第04讲 指数与指数函数(讲义)-2024年高考数学一轮复习讲义(新教材新高考)
展开2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”,应在老师的指导下,选一些源于课本的变式题,或体现基本概念、基本方法的基本题,通过解题来提高思维能力和解题技巧,加深对所学知识的深入理解。在解题时,要独立思考,一题多思,一题多解,反复玩味,悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后,总有同学抱怨没考好,纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否,不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系,确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”,但更重要的是寻找错因,及时进行总结,三五个字,一两句话都行,言简意赅,切中要害,以利于吸取教训,力求相同的错误不犯第二次。
第04讲 指数与指数函数
目录
1、指数及指数运算
(1)根式的定义:
一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,,记为,称为根指数,称为根底数.
(2)根式的性质:
当为奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数.
当为偶数时,正数的次方根有两个,它们互为相反数.
(3)指数的概念:指数是幂运算中的一个参数,为底数,为指数,指数位于底数的右上角,幂运算表示指数个底数相乘.
(4)有理数指数幂的分类
①正整数指数幂;②零指数幂;
③负整数指数幂,;④的正分数指数幂等于,的负分数指数幂没有意义.
(5)有理数指数幂的性质
①,,;②,,;
③,,;④,,.
2、指数函数
【解题方法总结】
1、指数函数常用技巧
(1)当底数大小不定时,必须分“”和“”两种情形讨论.
(2)当时,,;的值越小,图象越靠近轴,递减的速度越快.
当时,;的值越大,图象越靠近轴,递增速度越快.
(3)指数函数与的图象关于轴对称.
【典例例题】
题型一:指数运算及指数方程、指数不等式
【例1】(2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测)( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】.
故选:B.
【对点训练1】(2023·全国·高三专题练习)下列结论中,正确的是( )
A.设则B.若,则
C.若,则D.
【答案】B
【解析】对于A,根据分式指数幂的运算法则,可得,选项A错误;
对于B,,故,选项B正确;
对于 C,, ,因为,所以,选项C错误;
对于D,,选项D错误.
故选:B.
【对点训练2】(2023·全国·高三专题练习)( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】.
故选:B
【对点训练3】(2023·全国·高三专题练习)甲、乙两人解关于x的方程,甲写错了常数b,得到的根为或x=,乙写错了常数c,得到的根为或,则原方程的根是( )
A.或B.或
C.或D.或
【答案】D
【解析】令,则方程可化为,甲写错了常数b,
所以和是方程的两根,所以,
乙写错了常数c,所以1和2是方程的两根,所以,
则可得方程,解得,
所以原方程的根是或
故选:D
【对点训练4】(2023·全国·高三专题练习)若关于的方程有解,则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】方程有解,
有解,
令,
则可化为有正根,
则在有解,又当时,
所以,
故选:.
【对点训练5】(2023·上海青浦·统考一模)不等式的解集为______.
【答案】
【解析】函数在R上单调递增,则,
即,解得,
所以原不等式的解集为.
故答案为:
【对点训练6】(2023·全国·高三专题练习)不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】由,可得.
令,
因为均为上单调递减函数
则在上单调逆减,且,
,
故不等式的解集为.
故答案为:.
【解题总结】
利用指数的运算性质解题.对于形如,,的形式常用“化同底”转化,再利用指数函数单调性解决;或用“取对数”的方法求解.形如或的形式,可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.
题型二:指数函数的图像及性质
【例2】(多选题)(2023·全国·高三专题练习)函数的图象可能为( )
A.B.C.D.
【答案】ABD
【解析】根据函数解析式的形式,以及图象的特征,合理给赋值,判断选项.当时,,图象A满足;
当时,,,且,此时函数是偶函数,关于轴对称,图象B满足;
当时,,,且,此时函数是奇函数,关于原点对称,图象D满足;
图象C过点,此时,故C不成立.
故选:ABD
【对点训练7】(2023·全国·高三专题练习)已知的定义域为R,则实数a的取值范围是______.
【答案】
【解析】∵的定义域为R,
∴0对任意x∈R恒成立,
即恒成立,
即对任意恒成立,
,则.
故答案为.
【对点训练8】(2023·宁夏银川·校联考二模)已知函数,,则其值域为_______.
【答案】
【解析】令,∵,∴,
∴,
又关于对称,开口向上, 所以在上单调递减,在上单调递增,且,
时,函数取得最小值,即,时,函数取得最大值,即,
.
故答案为:.
【对点训练9】(2023·全国·高三专题练习)已知函数在内的最大值是最小值的两倍,且,则______
【答案】或
【解析】当时,函数在内单调递增,
此时函数的最大值为,最小值为,
由题意得,解得,则,
此时;
当时,函数在内单调递减,
此时函数的最大值为,最小值为,
由题意得,解得,则,
此时.
故答案为:或.
【对点训练10】(2023·全国·高三专题练习)函数是指数函数,则( )
A.或B.C.D.且
【答案】C
【解析】由指数函数定义知,同时,且,所以解得.
故选:C
【对点训练11】(2023·全国·高三专题练习)函数的大致图像如图,则实数a,b的取值只可能是( )
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】若,为增函数,
且,与图象不符,
若,为减函数,
且,与图象相符,所以,
当时,,
结合图象可知,此时,所,则,所以,
故选:C.
【对点训练12】(2023·全国·高三专题练习)已知函数(且)的图象恒过定点A,若点A的坐标满足关于x,y的方程,则的最小值为( )
A.8B.24C.4D.6
【答案】C
【解析】因为函数图象恒过定点
又点A的坐标满足关于,的方程,
所以,
即
所以,
当且仅当即时取等号;
所以的最小值为4.
故选:C.
【对点训练13】(多选题)(2023·浙江绍兴·统考模拟预测)预测人口的变化趋势有多种方法,“直接推算法”使用的公式是,其中为预测期人口数,为初期人口数,为预测期内人口年增长率,为预测期间隔年数,则( )
A.当,则这期间人口数呈下降趋势
B.当,则这期间人口数呈摆动变化
C.当时,的最小值为3
D.当时,的最小值为3
【答案】AC
【解析】,由指数函数的性质可知:是关于n的单调递减函数,
即人口数呈下降趋势,故A正确,B不正确;
,所以,所以,
,所以的最小值为3,故C正确;
,所以,所以,
,所以的最小值为2,故D不正确;
故选:AC.
【对点训练14】(多选题)(2023·山东聊城·统考二模)已知函数,则( )
A.函数是增函数
B.曲线关于对称
C.函数的值域为
D.曲线有且仅有两条斜率为的切线
【答案】AB
【解析】根据题意可得,易知是减函数,
所以是增函数,即A正确;
由题意可得,所以,
即对于任意,满足,所以关于对称,即B正确;
由指数函数值域可得,所以,即,
所以函数的值域为,所以C错误;
易知,令,整理可得,
令,即,
易知,又因为,即,
所以,即,因此;
即关于的一元二次方程无实数根;
所以无解,即曲线不存在斜率为的切线,即D错误;
故选:AB
【解题总结】
解决指数函数有关问题,思路是从它们的图像与性质考虑,按照数形结合的思路分析,从图像与性质找到解题的突破口,但要注意底数对问题的影响.
题型三:指数函数中的恒成立问题
【例3】(2023·全国·高三专题练习)已知函数,若不等式在R上恒成立,则实数m的取值范围是________.
【答案】.
【解析】令
因为在区间上是增函数,
所以
因此要使在区间上恒成立,应有,即所求实数m的取值范围为.
故答案为:.
【对点训练15】(2023·全国·高三专题练习)设,当时,恒成立,则实数m的取值范围是____________.
【答案】
【解析】由函数,
均为在上的增函数,故函数是在上的单调递增函数,
且满足,所以函数为奇函数,
因为,即,
可得恒成立,即在上恒成立,
则满足,即,解得,
所以实数的取值范围是.
故答案为:.
【对点训练16】(2023·全国·高三专题练习)已知不等式,对于恒成立,则实数的取值范围是_________.
【答案】,,
【解析】设,,
则,对于,恒成立,
即,对于,恒成立,
∴,
即,
解得或,
即或,
解得或,
综上,的取值范围为,,.
故答案为:,,﹒
【对点训练17】(2023·全国·高三专题练习)若,不等式恒成立,则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】令,∵,∴,
∵恒成立,∴恒成立,
∵,当且仅当时,即时,表达式取得最小值,
∴,
故答案为.
【对点训练18】(2023·上海徐汇·高三位育中学校考开学考试)已知函数是定义域为的奇函数.
(1)求实数的值,并证明在上单调递增;
(2)已知且,若对于任意的、,都有恒成立,求实数的取值范围.
【解析】(1)因为函数是定义域为的奇函数,
则,解得,此时,
对任意的,,即函数的定义域为,
,即函数为奇函数,合乎题意,
任取、且,则,
所以,,则,
所以,函数在上单调递增.
(2)由(1)可知,函数在上为增函数,
对于任意的、,都有,则,
,
因为,则.
当时,则有,解得;
当时,则有,此时.
综上所述,实数的取值范围是.
【解题总结】
已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法:
(1)函数法:讨论参数范围,借助函数单调性求解;
(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域或最值问题加以解决;
(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解.
题型四:指数函数的综合问题
【例4】(2023·全国·合肥一中校联考模拟预测)已知函数,则不等式的解集为( )
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】依题意,,,
故,
故函数的图象关于中心对称,
当时,,,单调递减,
故在上单调递减,且,
函数的图象关于中心对称,在上单调递减,,
而,故或或,
解得或,故所求不等式的解集为,
故选:B.
【对点训练19】(2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测)设.若函数的定义域为,则关于的不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】若,对任意的,,则函数的定义域为,不合乎题意,
所以,,由可得,
因为函数的定义域为,所以,,解得,
所以,,则,
由可得,解得.
因此,不等式的解集为.
故答案为:.
【对点训练20】(2023·河南安阳·统考三模)已知函数的图象关于坐标原点对称,则__________.
【答案】/1.5
【解析】依题意函数是一个奇函数,
又,所以,
所以定义域为,
因为的图象关于坐标原点对称,所以,解得.
又,所以,
所以,即,
所以,所以.
故答案为:.
【对点训练21】(2023·江西景德镇·统考模拟预测)已知是定义在上的偶函数,且当时,,则满足的x的取值范围是______________.
【答案】
【解析】由函数性质知,
,
∴,
即,解得,∴,
故答案为:.
【对点训练22】(2023·河南信阳·校联考模拟预测)已知实数,满足,,则__________.
【答案】1
【解析】因为,化简得.
所以,又,
构造函数,
因为函数,在上都为增函数,
所以函数在上为单调递增函数,
由,∴,
解得,,
∴.
故答案为:.
【对点训练23】(多选题)(2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模)点在函数的图象上,当,则可能等于( )
A.-1B.C.D.0
【答案】BC
【解析】由表示与点所成直线的斜率,
又是在部分图象上的动点,图象如下:
如上图,,则,只有B、C满足.
故选:BC
1.(2022·全国·统考高考真题)已知,则( )
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】[方法一]:(指对数函数性质)
由可得,而,所以,即,所以.
又,所以,即,
所以.综上,.
[方法二]:【最优解】(构造函数)
由,可得.
根据的形式构造函数 ,则,
令,解得 ,由 知 .
在 上单调递增,所以 ,即 ,
又因为 ,所以 .
故选:A.
【点评】法一:通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较,方法直接常用,属于通性通法;
法二:利用的形式构造函数,根据函数的单调性得出大小关系,简单明了,是该题的最优解.
2.(2022·北京·统考高考真题)已知函数,则对任意实数x,有( )
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】,故A错误,C正确;
,不是常数,故BD错误;
故选:C.
3.(2020·山东·统考高考真题)已知函数是偶函数,当时,,则该函数在上的图像大致是( )
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】当时,,所以在上递减,
是偶函数,所以在上递增.
注意到,
所以B选项符合.
故选:B
考点要求
考题统计
考情分析
(1)理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握指数幂的运算性质.
(2)通过实例,了解指数函数的实际意义,会画指数函数的图象.
(3)理解指数函数的单调性、特殊点等性质,并能简单应用.
2022年甲卷第12题,5分
2020年新高考II卷第11题,5分
从近五年的高考情况来看, 指数运算与指数函数 是高考的一个重点也是一个基本点, 常与二次函数、 幂函数、对数函数、三角函数综合, 考查数值大小的 比较和函数方程问题.
图象
性质
①定义域,值域
②,即时,,图象都经过点
③,即时,等于底数
④在定义域上是单调减函数
在定义域上是单调增函数
⑤时,;时,
时,;时,
⑥既不是奇函数,也不是偶函数
第03讲 幂函数与二次函数(讲义)-2024年高考数学一轮复习讲义(新教材新高考): 这是一份第03讲 幂函数与二次函数(讲义)-2024年高考数学一轮复习讲义(新教材新高考),文件包含第03讲幂函数与二次函数讲义原卷版docx、第03讲幂函数与二次函数讲义解析版docx等2份学案配套教学资源,其中学案共38页, 欢迎下载使用。
第01讲 函数的概念(讲义)-2024年高考数学一轮复习讲义(新教材新高考): 这是一份第01讲 函数的概念(讲义)-2024年高考数学一轮复习讲义(新教材新高考),文件包含第01讲函数的概念讲义原卷版docx、第01讲函数的概念讲义解析版docx等2份学案配套教学资源,其中学案共36页, 欢迎下载使用。
第04讲 基本不等式及其应用(讲义)-2024年高考数学一轮复习讲义(新教材新高考): 这是一份第04讲 基本不等式及其应用(讲义)-2024年高考数学一轮复习讲义(新教材新高考),文件包含第04讲基本不等式及其应用讲义原卷版docx、第04讲基本不等式及其应用讲义解析版docx等2份学案配套教学资源,其中学案共31页, 欢迎下载使用。