中考数学一轮复习专题1.1 锐角的三角函数【十大题型】（举一反三）（北师大版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习专题1.1 锐角的三角函数【十大题型】（举一反三）（北师大版）（解析版），共38页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc27498" 【题型1 正弦、余弦、正切的概念辨析】 PAGEREF _Tc27498 \h 2
\l "_Tc9883" 【题型2 根据定义直接求角的正弦、余弦、正切值】 PAGEREF _Tc9883 \h 4
\l "_Tc3209" 【题型3 根据正弦、余弦、正切的定义求边长】 PAGEREF _Tc3209 \h 8
\l "_Tc3825" 【题型4 特殊角的三角函数值的混合运算】 PAGEREF _Tc3825 \h 13
\l "_Tc15121" 【题型5 构造直角三角形求角的正弦、余弦、正切值】 PAGEREF _Tc15121 \h 15
\l "_Tc27870" 【题型6 根据特殊角的三角函数值求角的度数】 PAGEREF _Tc27870 \h 20
\l "_Tc1120" 【题型7 已知角度比较三角函数值的大小】 PAGEREF _Tc1120 \h 24
\l "_Tc2256" 【题型8 根据三角函数值判断锐角的取值范围】 PAGEREF _Tc2256 \h 26
\l "_Tc25997" 【题型9 利用同角三角函数关系求值】 PAGEREF _Tc25997 \h 27
\l "_Tc28763" 【题型10 三角函数的综合运用】 PAGEREF _Tc28763 \h 30
【知识点 锐角三角函数】
在Rt△ABC中，∠C=90°，则的三角函数如下表：
特殊角的三角函数值
【题型1 正弦、余弦、正切的概念辨析】
【例1】（2023秋·山东济宁·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于csB的是（ ）
A．CDACB．BDCBC．CDCBD．CBAB
【答案】C
【分析】根据已知可得∠B=∠ACD，然后利用锐角三角函数的定义判断即可．
【详解】A．∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠ADB=90°，
∴∠B+∠BCD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠B=∠ACD，
在Rt△ACD中，cs∠ACD=CDAC，
∴csB=CDAC，
故A不符合题意；
B．在Rt△DBC中，csB=BDCB，故B不符合题意；
C．在Rt△DBC中，cs∠BCD=CDCB，
∵∠A≠45°，
∴∠B≠45°，
∴∠B≠∠BCD，
∴csB≠CDCB，
故C符合题意；
D．在Rt△ABC中，csB=CBAB，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数只与角度大小有关与角度位置无关是解题的关键．
【变式1-1】（2023秋·河北石家庄·九年级统考期末）已知Rt△ABC中，∠C=90°,b为∠B的对边，a为∠A的对边，若b与∠A已知，则下列各式正确的是（ ）
A．a=bsin∠AB．a=bcs∠AC．a=btan∠AD．a=b÷tan∠A
【答案】C
【分析】利用锐角三角函数的定义列出算式，然后变形计算即可．
【详解】解：如图所示：tanA=ab，
则a=btan∠A．
故选：C．
【点睛】此题考查锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
【变式1-2】（2023秋·安徽合肥·九年级统考期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC的三边都缩小5倍，则sinA的值（ ）
A．放大5倍B．缩小5倍C．不变D．无法确定
【答案】C
【分析】直接利用锐角的正弦的定义求解．
【详解】解：∵∠C＝90°，
∴sinA＝∠A的对边与斜边的比，
∵△ABC的三边都缩小5倍，
∴∠A的对边与斜边的比不变，
∴sinA的值不变．
故选：C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°．锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
【变式1-3】（2023秋·吉林长春·九年级校考期中）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C．设∠ABC=α，下列关系式正确的是（ ）
A．sinα=ABBCB．sinα=BCABC．sinα=ABACD．sinα=ACAB
【答案】D
【分析】根据正弦三角函数的定义判断即可．
【详解】∵BC⊥AC，
∴△ABC是直角三角形，
∵∠ABC=α，
∴sinα=ACAB，
故选：D．
【点睛】本题考查了正弦三角函数的定义．在直角三角形中任意锐角∠A的对边与斜边之比叫做∠A的正弦，记作sin∠A．掌握正弦三角函数的定义是解答本题的关键．
【题型2 根据定义直接求角的正弦、余弦、正切值】
【例2】（2023秋·重庆万州·九年级统考期末）直角三角形纸片ABC，两直角边BC=4，AC=8，现将△ABC纸片按如图那样折叠，使A与电B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是（ ）
A．12B．34C．1D．43
【答案】B
【分析】根据折叠的性质得出BE=AE，设CE=x，则BE=AE=8−x，在Rt△BCE中，根据勾股定理得出BC2+CE2=BE2，列出方程求出x的值，最后根据正切的定义，即可解答．
【详解】解：∵△ADE沿DE折叠得到△BDE，
∴BE=AE，
设CE=x，则BE=AE=8−x，
在Rt△BCE中，根据勾股定理可得：BC2+CE2=BE2，
即42+x2=8−x2，解得：x=3，
∴tan∠CBE=CEBC=34，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，正切的定义，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等．
【变式2-1】（2023·内蒙古·二模）如图，在▱ABCD中，AD>AB，按如下步骤作图：①以点A为圆心，以AB的长为半径作弧，交AD于点E，②分别以点B，E为圆心，以大于号12BE的长为半径在BE右侧作弧，两弧交于点G，③射线AG交BC于点F．若AB=5，BE=6，则cs∠AFB的值为( )

A．34B．43C．35D．45
【答案】D
【分析】根据题意可得，证明▱ABFE是菱形，再根据勾股定理可得OF=BF2−BO2=4，即可解得．
【详解】∵以点A为圆心，以AB的长为半径作弧，交AD于点E，
∴AB=AE，
∵分别以点B，E为圆心，以大于号12BE的长为半径在BE右侧作弧，两弧交于点G，
∴∠EAF=∠BAF，
∵AE∥BF，
∴∠EAF=∠AFB，
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴▱ABFE是菱形，
∴AF⊥BE，即∠BOF=90°，
∵BE=6，
∴BO=12BE=3，
根据勾股定理可得，
OF=BF2−BO2=4
∴cs∠AFB=45，
故选：D．

【点睛】此题考查了基本作图-作角平分线、等腰三角形的判定、勾股定理、菱形判定与性质、平行四边形的判定与性质、锐角三角函数，解题的关键是熟悉菱形的性质．
【变式2-2】（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）已知正方形ABCD中，AB=3，点E为直线BC上一点，BE=2EC，连接AE．则sin∠DAE的值为 ．
【答案】55或31313
【分析】由正方形性质， BC=AB=3，AD∥BC，得∠DAE=∠AEB；分情况讨论：若点E在线段BC上，可求BE1=2，AE1=13，于是sin∠DAE1=sin∠BE1A=31313；若点E在线段BC延长线上，可求E2C=BC=3，BE2=6，AE2=35，于是sin∠DAE2=sin∠AE2B=55．
【详解】解：正方形ABCD中，BC=AB=3，AD∥BC
∴∠DAE=∠AEB.
若点E在线段BC上，则BE1+E1C=32BE1=3
∴BE1=2.
∴AE1=AB2+BE12=32+22=13.
∴sin∠DAE1=sin∠BE1A=ABAE1=313=31313；
若点E在线段BC延长线上，则BE2−E2C=E2C=BC=3，
∴BE2=6.
∴AE2=AB2+BE22=32+62=35.
∴sin∠DAE2=sin∠AE2B=ABAE2=335=55．
∴sin∠DAE的值为55或31313．
【点睛】本题考查正方形的性质，正弦的定义；根据正方形性质求解相关线段是解题的关键．
【变式2-3】（2023·福建龙岩·九年级统考自主招生）如图，在△ABC中，点F为其重心，连接AF、BF并延长分别交BC、AC于点D、E，且AB=AC=13，CD=5，则cs∠EBC= ．
【答案】54141/54141
【分析】先根据三角形重心的性质得到AD为△ABC的中线，AF=2DF，再根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD=CD=5，则利用勾股定理得到AD=12，所以DF=4，接着计算出BF，然后根据余弦的定义求解．
【详解】解：∵点F为△ABC的重心，
∴AD为△ABC的中线，AF=2DF，
∵AB=AC=13，CD=5，
∴AD⊥BC，BD=CD=5，
在Rt△ABD中， AD=AB2−BD2=132−52=12，
∴DF=13AD=4，
在Rt△BDF中，BF＝BF=BD2+DF2=52+42=41，
∴cs∠FBD=BDBF=541=54141．
故答案为：54141．
【点睛】本题考查了三角形的重心，三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1．也考查了等腰三角形的性质和解直角三角形．
【题型3 根据正弦、余弦、正切的定义求边长】
【例3】（2023·山西忻州·统考模拟预测）如图，四边形ABCD是边长为8的正方形，E是边CB延长线上的一点，BE=6．点F在该正方形的边上运动，当CF=AE时，设直线CF与直线EA相交于点H，则FH的长为 ．

【答案】53或65
【分析】根据正方形的性质得到AB=BC=8，∠CBF=∠ABE=90°，在Rt△ABE中，AE=AB2+BE2=82+62=10，根据三角函数的定义得到sin∠EAB=BEAE=35．由CF=AE，点F在该正方形的边上可知点F在边AB和AD上，①当点F在边AB上时，如图，根据全等三角形的性质得到∠BAE=∠BCF，BE=BF=6，求得AF=8−6=2，根据三角函数的定义得到FH=65；②当点F在边AD上时，如图，同理可证Rt△ABE≌Rt△CBFHL，根据全等三角形的性质得到BE=DF=6，求得AF=8−6=2，∠CFD=∠E，根据平行线的性质得到∠E=∠HAF，求得AH=FH，过点H作HG⊥AF于G，得到AG=FG=1，根据三角函数的定义得到FG=53．
【详解】解：∵四边形ABCD是边长为8的正方形，
∴AB=BC=8，∠CBF=∠ABE=90°，
在Rt△ABE中，AE=AB2+BE2=82+62=10，
∴sin∠EAB=BEAE=610=35．
由CF=AE，点F在该正方形的边上可知点F在边AB和AD上，
当点F在边AB上时，如图，

在Rt△ABE和Rt△CBF中，
AE＝CFAB＝CB，
∴Rt△ABE≌Rt△CBFHL，
∴∠BAE=∠BCF，BE=BF=6，
∴AF=8−6=2，
∵∠AFH=∠BFC，∠FAH+∠AFH+∠AHF=∠BCF+∠BFC+∠CBF=180°，
∴∠AHF=∠CBF=90°，
∴sin∠FAH=FHAF=FH2=35，
∴FH=65；
当点F在边AD上时，如图，

同理可证Rt△ABE≌Rt△CDFHL，
∴BE=DF=6，
∴AF=AD−DF=8−6=2，∠CFD=∠E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥EC，
∴∠E=∠HAF，
∵∠CFD=∠AFH，
∴∠HAF=∠AFH，
∴AH=FH，
∴△AFH是等腰三角形，
过点H作HG⊥AF于G，则AG=FG=12AF=1，
在Rt△AFG中，cs∠GFH=FGFH=1FH=cs∠E=BEAE=35，
∴FG=53；
综上所述：FH的长为：53或65．
故答案为：53或65．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
【变式3-1】（2023秋·福建泉州·九年级福建省泉州第一中学校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点G为△ABC的重心，若AC=6，tan∠ABG=13，那么BC的长等于 ．

【答案】313
【分析】点G为△ABC的重心，就是三角形的三条中线交点，因此延长BG交AC于点D，利用中线的定义求出AD，利用正切的定义求出AB，最后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：延长BG交AC于点D，

∵点G为△ABC的重心，
∴BD是中线，
∴AD=12AC=3，
∵tan∠ABG=13
∴ADAB=13，
∴AB=9，
∴BC=AB2+AC2=313，
故答案为：313．
【点睛】本题考查了重心概念、正切的定义以及勾股定理等知识，根据重心概念添加合适辅助线，构造直角三角形求解是解题的关键．
【变式3-2】（2023春·浙江杭州·九年级校联考期中）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE=3，BE=4，DE=5．

(1)求证：BE⊥CD；
(2)求sin∠DAE．
【答案】(1)见解析
(2)55
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出DC=AB，AD=CB，DC∥AB，推出∠DEA=∠EAB，再根据角平分线性质得出∠DAE=∠DEA，推出AD=DE=5，得出AB=CD=8，由勾股定理的逆定理即可得出结论；
（2）由平行线得出∠ABE=∠BEC=90°，由勾股定理求出AE=45，最后利用锐角三角函数解答即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB，AD=BC，DC∥AB，
∴∠DEA=∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∴∠DAE=∠DEA，
∴AD=DE=5，
∴BC=5，AB=CD=DE+CE=8，
∵CE2+BE2=32+42=25=BC2，
∴△BCE是直角三角形，∠BEC=90°，
∴BE⊥CD；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠BEC=90°，
∴AE=AB2+BE2=82+42=45，
∴sin∠DAE=sin∠EAB=BEAE=445=55．
【点睛】本题考查了平行四边形性质，角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定、三角函数等知识点，证明AD=DE是解题的关键．
【变式3-3】（2023·甘肃兰州·统考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，过点A作AE∥BC，且AE=DC，连接CE．
(1)求证：四边形ADCE是矩形：
(2)若AB=5，csB=35，求CE的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）根据题意可得四边形ADCE是平行四边形，根据三线合一得出AD⊥BC，可得∠ADC=90°，即可得证；
（2）根据csB=35=BDAB得出BD=35AB=3，在Rt△ABD中，根据勾股定理得出AD=4，根据矩形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵ AE∥BC，且AE=DC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵ AB=AC，D是BC的中点，
∴ AD⊥BC，
∴ ∠ADC=90°，
∴平行四边形ADCE是矩形；
（2）解：∵ ∠ADC=90°，AB=5，csB=35=BDAB，
∴ BD=35AB=3，
在Rt△ABD中，
根据勾股定理得：AD=AB2−BD2=52−32=4，
由（1）可知，四边形ADCE是矩形，
∴ CE=AD=4，即CE的长为4．
【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，三线合一，已知余弦求边长，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【题型4 特殊角的三角函数值的混合运算】
【例4】（2023·四川遂宁·射洪中学校考一模）计算：−32+π−20220−2cs45°−2+−12−1．
【答案】2
【分析】根据算术平方根的性质、零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值运算及负整数指数幂分别求解，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【详解】解：原式=3+1−2×22−2+−2
=4−2−2−2
=4−2+2−2
=2
【点睛】本题考查实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
【变式4-1】（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）先化简，再求代数式2a−2−1a+2÷a+6a+2的值，其中a=tan60°+2tan45°．
【答案】1a−2，33
【分析】先将分子分母因式分解，除法改写为乘法，括号里面通分计算，再根据分式混合运算的运算法则和运算顺序进行化简，然后根据特殊角度的锐角三角函数值混合运算，求出a的值，最后将a的值代入计算即可．
【详解】解：2a−2−1a+2÷a+6a+2
=2a+4a−2a+2−a−2a+2a−2×a+2a+6
=a+6a−2a+2×a+2a+6
=1a−2；
∵a=tan60°+2tan45°=3+2×1=2+3，
∴原式=1a−2=12+3−2=33．
【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序和法则，熟记各个特殊角度的锐角三角函数值是解题的关键．
【变式4-2】（2023春·福建龙岩·九年级校考阶段练习）计算：
(1)2sin45°+tan60°−2cs30°；
(2)tan60°−tan45°1+tan60°⋅tan45°+2sin60°+6tan230°．
【答案】(1)1
(2)4
【分析】（1）先将各个特殊角度的锐角三家函数值化简，再进行计算即可；
（2）先将各个特殊角度的锐角三家函数值化简，再进行计算即可．
【详解】（1）解：2sin45°+tan60°−2cs30°
=2×22+3−2×32
=1+3−3
=1；
（2）解：tan60°−tan45°1+tan60°⋅tan45°+2sin60°+6tan230°
=3−11+3×1+2×32+6×332
=3−11+3+3+6×13
=3−121+33−1+3+2
=4−232+3+2
=2−3+3+2
=4．
【点睛】本题主要考查了特殊角度的锐角三角函数值的混合运算，解题的关键是熟记各个特殊角度的锐角三角函数值．
【变式4-3】（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）先化简，再求代数式2a−2ba÷a−2ab−b2a的值，其中a=3tan30°+1；b=2sin45°．
【答案】2a−b；233
【分析】分别化简代数式和字母的值，再代入计算．
【详解】原式=2a−ba÷a2−2ab+b2a
=2a−ba⋅aa−b2
=2a−b，
∵a=3tan30°+1=3×33+1=3+1；b=2sin45°=2×22=1，
∴原式=2a−b=23+1−1=233．
【点睛】本题考查分式的化简求值，分母有理化，特殊角三角函数值，解题的关键是先化简，然后把给定的值代入求解．
【题型5 构造直角三角形求角的正弦、余弦、正切值】
【例5】（2023秋·九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于点D，将△ ACD沿直线CD折叠，点A在AB边上的点E处，已知AC=5,DE=3，则sin∠BCE的值为（ ）

A．725B．35C．45D．2425
【答案】A
【分析】作EF⊥BC于点F，先这么∠ACD=∠B，再根据折叠的性质、勾股定理得到∠DCE=∠B,CD=4，由余弦定义得到CDCE=BFBE=45，由正弦定义得到sin∠B=ACAB=EFBE，据此设BF=4x,BE=5x，EF=3x，解出x=715，从而得到EF=75，最后根据正弦定义解答即可．
【详解】解：如图，作EF⊥BC于点F，

在Rt△ABC中，
∵AC⊥BC
∴AC∥EF
∴∠A=∠BEF
∵CD⊥AB,∠A+∠ACD=∠BEF+∠B=90°
∴∠ACD=∠B
∵折叠
∴AC=CE=5,DE=AD=3 ,∠ACD=∠DCE
∴∠DCE=∠B,CD=52−32=4
∴cs∠DCE=cs∠B
∴CDCE=BFBE=45
设BF=4x,BE=5x
∴EF=3x
∴sin∠B=ACAB=EFBE
∴56+5x=3x5x
∴x=715
∴EF=3x=75
sin∠BCE=EFCE=755=725
故选：A．
【点睛】本题考查正弦、余弦、勾股定理、平行线的判定与性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
【变式5-1】（2023·内蒙古包头·二模）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE．若∠ADB=30°，则cs∠DEC的值为（ ）

A．32B．33C．277D．72
【答案】C
【分析】过C作CF⊥BD于F，设AB=x，根据矩形的性质和含30度角的直角三角形的性质求得BE=12x，DF=12x，CF=32x，在Rt△CFE中，利用勾股定理求得CE=72x，然后根据余弦定义求解即可．
【详解】解：过C作CF⊥BD于F，则∠AEB=∠CFD=∠CFB=90°，设AB=x，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=x，∠BAD=∠ADC=90°，
∵∠ADB=30°，
∴BD=2AB=2x，∠DAE=∠CDE=60°，
∴∠BAE=∠DCF=30°，
∴BE=12AB=12x，DF=12CD=12x，
则CF=CD2−DF2=x2−12x2=32x，
在Rt△CFE中，EF=BD−BE−DF=x，
∴CE=CF2+EF2=32x2+x2=72x，
∴cs∠DEC=EFCE=x72x=277，
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理以及余弦定义，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质，添加辅助线构造直角三角形是解答的关键．
【变式5-2】（2023春·湖南永州·九年级校考开学考试）如图，在2×4的方格中，两条线段的夹角（锐角）为∠1，则tan∠1= ．

【答案】1
【分析】由勾股定理的逆定理可得∠CED=90°，可得∠EDC=∠ECD=45°，由平行线的性质和锐角三角函数可求解．
【详解】解：如图，取格点E，连接CE,DE，则CE∥AB，

∵CE=5，DE=5，CD=10，
∴DE=CE，CE2+DE2=10=CD2，
∴∠CED=90°，
∴∠EDC=∠ECD=45°，
∵CE∥AB，
∴∠1=∠DCE=45°，
∴tan∠1=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理的逆定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
【变式5-3】（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）在△ABC中，∠ABC=60°，点D是直线BC上一点，若AB=16，BD=10BC>BD，sin∠BAD的值为
【答案】5314或54386
【分析】分两种情况：点D在线段BC上，点D在线段BC的反向延长线上，分别画出图形，进行求解即可．
【详解】解：如图1，点D在线段BC上，过点A作AE⊥BC于点E，过点B作BF⊥AD于点F，
在△ABE中，∠ABC=60°，∠AEB=90°，
∴∠BAE=30°，
∵AB=16，
∴BE=12AB=8，
∴AE=AB2−BE2=162−82=83，
∵BD=10，
∴DE=BD−BE=10−8=2，
∴AD=AE2+DE2=832+22=14，
∵S△ABD=12AD⋅BF=12BD⋅AE，
∴BF=BD⋅AEAD=10×8314=4037，
∴sin∠BAD=BFAB=403716=5314；
如图2，点D在线段BC的反向延长线上，过点A作AE⊥BC于点E，过点B作BF⊥AD于点F，
在△ABE中，∠ABC=60°，∠AEB=90°，
∴∠BAE=30°，
∵AB=16，
∴BE=12AB=8，
∴AE=AB2−BE2=162−82=83，
∵BD=10，
∴DE=BD+BE=10+8=18，
∴AD=AE2+DE2=832+182=2129，
∵S△ABD=12AD⋅BF=12BD⋅AE，
∴BF=BD⋅AEAD=10×832129=404343，
∴sin∠BAD=BFAB=40434316=54386；
综上可知，sin∠BAD的值为5314或54386．
故答案为：5314或54386
【点睛】此题考查了求锐角三角函数、勾股定理、含30°角的直角三角形等知识，分类讨论是解题的关键．
【题型6 根据特殊角的三角函数值求角的度数】
【例6】（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）在△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且tanB−3+2csA−32=0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】先根据非负数的性质求出tanB与csA的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的值即可．
【详解】解：∵tanB−3+2csA−32＝0，
∴tanB−3=0，2csA−32=0，
∴tanB=3，2csA−3=0，
∴∠B=60°，csA=32，∠A=30°，
在△ABC中，∠C=180°−60°−30°=90°，且∠A≠∠B，
∴△ABC是直角三角形．
故选：C．
【点睛】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解题的关键是熟记特殊角的三角函数值，并充分利用非负数的性质．
【变式6-1】（2023秋·上海青浦·九年级校考期中）在△ABC中，若AB=AC=2，BC=23，则∠A= 度．
【答案】120°
【分析】根据等腰三角形的性质和锐角三角函数可求得12∠A=60°，即可求得∠A=120°
【详解】∵在△ABC中，AB=AC=2，BC=23
∴△ABC是等腰三角形，
过点A作AD⊥BC，
∴BD=12BC=3，∠BAD=12∠A
∴sin∠BAD=BDAB=32，
∴∠BAD=60°，
∴∠A=120°，
故答案为：120°
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和锐角三角函数，能够结合等腰三角形的性质求解锐角三角函数是解决本题的关键
【变式6-2】（2023秋·云南昆明·九年级云大附中校考期末）若菱形的周长为82，高为2，则菱形两邻角的度数比为（ ）
A．6：1B．5：1C．4：1D．3：1
【答案】D
【分析】如图，AH为菱形ABCD的高，AH=2，利用菱形的性质得到AB=22，利用正弦的定义得到∠B=45°，则∠C=135°，从而得到∠C:∠B的比值．
【详解】解：如图，AH为菱形ABCD的高，AH=2，
∵菱形的周长为82，
∴AB=22，
在RtΔABH中，sinB=AHAB=222=22，
∴∠B=45°，
∵AB//CD，
∴∠C=135°，
∴∠C:∠B=3:1．
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．
【变式6-3】（2023春·浙江杭州·九年级专题练习）在△ABC中，AB=6，∠B为锐角且csB=12，tanC=33．
(1)求∠B的度数．
(2)求BC的长．
(3)求△ABC的面积．
【答案】(1)∠B=60°
(2)BC=4
(3)△ABC的面积为63
【分析】（1）根据函数值直接得到∠B的度数．
（2）过点A作AH⊥BC于H，根据csB=12求出BH=3，利用勾股定理求出AH，再利用tanC=33求出CH=1，进而求出BC的长；
（3）根据面积公式直接计算可得．
【详解】（1）∵∠B为锐角且csB=12，
∴∠B=60°；
（2）过点A作AH⊥BC于H，
∵csB=12，
∴BHAB=12，
∵AB=6，
∴BH=3，
在Rt△ABH中，AH=AB2−BH2=62−32=33，
∵tanC=33，
∴AHCH=33，
即33CH=33，
解得CH=1，
∴BC=BH+CH=3+1=4；
（3）S△ABC=12BC⋅AH=12×4×33=63．
【点睛】此题考查了锐角三角函数，熟练掌握各锐角的三角函数值及各锐角三角函数的计算公式是解题的关键．
【题型7 已知角度比较三角函数值的大小】
【例7】（2023秋·湖南衡阳·九年级湖南省衡南县第一中学校考阶段练习）三角函数sin40°、cs16°、tan50°之间的大小关系是（ ）
A．tan50°>cs16°>sin40°B．cs16°>sin40°>tan50°
C．cs16°>tan50°>sin40°D．tan50°>sin40°>cs16°
【答案】A
【分析】首先把sin40°、cs16°转换成相同的锐角三角函数；再根据正弦值是随着角的增大而增大，进行分析，可以知道1＞sin74°＞sin40°，又根据正切值随着角度增大而增大，因此tan50°＞tan45°=1，即可得出正确选项．
【详解】解：∵sinα=cs90°−α（0≤α≤90°），
∴cs16°=sin90°−16°=sin74°，sin90°=1
∴1＞sin74°＞sin40°，
∵tan50°＞tan45°=1，
∴tan50°>sin74°>sin40°，
∴tan50°>cs16°>sin40°，
故选：A．
【点睛】本题考查三角函数值的大小比较，掌握正余弦的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值；以及正余弦值、正切值的变化规律是本题的关键．
【变式7-1】（2023春·九年级课时练习）已知∠B是△ABC中最小的内角，则tanB的取值范围是 ．
【答案】0＜tanB≤3
【分析】在三角形中，最小的内角应不大于60度，找到相应的正切值即可，再根据tan60°=3和一个锐角的正弦值随着角的增大而增大，进行分析．
【详解】解：根据三角形的内角和定理，易知三角形的最小内角不大于60°．
根据题意，知：
0°＜∠B≤60°．
又tan60°=3，
∴0＜tanB≤3．
故答案为: 0＜tanB≤3
【点睛】此题主要考查了三角形的内角和定理、特殊角的锐角三角函数值和锐角三角函数值的变化规律，得出0°＜∠B≤60°是解题关键．
【变式7-2】（2023春·九年级单元测试）在Rt△ABC中，如果一条直角边和斜边的长度都缩小至原来的15，那么锐角A的各个三角函数值（ ）
A．都缩小15B．都不变C．都扩大5倍D．无法确定
【答案】B
【分析】在Rt△ABC中，如果一条直角边和斜边的长度都缩小至原来的15，根据勾股定理可知，另一条直角边也缩小至原来的15，再根据三边对应成比例的两个三角形相似，可知这两个直角三角形相似，由相似三角形的对应角相等，可知锐角A的大小不变，所以锐角A的各个三角函数值也都不变．
【详解】解：在Rt△ABC中，设∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，则b=c2−a2．
如果在△A′B′C′中，B′C′=15a，A′B′=15c，即一条直角边a和斜边c的长度都缩小至原来的15．
那么由勾股定理，可知A′C′=（15c）2−（15a）2=15b．
∵15a：a=15b：b=15c：c，∴△A′B′C′∽△ABC，∴∠A′=∠A，∴锐角A的各个三角函数值都不变．
故选B．
【点睛】根据已知条件得出∠A的大小不变，是解题的关键．
【变式7-3】（2023·上海静安·校考一模）如果0°<∠A<60°，那么sinA与csA的差（ ）．
A．大于0B．小于0C．等于0D．不能确定
【答案】D
【分析】利用锐角三角函数的增减性分类讨论，即可得到答案．
【详解】解：当0°<∠A<45°时，45°<90°−∠A<90°，
∴sinA∴ sin⁡A∴ sin⁡A−cs⁡A<0；
当∠A=45°时，90°−∠A=45°，
∴sinA=sin90°−∠A，
sinA=csA，
∴ sin⁡A−cs⁡A=0；
当45°<∠A<60°，30°<90°−∠A<45°，
∴sinA>sin90°−∠A，
∴ sin⁡A>cs⁡A，
∴ sin⁡A−cs⁡A>0，
综上所述，sinA与csA的差不能确定，
故选：D．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，解题关键是掌握在0°∼90°之间（不包括0°和90°），角度变大，正弦值、正切值也随之变大，余弦值随之变小．注意分类讨论．
【题型8 根据三角函数值判断锐角的取值范围】
【例8】（2023春·九年级单元测试）若∠A是锐角，cs∠A>32，则∠A应满足 ．
【答案】0°<∠A<30°
【分析】首先明确cs30°=32，再根据余弦函数随角增大而减小即可得出答案．
【详解】解：∵cs30°=32，余弦函数随角增大而减小，
∴0°<∠A<30°，
故答案为：0°<∠A<30°．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．
【变式8-1】（2023春·九年级课时练习）已知32＜csA＜sin70°，则锐角A的取值范围是
【答案】20°＜∠A＜30°．
【详解】∵32＜csA＜sin70°，sin70°=cs20°，
∴cs30°＜csA＜cs20°，
∴20°＜∠A＜30°．
【变式8-2】（2023·上海·九年级假期作业）已知sinα−122=12-sinα，则锐角α的取值范围是 ．
【答案】0＜α≤30°
【分析】根据二次根式的性质可得出sinα≤12，再由锐角正弦函数的增减性质可得出结论.
【详解】由题意知12−sinα≥0，故sinα≤12，即sinα≤sin 30°，由正弦函数是增函数．
知0＜α≤30°
【点睛】本题考查了二次根式的性质和正弦函数的性质，熟练掌握性质和特殊角的三角函数值是解题关键.
【变式8-3】（2023秋·全国·九年级专题练习）已知sinα＜csα，则锐角α的取值范围是 ．
【答案】0°＜α＜45°．
【分析】根据锐角三角函数的增减性即可求解．
【详解】解：由sinα＜csα，得
0°＜α＜45°，
故答案为：0°＜α＜45°．
【点睛】同角三角函数的关系、锐角三角函数的增减性是解题的关键．
【题型9 同角三角函数关系】
【例9】（2023春·九年级单元测试）在△ABC中，∠C=90°，则sinA+csA的值（ ）
A．大于1B．等于1C．小于1D．不确定，与∠A的值有关
【答案】A
【分析】根据锐角三角函数的概念表示出sinA=ac，csA=bc，所以sinA+csA=a+bc；再根据三角形的三边关系进行分析．
【详解】解：设直角三角形中，∠A的对边是a，邻边是b，斜边是c．
根据锐角三角函数的概念，得
sinA=ac，csA=bc．
所以sinA+csA=a+bc，
再根据三角形的三边关系，得a+b>c，
故sinA+csA的值大于1．
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形，首先理解锐角三角函数的概念，再结合三角形的三边关系进行分析．
【变式9-1】（2023秋·福建泉州·九年级校考期中）三角函数sin70°，cs70°，tan70°的大小关系是（ ）
A．sin70°>cs70°>tan70°B．tan70°>cs70°>sin70°
C．tan70°>sin70°>cs70°D．cs70°>tan70°>sin70°
【答案】C
【分析】首先根据锐角三角函数的概念，知：sin70°和cs70°都小于1，tan70°大于1，故tan70°最大；只需比较sin70°和cs70°，又cs70°=sin20°，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行比较解答即可．
【详解】根据锐角三角函数的概念，知sin70°<1，cs70°<1，tan70°>1．
又∵cs70°=sin20°，正弦值随着角的增大而增大，
∴sin70°>sin20°=cs70°，
∴tan70°>sin70°>cs20°，
故选C ．
【点睛】本题考查锐角三角函数．掌握锐角三角函数的性质是解题关键．
【变式9-2】（2023春·全国·九年级专题练习）求证：若α为锐角，则sin2α+cs2α=1．要求：
(1)如图，锐角α和线段m，用尺规作出一个以线段m为直角边，α为内角，∠ACB为90°的Rt△ABC（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)根据（1）中所画图形证明该命题．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作线段AC=m，过点C作CM⊥AC，作∠NAC=α，射线AN，交CM于点B，△ABC即为所求；
（2）利用勾股定理，三角函数的定义证明即可．
【详解】（1）解：如图，Rt△ABC即为所求．
（2）证明：∵∠ACB=90°，
∴AB2=AC2+BC2，
∵sinα=BCAB，csα=ACAB，
∴sin2α+cs2α=BC2AB2+AC2AB2=BC2+AC2AB2=AB2AB2=1．
【点睛】本题考查了作一个角等于已知角、作垂线、作三角形、勾股定理、三角函数，熟练掌握勾股定理和三角函数是解题关键．
【变式9-3】（2023春·九年级单元测试）已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题：

如图1：sin2∠A1+sin2∠B1=
如图2：sin2∠A2+sin2∠B2=
如图3：sin2∠A3+sin2∠B3=
①观察上述等式，猜想：如图4，在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2∠A+sin2∠B= ；
②如图4，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；
③已知：∠A+∠B=90°，且sin∠A=0.7，求sin∠B．
【答案】1，1，1①1②见解析③sinB=5110
【分析】根据正弦函数的定义，计算即可得出结果；
①由上计算可想到在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2∠A+sin2∠B=1；
②在Rt△ABC中，∠C=90°，利用锐角三角函数的定义得出sinA=ac，sinB=bc，则sin2A+sin2B=a2+b2c2，根据勾股定理得到a2+b2=c2，从而证明sin2A+sin2B=1；
③利用关系式sin2A+sin2B=1，结合已知条件sin∠A=0.7，进行求解．
【详解】由图可知：sin2∠A1+sin2∠B1=122+322=1
sin2∠A2+sin2∠B2=222+222=1
sin2∠A3+sin2∠B3=352+452=1
故答案为：1，1，1．
①观察上述等式，可猜想：sin2∠A+sin2∠B=1
故答案为：1．
②在Rt△ABC中，∠C=90°
∵sinA=ac，sinB=bc
∴sin2A+sin2B=a2+b2c2
∵∠C=90°
∴a2+b2=c2
∴sin2A+sin2B=1
③∵sinA=0.7，sin2A+sin2B=1
∴sinB=1−sin2A=1−0.72=5110
【点睛】本题侧重考查互余两角三角函数值，掌握三角函数的定义是解题的关键．
【题型10 三角函数综合运用】
【例10】（2023秋·上海浦东新·九年级校考阶段练习）如图，已知在△ABC中，AD是边BC上的高，E是边AC的中点，BC=AD=20，csB=35．求：

(1)线段BD的长；
(2)∠EDC的余切值．
【答案】(1)15
(2)14
【分析】（1）根据csB=35可得BD=35AB，根据勾股定理可得35AB2+202=AB2，计算可得AB=25，即可得到答案；
（2）由直角三角形斜边上的中线的性质可得DE=12AC=CE，从而得到∠EDC=∠C，求出CD的长，再根据余切的定义进行计算即可．
【详解】（1）解：∵ AD是边BC上的高，
∴∠ADB=90°，
∵在Rt△ABD，∠ADB=90°，csB=35，
∴csB=BDAB=35，
∴BD=35AB，
∵BD2+AD2=AB2，AD=20，
∴35AB2+202=AB2，
解得：AB=25，
∴BD=35AB=35×25=15；
（2）解：∵ AD是边BC上的高，
∴∠ADC=90°，
∵ E是边AC的中点，
∴DE=12AC=CE，
∴∠EDC=∠C，
∵BC=20，BD=15，
∴CD=BC−BD=20−15=5，
∴ct∠C=CDAD=520=14，
∴ct∠EDC=14．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的知识，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
【变式10-1】（2023秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）如图，在平直角坐标系中，OB=10，cs∠AOB=45，点A的坐标为20,0．

(1)求点B的坐标；
(2)求sin∠OAB的值．
【答案】(1)B8,6；
(2)sin∠OAB=55．
【分析】（1）过B作BC⊥x轴于点C，再根据cs∠AOB=45，求出，OC=8，BC=6，则点B即可求；
（2）在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AB的长，即可求出sin∠OAB的值．
【详解】（1）如图，过B作BC⊥x轴于点C，∴∠BCO=∠BCA=90°，

在Rt△BCO中，cs∠AOB=OCOB=45，OB=10
∴OC10=45，
∴OC=8，
由勾股定理得：BC=OB2−OC2=102−82=6，
∴点B8,6，
（2）由(1)得：OC=8，BC=6，
∵A的坐标为20,0，
∴OA=20，
∴AC=OA−OC=20−8=12，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=BC2+AC2=62+122=180=65，
∴sin∠OAB=BCAB=665=55．
【点睛】此题考查了锐角三角函数、解直角三角形、勾股定理、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，构造直角三角形．
【变式10-2】（2023·福建莆田·校考模拟预测）如图，在△ABC中，D是边BC的中点，E是AB上靠近点A的三等分点，连接DE，延长EA至点F，使得AF=AE，连接CF．

(1)试判断DE与CF的位置关系，并说明理由；
(2)CE与AD交于点G，若∠CED=90°，求证：G是AD的中点；
(3)在（2）的条件下，连接BG，求sin∠CBGsin∠ABG的取值范围．
【答案】(1)平行，理由见解析
(2)见解析
(3)32【分析】（1）证D是边BC的中点，得到DE是△BCF的中位线平行于CF即可；
（2）取EC的中点H，证△EDG≌△HAG，得到DG=AG即可；
（3）过点G作BC、AB的垂线分别交于点 P、点 Q，设CD为1，EG=a，用含a的代数式表示出GP和GQ，根据sin∠CBGsin∠ABG=GPBG÷GQBG=GPGQ，代入化简式子，结合a的范围写出化简后式子的取值范围即可．
【详解】（1）∵E是AB上靠近点A的三等分点, 连接DE，延长EA至点F，使得AF=AE，
∴BE=2AE，EF=2AE，
∴BE=EF，即E是BF的中点，
又∵D是边BC的中点，
∴DE是△BCF的中位线（连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线），
∴DE∥CF（三角形的中位线平行于第三边）．
（2）如下图，取EC的中点H，连接AH

∵AF=AE，即A为EF的中点；H为EC的中点，
∴AH是△ECF的中位线（连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线），
∴AH∥CF，AH=12CF（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半），
由（1）过程得DE是△BCF的中位线，
∴DE∥CF，DE=12CF（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半），
∴DE∥AH，DE=AH，
∴∠EDG=∠HAG，∠DEG=∠AHG=90°（两直线平行，内错角相等），
在△EDG和△HAG中，
∠EDG=∠HAGDE=AH∠DEG=∠AHG
∴△EDG≌△HAGASA，
∴DG=AG（全等三角形的对应边相等），
∴G是AD的中点．
（3）如下图，取EC的中点H，连接AH，过点G作BC、AB的垂线分别交于点 P、点 Q

sin∠CBGsin∠ABG=GPBG÷GQBG=GPGQ，
由（1）、（2）得DE是△BCF的中位线、AH是△ECF的中位线、∠DEG=∠AHG=90°、△EDG≌△HAG，
∴EG=HG，EH=CH=2EG，DE=AH，
设CD为1，EG=HG=a ，则CE=4a，EH=CH=2a，CG=3a
∴ 0<4a<1（直角边CE小于斜边CD），
0DE=AH=CD2−CE2=1−16a2；
AE=EH2+AH2=4a2−1−16a2=1−12a2
∵S△CDG=12CD⋅GP=12CG⋅DE，S△AEG=12AE⋅GQ=12EG⋅AH
∴GP=CG⋅DECD=3a⋅1−16a2，∴GQ=EG⋅AHAE=a⋅1−16a21−12a2
∴GPGQ=3a⋅1−16a2⋅1−12a2a⋅1−16a2=3⋅1−12a2
∵0∴00<12a2<34，
14<1−12a2<1，
12<1−12a2<1，
32<31−12a2<3，
∴32【点睛】本题考查了三角形的中位线、全等三角形的判定、三角函数的相关计算，数形结合、画出图象推理是解题的关键．
【变式10-3】（2023·山东滨州·九年级统考自主招生）在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=1，∠A=α，求sin2α（用含sinα，csα的式子表示）．聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取AB的中点O，连接OC，过点C作CD⊥AB于点D，则∠COB=2α，然后利用锐角三角函数在Rt△ABC中表示出AC，BC，在Rt△ACD中表示出CD，则可以求出
sin2α=CDOC=sinα⋅AC12=sinα⋅csα12=2sinα⋅csα．

阅读以上内容，回答下列问题：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=1．
(1)如图3，∠ACB=90°，AB=1，若BC=12，则sinα=______，sin2α=______；
(2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出tan2α的表达式（用含sinα，csα的式子表示）．
【答案】(1)12，32
(2)tan2α=2sinα⋅csα1−2sin2α
【分析】（1）根据勾股定理求得AC，再根据三角函数的定义即可求得sinα和csα，再根据sin2α=2sinα⋅csα求解即可；
（2）取AB的中点O，连接OC，过点C作CD⊥AB于点D，则∠COB=2α，OC=12AB=12，在Rt△ACD中表示出CD，勾股定理求得OD，即可求解．
【详解】（1）解：由勾股定理可得：AC=AB2−BC2=32，
由三角函数的定义可得sinα=BCAB=121=12，csα=ACAB=321=32，
由材料可得：sin2α=2sinα⋅csα=2×12×32=32，
故答案为：12，32
（2）解：取AB的中点O，连接OC，过点C作CD⊥AB于点D，如下图：

则∠COB=2α，OC=OB=12AB=12，2α<90°，α<45°，
∴在Rt△ABC中，AC=csα，BC=sinα，
∴CD=AC×BCAB=sinα⋅csα，
∵∠DCB=∠A，
∴在Rt△BCD中，sin∠BCD=sinα=BDBC=BDsinα，
∴BD=sin2α，
∴OD=12−sin2α，
∴tan2α=CDOD=sinα⋅csα12−sin2α=2sinα⋅csα1−2sin2α．
【点睛】此题考查了三角函数定义的应用，解题的关键是是熟练掌握三角函数的定义，作辅助线构造直角三角形．
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定 义
表达式
取值范围
关 系
正弦
(∠A为锐角)
余弦
(∠A为锐角)
正切
(∠A为锐角)
三角函数
30°
45°
60°
1