2023-2024学年上海市闵行区文琦中学高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市闵行区文琦中学高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共16页。

2．已知扇形的圆心角为，半径为5，则扇形的面积S＝ ．
3．将角度化为弧度：﹣315°＝ ．
4．若tanα＝2，tan（α﹣β）＝3，则tanβ＝ ．
5．若，，则＝ ．
6．函数，x∈[2，6]的最大值为 ．
7．P（﹣4m，3m）（m＜0）为α终边上一点，则csα＝ ．
8．已知函数f（x）＝ax2+2ax﹣3对任意实数x都有f（x）＜0成立，则实数a的取值范围是 ．
9．化简：＝ ．
10．若，则＝ ．
11．在平面直角坐标系中，对任意角α，设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为（x，y），它与原点的距离是r．我们规定：比值分别叫做角α的正割、余割、余切，分别记作secα，cscα，ctα，把y＝secx，y＝cscx，y＝ctx分别叫做正割函数、余割函数、余切函数，则下列叙述正确的有 （填上所有正确的序号）
①ct＝1；
②sinα•cscα＝1；
③y＝secx的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}；
④sec2α+csc2α≥4；
⑤ct2α＝．
12．设，若存在唯一一组α，β使得tanα+ctα＝sinβ+acsβ成立，其中a为实数，则a的取值范围是 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．已知f（x）＝ax2+bx是定义在[a﹣1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是（ ）
A．B．C．D．
14．在平面直角坐标系中，下列结论正确的是 （ ）
A．小于的角一定是锐角
B．第二象限的角一定是钝角
C．始边相同且相等的角的终边一定重合
D．始边相同且终边重合的角一定相等
15．已知，则α+β是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
16．设集合，则集合A的元素个数为（ ）
A．1011B．1012C．2022D．2023
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17．已知函数f（x）＝ln（3+x）+ln（3﹣x）的定义域为（﹣3，3）．
（Ⅰ）证明：函数f（x）是偶函数；
（Ⅱ）求函数f（x）的零点．
18．在平面直角坐标系xOy中，角α与β的顶点均为坐标原点O，始边均为x轴的非负半轴．若角α的终边OP与单位圆交于点，将OP绕原点O按逆时针方向旋转后与角β的终边OQ重合．
（1）求tanβ的值；
（2）求的值．
19．（16分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）＝（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．
20．（16分）已知sinθ、csθ是方程2x2﹣（﹣1）x+m＝0的两个实数根．
（1）求实数m的值；
（2）求的值；
（3）若θ∈（π，2π），求cs2θ的值．
21．（16分）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：．（e是自然对数的底数，e＝2.71828⋯）．
（1）计算csh（2）﹣2csh2（1）的值；
（2）类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式：csh（x+y）＝_____，并加以证明；
（3）若对任意t∈[0，ln2]，关于x的方程sinh（t）+csh（x）＝a有解，求实数a的取值范围．
参考答案
一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1．已知幂函数f（x）＝xa的图象经过点，则f（9）＝ ．
【分析】将点的坐标代入解析式，求出a，再令x＝9，求f（9）即可．
解：由题意f（3）＝，
所以a＝﹣，所以f（x）＝，
所以f（9）＝
故答案为：．
【点评】本题考查求幂函数的解析式、对幂函数求值，属基本运算的考查．
2．已知扇形的圆心角为，半径为5，则扇形的面积S＝ ．
【分析】利用S＝，即可求得结论．
解：∵扇形的圆心角为，半径为5，
∴S＝＝＝
故答案为：
【点评】本题考查扇形面积的计算，考查学生的计算能力，属于基础题．
3．将角度化为弧度：﹣315°＝ ．
【分析】直接利用角度化弧度公式求解．
解：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查角度化弧度公式，属于基础题．
4．若tanα＝2，tan（α﹣β）＝3，则tanβ＝ ．
【分析】由两角差的正切公式展开式可得结果．
解：．
故答案为：．
【点评】本题考查了两角和与差的三角函数公式的应用，属于基础题．
5．若，，则＝ ﹣ ．
【分析】首先根据正余弦的平方关系求出sinα的值，再利用余弦两角和公式化简cs（α+），把得到的sinα，csα代入即可．
解：∵若，α∈（0，）
∴sinα＝＝＝
∴cs（α+）＝csαcs﹣sinαsin＝×﹣×＝﹣
故答案为﹣
【点评】本题主要考查了余弦函数的两角和公式．属基础题．
6．函数，x∈[2，6]的最大值为 ﹣2 ．
【分析】根据对数函数的性质求出函数的最大值即可．
解：函数在[2，6]上单调递减，
故y的最大值为y＝（2+2）＝﹣lg24＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性，最值问题，是基础题．
7．P（﹣4m，3m）（m＜0）为α终边上一点，则csα＝ ．
【分析】由余弦的定义可直接求解．
解：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了三角函数定义的应用，属于基础题．
8．已知函数f（x）＝ax2+2ax﹣3对任意实数x都有f（x）＜0成立，则实数a的取值范围是 （﹣3，0] ．
【分析】讨论二次项系数结合判别式列不等式求解即可．
解：由题意知当a＝0时，f（x）＝﹣3＜0符合题意；
当a≠0时，则，
则实数a的取值范围是（﹣3，0]．
故答案为：（﹣3，0]．
【点评】本题主要考查了二次函数性质的应用，属于基础题．
9．化简：＝ ﹣tanα ．
【分析】由题意，利用诱导公式，计算求得结果．
解：＝＝﹣tanα．
故答案为：﹣tanα．
【点评】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．
10．若，则＝ ．
【分析】利用诱导公式以及余弦的倍角公式化简即可求解．
解：因为sin（2）＝sin（2）＝cs（2）
＝1﹣2）＝1﹣2×＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了诱导公式以及倍角公式的应用，属于基础题．
11．在平面直角坐标系中，对任意角α，设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为（x，y），它与原点的距离是r．我们规定：比值分别叫做角α的正割、余割、余切，分别记作secα，cscα，ctα，把y＝secx，y＝cscx，y＝ctx分别叫做正割函数、余割函数、余切函数，则下列叙述正确的有 ②④⑤ （填上所有正确的序号）
①ct＝1；
②sinα•cscα＝1；
③y＝secx的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}；
④sec2α+csc2α≥4；
⑤ct2α＝．
【分析】根据已知条件，结合y＝secx，y＝cscx，y＝ctx的定义，即可依次求解．
解：对于①，，故①错误，
对于②，sinα•cscα＝sinα•，故②正确，
对于③，y＝secx＝，
∵csx≠0，
∴y＝secx的定义域为{x|x≠，k∈Z}，故③错误，
对于④，sec2α+csc2α＝+＝＝，
∵0≤sin22α≤1，
∴，故④正确，
对于⑤，＝＝＝，故⑤正确．
故答案为：②④⑤．
【点评】本题主要考查命题真假判断与应用，考查转化能力，属于中档题．
12．设，若存在唯一一组α，β使得tanα+ctα＝sinβ+acsβ成立，其中a为实数，则a的取值范围是 ．
【分析】用换元法，设，由已知方程有唯一解，故判别式等于零，再结合同角三角函数平方和为1解出．
解：，设t＝sinβ+acsβ，则，
∴，
∵α是唯一的，∴t2﹣4＝0，∴t＝2，或t＝﹣2（舍），
∴sinβ+acsβ＝2，与sin2β+cs2β＝1联立得（a2+1）cs2β﹣4acsβ+3＝0，
设csβ＝m，则m∈（﹣1，0），
∴（a2+1）m2﹣4am+3＝0在（﹣1，0）上有唯一解，设g（m）＝（a2+1）m2﹣4am+3，
∴或g（﹣1）g（0）＜0（舍）或g（﹣1）＝0⇒a＝﹣2，
当时，最大值为2，符合题意，
当a＝﹣2时，sinβ﹣2csβ取值可能大于2，故舍去，
综上．
故答案为：．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，考查同角三角函数及二次函数性质的应用，属中档题．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．已知f（x）＝ax2+bx是定义在[a﹣1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）＝f（x），由此求得b的值．且定义域关于原点对称，故a﹣1＝﹣2a，由此求得a的值，从而得到a+b的值．
解：对于函数知f（x）＝ax2+bx，
依题意得：f（﹣x）＝f（x），∴b＝0．
又 a﹣1＝﹣2a，∴a＝，
∴a+b＝．
故选：B．
【点评】本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）＝f（x）；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称，定义域区间2个端点互为相反数，属于基础题．
14．在平面直角坐标系中，下列结论正确的是 （ ）
A．小于的角一定是锐角
B．第二象限的角一定是钝角
C．始边相同且相等的角的终边一定重合
D．始边相同且终边重合的角一定相等
【分析】对于A，锐角必须强调为正角且小于，即可判断；对于B，α＝终边落在第二象限，但是不是钝角，即可判断；对于C：由定义即可判断；对于D，30°与390°角的终边相同，但不相等，即可判断．
解：对于A，小于的角不一定是锐角，首先必须强调为正角且小于，故A错误；
对于B，第二象限角强调终边落在第二象限，例如α＝终边落在第二象限，但是不是钝角，故B错误；
对于C：始边相同且相等的角终边一定相同，故C正确；
对于D，30°与390°角的终边相同，但不相等，故D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了象限角的定义，以及终边相同的角的定义，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
15．已知，则α+β是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
【分析】由已知利用同角三角函数关系式先求出csα，sinβ，再利用两角和的正弦和余弦函数求出cs（α+β）和sin（α+β），由此能判断α+β所在象限．
解：∵，
∴csα＝﹣＝﹣，
sinβ＝﹣＝﹣，
∴cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ＝﹣﹣（﹣）（﹣）＝＜0，
sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ＝﹣＝＞0，
∵＜α+β＜，
∴α+β是第二象限角．
故选：B．
【点评】本题考查两角和所在象限的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意同角三角函数关系式和两角和的正弦和余弦函数公式的合理运用．
16．设集合，则集合A的元素个数为（ ）
A．1011B．1012C．2022D．2023
【分析】依题意由表达式中角的特征可知当0＜k≤1011，k∈Z时，的取值各不相同，当k≥1012时，利用诱导公式以及集合元素的互异性即可求得元素个数为1011．
解：根据题意可知，当0＜k≤1011，k∈Z时，，此时；
又因为2023为奇数，2k为偶数，且中的任意两组角都不关于对称，
所以的取值各不相同，因此当0＜k≤1011，k∈Z时集合A中x的取值会随着k的增大而增大，
所以当k＝1011时，集合A中有1011个元素；
当k＝1012时，易知，
＝，
＝，
又易知，
所以可得，
即k＝1012时x的取值与k＝1010时的取值相同，与k＝0时的取值不相同，
根据集合元素的互异性可知，k＝1012时并没有增加集合中的元素个数，
以此类推可得当k≥1012时，集合A中的元素个数并没有随着k的增大而增加，
所以可得集合A的元素个数为1012个．
故选：B．
【点评】本题的关键在于通过观察集合中元素的特征，利用的三角函数值的范围以及图象的对称性，由集合中元素的互异性得出当k≥1012时，集合A中的元素个数并没有随着k的增大而增加即可求得结果，属于中档题．
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17．已知函数f（x）＝ln（3+x）+ln（3﹣x）的定义域为（﹣3，3）．
（Ⅰ）证明：函数f（x）是偶函数；
（Ⅱ）求函数f（x）的零点．
【分析】（Ⅰ）直接利用偶函数的定义进行证明即可；
（Ⅱ）将函数变形为f（x）＝ln（9﹣x2），令f（x）＝0，求解即可．
【解答】（Ⅰ）证明：由题意可得函数f（x）的定义域为（﹣3，3）关于原点对称，
又f（﹣x）＝ln（3﹣x）+ln（3+x）＝f（x），
故函数f（x）为偶函数；
（Ⅱ）解：f（x）＝ln（3+x）+ln（3﹣x）＝ln（9﹣x2），
令f（x）＝ln（9﹣x2）＝0，解得9﹣x2＝1，
解得，
故函数f（x）的零点为和．
【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数零点的求解，在判断函数奇偶性的时候要注意先判断其定义域是否关于原点对称，属于基础题．
18．在平面直角坐标系xOy中，角α与β的顶点均为坐标原点O，始边均为x轴的非负半轴．若角α的终边OP与单位圆交于点，将OP绕原点O按逆时针方向旋转后与角β的终边OQ重合．
（1）求tanβ的值；
（2）求的值．
【分析】（1）根据任意角三角函数的定义结合同角三角关系可得，，进而结合诱导公式运算求解；
（2）根据题意利用诱导公式结合齐次式问题运算求解．
解：（1）由题意可知：sinα＝y0，，
因为sin2α+cs2α＝1，即，且y0＞0，解得，
即，．
又因为，
可得，
．
所以．
（2）由（1）知，
所以＝．
【点评】本题主要考查三角函数的诱导公式，属于基础题．
19．（16分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）＝（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．
【分析】（I）由建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）＝，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．我们可得C（0）＝8，得k＝40，进而得到．建造费用为C1（x）＝6x，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x），我们不难得到f（x）的表达式．
（II）方法一：由（I）中所求的f（x）的表达式，我们利用导数法，求出函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值．
方法二：根据f（x）＝＝，直接利用基本不等式求出f（x）的最小值即可．
解：（Ⅰ）设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为．
再由C（0）＝8，得k＝40，因此．
而建造费用为C1（x）＝6x，
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
（Ⅱ）方法一：，令f'（x）＝0，即．
解得x＝5，（舍去）．
当0＜x＜5时，f′（x）＜0，当5＜x＜10时，f′（x）＞0，
故x＝5是f（x）的最小值点，对应的最小值为．
当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．
方法二：由（Ⅰ）知，f（x）＝，
所以f（x）＝＝﹣10＝70，
当且仅当，即x＝5时取等号，
所以当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．
【点评】函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．
20．（16分）已知sinθ、csθ是方程2x2﹣（﹣1）x+m＝0的两个实数根．
（1）求实数m的值；
（2）求的值；
（3）若θ∈（π，2π），求cs2θ的值．
【分析】（1）由韦达定理和同角的平方关系，计算可得所求值；
（2）运用同角的商数关系和韦达定理，可得所求值；
（3）结合θ∈（，2π），可得csθ＞0，sinθ＜0，利用平方差公式可得csθ﹣sinθ＝，联立方程可得csθ的值，进而可求cs2θ的值．
解：（1）因为sinθ、csθ是方程2x2﹣（﹣1）x+m＝0的两个实数根，
由韦达定理得sinθ+csθ＝，sinθcsθ＝，
由（sinθ+csθ）2＝（）2，
则1+2sinθcsθ＝1+m＝（）2，
所以m＝﹣；
（2）＝+＝＝sinθ+csθ＝；
（3）因为m＝﹣，所以sinθ+csθ＝①，sinθcsθ＝﹣，
所以（sinθ﹣csθ）2＝1﹣2sinθcsθ＝1+＝＝（）2，
因为θ∈（，2π），所以csθ＞0，sinθ＜0，csθ﹣sinθ＝②，
所以由①②可得csθ＝，
所以cs2θ＝．
【点评】本题考查二次方程的韦达定理和同角的基本关系式的应用，考查方程思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．
21．（16分）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：．（e是自然对数的底数，e＝2.71828⋯）．
（1）计算csh（2）﹣2csh2（1）的值；
（2）类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式：csh（x+y）＝_____，并加以证明；
（3）若对任意t∈[0，ln2]，关于x的方程sinh（t）+csh（x）＝a有解，求实数a的取值范围．
【分析】（1）根据双曲函数的定义代值，计算即可；
（2）根据双曲函数的运算性质和指数幂的运算性质化简计算即可求解；
（3）根据题意得1≤et≤2，则 ，利用基本不等式计算可得，结合指数函数的单调性即可求解．
解：（1）根据题意，．
则csh（2）﹣2csh2（1）＝﹣2（）2＝﹣＝﹣1．
（2）证明：csh（x）csh（y）+sinh（x）sinh（y）
＝
＝
＝
＝csh（x+y）．
所以csh（x+y）＝csh（x）csh（y）+sinh（x）sinh（y）；
（3）∵t∈[0，ln2]，∴1≤et≤2，
则，
所以，
当且仅当x＝0 时，等号成立，
则 恒成立，
因为函数 y＝et，y＝﹣e﹣t均是[0，ln2]上的增函数，
故函数 在[0，ln2]上为增函数，
所以，．
故实数a的取值范围为[，+∞）．
【点评】本题考查函数恒成立问题，是新定义题型，属于中档题．