吉林省通化市辉南县第六中学2023-2024学年高二下学期3月半月考数学试卷

这是一份吉林省通化市辉南县第六中学2023-2024学年高二下学期3月半月考数学试卷，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.函数y=x3-12x+16在[-3,3]上的最大值、最小值分别是
( )
A. 6，0B. 32，0C. 25，6D. 32，16
2.已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是
( )
A. 曲线y=f(x)在点(-2,f(-2))处的切线斜率小于零
B. 函数f(x)在区间(-1,1)上单调递增
C. 函数f(x)在x=1处取得极大值
D. 函数f(x)在区间(-3,3)内至多有两个零点
3.设函数f(x)=lnx-2x+6，则f(x)零点的个数为
( )
A. 3B. 2C. 1D. 0
4.已知函数f(x)=a+xlnx，若对任意x∈[1,+∞)，使得f(x)≥1成立，则实数a的最小值为
( )
A. 1B. -1C. 2D. -2
5.若函数fx=lnx+x2-bx在1,+∞上单调递增，则b的最大值是
( )
A. 3B. 2 2C. 2D. 2 6
6.f(x)=ax+sinx是R上的增函数，则实数a的范围是( )
A. (-∞,1]B. (-∞,1)C. (1,+∞)D. [1,+∞)
7.已知函数fx=x+ax(其中0A. (0,1)B. 1-1e,1C. (0,e-2]D. [e-2,1]
8.函数fx是定义是在R上的可导函数，其导函数f'x满足2fx+xf'x<0，则fx<0的解集是
( )
A. -∞,0B. -∞,1C. 0,+∞D. -∞,+∞
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中是真命题有
( )
A. 若，则x0是函数f(x)的极值点;
B. 函数y=f(x)的切线与函数图象可以有两个公共点;
C. 函数y=f (x)在x=1处的切线方程为2x-y=0，则当△x→0时，f(1)-f(1+Δx)2Δx=1;
D. 已知定义在区间(-π,π)上的函数f(x)=xsinx+csx，则f(x)的单调递增区间是-π,-π2和0,π2．
10.对于函数f(x)=lnxx，下列说法正确的是( )
A. f(x)在x=e取得极小值1e
B. f(x)有一个零点
C. f(1)D. 若f(x)11.已知函数f(x)=x ex，则
( )
A. 曲线y =f(x)在点(0,0)处的切线方程为y =x
B. 函数f(x)的极小值为-e
C. 当23 e2 ⩽a <12e时，f(x)D. 当2 e2 12.定义在(0,+∞)上的函数f(x)，满足f(x)=exx2，则下列说法正确的有
( )
A. 若x>0，则x2f(x)>x+1
B. f(x)在x=2处取得极小值e24
C. f(x)只有一个零点
D. 若对任意的x∈(0,+∞)，f(x)>k+1x2恒成立，则k>e-1
三、填空题：本题共4小题，共20分。
13.若fx=x3-3x在区间a2-5,a上有最大值，则实数a的取值范围是 ．
14.已知函数f(x)=2ef '(e)lnx-xe，则函数f(x)的极大值为 ．
15.某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(t)与每吨产品的价格p(元/t)之间的关系式为p=24200-15x2，且生产x(t)产品的成本为R=50000+200x(元)，则该厂每月生产 (t)产品才能使利润达到最大．(利润=收入-成本)
16.若二次函数fx=2x2+3的图象与曲线C：gx=aex+3(a>0)存在公切线，则实数a的取值范围是
四、解答题：本题共2小题，共24分；其中17题14分，18题18题。
17.(本小题12分)
已知函数f(x)=-x3+ax2+bx在区间(-2,1)内，当x=-1时取极小值，当x=23时取极大值．
(1)求曲线y=f(x)在x=-2时的对应点处的切线方程；
(2)求函数y=f(x)在[-2,1]上的最大值与最小值．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=2ax-a2+1x2+1(x∈R)，其中a∈R．
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；
(2)当a≠0时，求函数f(x)的单调区间与极值．
高二数学第一次半月考（3.13）
【答案】
1. B 2. D 3. B 4. A 5. A 6. D 7. D
8. D
9. BD 10. BD 11. ACD 12. AB
13. (-1,2)
14. 2ln2
15. 200
16. (0,8e2]
17. 解：(1)∵f(x)=-x3+ax2+bx，∴f'(x)=-3x2+2ax+b，
∵函数f(x)=-x3+ax2+bx在x=-1处取得极小值，在x=23处取得极大值，
∴f'(-1)=0，f'(23)=0，
∴-3×(-1)2+2a×(-1)+b=0，
-3×(23)2+2a×23+b=0，
联立求解得a=-12，b=2，经检验符合题意，
∴f(x)=-x3-12x2+2x，
∴f(-2)=2，f'(-2)=-8，
∴所求切线方程为y-2=-8(x+2)，即8x+y+14=0;
(2)由(1)知：f(x)=-x3-12x2+2x，f'(x)=-3x2-x+2 ，
当x∈(-2,-1)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
在x∈(-1,23)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
在x∈(23,1)，f'(x)<0，f(x)单调递减，
∴f(x)极小值=f(-1)=-32，f(x)极大值=f(23)=2227，
又f(-2)=2，f(1)=12，
∴f(x)max=2，f(x)min=-32．
18. 解：(1)当a=1时，f(x)=2xx2+1，f(2)=45，
又f'(x)=2-2x2(x2+1)2，f'(2)=-625，
所以，曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-45=-625(x-2)，即6x+25y-32=0.
(2)f(x)=2ax-a2+1x2+1，f'x=-2x-aax+1x2+12，
由于a≠0，以下分两种情况讨论．
①当a>0时，令f'(x)=0，得到x1=-1a，x2=a，
当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表：
所以f(x)在区间-∞,-1a，(a,+∞)为减函数，在区间-1a,a为增函数．
函数f(x)在x=-1a处取得极小值f-1a，且f-1a=-a2．
函数f(x)在x=a处取得极大值f(a)，且f(a)=1．
②当a<0时，令f'(x)=0，得到x1=a，x2=-1a．
当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表：
所以f(x)在区间(-∞,a)，-1a,+∞为增函数，在区间a,-1a为减函数．
函数f(x)在x=a处取得极大值f(a)，且f(a)=1．
函数f(x)在x=-1a处取得极小值f-1a，且f-1a=-a2.
【解析】
1.解析：
解：由题意，∵y'=3x2-12 ，由y'=0 得x=±2，
易得当x∈(-3,-2)时，函数y=x3-12x+16单调递增；
当x∈(-2,2)时，函数y=x3-12x+16单调递减；
当x∈(2,3)时，函数y=x3-12x+16单调递增；
当x=-3时，y=25，
当x=-2时，y=32，
当x=2时，y=0，
当x=3时，y=7，
故函数最大值为32，最小值为0．
故选B．
2.解析：
解：对于A，根据f'(x)图像可知f'(-2)=0，故y=f(x)在点(-2,f(-2))处的切线斜率等于零，A错误；
对于B，在区间(-1,1)，f'(x)<0，故f(x)在区间(-1,1)上单调递减，故B错误，
对于C，在x=1的左右两侧f'(x)<0，故x=1不是极值点，故C错误，
对于D，f(x)在-3,-2单调递增，在-2,3单调递减，故f(x)在区间(-3,3)内至多有两个零点，故D正确．
故选：D．
3. 解析：
解：函数f(x)=lnx-2x+6的定义域为(0,+∞)．
f'(x)=1x-2=1-2xx.令f'(x)=0，解得x=12．
当00，函数f(x)单调递增；
当x>12时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减．
∴当x=12时，函数f(x)取得极大值即最大值．
f(12)=ln12-1+6=5-ln2>0．
当x>0且x→0时，f(x)→-∞；当x→+∞时，f(x)→-∞．
故函数f(x)有且只有两个零点．
故选：B．
4. 解析：
解：∵f(x)≥1，即a+xlnx≥1，
∴a≥1-xlnx在[1,+∞)上恒成立．
令g(x)=1-xlnx，∵g'(x)=-1-lnx<0，
∴g(x)在[1,+∞)上单调递减，
∴g(x)≤g(1)=1，即a≥1．
故实数a的最小值为1．
故选：A．
5.解：函数fx=lnx+x2-bx在1,+∞上单调递增，等价为f'x=1x+2x-b≥0在1,+∞上恒成立，即b≤1x+2x在1,+∞上恒成立，
令gx=1x+2x,x≥1，则g'x=2-1x2=2x2-1x2>0在1,+∞上恒成立，故gx在1,+∞上单调递增，
则gx≥g1=3，故b≤3，则b的最大值是3．
故选：A．
6.解析：
解：∵f(x)=ax+sinx是R上的增函数，
∴f'(x)≥0恒成立，
即f'(x)=a+csx≥0，
即a≥-csx，
∵-1≤-csx≤1，
∴a≥1，
故选：D
7.解析：
解：由于f'(x)=1-ax2=x2-ax2,g'(x)=1-1x=x-1x,
∵x∈[1,e]，0∴f'(x)≥0，g'(x)≥0，即f(x)，g(x)在x∈[1,e]上单调递增，
由任意的x1,x2∈[1,e]，都有f(x1)≥g(x2)成立，
所以f(x)min≥g(x)max，即f(1)≥g(e)，
∴1+a≥e-1，
∴a≥e-2，又0则实数a的取值范围为[e-2,1]，
故选D．
8. 解析：
解：设g(x)=x2fx，
则g'(x)=2xfx+x2f'x=x2f(x)+xf'(x)，
当x<0时，g'(x)>0，函数g(x)单调递增，
当x>0时，g'(x)<0，函数g(x)单调递减，
则x=0时，g(x)有极大值为g(0)=0，
所以g(x)⩽0，
当x≠0时，x2fx<0，即fx<0;
当x=0时，2f(0)+0·f'x<0，即fx<0
综上f(x)<0的解集为R．
故选D．
9. 解析：
解：对于选项A，若f '(x0)=0，x0不一定是函数f (x)的极值点，
例如函数fx=x3，f '(0)=0，
但x=0不是极值点，故A选项错误；
对于选项B，函数y=f (x)的切线与函数图象可以有两个公共点，
例如函数fx=x3-3x，在x=1处的切线为y=-2与函数还有一个公共点为(-2,-2)，
故选项B正确；
对于选项C，因为函数y=f (x)在x=1处的切线方程为2x-y=0，所以f '(1)=2，
又limΔx→0f(1)-f(1+Δx)2Δx=-12limΔx→0f(1+Δx)-f(1)Δx =-12f '(1)=-1≠1，所以选项C错误；
对于选项D，定义在区间(-π,π)上的函数f(x)=xsinx+csx，
f'x=xcsx+sinx-sinx=xcsx，f '(x)>0⇒x∈(-π,-π2)∪(0,π2)，
故f(x)的单调递增区间是-π,-π2和0,π2，
所以选项D正确．
故选BD．
10.解析：
解：由题意得f'(x)=1-lnxx2(x>0)，
令f'(x)=0，得x=e．
当00；当x>e时，f'(x)<0．
∴f(x)的增区间是(0,e)，减区间是(e,+∞)，
∴当x=e时，f(x)取得极大值f(e)=1e，故A错误；
当x→0时，f(x)→-∞，当x→+∞时，f(x)→0，
∴函数f(x)=lnxx的图象如下：
根据图象可得函数f(x)有一个零点，
且f(3)>f(π)>f(1)，故B正确，C错误；
对于D，若f(x)令g(x)=x-lnxx，则g'(x)=1-1-lnxx2=x2+lnx-1x2，
令G(x)=x2+lnx-1，则G'(x)=2x+1x>0，
所以G(x)在(0,+∞)上单调递增，
因为G(1)=0，
所以当x∈(0,1)时，g'(x)<0，g(x)单调递减，
当x∈(1,+∞)时，g'(x)>0，g(x)单调递增，
∴g(x)min=g(1)=1，∴k<1，故D正确．
故选BD．
11. 解析：
解：由题意，，，故曲线y =f(x)在点(0,0)处的切线方程为y =x，故A正确;
令，得x =-1，易知当x∈(-∞,-1)时，f '(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(-1,+∞)时，f '(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)在x =-1处取得极小值，为f(-1)=-1e，故B错误;
作出f(x)=x ex，y =12e(x-1)与y =23 e2(x-1)的大致图象如图所示，易知当23 e2 ⩽a <12e时，f(x)当2 e2 所以，消去k，得 x0 = 5 +12，而1< 5 +12 <2，
故若f(x) ⩽a(x-1)有唯一整数解，则 f(2)故选：ACD．
12. 解析：
解：函数f(x)=exx2，定义域为(0,+∞)，
对于A，令hx=x2f(x)-x-1=ex-x-1x>0，
则h'x=ex-1，因为x>0，所以h'x>0恒成立，
所以hx在(0,+∞)上单调递增，
所以hx>h0=0，即x2f(x)>x+1成立，故A正确；
对于B，函数f(x)=exx2定义域为(0,+∞)，f '(x)=ex(x-2)x3，
由f'(x)=0，可得x=2．
则当0当x>2时，f'(x)>0，所以f(x)在2,+∞上单调递增．
所以f(x)在x=2处取得极小值e24，故B正确；
对于C，由选项B可得f(x)⩾f(2)=e24>0，
所以f(x)无零点，故C错误；
对于D，若对任意的x∈(0,+∞)，f(x)>k+1x2恒成立，
所以ex-1x2>k在x∈(0,+∞)时恒成立，
令g(x)=ex-1x2(x>0)，则g '(x)=xex-2ex+2x3．
令φ(x)=xex-2ex+2， φ '(x)=(x-1)ex，由φ'(x)=0，可得x=1．
则当0所以φ(x)在0,1上单调递减；
当x>1时，φ'(x)>0，
所以φ(x)在1,+∞上单调递增．
所以φ(x)⩾φ(1)=2-e．
因为2-e<0，
又φ(2)=2>0，φ(0)=0，
所以存在1使得φ(x0)=x0ex0-2ex0+2=0，
且当0当x>x0时，φ(x)>0，即g'x>0，所以gx在x0,+∞上单调递增．
所以g(x)⩾g(x0)=ex0-1x02，
因为x0ex0-2ex0+2=0，
所以g(x0)=ex0-1x02=1(2-x0)x0，
因为1所以k故选AB．
13. 解析：
解：由题 f'(x)=3x2-3，
令f'(x)<0解得-10解得x<-1或x>1，
由此得函数在(-∞,-1)上是增函数，在(-1,1)上是减函数，在(1,+∞)上是增函数，
故函数在x=-1处取到极大值2，判断知此极大值必是区间(a2-5,a)上的最大值，
∴a2-5<-1又当x=2时，f(2)=2，故有a≤2．
综上知a∈(-1,2)．
故答案为：(-1,2)．
14. 解析：
解：因为f(x)=2ef '(e)lnx-xe，所以f'(x)=2ef'(e)x-1e，
所以f'(e)=2ef'(e)e-1e=2f'(e)-1e，
因此f'e=1e，所以fx=2lnx-xe，f'x=2x-1e．
由f'x>0得02e，
所以函数f(x)在(0,2e)上单调递增，在2e,+∞上单调递减，
因此极大值为f(2e)=2ln(2e)-2=2ln2．
故答案为2ln2，
15. 解析：
解：设生产x(t)产品，利润为y元，
则y=px-R=(24200-15x2)x-(50000+200x)(x≥0)，
=-15x3+24000x-50000(x>0)，
所以y'=-35x2+24000．
由y'=0，得x=200．
∵当00；当x>200时，y'<0，
所以x=200是极大值点，也是最大值点，
∴当x=200时，ymax=3150000(元)．
故答案为200．
16. 解析：
解：f(x)=2x2+3的导数为f'(x)=4x，g(x)=aex+3的导数为g'(x)=aex，
设公切线与f(x)=2x2+3的图象切于点(x1,2x12+3)，
与g(x)=aex+3的图象切于点(x2,aex2+3)，
∴4x1=aex2=aex2+3-(2x12+3)x2-x1=aex2-2x12x2-x1，
化简可得，2x1=2x1-x12x2-x1，得x1=0或2x2=x1+2，
∵4x1=aex2，且a>0，∴x1>0，则2x2=x1+2>2，即x2>1，
得a=4x1ex2=4(2x2-2)ex2=8(x2-1)ex2，x2>1
设h(x)=8(x-1)ex(x>1)，则h'(x)=8(2-x)ex，
由h'(x)>0可得12
∴h(x)在(1,2)上递增，在(2,+∞)上递减，
∴h(x)max=h(2)=8e2，
∴实数a的取值范围为(0,8e2].
17. 本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，正确求导是关键，属于基础题．
(1)求导函数，利用函数f(x)=-x3+ax2+bx在x=-1处取得极小值，在x=23处取得极大值，建立方程，即可求a，b的值，从而求出切线方程；
(2)利用导数的正负，先求出函数的单调区间，求出极值和端点值，从而求出函数的最值．
18. 本题主要考查利用导数求切线方程，利用导数研究函数的单调性，属于基础题．
1通过导函数求出切线斜率，然后求出切点，代入点斜式可得解．
2利用导数研究函数的单调性和极值．
x
(-∞,-1a)
-1a
(-1a,a)
a
(a,+∞)
f'(x)
-
0
+
0
-
f(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘
x
(-∞,a)
a
(a,-1a)
-1a
(-1a,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗