2023-2024学年上海市金山中学高二（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市金山中学高二（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共22页。

2．已知cs（+θ）＝﹣，则cs2θ＝ ．
3．函数f（x）＝x•ln2x的导函数f'（x）＝ ．
4．已知直线l1：x+y+1＝0和l2：2x+my+1＝0，若l1∥l2，则m＝ ．
5．已知{an}为无穷等比数列，a2＝3，，则{an}的公比为 ．
6．已知向量满足与的夹角为120°，若，则k＝ ．
7．已知事件A与事件B互斥，如果P（A）＝0.3，P（B）＝0.5，那么＝ ．
8．在△ABC中，其内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝，b＝6，a2+c2＝2ac，则△ABC的面积为 ．
9．若连续抛两次骰子得到的点数分别是m，n，则点P（m，n）在直线x+y＝8上的概率是 ．
10．已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过点F2且垂直x轴的直线与C交于A，B两点，且，若圆（x﹣2）2+y2＝4与C的一条渐近线交于M，N两点，则|MN|＝ ．
11．已知圆C：（x﹣4）2+y2＝5，点P在抛物线T：y2＝4x上运动，过点P引圆C的切线，切点分别为A，B，则|AB|的取值范围为 ．
12．棱长为10cm的密闭正四面体容器内装有体积为的水，翻转容器，使得水面至少与2条棱平行，且水面是三角形，不考虑容器厚度及其它因素影响，则水面面积的最小值为 cm2．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．已知复数z满足，复数z的共轭复数为，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
14．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出n⊥β的是（ ）
A．α∥β，且n⊂αB．m∥n，且m⊥βC．m⊥n，且m⊂βD．m⊥n，且m∥β
15．已知函数y＝f（x）与它的导函数y＝f'（x）的定义域均为R，现有下述两个命题：
①“y＝f（x）为奇函数”是“y＝f'（x）为偶函数”的充分非必要条件；
②“y＝f（x）为严格增函数”是“y＝f'（x）为严格增函数”的必要非充分条件．
则说法正确的选项是（ ）
A．命题①和②均为真命题
B．命题①为真命题，命题②为假命题
C．命题①为假命题，命题②为真命题
D．命题①和②均为假命题
16．设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn＝am，下列正确的命题是（ ）
①{an}可能为等差数列；
②{an}可能为等比数列；
③ai（i≥2）均能写成{an}的两项之差；
④对任意n∈N，n≥1，总存在m∈N，m≥1，使得an＝Sm．
A．①③B．①④C．②③D．②④
三、解答题（本大题满分40分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA＝AB．
（1）求证：直线BD⊥平面PAC；
（2）求直线PC与平面PBD所成的角的大小．
18．已知公差为正数的等差数列{an}满足a1＝1，2a1，a3﹣1，a4+1成等比数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若a2，a5分别是等比数列{bn}的第1项和第2项，求使数列的前n项和的最大正整数n．
19．图①是高桥中学的校门，它由上部屋顶，和下部两根立柱组成，如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形．点F在平面ABCD和BC上的射影分别为H、M，已知HM＝2m，BC＝2m，梯形ABFE的面积是△FBC面积的4倍，设．
（1）求屋顶面积S关于θ的函数关系式；
（2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k（k为正的常数），下部两根立柱的总造价与其单根的高度成正比，比例系数为2k，假设校门的总高度为3m，试问，当θ为何值时，校门的总造价（上部屋顶和下部两根立柱）最低？
20．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx+m（m≠0）与椭圆C交于M、N两点（M点在N点的上方），与y轴交于点E．
（1）当t＝2时，点A为椭圆C上除顶点外任一点，求△AF1F2的周长；
（2）当t＝3且直线l过点D（﹣1，0）时，设，，求证：λ+μ为定值，并求出该值；
（3）若椭圆C的离心率为，当k为何值时，|OM|2+|ON|2恒为定值；并求此时△MON面积的最大值．
21．已知f（x）＝x+alnx﹣1，其中a∈R．
（1）若曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线x+2y+3＝0垂直，求a的值；
（2）设，函数y＝g（x）在x＝x0时取到最小值g（x0），求a关于x0的表达式，并求g（x0）的最大值；
（3）当a＝﹣1时，设，数列{an}（n∈N，n≥1）满足a1∈（0，1），且an+1＝T（an），证明：an+1+an+3＞2an+2（n∈N，n≥1）．
参考答案
一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1．已知集合，集合B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝ {0，1} ．
【分析】求出集合A，利用交集定义直接求解．
解：集合＝{x|﹣1＜x≤}，
集合B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，
则A∩B＝{0，1]．
故答案为：{0，1}．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．已知cs（+θ）＝﹣，则cs2θ＝ ﹣ ．
【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得结果．
解：∵已知cs（+θ）＝﹣＝﹣sinθ，∴sinθ＝，
则cs2θ＝1﹣2sin2θ＝1﹣2×＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．
3．函数f（x）＝x•ln2x的导函数f'（x）＝ 1+ln2x ．
【分析】由已知结合函数的求导公式及复合函数的求导法则即可求解．
解：由题意得f（x）＝x•ln2x的导函数f'（x）＝ln2x+x•＝ln2x+1．
故答案为：1+ln2x．
【点评】本题主要考查了函数的求导公式及复合函数的求导法则，属于基础题．
4．已知直线l1：x+y+1＝0和l2：2x+my+1＝0，若l1∥l2，则m＝ 2 ．
【分析】根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解．
解：直线l1：x+y+1＝0和l2：2x+my+1＝0，l1∥l2，
则，解得m＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．
5．已知{an}为无穷等比数列，a2＝3，，则{an}的公比为 ．
【分析】由题意知，|q|＜1，再利用无穷等比数列和的公式求解即可．
解：因为无穷等比数列{an}，，
则|q|＜1，，
又，
所以，
解得或（舍）．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式，属于基础题．
6．已知向量满足与的夹角为120°，若，则k＝ ．
【分析】根据向量垂直可得数量积为0，从而求出k的值．
解：由题意可知，．
由，
所以，
解得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
7．已知事件A与事件B互斥，如果P（A）＝0.3，P（B）＝0.5，那么＝ 0.2 ．
【分析】根据已知条件，结合互斥事件的概率加法公式，以及对立事件的概率和为1，即可求解．
解：事件A与事件B互斥，如果P（A）＝0.3，P（B）＝0.5，
则P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝0.8，
故＝1﹣P（A∪B）＝0.2．
故答案为：0.2．
【点评】本题主要考查互斥事件的概率加法公式，属于基础题．
8．在△ABC中，其内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝，b＝6，a2+c2＝2ac，则△ABC的面积为 3 ．
【分析】由余弦定理可求得ac，再由三角形的面积公式计算即可求得．
解：由余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2accsB，
即＝＝，
所以，
所以＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查利用余弦定理和三角形的面积公式解三角形，属于基础题．
9．若连续抛两次骰子得到的点数分别是m，n，则点P（m，n）在直线x+y＝8上的概率是 ．
【分析】根据题意可罗列出满足x+y＝8的所有情况，再结合古典概型可解．
解：若连续抛两次骰子得到的点数分别是m，n，则不同的点P（m，n）有6×6＝36个，
而满足点P（m，n）在直线x+y＝8上的有（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）共5种情况，
则点P（m，n）在直线x+y＝8上的概率是．
故答案为：．
【点评】本题考查古典概型相关知识，属于基础题．
10．已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过点F2且垂直x轴的直线与C交于A，B两点，且，若圆（x﹣2）2+y2＝4与C的一条渐近线交于M，N两点，则|MN|＝ ．
【分析】令x＝c，求得|F2A|，解直角三角形AF1F2可得双曲线的渐近线方程，再由直线和圆相交的弦长公式，计算可得所求弦长．
解：设，
令x＝c，可得﹣＝1，即有y＝±，
可得＝，
解得，即有b＝2a，
所以渐近线方程为y＝±2x，
由对称性，不妨取y＝2x进行计算，
由圆心（2，0）到直线2x﹣y＝0的距离d＝＝，
可得弦长．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
11．已知圆C：（x﹣4）2+y2＝5，点P在抛物线T：y2＝4x上运动，过点P引圆C的切线，切点分别为A，B，则|AB|的取值范围为 [，2） ．
【分析】设P（x0，y0），将|AB|表示为只含x0的表达式，结合二次函数的性质求得|AB|的取值范围．
解：依题意，圆C：（x﹣4）2+y2＝5的圆心为C（4，0），半径，
抛物线T：y2＝4x的焦点为F（1，0），画出圆和抛物线的图象如下图所示，
设P（x0，y0），则，
，切线长，
由Rt△ADC∽Rt△PAC得，则，
PC垂直平分弦AB，则，
即
＝，
又x0≥0，则，即，
则，则，
即，
所以|AB|的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题考查了抛物线的性质，属于中档题．
12．棱长为10cm的密闭正四面体容器内装有体积为的水，翻转容器，使得水面至少与2条棱平行，且水面是三角形，不考虑容器厚度及其它因素影响，则水面面积的最小值为 cm2．
【分析】首先分水面平行于一组对棱和水面平行于正四面体的一个面两种情况，舍去前一种情况，结合正四面体几何特征求出其体积，根据相似关系得到棱长比，进而求出面积即可．
解：若水面至少与2条棱平行，且这两条棱不共面，即两条棱为对棱时，
如图所示，
若水面平行与AS，BC，不妨取特殊情况讨论，
记AB，AC，SB，SC中点分别为N，M，P，Q，则，则四边形MNPQ为平行四边形，
即水面形状为平行四边形，不符合题意；
则水面至少平行的2条棱相交共面，不妨设水面为△DEF，下求正四面体体积，
如图所示，
即AB中点为G，连接CG，设SO⊥平面ABC，则O是CG三等分点，
因为正四面体棱长为10，所以，
，
则＝＝＝，
所以，
如下图所示，正四面体容器倒放时，棱锥S﹣DEF部分为水体部分，
设SD＝SE＝SF＝a，
则，则，则a＝6，
所以水面面积；
如下图所示，正四面体容器正放时，棱台ABC﹣DEF部分为水体部分，
设SD＝SE＝SF＝b，
则，则b3＝784＞216，水面面积更大，不符合．
综上，水面面积的最小值为．
故答案为：
【点评】本题考查了与锥体体积有关的计算，属于难题．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．已知复数z满足，复数z的共轭复数为，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】先对z化简，再结合共轭复数的定义，复数的几何意义，即可求解．
解：因为，
所以，
所以，
所以＝，
所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查复数的运算、共轭复数的定义以及复数的几何意义，属于基础题．
14．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出n⊥β的是（ ）
A．α∥β，且n⊂αB．m∥n，且m⊥βC．m⊥n，且m⊂βD．m⊥n，且m∥β
【分析】根据线面垂直的性质即可判断B选项正确，其余选项都没条件推出n⊥β，从而得解．
解：对A，∵α∥β，且n⊂α，∴n∥β，∴A错误；
对B，∵m∥n，且m⊥β，∴n⊥β，∴B正确；
对C，∵m⊥n，且m⊂β，∴n⊂β或n⊄β，∴C错误；
对D，∵m⊥n，且m∥β，∴n可以与β成任意角，∴D错误．
故选：B．
【点评】本题考查空间中直线、平面的位置关系，线面垂直的判断，考查空间想象力，属基础题．
15．已知函数y＝f（x）与它的导函数y＝f'（x）的定义域均为R，现有下述两个命题：
①“y＝f（x）为奇函数”是“y＝f'（x）为偶函数”的充分非必要条件；
②“y＝f（x）为严格增函数”是“y＝f'（x）为严格增函数”的必要非充分条件．
则说法正确的选项是（ ）
A．命题①和②均为真命题
B．命题①为真命题，命题②为假命题
C．命题①为假命题，命题②为真命题
D．命题①和②均为假命题
【分析】根据题意，依次分析两个命题的真假，即可得答案．
解：根据题意，
对于①，若f（x）为奇函数且在其定义域内可导，函数f（x）的图象关于原点对称，则其图象任意一点的切线斜率必定关于y轴对称，即其导函数必为偶函数，
反之，若y＝f'（x）为偶函数，则y＝f（x）不一定为奇函数，如f（x）＝x3+1，其导数f′（x）为偶函数，
故“y＝f（x）为奇函数”是“y＝f'（x）为偶函数”的充分非必要条件，①是真命题；
对于②，若y＝f'（x）为严格增函数，但y＝f（x）不一定严格增函数，如f（x）＝e﹣x，其导数f′（x）＝﹣e﹣x，
故“y＝f（x）为严格增函数”不是“y＝f'（x）为严格增函数”的必要条件，②是假命题；
故选：B．
【点评】本题考查命题真假的判断，涉及导数与函数单调性的关系，属于基础题．
16．设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn＝am，下列正确的命题是（ ）
①{an}可能为等差数列；
②{an}可能为等比数列；
③ai（i≥2）均能写成{an}的两项之差；
④对任意n∈N，n≥1，总存在m∈N，m≥1，使得an＝Sm．
A．①③B．①④C．②③D．②④
【分析】对于①，当数列{an}为等差数列时，不妨令an＝n，即可判断①的正误；对于②，若数列{an}为等比数列，设其公比为q，则当q＝1时，显然不满足要求；
当q≠1时，由题意可得：Sn+1＝，S2n+2＝，可得1+qn+1＝，分|q|＞1和|q|＜1，验证其正误；对于③，根据当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1即可判断③的正误；对于④，取数列an＝n，即可判断④的正误．
解：对于①，当数列{an}为等差数列时，不妨令an＝n，所以其前n项和为Sn＝，
又因为n（n+1）必为偶数，所以必为整数，所以存在正整数m，使得Sn＝am，故①正确；
对于②，若数列{an}为等比数列，设其公比为q，则当q＝1时，显然不满足要求；
当q≠1时，由题意可得：Sn+1＝，S2n+2＝，即1+q+q2+…+qn＝，
1+q+q2+…+q2n+1＝（1+q+q2+…+qn）（1+qn+1）＝，
两式相除得：1+qn+1＝．
若|q|＞1，则当n为奇数时，qn+1＞0，所以≥|q|n+2，
所以1＝﹣qn+1≥|q|n+2﹣qn+1＝|q|n+1（|q|﹣1）．
当n充分大时，显然不成立；
若|q|＜1，则||∈（0，|q|]∪[，+∞），
因为|q|＜1＜，所以当n充分大时，可以使得1+qn+1∈（|q|，），故不成立，故②不正确；
对于③，取n＝2，则a1+a2＝am，所以a1＝am﹣a2，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝﹣，故③正确；
对于④，取数列an＝n，显然不存在m，使得Sm＝a2＝2，故④不正确．
故选：A．
【点评】本题考查数列的综合应用，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
三、解答题（本大题满分40分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA＝AB．
（1）求证：直线BD⊥平面PAC；
（2）求直线PC与平面PBD所成的角的大小．
【分析】（1）由正方形的对角线互相垂直可得BD⊥AC，由PA⊥平面BCD可知PA⊥BD，进而可得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出及平面PBD的一个法向量，利用向量的夹角公式即可得解．
解：（1）证明：∵底面ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，
又PA⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，
∴PA⊥BD，
又PA∩AC＝A，且PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，
∴BD⊥平面PAC；
（2）以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设AB＝2，则C（2，2，0），P（0，0，2），B（2，0，0），D（0，2，0），
∴＝（2，0，﹣2），＝（0，2，﹣2），＝（2，2，﹣2）
设平面PBD的一个法向量为＝（x，y，z），
则，则可取＝（1，1，1），
设直线PC与平面PBD所成角为θ，则sinθ＝|cs＜，＞|＝＝＝，
∴直线PC与平面PBD所成角的大小为arcsin．
【点评】本题考查线面垂直的判定以及线面角的求法，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
18．已知公差为正数的等差数列{an}满足a1＝1，2a1，a3﹣1，a4+1成等比数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若a2，a5分别是等比数列{bn}的第1项和第2项，求使数列的前n项和的最大正整数n．
【分析】（1）利用等比数列的性质列方程求公差，即可写出{an}的通项公式；
（2）由题设确定{bn}的通项公式，应用等比数列前n项和公式求出数列的前n项和，结合求n的范围．
解：（1）∵等差数列{an}的公差为d，d＞0，a1＝1，2a1，a3﹣1，a4+1成等比数列．
∴⇒（1+2d）2﹣2（1+2d）+1＝2（1+3d）+2
⇒2d2﹣3d﹣2＝0⇒（2d+1）（d﹣2）＝0⇒d＝2，
故an＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣1．
（2）由（1）知：b1＝a2＝3，b2＝a5＝9，则数列{bn}的首项、公比为3，
所以，则，
所以且n∈N*，而35＝243＜300＜36＝729，所以n≤5，
故最大正整数n为5．
【点评】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，等比数列前n项的和，属于中档题．
19．图①是高桥中学的校门，它由上部屋顶，和下部两根立柱组成，如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形．点F在平面ABCD和BC上的射影分别为H、M，已知HM＝2m，BC＝2m，梯形ABFE的面积是△FBC面积的4倍，设．
（1）求屋顶面积S关于θ的函数关系式；
（2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k（k为正的常数），下部两根立柱的总造价与其单根的高度成正比，比例系数为2k，假设校门的总高度为3m，试问，当θ为何值时，校门的总造价（上部屋顶和下部两根立柱）最低？
【分析】（1）用θ表示出FM，得出三角形FBC的面积关于θ的式子，从而可得屋顶面积S关于θ的函数；
（2）求出屋顶高度FH，得出造价y关于θ的函数，利用导数判断函数单调性，再计算最小值及对应的θ的值．
解：（1）由题意FH⊥平面ABCD，FM⊥BC，
又因为HM⊂平面ABCD，得FH⊥HM，
在Rt△FHM中，HM＝2，∠FMH＝θ，所以，
因此△FBC的面积为，
从而屋顶面积，
所以S关于θ的函数关系式为；
（2）在Rt△FHM中，FH＝2tanθ，所以柱子高度为h＝3﹣2tanθ，
所以校门总造价为
＝，
记，，
所以，
令f′（θ）＝0，得，又，所以，
列表：
所以当时，f（θ）有最小值，
答：时该校门总造价最低．
【点评】本题考查了函数的实际应用，属于中档题．
20．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx+m（m≠0）与椭圆C交于M、N两点（M点在N点的上方），与y轴交于点E．
（1）当t＝2时，点A为椭圆C上除顶点外任一点，求△AF1F2的周长；
（2）当t＝3且直线l过点D（﹣1，0）时，设，，求证：λ+μ为定值，并求出该值；
（3）若椭圆C的离心率为，当k为何值时，|OM|2+|ON|2恒为定值；并求此时△MON面积的最大值．
【分析】（1）△AF1F2的周长为2a+2c，计算得到答案．
（2）确定椭圆和直线方程，联立方程，得到根与系数的关系，根据向量的关系得到，代入化简得到答案．
（3）根据离心率得到椭圆方程，联立方程，得到根与系数的关系，根据和为定值得到4k2﹣1＝0，计算点到直线的距离，根据面积公式结合均值不等式计算得到最值．
解：（1）当t＝2时，椭圆C：，△AF1F2的周长为；
（2）证明：当t＝3且直线l过点D（﹣1，0）时，椭圆C：，直线斜率存在，y＝k（x+1），
联立，消去y得：（3k2+1）x2+6k2x+3k2﹣3＝0，Δ＝（6k2）2﹣4（3k2﹣3）（3k2+1）＝24k2+12＞0恒成立，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则 ，
由，点E的横坐标为0，
考虑向量横坐标得到x1＝λ（x1+1），x2＝μ（x2+1），
从而
＝
＝，所以λ+μ为定值3；
（3），解得t＝4，故椭圆方程，联立，
消元得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，Δ＝64k2m2﹣16（4k2+1）（m2﹣1）＞0，即4k2﹣m2+1＞0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，
则
＝，
当|OM|2+|ON|2为定值时，即与m2无关，故4k2﹣1＝0，得，
此时，
又点O到直线l的距离，
所以，
当且仅当，即m＝±1时，等号成立，
经检验，此时Δ＞0成立，所以△MON面积的最大值为1．
【点评】本题考查了椭圆方程，定值问题，面积的最值的问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系，可以简化运算，是解题的关键，此方法是考试的常考方法，需要熟练掌握．
21．已知f（x）＝x+alnx﹣1，其中a∈R．
（1）若曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线x+2y+3＝0垂直，求a的值；
（2）设，函数y＝g（x）在x＝x0时取到最小值g（x0），求a关于x0的表达式，并求g（x0）的最大值；
（3）当a＝﹣1时，设，数列{an}（n∈N，n≥1）满足a1∈（0，1），且an+1＝T（an），证明：an+1+an+3＞2an+2（n∈N，n≥1）．
【分析】（1）由题意，对函数f（x）进行求导，根据导数与函数曲线切线的关系以及直线垂直斜率的关系，列出等式即可求解；
（2）根据导数与函数单调性的关系，利用换元法，建立新函数，可得答案；
（3）利用综合法，整理不等式，通过构建新函数，对新函数进行求导，利用导数研究函数单调性求最值．
解：（1）因为f（x）＝x+alnx﹣1，
可得，
若曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线x+2y+3＝0垂直，
因为直线x+2y+3＝0的斜率为，
所以，
解得a＝2；
（2）因为，函数定义域为（0，+∞），
可得，
当x＝0时，x2+ax﹣1＝﹣1＜0，
所以x2+ax﹣1＝0有两异号实根，
不妨设x0为方程的正根，
当0＜x＜x0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；
当x＞x0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
所以，
当x＝x0时，函数g（x）取得极小值也是最小值，最小值，
不妨设，函数定义域为（0，+∞），
可得，
当0＜x＜1时，F′（x）＞0，F（x）单调递增；
当x＞1时，F′（x）＜0，F（x）单调递减，
所以F（x）≤F（1）＝1．
综上，，g（x0）的最大值为1；
（3）证明：要证an+1+an+3＞2an+2，
即证an+3﹣an+2＞an+2﹣an+1，
因为T（an）＝an+1，
此时要证T（an+2）﹣an+2＞T（an+1）﹣an+1，
因为当a＝﹣1，，
不妨设，函数定义域为（0，+∞），
可得，
所以函数G（x）在（0，+∞）上单调递减，
要证T（an+2）﹣an+2＞T（an+1）﹣an+1，
需证G（an+2）＞G（an+1），
即证an+2＜an+1，
又T（an）＝an+1，
要证T（an+1）＜an+1，
即证G（an+1）＜0，
因为G（1）＝0，G（x）在（0，+∞）上单调递减，
极值an+1＞1，
因为，函数定义域为（0，+∞），
可得，
当0＜x＜1时，T′（x）＜0，T（x）单调递减；
在x＞1时，T′（x）＞0，T（x）单调递增，
所以T（x）≥T（1）＝1，
又a1∈（0，1），
所以T（a1）＞1，
同理an+1＝T（an）＞1．
故an+1+an+3＞2an+2．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
θ
f′（θ）
﹣
0
+
f（θ）
↘
最小值
↗