分∠OAB，交x轴于点C．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（3）线段OA与（2）中所作的垂直平分线相交于点D，连接CD．求证：CD∥AB．
24．（10分）一艘轮船在某海域上由西向东匀速航行，在A处测得小岛P在北偏东75°方向上，继续向东航行12海里到达B处后，在B处测得小岛P在北偏东60°方向上．
（1）求轮船在B处时与小岛P的距离．
（2）已知在小岛P周围7海里内有暗礁，若轮船继续向东航行，是否有触礁的危险？请说明理由．
25．（10分）如图，在△ABC中，O是AC上（异于点A，C）的一点，⊙O恰好经过点A，B，AD⊥CB于点D，且AB平分∠CAD．
（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若AC＝10，DC＝8，求⊙O的半径长．
26．（10分）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）（30≤x＜60）存在一次函数关系，部分数据如表所示：
（1）试求出y关于x的函数表达式．
（2）设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？
27．（12分）据图回答下列各题．
问题：如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点（不与B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BD，CE之间满足的数量关系式为 ．
探索：如图2，在与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在边上，请探索线段AD，BD，CD之间满足的数量关系，并证明你的结论．
应用：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，若BD＝9，CD＝3，求AD的长．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系中抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中B（3，0），C（0，﹣3）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD⊥AC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．求出所有使得以QF为腰的△QEF是等腰三角形的点Q的坐标．
2024年江苏省宿迁市沭阳县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）实数﹣3的相反数是（ ）
A．﹣B．C．3D．﹣3
【分析】根据相反数的定义判断即可．
【解答】解：﹣3的相反数是3，
故选：C．
2．（3分）下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（ ）
A．y＝6xB．y＝﹣6xC．y＝D．y＝﹣
【分析】根据反比例函数的性质和正比例函数的性质分别判断即可．
【解答】解：A选项，y＝6x的函数值随着x增大而增大，
故A不符合题意；
B选项，y＝﹣6x的函数值随着x增大而减小，
故B符合题意；
C选项，在每一个象限内，y＝的函数值随着x增大而减小，
故C不符合题意；
D选项，在每一个象限内，y＝﹣的函数值随着x增大而增大，
故D不符合题意，
故选：B．
3．（3分）抛物线y＝x2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，0）B．（2，0）C．（0，2）D．（0，﹣2）
【分析】利用二次函数的图象和性质，即可得出顶点坐标．
【解答】解：∵y＝x2﹣2，
∴抛物线的顶点坐标为（0，﹣2），
故选：D．
4．（3分）2023年5月30日上午，我国载人航天飞船“神舟十六号”发射圆满成功，与此同时，中国载人航天办公室也宣布计划在2030年前实现中国人首次登陆距地球平均距离为38.4万千米的月球．将384000用科学记数法表示应为（ ）
A．38.4×104B．3.84×105C．3.84×106D．0.384×106
【分析】利用科学记数法表示大数．
【解答】解：384000＝3.84×105，
故选：B．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6B．4ab﹣ab＝4
C．（a+1）2＝a2+1D．（﹣a3）2＝a6
【分析】分析：根据同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、完全平方公式、幂的乘方法则，逐项计算，即可得出正确答案．
【解答】解：A，a3•a2＝a3+2＝a5，故A选项错误，不合题意；
B，4ab﹣ab＝3ab，合并同类项结果错误，故B选项错误，不合题意；
C，（a+1）2＝a2+2a+1，故C选项错误，不合题意；
D，（﹣a3）2＝a3×2＝a6，故D选项正确，符合题意；
故选：D．
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，则tanB＝（ ）
A．B．3C．D．
【分析】根据正切函数的定义求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，
∴tanB＝＝＝．
故选：A．
7．（3分）若k为任意整数，则（2k+3）2﹣4k2的值总能（ ）
A．被2整除B．被3整除C．被5整除D．被7整除
【分析】先根据完全平方公式进行计算，再合并同类项，分解因式后再逐个判断即可．
【解答】解：（2k+3）2﹣4k2
＝4k2+12k+9﹣4k2
＝12k+9
＝3（4k+3），
∵k为任意整数，
∴（2k+3）2﹣4k2的值总能被3整除，
故选：B．
8．（3分）如图，直角三角形ACB中，两条直角边AC＝8，BC＝6，将△ACB绕着AC中点M旋转一定角度，得到△DFE，点F正好落在AB边上，DE和AB交于点G，则AG的长为（ ）
A．1.4B．1.8C．1.2D．1.6
【分析】由勾股定理可求AB＝10，由旋转的性质可得∠A＝∠D，DM＝AM，CM＝MF，DE＝AB＝10，可得AM＝MF＝CM，可得∠AFC＝90°，由锐角三角函数可求AF的长，由直角三角形的性质可求GF的长，即可求AG的长．
【解答】解：如图，连接CF，
∵AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10，
∵点M是AC中点，
∴AM＝MC＝4，
∵将△ACB绕着AC中点M旋转一定角度，得到△DFE，
∴∠A＝∠D，DM＝AM，CM＝MF，DE＝AB＝10，
∴AM＝MF＝CM，
∴∠AFC＝90°，
∵×AB×CF＝×AC×BC，
∴CF＝，
∴AF＝＝＝，
∵∠A＝∠D，∠A＝∠AFM，
∴∠D＝∠AFM，
又∵∠DFE＝90°，
∴DG＝GF，∠E＝∠GFE，
∴GF＝GE，
∴GF＝GD＝GE＝5，
∴AG＝AF﹣GF＝﹣5＝＝1.4，
故选：A．
二.填空题（共10小题，每小题3分，满分30分．每个小题只有一个选项是正确的，请把正确选项的字母涂在答题卡相应的位置）
9．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 x≠2 ．
【分析】根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，
解得：x≠2，
故答案为：x≠2．
10．（3分）小张在“阳光大课间”活动中进行了5次一分钟跳绳练习，所跳个数分别为：160，163，160，157，160．这组数据的众数为 160 ．
【分析】根据众数的定义求解即可．
【解答】解：由题意知，这组数据中160出现3次，次数最多，
所以这组数据的众数为160，
故答案为：160．
11．（3分）分解因式：x2y﹣y3＝ y（x+y）（x﹣y） ．
【分析】先提取公因式y，再利用平方差公式进行二次分解．
【解答】解：x2y﹣y3
＝y（x2﹣y2）
＝y（x+y）（x﹣y）．
故答案为：y（x+y）（x﹣y）．
12．（3分）已知a为正整数，点P（4，2﹣a）在第一象限中，则a＝ 1 ．
【分析】根据平面直角坐标系中第一象限内的点的横、纵坐标都为正数，得到2﹣a＞0，即可求出a的取值范围，再根据a为正整数即可得到a的值．
【解答】解：∵点P（4，2﹣a）在第一象限，
∴2﹣a＞0，
∴a＜2，
又a为正整数，
∴a＝1．
故答案为：1．
13．（3分）在Rt△ABC中，若两直角边长为6cm、8cm，则它的外接圆的面积为 25πcm2 ．
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再由直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半可得出外接圆的半径，进而得出其面积．
【解答】解：∵AC＝6cm，BC＝8cm，
∴AB＝＝10（cm），
∴外接圆的半径＝5cm，
∴S外接圆＝25π（cm2）．
故答案为：25πcm2．
14．（3分）在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣csB）2＝0，则∠C的度数是 105° ．
【分析】先利用非负数的性质得到sinA﹣＝0，﹣csB＝0，即sinA＝，csB＝，则根据特殊角的三角函数值得到∠A、∠B的度数，然后根据三角形内角和定理计算出∠C的度数．
【解答】解：∵|sinA﹣|+（﹣csB）2＝0，
∴sinA﹣＝0，﹣csB＝0，
即sinA＝，csB＝，
∴∠A＝30°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．
故答案为：105°．
15．（3分）关于x的分式方程+＝3有增根，则m＝ ﹣1 ．
【分析】先去分母，再根据增根的意义列方程求解．
【解答】解：方程两边同乘（x﹣2）得：x+m﹣1＝3（x﹣2），
由题意得：x＝2是该整式方程的解，
∴2+m﹣1＝0，
解得：m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
16．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+2mx+1，当x＞4时，函数值y随x的增大而减小，则m的取值范围是 m≤4 ．
【分析】先根据二次函数的解析式判断出函数的开口方向，再由当x＞4时，函数值y随x的增大而减小可知二次函数的对称轴x＝﹣≤4，故可得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2mx+1中，a＝﹣1＜0，
∴此函数开口向下，
∵当x＞4时，函数值y随x的增大而减小，
∴二次函数的对称轴x＝﹣≤4，即m≤4，
故答案为：m≤4．
17．（3分）如图，Rt△OAB与Rt△OBC位于平面直角坐标系中，∠AOB＝∠BOC＝30°，BA⊥OA，CB⊥OB，若AB＝，反比例函数y＝（k≠0）恰好经过点C，则k＝ 4 ．
【分析】解含30°角的直角三角形，依次求出OB，OC的长，再求出∠COx的度数，求出点C的坐标，即可求得k的值．
【解答】解：过点C作CE⊥x轴，垂足为E，
∵∠AOB＝∠BOC＝30°，BA⊥OA，CB⊥OB，AB＝，
∴OB＝2AB＝2，∠COE＝90°﹣30°﹣30°＝30°，
在Rt△OBC中＝，即＝，
∴OC＝4，
在Rt△OCE中＝，即＝，CE＝2，
＝，即＝，
∴OE＝2，
∴点C（2，2），
∴k＝2×2＝4．
故答案为：4．
18．（3分）点E在边长为4的正方形ABCD的边BC上，点F在边CD上，∠EAF＝45°，则△AEF面积的最小值为 ．
【分析】将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，证明△AEF≌△AHF（SAS），则FH＝EF，S△AEF＝S△AFH，设DE＝x，BF＝y，则BH＝DE＝x，在Rt△EFC中，由EC2+CF2＝EF2得出S△AEF＝，根据二次函数的性质即可求解．
【解答】解：如图所示，
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，
则AH＝AE，∠BAH＝∠DAE，
∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠BAF+∠DAE＝∠BAH+∠BAF＝45°，
∴∠FAH＝∠EAF＝45°，
在△AEF，△AHF中，
，
∴△AEF≌△AHF（SAS），
∴FH＝EF，
∴S△AEF＝S△AFH，
设DE＝x，BF＝y，则BH＝DE＝x，EF＝BF+BH＝x+y，CE＝4﹣x，CF＝4﹣y，
在Rt△EFC中，EC2+CF2＝EF2，
∴（4﹣x）2+（4﹣y）2＝（x+y）2，
∴S△AEF＝S△AFH＝FH•AB
＝×4（x+y）
＝2[x+（﹣4+）]
＝
＝
当时，，
∴S△AEF的最小值为，
故答案为：．
三.解答题（本大题共10题，满分96分，请在答题纸的指定区域内作答，并写出证明或演算步骤）
19．（8分）计算：（1+π）0+2﹣|﹣3|+2sin45°．
【分析】根据实数的计算法则进行计算．
【解答】解：（1+π）0+2﹣|﹣3|+2sin45°
＝1+2﹣3+2×
＝0+
＝．
20．（8分）先化简，再求值：，其中x是方程x2﹣2x﹣3＝0的根．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据x是方程x2﹣2x﹣3＝0的根求出x的值，把x的值代入进行计算即可．
【解答】解：
＝•
＝•
＝x+1，
∵x是方程x2﹣2x﹣3＝0的根，
∴x1＝3，x2＝﹣1，
∵x＝﹣1时，原分式无意义，
∴x＝3，
∴当x＝3时，原式＝3+1＝4．
21．（8分）4月23日是世界读书日．为了解学生的阅读喜好，丰富学校图书资源，某校将课外书籍设置了四类：文学类、科技类、艺术类、其他类，随机抽查了部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的一类，将抽查结果绘制成如图统计图（不完整）．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求被抽查的学生人数，并求出扇形统计图中m的值．
（2）请将条形统计图补充完整．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
（3）若该校共有1200名学生，根据抽查结果，试估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数．
【分析】（1）将其他类人数除以其所占的比即可求出被抽查的人数；将科技类人数除以被抽查的人数化成百分数，即可求出m的值；
（2）先求出艺术类人数，再补全条形统计图即可；
（3）将1200乘以样本中最喜欢“文学类”书籍所占的比例即可估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数．
【解答】解：（1）被抽查的学生人数是 40÷20%＝200（人），
∵，
∴扇形统计图中m的值是40，
答：被抽查的学生人数为200人，扇形统计图中m的值为40；
（2）200﹣60﹣80﹣40＝20（人），
补全的条形统计图如图所示．
（3）∵（人），
∴估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数共有360人．
22．（8分）“石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都做出“石头”“剪子”“布”3种手势中的1种，其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，“布”赢“石头”，手势相同不分输赢．假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种．
（1）甲每次做出“石头”手势的概率为 ；
（2）用画树状图或列表的方法，求乙不输的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）甲每次做出“石头”手势的概率为；
故答案为：；
（2）画树状图得：
共有9种等可能的情况数，其中乙不输的有6种，
则乙不输的概率是＝．
23．（10分）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，4）和点B，点B在点A的下方，AC平分∠OAB，交x轴于点C．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（3）线段OA与（2）中所作的垂直平分线相交于点D，连接CD．求证：CD∥AB．
【分析】（1）直接把点A的坐标代入求出k即可；
（2）利用尺规作出线段AC的垂直平分线m即可；
（3）证明∠DCA＝∠BAC，可得结论．
【解答】（1）解：∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，4），
∴k＝2×4＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）解：如图，直线m即为所求．
（3）证明：∵AC平分∠OAB，
∴∠OAC＝∠BAC，
∵直线m垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，
∴∠OAC＝∠DCA，
∴∠DCA＝∠BAC，
∴CD∥AB．
24．（10分）一艘轮船在某海域上由西向东匀速航行，在A处测得小岛P在北偏东75°方向上，继续向东航行12海里到达B处后，在B处测得小岛P在北偏东60°方向上．
（1）求轮船在B处时与小岛P的距离．
（2）已知在小岛P周围7海里内有暗礁，若轮船继续向东航行，是否有触礁的危险？请说明理由．
【分析】（1）过点P作AB的垂线，求出角度后，利用等角对等边得出PB＝AB即可解决问题．
（2）求出点P到AB的距离，将这个距离与7进行比较即可解决问题．
【解答】解：（1）过点P作AB的垂线，垂足为M，
由题知，
∠PAM＝90°﹣75°＝15°，∠PBM＝90°﹣60°＝30°，
所以∠APB＝30°﹣15°＝15°，
所以BP＝AB＝12（海里），
答：轮船在B处时与小岛P的距离是12海里．
（2）有触礁的危险．
在Rt△PBM中，
sin∠PBM＝，
因为∠PBM＝30°，PB＝12，
所以，
则PM＝6，
因为6＜7，
所以若轮船继续向东航行，有触礁的危险．
25．（10分）如图，在△ABC中，O是AC上（异于点A，C）的一点，⊙O恰好经过点A，B，AD⊥CB于点D，且AB平分∠CAD．
（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若AC＝10，DC＝8，求⊙O的半径长．
【分析】（1）连接OB，证明AD∥OB，进而可以解决问题；
（2）利用勾股定理求出AD，然后根据平行线分线段成比例定理即可求出半径．
【解答】解：（1）BC与⊙O相切，理由如下：
如图，连接OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵AB平分∠CAD，
∴∠DAB＝∠CAB，
∴∠DAB＝∠OBA，
∴AD∥OB，
∵AD⊥CB，
∴OB⊥CB，
∵OB是⊙O的半径，
∴BC与⊙O相切；
（2）∵∠D＝90°，AC＝10，DC＝8，
∴AD＝＝6，
∵AD∥OB，
∴＝，
∴＝，
∵OA＝OB，
∴OB＝，
∴⊙O的半径长为．
26．（10分）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）（30≤x＜60）存在一次函数关系，部分数据如表所示：
（1）试求出y关于x的函数表达式．
（2）设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，由表中数据即可得出结论；
（2）根据每日总利润＝每千克利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．
【解答】解：（1）设y关于x的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）．
将x＝50，y＝100和x＝40，y＝200分别代入，得：，
解得：，
∴y关于x的函数表达式是：y＝﹣10x+600．
（2）W＝（x﹣30）（﹣10x+600）＝﹣10x2+900x﹣18000．
当x＝﹣＝45时，在30≤x＜60的范围内，W取到最大值，最大值是2250．
答：销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元．
27．（12分）据图回答下列各题．
问题：如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点（不与B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BD，CE之间满足的数量关系式为 BD＝EC ．
探索：如图2，在与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在边上，请探索线段AD，BD，CD之间满足的数量关系，并证明你的结论．
应用：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，若BD＝9，CD＝3，求AD的长．
【分析】问题：证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；
探索：连接CE，根据全等三角形的性质得到BD＝CE，∠ACE＝∠B，得到∠DCE＝90°，根据勾股定理计算即可；
应用：过点A作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，证明△BAD≌△CAE，得到BD＝CE＝9，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：问题：结论：BD＝EC，
理由如下：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，
故答案为：BD＝EC；
探索：结论：BD2+CD2＝2AD2，
理由如下：连接CE，如图所示：
在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，
则∠BAC+∠B＝90°，
由（1）得，△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，∠ACE＝∠B，
∴∠DCE＝∠BAC+∠ACE＝∠BAC+∠B＝90°，
∴CE2+CD2＝ED2，
在Rt△ADE中，AD2+AE2＝ED2，
又AD＝AE，
∴BD2+CD2＝2AD2；
应用：过点A作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，如图所示：
即在△ADE中，∠EAD＝90°，AE＝AD，
则∠EDA＝45°，
∵∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE＝9，
∵∠ADC＝45°，∠EDA＝45°，
∴∠EDC＝90°，
∴，
∵∠DAE＝90°，
∴．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系中抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中B（3，0），C（0，﹣3）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD⊥AC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．求出所有使得以QF为腰的△QEF是等腰三角形的点Q的坐标．
【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式即可求解；
（2）直线AC的解析式为，过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点Q，设，则，则，进而根据二次函数的性质即可求解；
（3）根据平移的性质得出，对称轴为直线，点向右平移5个单位得到，F（0，2），勾股定理分别表示出EF2，QE2，QF2进而分类讨论即可求解．
【解答】解：（1）将点B（3，0），C（0，﹣3），代入得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
（2）∵与x轴交于点A，B，
当y＝0时，，
解得：x1＝﹣4，x2＝3，
∴A（﹣4，0），
∵C（0，﹣3），
设直线AC的解析式为y＝kx﹣3，
∴﹣4k﹣3＝0，
解得：，
∴直线AC的解析式为，
如图所示，过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点Q，
设，则，
∴，
∵∠AQE＝∠PQD，∠AEQ＝∠QDP＝90°，
∴∠OAC＝∠QPD，
∵OA＝4，OC＝3，
∴AC＝5，
∴，
∴，
∴当t＝﹣2时，PD取得最大值为，，
∴；
（3）∵抛物线＝，
将该抛物线向右平移5个单位，得到，对称轴为直线，
点向右平移5个单位得到，
∵平移后的抛物线与y轴交于点F，令x＝0，则，
∴F（0，2），
∴，
∵Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点，
则Q点的横坐标为，
设，
∴，，
当QF＝EF时，，
解得：m＝﹣1或m＝5，
当QE＝QF时，，
解得：，
综上所述，Q点的坐标为或或．
销售价格x（元/千克）
50
40
日销售量y（千克）
100
200
销售价格x（元/千克）
50
40
日销售量y（千克）
100
200
1．（3分）实数﹣3的相反数是（ ）
A．﹣B．C．3D．﹣3
2．（3分）下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（ ）
A．y＝6xB．y＝﹣6xC．y＝D．y＝﹣
3．（3分）抛物线y＝x2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，0）B．（2，0）C．（0，2）D．（0，﹣2）
4．（3分）2023年5月30日上午，我国载人航天飞船“神舟十六号”发射圆满成功，与此同时，中国载人航天办公室也宣布计划在2030年前实现中国人首次登陆距地球平均距离为38.4万千米的月球．将384000用科学记数法表示应为（ ）
A．38.4×104B．3.84×105C．3.84×106D．0.384×106
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6B．4ab﹣ab＝4
C．（a+1）2＝a2+1D．（﹣a3）2＝a6
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，则tanB＝（ ）
A．B．3C．D．
7．（3分）若k为任意整数，则（2k+3）2﹣4k2的值总能（ ）
A．被2整除B．被3整除C．被5整除D．被7整除
8．（3分）如图，直角三角形ACB中，两条直角边AC＝8，BC＝6，将△ACB绕着AC中点M旋转一定角度，得到△DFE，点F正好落在AB边上，DE和AB交于点G，则AG的长为（ ）
A．1.4B．1.8C．1.2D．1.6
二.填空题（共10小题，每小题3分，满分30分．每个小题只有一个选项是正确的，请把正确选项的字母涂在答题卡相应的位置）
9．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
10．（3分）小张在“阳光大课间”活动中进行了5次一分钟跳绳练习，所跳个数分别为：160，163，160，157，160．这组数据的众数为 ．
11．（3分）分解因式：x2y﹣y3＝ ．
12．（3分）已知a为正整数，点P（4，2﹣a）在第一象限中，则a＝ ．
13．（3分）在Rt△ABC中，若两直角边长为6cm、8cm，则它的外接圆的面积为 ．
14．（3分）在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣csB）2＝0，则∠C的度数是 ．
15．（3分）关于x的分式方程+＝3有增根，则m＝ ．
16．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+2mx+1，当x＞4时，函数值y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ．
17．（3分）如图，Rt△OAB与Rt△OBC位于平面直角坐标系中，∠AOB＝∠BOC＝30°，BA⊥OA，CB⊥OB，若AB＝，反比例函数y＝（k≠0）恰好经过点C，则k＝ ．
18．（3分）点E在边长为4的正方形ABCD的边BC上，点F在边CD上，∠EAF＝45°，则△AEF面积的最小值为 ．
三.解答题（本大题共10题，满分96分，请在答题纸的指定区域内作答，并写出证明或演算步骤）
19．（8分）计算：（1+π）0+2﹣|﹣3|+2sin45°．
20．（8分）先化简，再求值：，其中x是方程x2﹣2x﹣3＝0的根．
21．（8分）4月23日是世界读书日．为了解学生的阅读喜好，丰富学校图书资源，某校将课外书籍设置了四类：文学类、科技类、艺术类、其他类，随机抽查了部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的一类，将抽查结果绘制成如图统计图（不完整）．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求被抽查的学生人数，并求出扇形统计图中m的值．
（2）请将条形统计图补充完整．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
（3）若该校共有1200名学生，根据抽查结果，试估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数．
22．（8分）“石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都做出“石头”“剪子”“布”3种手势中的1种，其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，“布”赢“石头”，手势相同不分输赢．假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种．
（1）甲每次做出“石头”手势的概率为 ；
（2）用画树状图或列表的方法，求乙不输的概率．
23．（10分）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，4）和点B，点B在点A的下方，AC平分∠OAB，交x轴于点C．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（3）线段OA与（2）中所作的垂直平分线相交于点D，连接CD．求证：CD∥AB．
24．（10分）一艘轮船在某海域上由西向东匀速航行，在A处测得小岛P在北偏东75°方向上，继续向东航行12海里到达B处后，在B处测得小岛P在北偏东60°方向上．
（1）求轮船在B处时与小岛P的距离．
（2）已知在小岛P周围7海里内有暗礁，若轮船继续向东航行，是否有触礁的危险？请说明理由．
25．（10分）如图，在△ABC中，O是AC上（异于点A，C）的一点，⊙O恰好经过点A，B，AD⊥CB于点D，且AB平分∠CAD．
（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若AC＝10，DC＝8，求⊙O的半径长．
26．（10分）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）（30≤x＜60）存在一次函数关系，部分数据如表所示：
（1）试求出y关于x的函数表达式．
（2）设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？
27．（12分）据图回答下列各题．
问题：如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点（不与B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BD，CE之间满足的数量关系式为 ．
探索：如图2，在与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在边上，请探索线段AD，BD，CD之间满足的数量关系，并证明你的结论．
应用：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，若BD＝9，CD＝3，求AD的长．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系中抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中B（3，0），C（0，﹣3）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD⊥AC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．求出所有使得以QF为腰的△QEF是等腰三角形的点Q的坐标．
2024年江苏省宿迁市沭阳县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）实数﹣3的相反数是（ ）
A．﹣B．C．3D．﹣3
【分析】根据相反数的定义判断即可．
【解答】解：﹣3的相反数是3，
故选：C．
2．（3分）下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（ ）
A．y＝6xB．y＝﹣6xC．y＝D．y＝﹣
【分析】根据反比例函数的性质和正比例函数的性质分别判断即可．
【解答】解：A选项，y＝6x的函数值随着x增大而增大，
故A不符合题意；
B选项，y＝﹣6x的函数值随着x增大而减小，
故B符合题意；
C选项，在每一个象限内，y＝的函数值随着x增大而减小，
故C不符合题意；
D选项，在每一个象限内，y＝﹣的函数值随着x增大而增大，
故D不符合题意，
故选：B．
3．（3分）抛物线y＝x2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，0）B．（2，0）C．（0，2）D．（0，﹣2）
【分析】利用二次函数的图象和性质，即可得出顶点坐标．
【解答】解：∵y＝x2﹣2，
∴抛物线的顶点坐标为（0，﹣2），
故选：D．
4．（3分）2023年5月30日上午，我国载人航天飞船“神舟十六号”发射圆满成功，与此同时，中国载人航天办公室也宣布计划在2030年前实现中国人首次登陆距地球平均距离为38.4万千米的月球．将384000用科学记数法表示应为（ ）
A．38.4×104B．3.84×105C．3.84×106D．0.384×106
【分析】利用科学记数法表示大数．
【解答】解：384000＝3.84×105，
故选：B．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6B．4ab﹣ab＝4
C．（a+1）2＝a2+1D．（﹣a3）2＝a6
【分析】分析：根据同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、完全平方公式、幂的乘方法则，逐项计算，即可得出正确答案．
【解答】解：A，a3•a2＝a3+2＝a5，故A选项错误，不合题意；
B，4ab﹣ab＝3ab，合并同类项结果错误，故B选项错误，不合题意；
C，（a+1）2＝a2+2a+1，故C选项错误，不合题意；
D，（﹣a3）2＝a3×2＝a6，故D选项正确，符合题意；
故选：D．
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，则tanB＝（ ）
A．B．3C．D．
【分析】根据正切函数的定义求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，
∴tanB＝＝＝．
故选：A．
7．（3分）若k为任意整数，则（2k+3）2﹣4k2的值总能（ ）
A．被2整除B．被3整除C．被5整除D．被7整除
【分析】先根据完全平方公式进行计算，再合并同类项，分解因式后再逐个判断即可．
【解答】解：（2k+3）2﹣4k2
＝4k2+12k+9﹣4k2
＝12k+9
＝3（4k+3），
∵k为任意整数，
∴（2k+3）2﹣4k2的值总能被3整除，
故选：B．
8．（3分）如图，直角三角形ACB中，两条直角边AC＝8，BC＝6，将△ACB绕着AC中点M旋转一定角度，得到△DFE，点F正好落在AB边上，DE和AB交于点G，则AG的长为（ ）
A．1.4B．1.8C．1.2D．1.6
【分析】由勾股定理可求AB＝10，由旋转的性质可得∠A＝∠D，DM＝AM，CM＝MF，DE＝AB＝10，可得AM＝MF＝CM，可得∠AFC＝90°，由锐角三角函数可求AF的长，由直角三角形的性质可求GF的长，即可求AG的长．
【解答】解：如图，连接CF，
∵AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10，
∵点M是AC中点，
∴AM＝MC＝4，
∵将△ACB绕着AC中点M旋转一定角度，得到△DFE，
∴∠A＝∠D，DM＝AM，CM＝MF，DE＝AB＝10，
∴AM＝MF＝CM，
∴∠AFC＝90°，
∵×AB×CF＝×AC×BC，
∴CF＝，
∴AF＝＝＝，
∵∠A＝∠D，∠A＝∠AFM，
∴∠D＝∠AFM，
又∵∠DFE＝90°，
∴DG＝GF，∠E＝∠GFE，
∴GF＝GE，
∴GF＝GD＝GE＝5，
∴AG＝AF﹣GF＝﹣5＝＝1.4，
故选：A．
二.填空题（共10小题，每小题3分，满分30分．每个小题只有一个选项是正确的，请把正确选项的字母涂在答题卡相应的位置）
9．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 x≠2 ．
【分析】根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，
解得：x≠2，
故答案为：x≠2．
10．（3分）小张在“阳光大课间”活动中进行了5次一分钟跳绳练习，所跳个数分别为：160，163，160，157，160．这组数据的众数为 160 ．
【分析】根据众数的定义求解即可．
【解答】解：由题意知，这组数据中160出现3次，次数最多，
所以这组数据的众数为160，
故答案为：160．
11．（3分）分解因式：x2y﹣y3＝ y（x+y）（x﹣y） ．
【分析】先提取公因式y，再利用平方差公式进行二次分解．
【解答】解：x2y﹣y3
＝y（x2﹣y2）
＝y（x+y）（x﹣y）．
故答案为：y（x+y）（x﹣y）．
12．（3分）已知a为正整数，点P（4，2﹣a）在第一象限中，则a＝ 1 ．
【分析】根据平面直角坐标系中第一象限内的点的横、纵坐标都为正数，得到2﹣a＞0，即可求出a的取值范围，再根据a为正整数即可得到a的值．
【解答】解：∵点P（4，2﹣a）在第一象限，
∴2﹣a＞0，
∴a＜2，
又a为正整数，
∴a＝1．
故答案为：1．
13．（3分）在Rt△ABC中，若两直角边长为6cm、8cm，则它的外接圆的面积为 25πcm2 ．
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再由直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半可得出外接圆的半径，进而得出其面积．
【解答】解：∵AC＝6cm，BC＝8cm，
∴AB＝＝10（cm），
∴外接圆的半径＝5cm，
∴S外接圆＝25π（cm2）．
故答案为：25πcm2．
14．（3分）在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣csB）2＝0，则∠C的度数是 105° ．
【分析】先利用非负数的性质得到sinA﹣＝0，﹣csB＝0，即sinA＝，csB＝，则根据特殊角的三角函数值得到∠A、∠B的度数，然后根据三角形内角和定理计算出∠C的度数．
【解答】解：∵|sinA﹣|+（﹣csB）2＝0，
∴sinA﹣＝0，﹣csB＝0，
即sinA＝，csB＝，
∴∠A＝30°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．
故答案为：105°．
15．（3分）关于x的分式方程+＝3有增根，则m＝ ﹣1 ．
【分析】先去分母，再根据增根的意义列方程求解．
【解答】解：方程两边同乘（x﹣2）得：x+m﹣1＝3（x﹣2），
由题意得：x＝2是该整式方程的解，
∴2+m﹣1＝0，
解得：m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
16．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+2mx+1，当x＞4时，函数值y随x的增大而减小，则m的取值范围是 m≤4 ．
【分析】先根据二次函数的解析式判断出函数的开口方向，再由当x＞4时，函数值y随x的增大而减小可知二次函数的对称轴x＝﹣≤4，故可得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2mx+1中，a＝﹣1＜0，
∴此函数开口向下，
∵当x＞4时，函数值y随x的增大而减小，
∴二次函数的对称轴x＝﹣≤4，即m≤4，
故答案为：m≤4．
17．（3分）如图，Rt△OAB与Rt△OBC位于平面直角坐标系中，∠AOB＝∠BOC＝30°，BA⊥OA，CB⊥OB，若AB＝，反比例函数y＝（k≠0）恰好经过点C，则k＝ 4 ．
【分析】解含30°角的直角三角形，依次求出OB，OC的长，再求出∠COx的度数，求出点C的坐标，即可求得k的值．
【解答】解：过点C作CE⊥x轴，垂足为E，
∵∠AOB＝∠BOC＝30°，BA⊥OA，CB⊥OB，AB＝，
∴OB＝2AB＝2，∠COE＝90°﹣30°﹣30°＝30°，
在Rt△OBC中＝，即＝，
∴OC＝4，
在Rt△OCE中＝，即＝，CE＝2，
＝，即＝，
∴OE＝2，
∴点C（2，2），
∴k＝2×2＝4．
故答案为：4．
18．（3分）点E在边长为4的正方形ABCD的边BC上，点F在边CD上，∠EAF＝45°，则△AEF面积的最小值为 ．
【分析】将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，证明△AEF≌△AHF（SAS），则FH＝EF，S△AEF＝S△AFH，设DE＝x，BF＝y，则BH＝DE＝x，在Rt△EFC中，由EC2+CF2＝EF2得出S△AEF＝，根据二次函数的性质即可求解．
【解答】解：如图所示，
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，
则AH＝AE，∠BAH＝∠DAE，
∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠BAF+∠DAE＝∠BAH+∠BAF＝45°，
∴∠FAH＝∠EAF＝45°，
在△AEF，△AHF中，
，
∴△AEF≌△AHF（SAS），
∴FH＝EF，
∴S△AEF＝S△AFH，
设DE＝x，BF＝y，则BH＝DE＝x，EF＝BF+BH＝x+y，CE＝4﹣x，CF＝4﹣y，
在Rt△EFC中，EC2+CF2＝EF2，
∴（4﹣x）2+（4﹣y）2＝（x+y）2，
∴S△AEF＝S△AFH＝FH•AB
＝×4（x+y）
＝2[x+（﹣4+）]
＝
＝
当时，，
∴S△AEF的最小值为，
故答案为：．
三.解答题（本大题共10题，满分96分，请在答题纸的指定区域内作答，并写出证明或演算步骤）
19．（8分）计算：（1+π）0+2﹣|﹣3|+2sin45°．
【分析】根据实数的计算法则进行计算．
【解答】解：（1+π）0+2﹣|﹣3|+2sin45°
＝1+2﹣3+2×
＝0+
＝．
20．（8分）先化简，再求值：，其中x是方程x2﹣2x﹣3＝0的根．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据x是方程x2﹣2x﹣3＝0的根求出x的值，把x的值代入进行计算即可．
【解答】解：
＝•
＝•
＝x+1，
∵x是方程x2﹣2x﹣3＝0的根，
∴x1＝3，x2＝﹣1，
∵x＝﹣1时，原分式无意义，
∴x＝3，
∴当x＝3时，原式＝3+1＝4．
21．（8分）4月23日是世界读书日．为了解学生的阅读喜好，丰富学校图书资源，某校将课外书籍设置了四类：文学类、科技类、艺术类、其他类，随机抽查了部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的一类，将抽查结果绘制成如图统计图（不完整）．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求被抽查的学生人数，并求出扇形统计图中m的值．
（2）请将条形统计图补充完整．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
（3）若该校共有1200名学生，根据抽查结果，试估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数．
【分析】（1）将其他类人数除以其所占的比即可求出被抽查的人数；将科技类人数除以被抽查的人数化成百分数，即可求出m的值；
（2）先求出艺术类人数，再补全条形统计图即可；
（3）将1200乘以样本中最喜欢“文学类”书籍所占的比例即可估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数．
【解答】解：（1）被抽查的学生人数是 40÷20%＝200（人），
∵，
∴扇形统计图中m的值是40，
答：被抽查的学生人数为200人，扇形统计图中m的值为40；
（2）200﹣60﹣80﹣40＝20（人），
补全的条形统计图如图所示．
（3）∵（人），
∴估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数共有360人．
22．（8分）“石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都做出“石头”“剪子”“布”3种手势中的1种，其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，“布”赢“石头”，手势相同不分输赢．假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种．
（1）甲每次做出“石头”手势的概率为 ；
（2）用画树状图或列表的方法，求乙不输的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）甲每次做出“石头”手势的概率为；
故答案为：；
（2）画树状图得：
共有9种等可能的情况数，其中乙不输的有6种，
则乙不输的概率是＝．
23．（10分）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，4）和点B，点B在点A的下方，AC平分∠OAB，交x轴于点C．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（3）线段OA与（2）中所作的垂直平分线相交于点D，连接CD．求证：CD∥AB．
【分析】（1）直接把点A的坐标代入求出k即可；
（2）利用尺规作出线段AC的垂直平分线m即可；
（3）证明∠DCA＝∠BAC，可得结论．
【解答】（1）解：∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，4），
∴k＝2×4＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）解：如图，直线m即为所求．
（3）证明：∵AC平分∠OAB，
∴∠OAC＝∠BAC，
∵直线m垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，
∴∠OAC＝∠DCA，
∴∠DCA＝∠BAC，
∴CD∥AB．
24．（10分）一艘轮船在某海域上由西向东匀速航行，在A处测得小岛P在北偏东75°方向上，继续向东航行12海里到达B处后，在B处测得小岛P在北偏东60°方向上．
（1）求轮船在B处时与小岛P的距离．
（2）已知在小岛P周围7海里内有暗礁，若轮船继续向东航行，是否有触礁的危险？请说明理由．
【分析】（1）过点P作AB的垂线，求出角度后，利用等角对等边得出PB＝AB即可解决问题．
（2）求出点P到AB的距离，将这个距离与7进行比较即可解决问题．
【解答】解：（1）过点P作AB的垂线，垂足为M，
由题知，
∠PAM＝90°﹣75°＝15°，∠PBM＝90°﹣60°＝30°，
所以∠APB＝30°﹣15°＝15°，
所以BP＝AB＝12（海里），
答：轮船在B处时与小岛P的距离是12海里．
（2）有触礁的危险．
在Rt△PBM中，
sin∠PBM＝，
因为∠PBM＝30°，PB＝12，
所以，
则PM＝6，
因为6＜7，
所以若轮船继续向东航行，有触礁的危险．
25．（10分）如图，在△ABC中，O是AC上（异于点A，C）的一点，⊙O恰好经过点A，B，AD⊥CB于点D，且AB平分∠CAD．
（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若AC＝10，DC＝8，求⊙O的半径长．
【分析】（1）连接OB，证明AD∥OB，进而可以解决问题；
（2）利用勾股定理求出AD，然后根据平行线分线段成比例定理即可求出半径．
【解答】解：（1）BC与⊙O相切，理由如下：
如图，连接OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵AB平分∠CAD，
∴∠DAB＝∠CAB，
∴∠DAB＝∠OBA，
∴AD∥OB，
∵AD⊥CB，
∴OB⊥CB，
∵OB是⊙O的半径，
∴BC与⊙O相切；
（2）∵∠D＝90°，AC＝10，DC＝8，
∴AD＝＝6，
∵AD∥OB，
∴＝，
∴＝，
∵OA＝OB，
∴OB＝，
∴⊙O的半径长为．
26．（10分）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）（30≤x＜60）存在一次函数关系，部分数据如表所示：
（1）试求出y关于x的函数表达式．
（2）设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，由表中数据即可得出结论；
（2）根据每日总利润＝每千克利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．
【解答】解：（1）设y关于x的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）．
将x＝50，y＝100和x＝40，y＝200分别代入，得：，
解得：，
∴y关于x的函数表达式是：y＝﹣10x+600．
（2）W＝（x﹣30）（﹣10x+600）＝﹣10x2+900x﹣18000．
当x＝﹣＝45时，在30≤x＜60的范围内，W取到最大值，最大值是2250．
答：销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元．
27．（12分）据图回答下列各题．
问题：如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点（不与B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BD，CE之间满足的数量关系式为 BD＝EC ．
探索：如图2，在与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在边上，请探索线段AD，BD，CD之间满足的数量关系，并证明你的结论．
应用：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，若BD＝9，CD＝3，求AD的长．
【分析】问题：证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；
探索：连接CE，根据全等三角形的性质得到BD＝CE，∠ACE＝∠B，得到∠DCE＝90°，根据勾股定理计算即可；
应用：过点A作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，证明△BAD≌△CAE，得到BD＝CE＝9，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：问题：结论：BD＝EC，
理由如下：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，
故答案为：BD＝EC；
探索：结论：BD2+CD2＝2AD2，
理由如下：连接CE，如图所示：
在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，
则∠BAC+∠B＝90°，
由（1）得，△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，∠ACE＝∠B，
∴∠DCE＝∠BAC+∠ACE＝∠BAC+∠B＝90°，
∴CE2+CD2＝ED2，
在Rt△ADE中，AD2+AE2＝ED2，
又AD＝AE，
∴BD2+CD2＝2AD2；
应用：过点A作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，如图所示：
即在△ADE中，∠EAD＝90°，AE＝AD，
则∠EDA＝45°，
∵∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE＝9，
∵∠ADC＝45°，∠EDA＝45°，
∴∠EDC＝90°，
∴，
∵∠DAE＝90°，
∴．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系中抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中B（3，0），C（0，﹣3）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD⊥AC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．求出所有使得以QF为腰的△QEF是等腰三角形的点Q的坐标．
【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式即可求解；
（2）直线AC的解析式为，过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点Q，设，则，则，进而根据二次函数的性质即可求解；
（3）根据平移的性质得出，对称轴为直线，点向右平移5个单位得到，F（0，2），勾股定理分别表示出EF2，QE2，QF2进而分类讨论即可求解．
【解答】解：（1）将点B（3，0），C（0，﹣3），代入得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
（2）∵与x轴交于点A，B，
当y＝0时，，
解得：x1＝﹣4，x2＝3，
∴A（﹣4，0），
∵C（0，﹣3），
设直线AC的解析式为y＝kx﹣3，
∴﹣4k﹣3＝0，
解得：，
∴直线AC的解析式为，
如图所示，过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点Q，
设，则，
∴，
∵∠AQE＝∠PQD，∠AEQ＝∠QDP＝90°，
∴∠OAC＝∠QPD，
∵OA＝4，OC＝3，
∴AC＝5，
∴，
∴，
∴当t＝﹣2时，PD取得最大值为，，
∴；
（3）∵抛物线＝，
将该抛物线向右平移5个单位，得到，对称轴为直线，
点向右平移5个单位得到，
∵平移后的抛物线与y轴交于点F，令x＝0，则，
∴F（0，2），
∴，
∵Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点，
则Q点的横坐标为，
设，
∴，，
当QF＝EF时，，
解得：m＝﹣1或m＝5，
当QE＝QF时，，
解得：，
综上所述，Q点的坐标为或或．
销售价格x（元/千克）
50
40
日销售量y（千克）
100
200
销售价格x（元/千克）
50
40
日销售量y（千克）
100
200
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