2024年陕西省汉中市南郑区龙岗学校中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年陕西省汉中市南郑区龙岗学校中考数学一模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−127的立方根为( )
A. −13B. 13C. ±13D. ± 33
2.如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体中写“英”字的一面，其相对面上的字是( )
A. “战”B. “疫”C. “情”D. “颂”
3.下列计算正确的是( )
A. a3+a2=a5B. a6÷a2=a3
C. (−3a2)⋅2a3=−6a6D. (−ab−1)2=a2b2+2ab+1
4.如图，在△ABC中BD是∠ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为点F.若∠ABC=35°，∠C=50°，则∠CDE的度数为( )
A. 50°
B. 47.5°
C. 45°
D. 40°
5.把直线y=−x+4向下平移n个单位长度后，与直线y=2x−4的交点在第四象限，则n的取值范围是( )
A. 28D. n<6
6.如图，平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，∠BAC=90°，且AC：BD=3：5，若平行四边形ABCD的面积为48，则AB的长为( )
A. 3 3B. 4 3C. 3 2D. 4 2
7.如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若∠ABC=38°，则角∠BDC的度数为( )
A. 26°
B. 38°
C. 52°
D. 57°
8.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，对称轴为为x=12，且经过点(2.0).下列说法：①abc<0；②−2b+c=0；③4a+2b+c<0；④若(−12,y1)，(52,y2)是抛物线上的两点，则y1m(am+b)(其中m≠12).其中正确的结论有( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.化简：(a−2b)2−(a+b)(a−b)=______．
10.如图，在边长为2cm的正六边形ABCDEF中，点P在BC上，则△PEF的面积为______．
11.围棋，起源于中国，古称“弈”，是棋类之鼻祖，距今已有4000多年的历史．现用围棋中的黑子摆出如图所示的正方形图案，则第n个正方形图案有黑子______(用含有n的式子表示)个．
12.已知点P1(2,y1)、点P2(x2,3)是同一个反比例函数y=2−m2x(2−m2≠0)图象上的两点．若点P1与关于原点P2对称，则m的值为______．
13.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，O为对角线AC的中点，点P在AD边上，且AP=2，点Q在BC边上，连接PQ与OQ，则PQ−OQ的最大值为______．
三、解答题：本题共13小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题5分)
计算：(−3)2+20220− 18×sin45°．
15.(本小题5分)
解不等式组3x+2>x−2x−33≤7−53x．
16.(本小题5分)
化简：(m+4m+4m)÷m+2m．
17.(本小题5分)
如图，在△ABC中，AB=AC，点P在BC上．在线段AC上求作一点D，使△PCD∽△ABP.(保留作图痕迹，不写作法)
18.(本小题5分)
如图，在△ABC中，点E在边BC上，AE=AB，将线段AC绕点A逆时针旋转到AF的位置，使得∠CAF=∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．
求证：EF=BC．
19.(本小题5分)
某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过a千瓦时则超过部分除缴纳基本电价外，另增收20%的费用．某户八月份用电84千瓦时，共缴纳电费35.52元，求a的数值．
20.(本小题5分)
某学校开设了四门校本课程供学生选择：A.趣味数学；B.快乐阅读；C.魔法英语；D.硬笔书法．
(1)该校学生小乔随机选取了一门课程，则小乔选中课程D的概率是______；
(2)该校规定每名学生需选两门不同的课程，小张和小压在选课程的过程中，若第一次都选了课程C，那么他俩第二次同时选择课程A或课程B的概率是多少？请用列表法或画树状图的方法加以说明．
21.(本小题6分)
如图，某小区的物业楼上悬挂一块高为3m的广告牌，即CD=3m.小奇和小妙要测量广告牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高AE=BF=1.2m，小奇在E处测得广告牌底部点D的仰角为22°，小妙在F处测得广告牌顶部点C的仰角为45°，AB=9m，请根据相关测量信息，求出广告牌底部点D到地面的距离DH的长．(图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内．参考数据：sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40)
22.(本小题7分)
“疫情无情人有情，防控有界爱无界”，自新冠肺炎疫情发生以来，某社区积极响应政府号召，及时发出倡议，提醒群众提高意识，注意防范，呼吁爱心人士伸出援手为疫情严重地区捐款捐物．社区对此次捐活动进行抽样调查，得到一些捐款数据，将数据整理成如图所示的统计图表(中信息不完整)．
已知A，B两组捐款人数的比为1：5.请结合以上信息解答下列问题：
(1)a=______，本次调查的样本容量是______；
(2)补全“捐款人数分组条形统计图”；
(3)若记A组捐款的平均数为50，B组捐款的平均数为150，C组捐款的平均数为250，D组捐款的平均数为350，E组捐款的平均数为500，若一个社区共有1000人参加此次活动，请你估计此次活动可以筹得善款的金额大约为多少．
23.(本小题7分)
在一次“探究不同粗细的蜡烛燃烧速度”的实验中，小鹏将两支高度相同，但粗细不同的蜡烛同时点燃，直到两支蜡烛燃尽．在实验中发现，两支蜡烛的各自燃烧速度(单位：厘米/小时)是不变的，细蜡烛先于粗蜡烛燃尽．如图描述了两支蜡烛的高度差(厘米)与粗蜡烛的燃烧时间x(小时)之间的函数关系，根据图象解答下列问题：
(1)求出AB段的函数关系式；
(2)在两只蜡烛全部燃烧尽之前，求两只蜡烛的高度差为5厘米的时间．
24.(本小题8分)
如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为F，AO⊥BC，垂足为E，连接AC．
(1)求∠B的度数．
(2)若CE= 3，求⊙O的半径．
25.(本小题8分)
如图，抛物线y=ax2+bx−3(a≠0)与x轴交于点A(−1,0)，点B(3,0)，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；
(3)点P是第四象限内抛物线上的一个动点，试求四边形ACPB面积的最大值．
26.(本小题10分)
问题提出
如图1，四边形ABCD中，AB=AD，∠B与∠D互补，BC=2CD=20，点A到BC边的距离为17，求四边形ABCD的面积．
问题解决
某公园计划修建主题活动区域，如图2所示，BA=BC=60m，∠B=60°，CD/​/AB，在BC上找一点E，修建两个不同的三角形活动区域，△ABE区域为体育健身活动区域，△ECD为文艺活动表演区域，根据规划要求，ED=EA，∠AED=60°，设EC的长为x(m)，△ECD的面积为y(m2)，求x与y之间的函数关系式，并求出△ECD面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：因为(−13)3=−127，
所以−127的立方根是−13，
故选：A．
根据立方根的定义进行计算即可．
本题考查立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键．
2.【答案】B
【解析】解：该几何体中写“英”字的一面，其相对面上的字是“疫”，
故选：B．
根据正方体的表面展开图找相对面的方法，“Z”字两端是对面，即可解答．
本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、原式不能合并，错误；
B、原式=a4，错误；
C、原式=−6a5，错误；
D、原式=a2b2+2ab+1，正确，
故选D
A、原式不能合并，错误；
B、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可作出判断；
C、原式利用单项式乘以单项式法则计算得到结果，即可作出判断；
D、原式利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断．
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠EBD=12∠ABC=17.5°，
∵AE⊥BD，
∴∠AFB=∠EFB=90°，
∴∠BAF=∠BEF，
∴BA=BE，
∴BD垂直平分AE，
∴DA=DE，
∴∠DAE=∠EDA，
∴∠CDE=∠DAE+∠EDA=2∠DAE，
∵∠ABC=35°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°−35°−50°=95°，
∵∠BAF=90°−∠ABF=90°−17.5°=72.5°，
∴∠DAE=95°−72.5°=22.5°，
∴∠CDE=2×22.5°=45°．
故选：C．
先计算出∠ABD=∠EB=17.5°，再证明BA=BE，则可判断BD垂直平分AE，所以DA=DE，则∠DAE=∠EDA，所以∠CDE=2∠DAE，然后计算出∠DAE即可．
本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
5.【答案】A
【解析】解：把直线y=−x+4向下平移n个单位长度所得直线解析式为y=−x+4−n，
由y=2x−4y=−x+4−n得x=8−n3y=4−2n3，
∵平移后的直线y=−x+4−n与直线y=2x−4交点在第四象限，
∴8−n3>04−2n3<0，
解得2故选：A．
根据平移的规律求得平移后的直线解析式，再与y=2x−4联立成方程组，解方程组即可求得交点坐标，根第四象限点的坐标特征得到关于n的不等式组，解不等式即可．
本题考查一次函数图象的图象与几何变换，两条直线相交问题，解题的关键是掌握“上加下减”的平移规律．
6.【答案】D
【解析】解：如图，设AC，BD交于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2AO，BD=2OB，
∵AC：BD=3：5，
∴OA：OB=3：5，
设OA=3x，OB=5x，
∵∠BAC=90°，
∴AB= OB2−OA2=4x，AC=6x，
∵平行四边形ABCD的面积为48，
∴AC⋅AB=48，
∴6x×4x=48，
∴x=± 2(负值舍去)，
∴AB=4x=4 2．
故选：D．
根据平行四边形的性质可得AC=2AO，BD=2OB，设OA=3x，OB=5x，根据勾股定理可得AB=4x，然后根据平行四边形的性质即可解决问题．
本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
7.【答案】C
【解析】解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=38°，
∴∠BAC=90°−∠ABC=52°，
∴∠BDC=∠BAC=52°．
故选：C．
由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由∠ABC=38°，即可求得∠A的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠BDC的度数．
此题考查了圆周角定理．此题难度不大，注意掌握直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线对称轴为直线x=−b2a=12，
∴b=−a>0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c>0，
∴abc<0，①正确．
∵抛物线经过(2,0)，对称轴为直线x=12，
∴抛物线经过(−1,0)，即a−b+c=−2b+c=0，②正确．
∵x=2时，y=4a+2b+c=0，
∴③不正确．
∵12−(−12)<52−12，
∴(−12,y1)到对称轴距离小于(52,y2)到对称轴距离，
∴y1>y2，④不正确．
∵抛物线开口向下，对称轴是直线x=12，
∴当x=12时，抛物线y取得最大值ymax=(12)2a+12b+c=14b+c，
当x=m时，ym=am2+bm+c=m(am+b)+c，且m≠12，
∴14b+c>am2+bm+c
即14b>m(am+b)，
故⑤正确．
综上，结论①②⑤正确．
故选：B．
抛物线开口向下，且交y轴于正半轴及对称轴为x=12，推导出a<0，b>0、c>0以及a与b之间的关系：b=−a；根据二次函数图象经过点(2,0)，可得出0=4a+2b+c；再由二次函数的对称性，当a<0时，距离对称轴越远x所对应的y越小；由抛物线开口向下，对称轴是直线x=12，可知当x=12时，y有最大值．
本题考查二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，需要充分掌握二次函数各系数的意义，以及它们跟二次函数图象之间的联系．
9.【答案】5b2−4ab
【解析】解：原式=a2−4ab+4b2−a2+b2
=5b2−4ab，
故答案为：5b2−4ab．
根据完全平方公式、平方差公式以及整式的加减进行计算即可．
本题考查平方差公式、完全平方公式，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
10.【答案】2 3cm2
【解析】解：连接BF，BE，过点A作AT⊥BF于T，
∵ABCDEF是正六边形，
∴CB/​/EF，AB=AF，∠BAF=120°，
∴S△PEF=S△BEF，
∵AT⊥BF，AB=AF，
∴BT=FT，∠BAT=∠FAT=60°，
∴BT=FT=AB⋅sin60°= 3(cm)，
∴BF=2BT=2 3cm，
∵∠AFE=120°，∠AFB=∠ABF=30°，
∴∠BFE=90°，
∴S△PEF=S△BEF=12⋅EF⋅BF=12×2×2 3=2 3(cm2)，
故答案为：2 3cm2．
连接BF，BE，过点A作AT⊥BF于T，证明S△PEF=S△BEF，求出△BEF的面积即可．
本题考查正多边形与圆，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
11.【答案】(n+1)2
【解析】解：∵第1个正方形图案有黑子个数为：4=22=(1+1)2，
第2个正方形图案有黑子个数为：9=32=(2+1)2，
第3个正方形图案有黑子个数为：16=92=(3+1)2，
……，
∴第n个正方形图案有黑子个数为：(n+1)2，
故答案为：(n+1)2．
本题是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．
此题考查了图形变化类规律问题的解决能力，关键是能根据图案变化观察、猜想、验证而得到此题蕴含的规律．
12.【答案】2 2或−2 2
【解析】解：∵点P1(2,y1)、点P2(x2,3)，点P1与关于原点P2对称，
∴y1=−3，
∴P1(2,−3)，
∵点P1(2,−3)在反比例函数y=2−m2x(2−m2≠0)图象上，
∴2−m2=2×(−3)=−6，
解得m=±2 2，
故答案为：2 2或−2 2．
根据题意得到P1的坐标，代入y=2−m2x(2−m2≠0)即可求得m的值．
本题考查了关于原点对称点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，求得P1的坐标是解题的关键．
13.【答案】 5
【解析】解：如图，连接PO，
在△OPQ中，PQ−OQ∴OP=PQ−OQ时，PQ−OQ的值最大，
连接PO并延长交BC于Q，则这个Q点满足使PQ−OQ=OP的值最大，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD//BC，∠A=∠B=90°，
∴∠PAO=∠QCO，
∵O为对角线AC的中点，
∴OA=OC，
在△AOP和△COQ中，
∠PAO=∠QCOOA=OC∠AOP=∠COQ，
∴△AOP≌△COQ(ASA)，
∴OP=OQ，AP=CQ，
∵AP=2，
∴CQ=2，
过P作PH⊥BC于H，
∴∠PHB=90°，
∴四边形APHB为矩形，
∴AP=BH=2，PH=AB=4，
∴HQ=AD−BH−CQ=2，
∴PQ= PH2+HQ2=2 5，
∴OP=OQ= 5．
故答案为： 5．
如图，连接PO并延长交BC于Q，则这个Q点满足使PQ−OQ的最大，则PQ−OQ的最大值为OP的长度．然后利用矩形的性质可以证明△AOP≌△COQ(ASA)，接着过P作PH⊥BC于H，证明四边形APHB为矩形，最后利用勾股定理即可求解．
本题主要考查了轴对称−最短路径的问题，同时也利用了矩形的性质和全等三角形的判定与性质，有一定的综合性．
14.【答案】解：(−3)2+20220− 18×sin45°
=9+1−3 2× 22
=10−3
=7．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
15.【答案】解：解不等3x+2>x−2式得：x>−2，
解不等式x−33≤7−53x得：x≤4，
∴不等式组的解集为：−2【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
此题考查了一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
16.【答案】解：原式=m2+4m+4m⋅mm+2
=(m+2)2m⋅mm+2
=m+2．
【解析】通分先算括号内的，把除化为乘，再分解因式约分即可．
本题考查分式的化简，解题的关键是掌握分式的基本性质，能将分式通分和约分．
17.【答案】解：如图．

【解析】由AB=AC，可得∠B=∠C，再作∠DPC=∠BAP即可．
本题考查作图−相似变换、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握尺规作图的基本作法．
18.【答案】证明：∵将线段AC绕点A逆时针旋转到AF的位置，
∴AF=AC，
∵∠CAF=∠BAE，
∴∠CAF+∠CAE=∠BAE+∠CAE，即∠FAE=∠CAB，
在△AEF和△ABC中，
AE=AB∠FAE=∠CABAF=AC，
∴△AEF≌△ABC(SAS)，
∴EF=BC．
【解析】由将线段AC绕点A逆时针旋转到AF的位置，得AF=AC，而∠CAF=∠BAE，可得∠FAE=∠CAB，即可得△AEF≌△ABC(SAS)，从而EF=BC．
本题考查三角形中的旋转问题，解题的关键是掌握旋转的性质，证明△AEF≌△ABC．
19.【答案】解：由题意得：
0.40a+(84−a)×0.40×(1+20%)=35.52，
解得：a=60．
故a的数值是60．
【解析】根据题中所给的关系，找到等量关系，共交电费是不变的，然后列出方程求出a．
本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
20.【答案】14
【解析】解：(1)共有4门课程，每门课程被选中的可能性是均等的，所以随机选中一门课程是课程D的概率为14，
故答案为：14；
(2)两人随机选中一门课程，所有可能出现的结果如下：
共有16种可能出现的结果，其中两人同时选择课程A或课程B的有4种，
所以两人第二次同时选择课程A或课程B的概率为416=14．
(1)共有4门课程，每门课程被选中的可能性是均等的，D课程只是其中的一门课程，根据概率的定义可求答案；
(2)用列表法表示两人随机选中一门课程所有可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查列表法或树状图法求简单随机事件的概率，列举出所有可能出现的结果是解决问题的关键．
21.【答案】解：过点F作FG⊥CH．

则点E，F，G在同一条直线上，∠DEG=22°，∠CFG=45°，EF=AB=9m，GH=AE=BF=1.2m，
设FG=x m，则CG=FG=x m，
∴DG=CG−CD=(x−3)m，EG=EF+FG=(x+9)m，
在Rt△DEG中，tan22°=DGEG=x−3x+9≈0.40，
解得x=11，
∴CG=11m，DG=8m，
∴DH=DG+GH=8+1.2=9.2(m)．
∴广告牌底部点D到地面的距离DH的长约为9.2m．
【解析】过点F作FG⊥CH.设FG=x m，则CG=FG=xm，DG=CG−CD=(x−3)m，EG=EF+FG=(x+9)m，在Rt△DEG中，tan22°=DGEG=x−3x+9≈0.40，解得x=11，再根据DH=DG+GH可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
22.【答案】20 500
【解析】解：(1)由题意可得，a=100÷5=20，
本次调查的样本容量为：(100+20)÷(1−8%−28%−40%)=500，
故答案为：20；500；
(2)C组人数为：500×40%=200(人)，
补全“捐款人数分组条形统计图”如下：
(3)人均平均捐款为：1500×(20×50+100×150+200×250+500×28%×350+500×8%×500)=270(元)，
1000×270=270000(元)，
答：估计此次活动可以筹得善款的金额大约为270000元．
(1)根据A，B两组捐款人数的比为1：5，B组捐款人数为100人，据此可得a的值；用A，B两组捐款人数除以其对应的百分比即可得出样本容量；
(2)用样本容量乘40%即可得出C组人数，再补全“捐款人数分组条形统计图”即可；
(3)利用加权平均数得出样本平均数，再乘总人数即可．
此题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
23.【答案】解：(1)设AB段的函数关系式为y=kx+b，则：
2k+b=83k+b=0，
解得k=−8b=24，
故AB段的函数关系式为y=−8x+24；
(2)当0≤x<2时，设两支蜡烛的高度差y(厘米)与粗蜡烛的燃烧时间x(小时)之间的函数关系式为y=mx，
由题意可得：8=2m，
∴m=4，
∴y=4x，
当y=5时，则5=4x，
∴x=54；
当2≤x≤3时且y=5时，
−8x+24=5，
解得x=198，
综上所述：x=54或198．
【解析】(1)利用待定系数法求解即可解；
(2)分别求出0≤x<2和2≤x≤3时，y与x的函数关系式，将y=5代入解析式可求解．
本题考查了一次函数的应用，待定系数法求解析式，理解函数图象上的点的具体含义是本题的关键．
24.【答案】解：(1)∵AE⊥BC，AE过圆心O，
∴CE=BE，
∴AC=AB，
同理AC=BC，
∴AB=AC=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°；
(2)∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵CD⊥AB，AC=BC，
∴∠DCB=12∠ACB=30°，
∴OC=2OE，
∵CE= 3，OC2=OE2+CE2，
即(2OE)2=OE2+( 3)2，
解得：OE=1(负数舍去)，
∴OC=2OE=2，
即⊙O的半径为2．
【解析】(1)根据垂径定理得出AF=B，BE=CE，根据线段垂直平分线性质得出AC=BC，AB=BC，求出AC=BC=AB，根据等边三角形的判定得出△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质得出即可；
(2)根据等边三角形的性质得出∠ACB=60°，根据等边三角形的性质得出∠DCB=12∠ACB=30°，求出OC=2OE，再根据勾股定理求出OE即可．
本题考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．
25.【答案】解：(1)将点A(−1,0)，B(3,0)，代入y=ax2+bx−3，
∴a−b−3=09a+3b−3=0，
解得a=1b=−2，
∴y=x2−2x−3；
(2)连接CB交对称轴于点Q，
∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∵A、B关于对称轴x=1对称，
∴AQ=BQ，
∴AC+AQ+CQ=AC+CQ+BQ≥AC+BC，
当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，
∵C(0,−3)，B(3,0)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴b=−33k+b=0，
解得k=1b=−3，
∴y=x−3，
∴Q(1,−2)；
(3)在第四象限内抛物线上取点P，连接CB做PG//y轴交直线BC于点G，
设点P坐标为(t,t2−2t−3)，
则G(t,t−3)，
∴PG=t−3−(t2−2t−3)=−t2+3t，
∵AB=OB+OA=4，OC=3，
∴S四边形ACPB=S△ACB+S△CPB=12AB⋅CO+12PH⋅BO=−32t2+92t+6，
∴当t=32时，四边形ACPB的面积最大，
最大值=−32×(32)2+92×32+6=758．
【解析】(1)用待定系数法求函数的解析式即可；
(2)连接CB交对称轴于点Q，当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，直线BC与对称轴的交点即为所求Q点；
(3)过点P作PD⊥x轴于点D.设点P坐标为(t,t2−2t−3)，则S=−32t2+92t+6，当t=32时，四边形ACPB的面积最大，最大值=758．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称求最短距离的方法，铅锤法求三角形的面积是解题的关键．
26.【答案】解：(1)连接AC，过点A作AH⊥BC于点H，延长CD到G，使DG=BH，连接AG，如图：

由BC=2CD=20得，CD=10，
∵∠B与∠ADC互补，∠ADC+∠ADG=180°，
∴∠B=∠ADG，
∵AB=AD，BH=DG，
∴△ADG≌△ABH(SAS)，
∴∠G=∠AHB=90°，AG=AH=17，
∴S△ACD=12⋅CD⋅AG=12×10×17=85，
S△ABC=12⋅BC⋅AH=12×20×17=170，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=85+170=255；
(2)连接AD，AC，过点D作DH⊥BC交BC延长线于点H，如图：

∵BA=BC且∠B=60°，
∴△BAC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵ED=EA，∠AED=60°，
∴△EAD为等边三角形，
∴AE=AD，∠EAD=60°．
∵∠BAE=∠BAC−∠EAC=60°−∠EAC，
∴∠CAD=∠EAD−∠EAC=60°−∠EAC=∠BAE，
在△BAE和△CAD中，
AB=AC∠BAE=∠CADAE=AD，
∴△BAE≌△CAD(SAS)，
∴BE=CD，
∴BE=CD=60−x，
∵CD//AB，
∴∠DCH=60°，
在Rt△DCH中，
DH=CD⋅sin60°=(60−x)× 32=30 3− 32x，
∴△ECD的面积y=12EC⋅DH=12⋅x⋅(30 3− 32x)=− 34x2+15 3x，
当x=−15 32×(− 34)=30时，y有最大值，
此时△ECD面积最大值为y=− 34×302+15 3×30=225 3．
【解析】(1)连接AC，过点A作AH⊥BC于点H，延长CD到G，使DG=BH，连接AG，证明△ADG≌△ABH(SAS)，可得∠G=∠AHB=90°，AG=AH=17，即可得S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=255；
(2)连接AD，AC，过点D作DH⊥BC交BC延长线于点H，证明△BAE≌△CAD(SAS)，可得BE=CD=60−x，在Rt△DCH中，DH=CD⋅sin60°=(60−x)× 32=30 3− 32x，即可得y=12⋅x⋅(30 3− 32x)=− 34x2+15 3x，由二次函数性质可得△ECD面积最大值为y=− 34×302+15 3×30=225 3．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．组别
捐款额x/元
人数
A
1≤x<100
a
B
100≤x<200
100
C
200≤x<300
D
300≤x<400
E
x≥400