2023-2024学年福建省宁德市古田一中高一（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省宁德市古田一中高一（下）第一次月考数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.PA+BC−BA=( )
A. PBB. CPC. ACD. PC
2.若复数(m−3)+m(m−3)i=0，则实数m=( )
A. 2B. 3C. 0D. 1
3.已知平面向量a，b满足|a|=1，|b|=2，且a⋅b=1，则a与b的夹角是( )
A. π6B. π4C. π3D. 2π3
4.在△ABC中，若BC=5，CA=7，AB=8，则△ABC的最大角与最小角之和是( )
A. 90°B. 120°C. 135°D. 150°
5.已知平面向量a=(2,−1)，b=(−4,x)，若b与(a+b)共线，则实数x=( )
A. −8B. 8C. −2D. 2
6.在平行四边形ABCD中，AE=13AD，CF=13CD，则BA=( )
A. 65AF−95CEB. 25AF−35CEC. 65AF+95CED. 25AF+35CE
7.若复数z1=1+i，z2=csα+isinα(α∈R)，其中i是虚数单位，则|z1−z2|的最大值为( )
A. 2B. 2C. 2+1D. 3
8.“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子⋅离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载(如图(1)).今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图(2).若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角α满足csα=35，则这块四边形木板周长的最大值为( )
A. 20cmB. 20 2cmC. 20 3cmD. 30cm
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是( )
A. i+i2+i3+i4=0B. 复数−2−i的虚部为−i
C. 若复数z为纯虚数，则|z|2=z2D. |z1⋅z2|=|z1||z2|
10.在平面直角坐标系中，若点A(2,3)，B(−3,4)，如图所示，x轴、y轴同方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列说法正确的是( )
A. OA=2i+3j
B. OB=3i+4j
C. AB=−5i+j
D. BA=5i+j
11.判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是( )
A. a=1，b= 2，B=45°B. a= 5，b= 15，A=30°
C. a=6，b=20，A=30°D. a=5，B=60°，C=45°
12.已知扇形AOB的半径为1，∠AOB=120°，点C在弧AB上运动，OC=xOA+12yOB，下列说法正确的有( )
A. 当C位于A点时，x+y的值最小B. 当C位于B点时，x+y的值最大
C. CA⋅CB的取值范围为[−12,0]D. OC⋅BA的取值范围[−32,32]
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a=(1,3)，b=(m,−1)，若a⊥b，则m= ______．
14.设i为虚数单位，若复数z=1+2ii，则z的实部与虚部的和为______．
15.在△ABC中，AM是∠BAC的角平分线，且交BC于M.已知AM=2 3，BM=2，MC=3，则AC= ______．
16.根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和.现在对直角三角形CDE按上述操作作图，得到如图所示的图形.若FA+xAB=yDA，则x−y= ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知复数z=(2m2−3m−2)+(m2−3m+2)i，其中i为虚数单位，m∈R．
(1)若z为实数，求m的值；
(2)若复数z在复平面内对应的点在直线y=x上，求m的值．
18.(本小题12分)
已知复数z=m+2i是方程x2+6x+13=0的根(i是虚数单位，m∈R)．
(1)求|z|；
(2)设复数z1=a−i2023z−，(z−是z的共复数)，且复数z1所对应的点在第三象限，求实数a的取值范围．
19.(本小题12分)
如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P．
(1)若AP⋅AC=8，求AP的长；
(2)设|AB|=6,|AC|=8,∠BAC=π3,AP=xAB+yAC，求y−x的值．
20.(本小题12分)
在△ABC中，b=2 3，再从下面两个条件中，选出一个作为已知，解答下面问题．
(1)若a=2，求△ABC的面积；
(2)求a+c的取值范围．
条件① 3ccsB=bsinC；条件②2a−c=2bcsC．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
21.(本小题12分)
如图所示，在某海滨城市O附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O的东偏南θ(csθ= 210,0°