2023-2024学年九年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）第4章 图形的相似（知识归纳+题型突破）（原卷版）（北师大版）

这是一份2023-2024学年九年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）第4章 图形的相似（知识归纳+题型突破）（原卷版）（北师大版），共10页。试卷主要包含了了解比例的基本性质，线段的比等内容，欢迎下载使用。
1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；
2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方；
3、探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；
4、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标变化；
一、相似图形及比例线段
1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).
要点：
(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形全等；
2.相似多边形
如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．
要点：
（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
（2）相似多边形对应边的比称为相似比.
3. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
要点：
（1）若a:b=c:d ，则ad=bc；（d也叫第四比例项）
（2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）．
4.平行线分线段成比例：
基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.
二、相似三角形
相似三角形的判定:
判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.
判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似.
要点：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
判定方法（三）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
要点：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似.
2.相似三角形的性质：
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；
（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
(3) 相似三角形周长的比等于相似比；
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
3.相似多边形的性质：
（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似多边形的周长比等于相似比．
（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．
三、位似
1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
2.位似图形的性质:
（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；
（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
要点：
(1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.
（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点
为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
题型一 成比例线段
【例1】下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm，6cmB．4cm，5cm，6cm，10cm
C．1cm，2cm，5cm，6cmD．3cm，4cm，5cm，6cm
巩固训练：
1．如果，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，点C为线段的黄金分割点，，若，则的长为（ ）

A．B．C．D．
3．如果，是的比例中项，则下面结论正确的是（ ）．
A．B．C．D．
题型二 平行线分线段成比例
【例2】如图，在中，点D在边上，交边于点E，若，，则线段的长为（ ）

A．6B．5C．4D．3
巩固训练：
1．如图，若直线，且，，则（ ）

A．5B．6
C．9D．10
2．如图，在中，，，则下列比例式中正确的是（ ）

A．B．C．D．
3．图，平行四边形的对角线相交于点O，交于点E．若的周长为10，则平行四边形的周长为（ ）

A．16B．32C．36D．4
4．如图，在中，D是边上的中点，E在上，且，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
题型三 相似多边形
【例3】下列说法不正确的是（ ）
A．所有的正五边形都相似B．所有的正方形都相似
C．所有的正三角形都相似D．所有的等腰三角形都相似
巩固训练：
1．以下命题中，①两个直角三角形一定相似；②两个等边三角形一定相似；③两个菱形一定相似；④任意两个矩形一定相似；⑤两个正六边形一定相似．其中真命题的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．两个相似多边形的面积比是，其中较小多边形的周长为，则较大多边形的周长为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，四边形四边形，若 ，，则（ ）

A．B．C．D．
题型四 相似三角形的判定
【例4】．如图，在中，点，分别在边，上，与不平行，添加下列条件之一仍不能判定的是（ ）

A．B．C．D．
巩固训练：
1．如图，下列条件不能判定的是（ ）

A． B．
C．D．
2．如图，为线段上的一点，与交于点，，与交于点，交于点，则下列结论中错误的是（ ）

A． B．
C．D．
3．如图，每个小正方形边长均为1，则图中的三角形中与相似的是（ ）

A．B．C．D．
4．如图，在的正方形网格中，画2个相似三角形，正确的画法有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
题型五 相似三角形的性质
【例5】．如果两个相似三角形的对应中线比是，那么它们的面积比是 ．
巩固训练：
1．如图，在中，点D、E分别在边、上，且，如果，那么的长 ．

2．如图，点是的边上一点，，．如果的面积为，那么的面积为（ ）

A．B．C．5D．
3．如图，已知正方形的顶点D、E在的边上，点G、F分别在边上，如果，的面积是32，那么这个正方形的边长是（ ）
A．4B．8C．D．
题型六 图形的位似
【例6】．如图，与位似，位似中心为点O，位似比为，则的比值为（ ）

A．B．C．D．
巩固训练：
1．如图，与位似，点为位似中心，位似比为，若的周长为6，则的周长是（ ）

A．16B．9C．6D．4
2．如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是．以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点的横坐标是a，则点B的横坐标是（ ）

A．B．C．D．
题型七 图形的相似综合解答题
【例7】．已知：线段，且．
(1)求的值；
(2)如果线段，满足，求的值．
巩固训练：
1．如图，已知，；，，．求的长．

2．测量物体高度
小明想测量一棵树的高度，在阳光下，小明测得一根长为米的竹竿的影长为米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），其影长为米，落在地面上的影长为米，则树高为多少米．
小明在某一时刻测得的杆子在阳光下的影子长为，他想测量电线杆的高度，但其影子恰好落在土坡的坡面和地面上，量得，，与地面成．求电线杆的高度．
3．如图，已知O是坐标原点，点B、C两点的坐标分别为、．
(1)以O点为位似中心在y轴的左侧将放大到原来的2倍得到；
(2)如果周长为m，则的周长为___________________；
(3)若线段BC上有一点，请直接写出点P的对应点的坐标____________．
4．如图，已知在中，是的中线，，点在边上，．

(1)求证：；
(2)求证：．
5．如图，在正方形中，E是的中点，点F在上，且．

(1)求证：；
(2)与相似吗？为什么？
6．如图1，在平行四边形中，，对角线相交于点O，过点O的直线与交于点M，与的延长线交于点N，．

(1)求证：；
(2)求的值；
(3)如图2，将直线向下平移与交于点E，过E作交于F，若，直接写出的值．（用含m的代数式表示）
7．矩形中，，是边上一点，以为边在矩形在内部构造矩形．

(1)特例发现
如图，当时， ；
(2)类比探究
如图，如图，将矩形绕点顺时针旋转度，连接，当时，求的值；
(3)拓展运用
如图，矩形在旋转的过程中，落在边上时，若、、三点共线，时，当时，则的长为 ．