第04讲 基本不等式及其应用（练习）-2024年高考数学一轮复习练习（新教材新高考）

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2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
第04讲 基本不等式及其应用
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·四川成都·三模）设为正项等差数列的前项和．若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由等差数列的前项和公式，可得，可得，
又由且，
所以，当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：D.
2．（2023·北京房山·统考二模）下列函数中，是偶函数且有最小值的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】对A，二次函数的对称轴为，
不是偶函数，故A错误；
对B，函数的定义域为，
定义域不关于原点对称，所以不是偶函数，故B错误；
对C，，
定义域为，所以函数是偶函数，
结合三角函数的性质易判断函数无最小值，故C错误；
对D，，定义域为，
所以函数是偶函数，因为，，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以函数有最小值，故D正确.
故选：D
3．（2023·海南海口·校联考模拟预测）若正实数，满足．则的最小值为（ ）
A．12B．25C．27D．36
【答案】C
【解析】因为，所以．
因为，所以，当且仅当，即，时，等号成立，
所以，的最小值为27．
故选：C
4．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知实数满足，则的最小值是（ ）
A．5B．9C．13D．18
【答案】B
【解析】由，可得，所以，
即，且，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
5．（2023·湖南长沙·长郡中学校考一模）已知，则m，n不可能满足的关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】，即，即.
对于 A， 成立.
对于 B， ，成立.
对于 C， ，即.故C错误；
对于 D， 成立.
故选：C.
6．（2023·浙江杭州·统考二模）已知，，且，则ab的最小值为（ ）
A．4B．8C．16D．32
【答案】C
【解析】∵，
∴，即：
∴，
∵，，
∴，，
∴，当且仅当即时取等号，
即：，当且仅当时取等号，
故的最小值为16.
故选：C.
7．（2023·河南安阳·统考三模）已知，则下列命题错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则的最小值为4
C．若，则的最大值为2
D．若，则的最大值为
【答案】D
【解析】∵，∴，∴，故A正确；
若，则，
当且仅当时等号成立，故B正确；
若，则，当且仅当时等号成立，故C正确；
若，则，即，当且仅当时等号成立，故D错误.
故选：D.
8．（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）当，时，恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当，时，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为．
所以，即．
故选：A.
9．（多选题）（2023·全国·模拟预测）已知实数a，b满足，则下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．若，则D．
【答案】BC
【解析】A选项：，由于函数在R上单调递增，则，即，
已知，即，若取，，则，故A错误.
B选项：因为，，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，故B正确.
C选项：若，则，且，
，由于函数在上单调递增，
所以，即，故C正确.
D选项：令，，则，故D错误.
故选：BC.
10．（多选题）（2023·云南玉溪·统考一模）已知，且则下列结论一定正确的有（ ）
A．B．
C．ab有最大值4D．有最小值9
【答案】AC
【解析】A选项，，A正确；
B选项，找反例，当时，，，，B不正确；
C选项，，，当且仅当时取“=”，C正确；
D选项，，D不正确.
故选：AC.
11．（多选题）（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．若且，则，至少有一个大于2
B．，
C．若，，则
D．的最小值为2
【答案】AC
【解析】对于A,若，均不大于2，则 ，则 ，故，则，至少有一个大于2为真命题，故A正确，
对于B, B. ，，故 B错误，
对于C,由得，由得，所以，故C正确，
对于D，由于 ，函数 在单调递增，故，D错误，
故选:AC
12．（多选题）（2023·云南曲靖·统考模拟预测）若实数满足，则（ ）
A．且B．的最大值为
C．的最小值为7D．
【答案】ABD
【解析】由，可得，所以且，故A正确；
由，可得，即，所以，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故B正确；
，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为9，故C错误；
因为，则，
所以，故D正确.
故选：ABD.
13．（2023·上海浦东新·统考二模）函数在区间上的最小值为_____________．
【答案】．
【解析】，
因为，所以，故，
故，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：
14．（2023·上海长宁·统考二模）某小学开展劳动教育，欲在围墙边用栅栏围城一个2平方米的矩形植物种植园，矩形的一条边为围墙，如图．则至少需要___________米栅栏．
【答案】
【解析】设矩形植物种植园的宽、长为，
所以，
则，当且仅当“”时取等.
故至少需要米栅栏．
故答案为：．
15．（2023·全国·模拟预测）已知，，，写出满足“”恒成立的正实数的一个范围是______（用区间表示）．
【答案】（答案不唯一，是的子集即可）
【解析】由题意可知，当且仅当时取得等号，
所以恒成立，故正实数的一个范围可以为（答案不唯一，是的子集即可）．
故答案为：
16．（2023·浙江·二模）若，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】由可得，
而，当且仅当时，等号成立，
即，解得，
由可知，
所以，
令，则，
函数在单调递增，在单调递减
故，
即的取值范围是，
故答案为：
1．（2021·全国·统考高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
故选：C．
2．（2021·浙江·统考高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】法1：由基本不等式有，
同理，，
故，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
法2：不妨设，则，
由排列不等式可得：
，
而，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
3．（2010·四川·高考真题）设，则的最小值是
A．2B．4C．D．5
【答案】B
【解析】，
，
当且仅当，即时取等号，
，
当且仅当取等号，即，取最小值，
可得的最小值：4，
故选B.
4．（2012·浙江·高考真题）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是
A．B．C．5D．6
【答案】C
【解析】由已知可得，则，所以的最小值，应选答案C．
5．（2021·天津·统考高考真题）若，则的最小值为____________．
【答案】
【解析】，
，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
6．（2020·天津·统考高考真题）已知，且，则的最小值为_________．
【答案】4
【解析】，,
，当且仅当=4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立.
故答案为：
7．（2020·江苏·统考高考真题）已知，则的最小值是_______．
【答案】
【解析】∵
∴且
∴，当且仅当，即时取等号.
∴的最小值为.
故答案为：.
8．（2017·山东·高考真题）若直线过点，则的最小值为________．
【答案】8
【解析】因为直线过点，所以，
因为
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为8
故答案为：8
9．（2019·天津·高考真题）设，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
，
当且仅当，即时成立，
故所求的最小值为．
10．（2019·天津·高考真题） 设，，，则的最小值为__________.
【答案】.
【解析】由，得，得
，
等号当且仅当，即时成立．
故所求的最小值为．