高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示习题，共6页。试卷主要包含了三点共线结论，等和线定理，解题步骤等内容，欢迎下载使用。
1.三点共线的结论：
★★★★★
、、三点共线

规律：已知三向量起点相同，则终点共线系数和为1。
2.三点共线结论的应用：“偏重”的概念。
例1.在中，、为三等分点，取、为两个基向量，用、表示出、。

例2.在中，、、为四等分点，取、为两个基向量，用、表示出、、。

遇到“三点共线”问题，可利用“偏重”的概念迅速表示出向量。

3.三点共线的再研究：（等和线定理）

二、等和线定理：
平面内一组基底及任一向量，，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线.
当等和线恰为直线AB时，k=1；
当等和线在O点和直线AB之间时，；
当直线AB在点O与等和线之间时，；
当等和线过O点时，k=0；
若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数.
三、解题步骤：
用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。
我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图1中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则 (的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围。
（1）确定单位线（当时的等和线）；（2）平移等和线，分析何处取得最值；（3）从长度比计算最值.
【例1】设是边上的点，,若，则 =（ ）

【解析】因为，所以，因为，所以，由于此时等和线为，所以，即.
【例2】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P是以C为圆心且与BD相切的圆上，若，则的最大值为（ ）A.3 B. C. D.2
【解析】：根据上面图形可知，当点P在圆上运动到与A点距离最大时
有最大值，此时，过A点作BD的垂线，如图所示垂足分别为M、N，则 答案：A
例3.在中，点是线段上任意一点，点满足，若存在实数和，使得，则（ ）A．B．C．D．
【解析】由题意，，且，而，
所以，即，由已知，则，选项D正确.故选：D
例4.如图，四边形是边长为1的正方形，点在的延长线上，且，点是（含边界）的动点，设，则的最大值为（ ）
【解析】当点位于点时，过点作，交的延长线于,则，且，所以，所以.故答案为：.
例5.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为（ ）A．3B．2C．D．2
【解析】分析：如图 ，由平面向量基底等和线定理可知，当等和线与圆相切时， 最大，此时故选 .
例6.如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（ A ）
A．B．2C．D．1
【详解】作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，
设，则，∵BC//EF，∴设，则
∴，∴
∴ 故选：A.
例7.已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【解析】因为是内一点，且,所以O为的重心
在内（不含边界），且当M与O重合时，最小，此时
所以，即。
当M与C重合时，最大，此时 ,所以，即。
因为在内且不含边界所以取开区间，即,所以选B
例8.如图，在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设eq \(AP,\s\up7(→))＝αeq \(AB,\s\up7(→))＋βeq \(AF,\s\up7(→))(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________．

【解析】直线BF为k＝1的等和线，当P在△CDE内时，直线EC是最近的等和线，过D点的等和线是最远的，所以α＋β∈[eq \f(AN,AM)，eq \f(AD,AM)]＝[3，4]．
例9.在同一个平面内，向量的模分别为1，1，，与的夹角为，且，与的夹角为，若，则m+n=______.
【解析】连接AB，过C点作AB的平行线，则，
在中，由题意可知,
所以，根据三角形张角定理得，所以，则，答案：3
例10.已知△ABC中，，若点P为四边形AEDF内一点(不含边界)且，则实数x的取值范围为 .
【解析】如图所示，在线段BD上取一点G，使得，设DC=3a，则DG=a，BC=5a，BG=a；
过点G作GH∥DE，分别交DF､AE于K､H，连接FH，则点K､H为临界点；
GH∥DE，所以HEEC，AHEC，HGDE，，所以FH∥BC；
所以FHBC，所以，所以KGHK，KGHGDE.所以实数x的取值范围是().
故答案为：().
例11.如图所示，圆O及其内接正八边形，已知，点P为正八边形国上任意一点，，则的最大值为______________。
答案：