2023-2024学年九年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）第4章 图形的相似（知识归纳+题型突破）（解析版）（北师大版）

这是一份2023-2024学年九年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）第4章 图形的相似（知识归纳+题型突破）（解析版）（北师大版），共30页。试卷主要包含了了解比例的基本性质，线段的比等内容，欢迎下载使用。
1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；
2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方；
3、探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；
4、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标变化；
一、相似图形及比例线段
1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).
要点：
(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形全等；
2.相似多边形
如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．
要点：
（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
（2）相似多边形对应边的比称为相似比.
3. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
要点：
（1）若a:b=c:d ，则ad=bc；（d也叫第四比例项）
（2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）．
4.平行线分线段成比例：
基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.
二、相似三角形
相似三角形的判定:
判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.
判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似.
要点：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
判定方法（三）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
要点：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似.
2.相似三角形的性质：
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；
（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
(3) 相似三角形周长的比等于相似比；
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
3.相似多边形的性质：
（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似多边形的周长比等于相似比．
（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．
三、位似
1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
2.位似图形的性质:
（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；
（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
要点：
(1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.
（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点
为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
题型一 成比例线段
【例1】下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm，6cmB．4cm，5cm，6cm，10cm
C．1cm，2cm，5cm，6cmD．3cm，4cm，5cm，6cm
【答案】A
【分析】四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例．
【解析】解：A、，四条线段成比例，符合题意；
B、，四条线段不成比例，不符合题意；
C、，四条线段不成比例，不符合题意；
D、，四条线段不成比例，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
巩固训练：
1．如果，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据比例的性质进行计算即可得到答案．
【解析】解：，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
2．如图，点C为线段的黄金分割点，，若，则的长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据黄金分割点的定义，线段上一点将线段分成两部分，两部分中较短的线段与较长线段的比值等于较长的线段与整条线段的比值等于，这个点就叫做这条线段的黄金分割点，进行求解即可．
【解析】解：由题意，得：，
∴；
故选A
【点睛】本题考查黄金分割点．熟记定义，是解题的关键．
3．如果，是的比例中项，则下面结论正确的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据比例中项可得，从而得出．
【解析】解：∵是的比例中项，
∴，即．
故选C．
【点睛】本题考查比例中项得性质．如果a、b、c三个量成连比例，即，则b叫做a和c的比例中项．它的性质：．
题型二 平行线分线段成比例
【例2】如图，在中，点D在边上，交边于点E，若，，则线段的长为（ ）

A．6B．5C．4D．3
【答案】A
【分析】根据平行线分线段成比例可得计算即可．
【解析】∵，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故选：A．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是找到．
巩固训练：
1．如图，若直线，且，，则（ ）

A．5B．6
C．9D．10
【答案】C
【分析】直接根据平行线分线段成比例定理即可得．
【解析】解：直线，且，
，
又，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．
2．如图，在中，，，则下列比例式中正确的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例判断各项即可．
【解析】解：A．由，得，故A选项错误；
B．由，得，又由，得，则，故B选项错误，D选项正确；
C．由，得，故C选项错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例．
3．图，平行四边形的对角线相交于点O，交于点E．若的周长为10，则平行四边形的周长为（ ）

A．16B．32C．36D．4
【答案】B
【分析】由平行四边形的性质得，，，，证是的中位线，则，，求出，则，即可得出答案．
【解析】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，，
∵的周长等于10，
∴，
∴，
∴，
∴的周长；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理，平行线分线段成比例等知识；熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理，求出是解题的关键．
4．如图，在中，D是边上的中点，E在上，且，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】取的中点M，连接，根据三角形中位线定理得，再根据平行线分线段成比例得，即可得出答案．
【解答】解：如图，取的中点M，连接，
∵D是边上的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选:B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理和三角形中位线定理，本题辅助线的作法是解题的关键．
题型三 相似多边形
【例3】下列说法不正确的是（ ）
A．所有的正五边形都相似B．所有的正方形都相似
C．所有的正三角形都相似D．所有的等腰三角形都相似
【答案】D
【分析】相似形就是形状相同的两个图形，即对应边的比相等，对应角相等的两个图形，依据定义即可进行判断．
【解析】解：A．所有的正五边形都相似，正确，故此选项不符合题意；
B．所有的正方形都相似，正确，故此选项不符合题意；
C．所有的正三角形都相似，正确，故此选项不符合题意；
D．所有的等腰三角形对应边的比不一定相等，但对应角不一定相等，所有的等腰三角形不一定相似，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查相似多边形的识别．解题的关键是掌握判定两个图形相似的依据：对应边的比相等，对应角相等，两个条件必须同时具备．
巩固训练：
1．以下命题中，①两个直角三角形一定相似；②两个等边三角形一定相似；③两个菱形一定相似；④任意两个矩形一定相似；⑤两个正六边形一定相似．其中真命题的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据相似图形的定义，形状相同的图形是相似图形．具体的说就是对应的角相等，对应边的比相等，对每个命题进行判断．
【解析】解：①任意两个直角三角形，不能判断它们的对应角相等，对应边的比相等，所以不一定相似；
②任意两个等边三角形，它们的内角相等，对应边的比相等．所以一定相似；
③任意两个菱形，只能判断对应边的比相等，不能判断对应的角相等．所以不一定相似；
④任意两个矩形，它们的对应角相等，不能判断对应边的比相等．所以不一定相似；
⑤任意两个正六边形，它们的内角相等，对应边的比相等．所以一定相似．
故选：B．
【点睛】本题考查的是相似图形，解题的关键是判断对应的角是否相等和对应的边是否成比例．
2．两个相似多边形的面积比是，其中较小多边形的周长为，则较大多边形的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用面积比等于相似比的平方，求出相似比，再利用周长比等于相似比进行计算即可．
【解析】解：两相似多边形的面积比是，
∴两相似多边形的相似比为：，
∴两相似多边形的周长比为：，
∵较小多边形的周长为，
∴较大多边形的周长为：．
故选：B．
【点睛】本题考查相似多边形的性质．熟练掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比是解题的关键．
3．如图，四边形四边形，若 ，，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用相似多边形的性质得到，然后根据四边形的内角和计算的度数即可．
【解析】解：四边形四边形，
，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例，也考查了四边形的内角和．
题型四 相似三角形的判定
【例4】．如图，在中，点，分别在边，上，与不平行，添加下列条件之一仍不能判定的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由于，则根据相似三角形的判定方法可对各选项进行判断．
【解析】解：，
当时，，故A不合题意；
当时，，故C不合题意；
当时，，故D不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
巩固训练：
1．如图，下列条件不能判定的是（ ）

A． B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．
【解析】解：A、∵，，
∴，故此选项不合题意；
B、∵，，
∴，故此选项不合题意；
C、∵，
∴，
又∵，
∴，故此选项不合题意；
D、不能判定，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键.
2．如图，为线段上的一点，与交于点，，与交于点，交于点，则下列结论中错误的是（ ）

A． B．
C．D．
【答案】D
【分析】由相似三角形的判定逐一进行判断即可．
【解析】解：，且，
，
，故选项B正确，不符合题意；
，
，故选项A正确，不符合题意；
，
，故选项C正确，不符合题意；
由条件无法证明，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
3．如图，每个小正方形边长均为1，则图中的三角形中与相似的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接利用相似三角形的判定方法结合正方形的性质分析得出答案．
【解析】解：由题意可得：，，
，，，，
，，
，
又，
．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确得出对应边的关系是解题关键．
4．如图，在的正方形网格中，画2个相似三角形，正确的画法有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】先计算出三角形的各边再判断两个三角形对应边是否成比例，即可得．
【解析】解：第一个网格中的两个三角形对应边的比例：，这两个三角形是相似三角形；
第二个网格中的两个三角形对应边的比例：，这两个三角形是相似三角形；
第三个网格中的两个三角形对应边的比例：，这两个三角形是相似三角形；
第四个网格中的两个三角形对应边的比例：，这两个三角形不是相似三角形；
综上，正确的画法有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定．
题型五 相似三角形的性质
【例5】．如果两个相似三角形的对应中线比是，那么它们的面积比是 ．
【答案】16：9
【分析】根据相似三角形对应中线的比等于其相似比，面积比等于相似比的平方即可求解．
【解析】解：∵两个相似三角形对应中线的比是，
∴它们相似比是，
∴它们的面积比为
故答案为：．
【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比．（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方．（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
巩固训练：
1．如图，在中，点D、E分别在边、上，且，如果，那么的长 ．

【答案】/
【分析】根据相似三角形的判定和性质求解即可．
【解析】解：∵，，
∴，
∴，即，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
2．如图，点是的边上一点，，．如果的面积为，那么的面积为（ ）

A．B．C．5D．
【答案】C
【分析】首先证明，由相似三角形的性质可得：的面积∶的面积为1∶4，设，那么，因为的面积为，得出的面积．
【解析】解：∵，，
∴，
∵，
∴的面积∶的面积为1∶4，
则设，那么，
∵的面积为，
∴，
即，
所以的面积为，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质；熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方，是中考常见题型，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质．
3．如图，已知正方形的顶点D、E在的边上，点G、F分别在边上，如果，的面积是32，那么这个正方形的边长是（ ）
A．4B．8C．D．
【答案】A
【分析】过点A作于H，交于M，如图，先利用三角形面积公式计算出，设正方形的边长为x，则，再证明，则根据相似三角形的性质得方程，然后解关于x的方程即可．
【解析】解：如图，过点A作于H，交于M，
∵的面积是32，，
∴，
∴，
设正方形的边长为x，则，
∵，
∴，
∴ ，
，解得∶，
即这个正方形的边长是4．
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质，添加合适的辅助线是解题的关键．
题型六 图形的位似
【例6】．如图，与位似，位似中心为点O，位似比为，则的比值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用位似变换的性质判断即可．
【解析】解：∵与位似，位似中心为点O，位似比为，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查位似变换，解题的关键是理解位似变换的性质，属于中考常考题型．
巩固训练：
1．如图，与位似，点为位似中心，位似比为，若的周长为6，则的周长是（ ）

A．16B．9C．6D．4
【答案】D
【分析】根据位似变换的定义、相似三角形的性质计算即可．
【解析】解：和是位似图形，位似比为，
和的相似比为，
的周长的周长，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．
2．如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是．以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点的横坐标是a，则点B的横坐标是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点B作轴于D，过点作轴于，根据相似三角形的性质求出的长，得到点B的横坐标．
【解析】解：如图所示，过点B作轴于D，过点作轴于，

∵点C的横坐标是，的横坐标是，
∴，
由题意得，，相似比为1：2，
∴，
∴，
∴，
∴点B的横坐标是．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，位似图形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
题型七 图形的相似综合解答题
【例7】．已知：线段，且．
(1)求的值；
(2)如果线段，满足，求的值．
【答案】(1)
(2)15
【分析】（1）根据比例的性质得出，即可得出的值；
（2）首先设，则，，，利用求出的值即可得出答案．
【解析】（1）解：，
，
；
（2）设，
则，，，
，
，
，
，，．
【点睛】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出，，进而得出的值是解题关键．
巩固训练：
1．如图，已知，；，，．求的长．

【答案】
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可．
【解析】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
2．测量物体高度
小明想测量一棵树的高度，在阳光下，小明测得一根长为米的竹竿的影长为米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），其影长为米，落在地面上的影长为米，则树高为多少米．
小明在某一时刻测得的杆子在阳光下的影子长为，他想测量电线杆的高度，但其影子恰好落在土坡的坡面和地面上，量得，，与地面成．求电线杆的高度．
【答案】（1）树高为米．（2）．
【分析】（1）在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．本题中：经过树在教学楼上的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以及树所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上墙上的影高就是树高．
（2）先根据题意画出图形，作DE⊥BC交BC延长线于E，作DF⊥AB于F，再根据CD的长以及坡角求出落在斜坡上的影长，即AF的影长，然后根据1 m杆的影子长为2 m，求解电线杆AF的高度，再加DE的长，即为电线杆AB的高度．
【解析】（1）设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米，则
，
解得：x=4，
所以树高AB=4+1.2=5.2（米），
答：树高为5.2米；
作交延长线于，作于，
由题意可知：，
∵，
∴，
∴，
又∵某一时刻测得的杆子在阳光下的影子长为，
∴，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴电线杆的高度．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确画出图形并熟练应用相关知识是解题的关键.注意；影子平行于物体时，影子和物体的实际高度相等；影子垂直于物体时，根据：同一时刻物高与影长成比例进行计算．
3．如图，已知O是坐标原点，点B、C两点的坐标分别为、．
(1)以O点为位似中心在y轴的左侧将放大到原来的2倍得到；
(2)如果周长为m，则的周长为___________________；
(3)若线段BC上有一点，请直接写出点P的对应点的坐标____________．
【答案】(1)详见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据位似图形的性质，画出即可；
（2）根据位似比等于相似比，周长比等于相似比，即可得出结论；
（3）根据以原点为位似中心的图形上的点的坐标规律，写出点的坐标即可．
【解析】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）∵以O点为位似中心在y轴的左侧将放大到原来的2倍得到，
∴，相似比为；
∴的周长比为；
∵的周长为m，
∴的周长为；
故答案为：．
（3）从这两个相似三角形坐标位置关系来看，对应点的坐标正好是原坐标乘以的坐标，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查位似图形．熟练掌握位似图形的定义和性质，是解题的关键．
4．如图，已知在中，是的中线，，点在边上，．

(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先证明，可得，再证明，再结合，从而可得结论；
（2）先证明，可得，可得，再证明，可得，可得，从而可得答案．
【解析】（1）证明： 为的中线，
，
，
，
，
，，，
，
，
（2），
．
，
∵，
，
，，
，
，
，
由①②可得，．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练的证明三角形相似是解本题的关键．
5．如图，在正方形中，E是的中点，点F在上，且．

(1)求证：；
(2)与相似吗？为什么？
【答案】(1)见解析
(2)相似，理由见解析
【分析】（1）由正方形的性质可得,，再根据可得，进而说明，再结合，即可证明结论；
（2）设，利用E为边的中点，，得到，则可计算出,由勾股定理逆定理可得以及再说明即可证明结论．
【解析】（1）解：∵正方形，
∴,
∵，
∴，
∵点F在上，
∴,
∴,
∵,
∴．
（2）解：与相似，理由如下：
设，
∵E为边的中点，，
∴，
∴，,,
∴,即,
∴,
∵,
∴,
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定、正方形的性质、勾股定理逆定理等知识点，掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似是解答本题的关键．
6．如图1，在平行四边形中，，对角线相交于点O，过点O的直线与交于点M，与的延长线交于点N，．

(1)求证：；
(2)求的值；
(3)如图2，将直线向下平移与交于点E，过E作交于F，若，直接写出的值．（用含m的代数式表示）
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据等边对等角可得，，再根据，，通过等量代换即可证明；
（2）先证，，再证，即可求解；
（3）先证，，根据平行线分线段成比例定理的推论可得，设，则，用含m的代数式表示相关线段，代入求解即可．
【解析】（1）证明：，
，
，
，
，，
，
又，
；
（2）解：由（1）得，
又，
，
，
中，对角线相交于点O，，
，
，
；
（3）解：如图，

，
，
结合（1）中结论，可得，
又，
，
，
在中，
，
，
设，则，
，
，
，
又，
，
．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理等，解题的关键是综合运用上述知识点，熟练进行等量代换．
7．矩形中，，是边上一点，以为边在矩形在内部构造矩形．

(1)特例发现
如图，当时， ；
(2)类比探究
如图，如图，将矩形绕点顺时针旋转度，连接，当时，求的值；
(3)拓展运用
如图，矩形在旋转的过程中，落在边上时，若、、三点共线，时，当时，则的长为 ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由正方形的性质可得，由矩形的性质可得，，由线段和差关系可求，即可求解；
（2）通过证明，可得；
（3）由相似三角形的性质可求，的长，由勾股定理可求的长，通过证明，可求解．
【解析】（1）解：如图，延长交于，

，
，，
矩形和矩形是正方形，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：如图，连接，，

，
，，
矩形和矩形是正方形，
，，，
，，
∴
；
（3）解：，，
设，，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，证明三角形相似是解题的关键．