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中考数学一轮复习专题1.6 含30度角的直角三角形五大题型（北师大版）（原卷版）
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这是一份中考数学一轮复习专题1.6 含30度角的直角三角形五大题型（北师大版）（原卷版），共11页。
考卷信息：
本套训练卷题量适中，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对含30度角的直角三角形的五大题型的理解！
【题型1 求长度】
1．（2023春·福建宁德·九年级校考期中）如图，已知△ABC中，∠ACB=60°，BC
(1)在边AC上求作一点P，使得∠PBC=30°；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若AB=32，∠A=45°，求AC的长度．
2．（2023春·安徽亳州·九年级校考期中）如图是某儿童娱乐休闲广场上的一个滑梯的平面示意图，若将滑梯的滑道BD水平放置，则刚好与DE的长度相同．已知滑梯的高度AB为4米，AE的长为1米．其中E，A，D三点在同一直线上，CE⊥DE，BA⊥DE．
(1)求滑梯的滑道BD的长；
(2)若把滑梯的滑道BD改成BF，使∠BFA=60°，求DF的长．（精确到0.1米，参考数据：3≈1.732）
3．（2023春·广东佛山·九年级统考期末）如图，△ABC是等边三角形，AB=3，点F是∠BAC的平分线上一动点，将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到AE，连接CF、EF．
(1)尺规作图：在AF的上方找点D，使得DE⊥AF且DE=AC；
(2)在（1）的条件下，连接CD、DF．
①求证：AE+CD>AC；
②求证：△CDF是等边三角形；
③当△DEF是等腰三角形时，求AF的长度？
4．（2023春·陕西咸阳·九年级咸阳彩虹学校校考期中）综合与实践
问题情境：
在数学课上，老师给出了如下情境：如图1，△ABC是等边三角形，点F是AC边的中点，点D在直线BF上运动，连接AD，以AD为边向右侧作等边三角形ADE，连接CE，直线CE与直线BF交于点M．试探究线段BD与CE的数量关系及∠BMC的大小．
(1)初步探究：
如图1，当点D在线段BF上时，请直接写出：
①BD与CE的数量关系 ；
②∠BMC= °
(2)深入探究：
如图2，当点D在线段BF的延长线上时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；
(3)拓展延伸：
如图3，当点D在线段FB的延长线上时，若FM=2，BD=32，求出EM的长度．
5．（2023秋·福建福州·九年级统考期末）在等边三角形ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且BD=CE，连接AD、BE交于点F．
(1)如图1，求证：AD=BE；
(2)过点E作EG⊥AD于点G．
①如图2，若BF=11，FG=6，求AD的长度；
②如图3，连接BG、CG，若BG=EG，求证：CG⊥AB．
6．（2023春·江西吉安·九年级校联考期中）将一副三角板ABC和DEF如图（1）放置，其中∠ABC=∠EDF=90°，∠A=30°，∠E=45°，BC与DF共线，将△DEF沿CB方向平移，当EF经过AC的中点O时，直线EF交AB于点G[如图（2）]，若BC=3，则此时线段OG的长度为 ．
【题型2 求最值】
1．（2023秋·福建龙岩·九年级龙岩二中校考期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ0°<θ<180°，得到△MNC，P，Q分别是AC、MN的中点，AC=2t，连接PQ，则旋转时PQ长度的最大值是（ ）
A．26tB．23tC．6tD．3t
2．（2023春·江苏常州·九年级校考期中）阅读：如果两个动点到一个定点的距离的比为定值，且这两个动点与定点连线所成角的度数也为定值，那么这两动点的运动路径相同．
应用：如图，点O是长方形ABCD的对角线AC的中点，BC=3，以O为直角顶点的Rt△OPQ的顶点P在边AD上，∠BAC=∠Q=60°，当P在AD上运动时，DQ的最大值为（ ）
A．1B．3C．2D．23
3．（2023春·陕西安康·九年级校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，折叠△AEF使得点A落在CD上，若∠ABC=120°，AD=43，AB=8，则BE长度的最大值为 ．
4．（2023秋·天津和平·九年级校考期中）如图，在△ABC中，AC=2+23，∠BAC=45°，∠ACB=30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P1．
（1）如图，线段AB= ；
（2）则线段EP1的最大值为 ，最小值为 ．
5．（2023春·江苏·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2，点P是边AB上的一动点，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转一周得到△A'B'C，点E是边A'C的中点，则在旋转过程中PE长度的最大值为 ．
6．（2023春·陕西西安·九年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=4，D，E是AB边上的两个动点，满足AD=BE，连接CD、CE，求CD+CE的最小值 .
【题型3 求面积】
1．（2023春·湖南衡阳·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…An在x轴上，B1、B2、B3…Bn在直线y=33x上，若A11,0，且△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3…Sn．则S2023可表示为 ．
2．（2023春·福建龙岩·九年级校考期中）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=6，BC=10，则△ABC面积是 ;若以AC为边向外作等边△ACD，连BD，则BD长为 ．
3．（2023春·陕西西安·九年级高新一中校考期末）如图，平行四边形ABCD中，∠B=60°，AB⊥AC，AB=3，对角线AC绕着对称中心O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交AD、BC于点E、F，若BF=2CF，则图中阴影部分的面积是 ．
4．（2023春·陕西咸阳·九年级统考期中）【问题背景】
如图1，在等腰直角△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，则边BC与边AB的数量关系为BC=2AB．
（1）如图2，在等腰△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，作AD⊥BC于点D，则得到边BC与边AB的数量关系为 ；
【迁移应用】
（2）如图3，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°，D、E、C三点共线，连接BD，
①求证：△ADB≌△AEC；
②求AD、BD、CD之间的数量关系；
【拓展延伸】
（3）如图4，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD并延长，交AC于点F，连接EF、CE．若BF=6，∠CBF=15°，∠BAD=30°，求△AEF的面积．
【题型4 含30度角的直角三角形在坐标系中的运用】
1．（2023春·河北保定·九年级校考期中）将△OBA按如图方式放在平面直角坐标系中，其中∠OBA=90°，∠A=30°，顶点A的坐标为3,3，将△OBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束时，点A对应点的坐标为（ ）
A．−23,0B．23,0C．−3,−3D．−3,3
2．（2023春·四川成都·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线OP与x轴的夹角为30°，点B1在x轴上，且OB1=2，过点B1作B1A1⊥OP交OP于点A1，以A1B1为边在A1B1右侧作等边三角形A1B1C1；过点C1作OP的垂线分别交x轴、OP干点B2、A2，以A2B2为边在A2B2的右侧作等边三角形A2B2C2，过点C2作OP的垂线分别交x轴、OP于点B3、A3，以A3，B3为边在A3B3的右侧作等边三角形A3B3C3，…，按此规律进行下去，则点A3的纵坐标为 ，点A2021的纵坐标为 ．
3．（2023秋·江苏镇江·九年级校联考期末）如图，M，N分别为锐角∠AOB边OA，OB上的点，把∠AOB沿MN折叠，点O落在∠AOB所在平面内的点C处．
(1)如图1，点C在∠AOB内，若∠CMA=20°，∠CNB=50°，求∠AOB的度数；
(2)如图2，若∠AOB=45°，ON=2，折叠后点C在直线OC上方，CM与OB交于点E，且MN=ME，求折痕MN的长．
(3)如图3，若折叠后，直线MC⊥OB，垂足为点E，且OM=5，ME=3，求此时ON的长．
4．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，A−2,0，点B在x轴上，点C在y轴上，∠ACB=90，∠ABC=30．
(1)求点B的坐标；
(2)点P从点B出发沿着线段BC以每秒2个单位长度运动，到C点停止运动，运动时间为t秒，连接AP，△ABP的面积为S，用含t的式子表示S；
(3)在（2）的条件下，当S=12时，以BP为边作等边△BPD，求点D的纵坐标．（直接写出答案）
5．（2023秋·湖南长沙·九年级校考期末）如图1，在平面直角坐标系中，点Aa,0在x轴的负半轴，且满足a2−9a−3=0，点B在y轴的正半轴，且∠ABO=30°．试解决下列问题：
(1)求点B的坐标；
(2)若OM⊥AB，垂足为M，求线段OM的长度；
(3)如图2，在△AOB中，分别以AB，OB为边，向外侧作正△ABD与正△OBC，连接CD，交AB于点E，求线段DE与CE的数量关系，并说明理由．
【题型5 含30度角的直角三角形与分类讨论思想综合运用】
1．（2023秋·江苏泰州·九年级校考期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，有一个锐角为60°，AB=6，若点P在直线AB上（不与点A，B重合），且∠PCB=30°，则AP的长为 ．
2．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）如图，在四边形ABCD中，AC、BD为对角线，AB=AC，∠ADB=2∠DBC=60°，AD=6，BC=23，则线段BD的长为 ．
3．（2023春·辽宁丹东·九年级统考期末）如图，在ΔABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=4，点P为AB上一点，将线段PB绕点P顺时针旋转得线段PQ，点Q在射线BC上，当PQ的垂直平分线MN经过ΔABC一边中点时，PB的长为 ．
4．（2023春·四川成都·九年级统考期末）如图，△ABC中∠CAB=60°，AC+AB=2，AD平分∠CAB交BC于点D，当△ABD为等腰三角形时，线段AD的值为 ．
5．（2023春·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，在ΔABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=3，点D为AC的中点，点E是BC边上一个动点，将ΔCDE沿着DE翻折，使得点C落在点F处，当FE⊥AC时，EF的长为 ．
6．（2023春·福建三明·九年级统考期中）如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=12，点M､N分别在线段AC､AB上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，线段AN的长为 ．
7．（2023秋·江西宜春·九年级统考期末）如图所示，在等边△ABC中，AB=8cm，点P与点Q分别从点B，C同时出发，沿三角形的边运动，已知点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，设点P与点Q运动的时间为ts．当0
考卷信息：
本套训练卷题量适中，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对含30度角的直角三角形的五大题型的理解！
【题型1 求长度】
1．（2023春·福建宁德·九年级校考期中）如图，已知△ABC中，∠ACB=60°，BC
(1)在边AC上求作一点P，使得∠PBC=30°；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若AB=32，∠A=45°，求AC的长度．
2．（2023春·安徽亳州·九年级校考期中）如图是某儿童娱乐休闲广场上的一个滑梯的平面示意图，若将滑梯的滑道BD水平放置，则刚好与DE的长度相同．已知滑梯的高度AB为4米，AE的长为1米．其中E，A，D三点在同一直线上，CE⊥DE，BA⊥DE．
(1)求滑梯的滑道BD的长；
(2)若把滑梯的滑道BD改成BF，使∠BFA=60°，求DF的长．（精确到0.1米，参考数据：3≈1.732）
3．（2023春·广东佛山·九年级统考期末）如图，△ABC是等边三角形，AB=3，点F是∠BAC的平分线上一动点，将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到AE，连接CF、EF．
(1)尺规作图：在AF的上方找点D，使得DE⊥AF且DE=AC；
(2)在（1）的条件下，连接CD、DF．
①求证：AE+CD>AC；
②求证：△CDF是等边三角形；
③当△DEF是等腰三角形时，求AF的长度？
4．（2023春·陕西咸阳·九年级咸阳彩虹学校校考期中）综合与实践
问题情境：
在数学课上，老师给出了如下情境：如图1，△ABC是等边三角形，点F是AC边的中点，点D在直线BF上运动，连接AD，以AD为边向右侧作等边三角形ADE，连接CE，直线CE与直线BF交于点M．试探究线段BD与CE的数量关系及∠BMC的大小．
(1)初步探究：
如图1，当点D在线段BF上时，请直接写出：
①BD与CE的数量关系 ；
②∠BMC= °
(2)深入探究：
如图2，当点D在线段BF的延长线上时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；
(3)拓展延伸：
如图3，当点D在线段FB的延长线上时，若FM=2，BD=32，求出EM的长度．
5．（2023秋·福建福州·九年级统考期末）在等边三角形ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且BD=CE，连接AD、BE交于点F．
(1)如图1，求证：AD=BE；
(2)过点E作EG⊥AD于点G．
①如图2，若BF=11，FG=6，求AD的长度；
②如图3，连接BG、CG，若BG=EG，求证：CG⊥AB．
6．（2023春·江西吉安·九年级校联考期中）将一副三角板ABC和DEF如图（1）放置，其中∠ABC=∠EDF=90°，∠A=30°，∠E=45°，BC与DF共线，将△DEF沿CB方向平移，当EF经过AC的中点O时，直线EF交AB于点G[如图（2）]，若BC=3，则此时线段OG的长度为 ．
【题型2 求最值】
1．（2023秋·福建龙岩·九年级龙岩二中校考期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ0°<θ<180°，得到△MNC，P，Q分别是AC、MN的中点，AC=2t，连接PQ，则旋转时PQ长度的最大值是（ ）
A．26tB．23tC．6tD．3t
2．（2023春·江苏常州·九年级校考期中）阅读：如果两个动点到一个定点的距离的比为定值，且这两个动点与定点连线所成角的度数也为定值，那么这两动点的运动路径相同．
应用：如图，点O是长方形ABCD的对角线AC的中点，BC=3，以O为直角顶点的Rt△OPQ的顶点P在边AD上，∠BAC=∠Q=60°，当P在AD上运动时，DQ的最大值为（ ）
A．1B．3C．2D．23
3．（2023春·陕西安康·九年级校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，折叠△AEF使得点A落在CD上，若∠ABC=120°，AD=43，AB=8，则BE长度的最大值为 ．
4．（2023秋·天津和平·九年级校考期中）如图，在△ABC中，AC=2+23，∠BAC=45°，∠ACB=30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P1．
（1）如图，线段AB= ；
（2）则线段EP1的最大值为 ，最小值为 ．
5．（2023春·江苏·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2，点P是边AB上的一动点，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转一周得到△A'B'C，点E是边A'C的中点，则在旋转过程中PE长度的最大值为 ．
6．（2023春·陕西西安·九年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=4，D，E是AB边上的两个动点，满足AD=BE，连接CD、CE，求CD+CE的最小值 .
【题型3 求面积】
1．（2023春·湖南衡阳·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…An在x轴上，B1、B2、B3…Bn在直线y=33x上，若A11,0，且△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3…Sn．则S2023可表示为 ．
2．（2023春·福建龙岩·九年级校考期中）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=6，BC=10，则△ABC面积是 ;若以AC为边向外作等边△ACD，连BD，则BD长为 ．
3．（2023春·陕西西安·九年级高新一中校考期末）如图，平行四边形ABCD中，∠B=60°，AB⊥AC，AB=3，对角线AC绕着对称中心O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交AD、BC于点E、F，若BF=2CF，则图中阴影部分的面积是 ．
4．（2023春·陕西咸阳·九年级统考期中）【问题背景】
如图1，在等腰直角△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，则边BC与边AB的数量关系为BC=2AB．
（1）如图2，在等腰△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，作AD⊥BC于点D，则得到边BC与边AB的数量关系为 ；
【迁移应用】
（2）如图3，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°，D、E、C三点共线，连接BD，
①求证：△ADB≌△AEC；
②求AD、BD、CD之间的数量关系；
【拓展延伸】
（3）如图4，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD并延长，交AC于点F，连接EF、CE．若BF=6，∠CBF=15°，∠BAD=30°，求△AEF的面积．
【题型4 含30度角的直角三角形在坐标系中的运用】
1．（2023春·河北保定·九年级校考期中）将△OBA按如图方式放在平面直角坐标系中，其中∠OBA=90°，∠A=30°，顶点A的坐标为3,3，将△OBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束时，点A对应点的坐标为（ ）
A．−23,0B．23,0C．−3,−3D．−3,3
2．（2023春·四川成都·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线OP与x轴的夹角为30°，点B1在x轴上，且OB1=2，过点B1作B1A1⊥OP交OP于点A1，以A1B1为边在A1B1右侧作等边三角形A1B1C1；过点C1作OP的垂线分别交x轴、OP干点B2、A2，以A2B2为边在A2B2的右侧作等边三角形A2B2C2，过点C2作OP的垂线分别交x轴、OP于点B3、A3，以A3，B3为边在A3B3的右侧作等边三角形A3B3C3，…，按此规律进行下去，则点A3的纵坐标为 ，点A2021的纵坐标为 ．
3．（2023秋·江苏镇江·九年级校联考期末）如图，M，N分别为锐角∠AOB边OA，OB上的点，把∠AOB沿MN折叠，点O落在∠AOB所在平面内的点C处．
(1)如图1，点C在∠AOB内，若∠CMA=20°，∠CNB=50°，求∠AOB的度数；
(2)如图2，若∠AOB=45°，ON=2，折叠后点C在直线OC上方，CM与OB交于点E，且MN=ME，求折痕MN的长．
(3)如图3，若折叠后，直线MC⊥OB，垂足为点E，且OM=5，ME=3，求此时ON的长．
4．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，A−2,0，点B在x轴上，点C在y轴上，∠ACB=90，∠ABC=30．
(1)求点B的坐标；
(2)点P从点B出发沿着线段BC以每秒2个单位长度运动，到C点停止运动，运动时间为t秒，连接AP，△ABP的面积为S，用含t的式子表示S；
(3)在（2）的条件下，当S=12时，以BP为边作等边△BPD，求点D的纵坐标．（直接写出答案）
5．（2023秋·湖南长沙·九年级校考期末）如图1，在平面直角坐标系中，点Aa,0在x轴的负半轴，且满足a2−9a−3=0，点B在y轴的正半轴，且∠ABO=30°．试解决下列问题：
(1)求点B的坐标；
(2)若OM⊥AB，垂足为M，求线段OM的长度；
(3)如图2，在△AOB中，分别以AB，OB为边，向外侧作正△ABD与正△OBC，连接CD，交AB于点E，求线段DE与CE的数量关系，并说明理由．
【题型5 含30度角的直角三角形与分类讨论思想综合运用】
1．（2023秋·江苏泰州·九年级校考期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，有一个锐角为60°，AB=6，若点P在直线AB上（不与点A，B重合），且∠PCB=30°，则AP的长为 ．
2．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）如图，在四边形ABCD中，AC、BD为对角线，AB=AC，∠ADB=2∠DBC=60°，AD=6，BC=23，则线段BD的长为 ．
3．（2023春·辽宁丹东·九年级统考期末）如图，在ΔABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=4，点P为AB上一点，将线段PB绕点P顺时针旋转得线段PQ，点Q在射线BC上，当PQ的垂直平分线MN经过ΔABC一边中点时，PB的长为 ．
4．（2023春·四川成都·九年级统考期末）如图，△ABC中∠CAB=60°，AC+AB=2，AD平分∠CAB交BC于点D，当△ABD为等腰三角形时，线段AD的值为 ．
5．（2023春·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，在ΔABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=3，点D为AC的中点，点E是BC边上一个动点，将ΔCDE沿着DE翻折，使得点C落在点F处，当FE⊥AC时，EF的长为 ．
6．（2023春·福建三明·九年级统考期中）如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=12，点M､N分别在线段AC､AB上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，线段AN的长为 ．
7．（2023秋·江西宜春·九年级统考期末）如图所示，在等边△ABC中，AB=8cm，点P与点Q分别从点B，C同时出发，沿三角形的边运动，已知点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，设点P与点Q运动的时间为ts．当0
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