中考数学一轮复习专题2.4 根与系数的关系【十大题型】（举一反三）（北师大版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习专题2.4 根与系数的关系【十大题型】（举一反三）（北师大版）（解析版），共29页。


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\l "_Tc7244" 【题型1 由根与系数的关系直接求代数式的值】 PAGEREF _Tc7244 \h 1
\l "_Tc1659" 【题型2 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值】 PAGEREF _Tc1659 \h 3
\l "_Tc7564" 【题型3 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值】 PAGEREF _Tc7564 \h 5
\l "_Tc29040" 【题型4 由方程两根满足关系求字母的值】 PAGEREF _Tc29040 \h 8
\l "_Tc7343" 【题型5 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】 PAGEREF _Tc7343 \h 10
\l "_Tc3999" 【题型6 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】 PAGEREF _Tc3999 \h 12
\l "_Tc23671" 【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】 PAGEREF _Tc23671 \h 15
\l "_Tc14820" 【题型8 已知方程根的情况判断另一个方程】 PAGEREF _Tc14820 \h 17
\l "_Tc30442" 【题型9 根与系数关系中的新定义问题】 PAGEREF _Tc30442 \h 20
\l "_Tc7267" 【题型10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】 PAGEREF _Tc7267 \h 24
【知识点 一元二次方程的根与系数的关系】
若一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）的两根为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
注意它的使用条件为，a≠0，Δ ≥0.
【题型1 由根与系数的关系直接求代数式的值】
【例1】（2023春·广东广州·九年级统考期末）若x1，x2是一元二次方程x2−2x−3=0的两个根，则x12+x22+x1x2的值是（ ）
A．−7B．−1C．1D．7
【答案】D
【分析】利用两根之和为x1+x2=−ba，两根之积为x1x2=ca，计算即可．
【详解】解：∵ x1、x2是一元二次方程x2−2x−3=0的两个根，
∴x1+x2=2，x1x2=−3，
∴x12+x22+x1x2=x1+x22−x1x2=4−−3=7，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系的公式．
【变式1-1】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知m，n是一元二次方程x2+3x−2=0的两根，则2m−n−m+3nm2−n2的值是（ ）
A．−3B．−2C．−13D．−12
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出m+n=−3，然后将分式化简，代入m+n=−3即可求解．
【详解】解：∵m，n是一元二次方程x2+3x−2=0的两根，
∴m+n=−3，
∴2m−n−m+3nm2−n2
=2m+n−m+3nm+nm−n
=2m+2n−m−3nm+nm−n
=m−nm+nm−n
=1m+n
=−13，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式1-2】（2023·上海·九年级假期作业）已知a，b是方程x2+6x+4=0的两个根，则bba+aab的值 ．
【答案】−14
【分析】由根与系数关系知a+b=−6，ab=4，即知a＜0，b＜0，化简原式bba+aab=−ab((a+b)2−2abab)，所以原式=−14
故答案为：﹣14．
【详解】解：∵a，b是方程x2+6x+4=0的两个根，
∴a+b=−6，ab=4，
∴a＜0，b＜0，
∴bba+aab=−baab−abab=−ab(ba+ab)=−ab(a2+b2ab)=−ab((a+b)2−2abab)
∴原式=−4×(−6)2−2×44=−2×7=−14
故答案为：﹣14．
【点睛】本题主要考查根与系数关系、完全平方公式变形及二次根式的运算及化简；能够根据a,b的关系式确定其取值范围，进而准确处理二次根式的运算及化简是解题的关键．
【变式1-3】（2023春·九年级单元测试）已知x1、x2是方程x2−7x+8=0的两根，且x1>x2，则2x1+3x2的值为 ．
【答案】28+217179
【分析】由题意可得x1+x2=7，x2=7−172，然后代入所求式子计算即可.
【详解】解：∵x1、x2是方程x2−7x+8=0的两根，
∴x1+x2=7，x=7±72−4×82=7±172，
∵x1>x2，
∴x2=7−172，
∴2x1+3x2=2x1+x2+2x2=27+2×7−172=214−17=28+217179；
故答案为：28+217179.
【点睛】本题考查了一元二次方程的求解、根与系数的关系以及二次根式的混合运算，熟练掌握一元二次方程的相关知识、正确计算是解题的关键.
【题型2 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值】
【例2】（2023春·浙江·九年级专题练习）设α、β是方程 x2+x+2012=0的两个实数根，则 α2+2α+β的值为（ ）
A．－2014B．2014C．2013D．－2013
【答案】D
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到x2+x+2012=0，即α2+α=-2012，则α2+2α+β可化为α2+α+α+β=-2012+α+β，然后利用根与系数的关系得到α+β=-1，再利用整体代入的方法计算即可．
【详解】∵α是方程x2+x+2012=0的根，
∴α2+α+2012=0，即α2+α=-2012，
∴α2+2α+β=α2+α+α+β=-2012+α+β，
∵α，β是方程x2+x+2012=0的两个实数根，
∴α+β=-1，
∴α2+2α+β=-2012-1=-2013．
故选D．
【点睛】考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
【变式2-1】（2023春·湖北恩施·九年级统考期中）已知a，b是关于x的一元二次方程x2+3x−1=0的两个实数根，则a+22+b的值为( )
A．32B．5C．2D．−2
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的根的定义可得a2+3a=1，根据一元二次方程根与系数的关系可得ab=−1，代入代数式即可求解．
【详解】解：∵a，b是关于x的一元二次方程x2+3x−1=0的两个实数根，
∴a2+3a=1，a+b=−3
∴a+22+b =a2+4a+4+b=a2+3a+a+b+4=1−3+4=2，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系，得出a2+3a=1，a+b=−3是解题的关键．
【变式2-2】（2023·江西萍乡·校考模拟预测）若α、β是一元二次方程x2−3x−9=0的两个根，则α2−4α−β的值是 ．
【答案】6
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得α+β=3，由根的定义可得α2−3α=9，代入即可得答案．
【详解】∵α2−3α=9，α+β=3，
∴α2−4α−β=α2−3α−α−β=α2−3α−α+β=6．
故答案为：6
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系及方程根的概念．
【变式2-3】（2023春·安徽池州·九年级统考期末）已知α和β是方程x2+2023x+1=0的两个根，则α2+2024α+2β2+2024β+2的值为（ ）
A．−2021B．2021C．−2023D．2023
【答案】A
【分析】由α和β是方程x2+2023x+1=0的两个根，根据根于系数关系可得，α⋅β=1，α+β=−2023，由一元二次方程根的定义可得α2+2023α+1=0，β2+2023β+1=0，即可求解；
【详解】∵ α和β是方程x2+2023x+1=0的两个根，
∴α2+2023α+1=0，
β2+2023β+1=0，
α⋅β=1，α+β=−2023，
∴α2+2024α+2β2+2024β+2
=α2+2023α+1+α+1β2+2023β+1+β+1
=α+1β+1
=α⋅β+α+β+1
=1−2023+1
=−2021
故选A．
【点睛】该题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，熟记一元二次方程根与系数关系公式是解答该题的关键．
【题型3 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值】
【例3】（2023春·广东广州·九年级广州市第二中学校考阶段练习）若p、q是方程x2−3x−1=0的两个不相等的实数根，则代数式p3−4p2−2q+5的值为 ．
【答案】−2
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到p2−3p−1=0，再根据根与系数的关系得到p+q=3，然后利用整体思想计算即可．
【详解】∵若p、q是方程x2−3x−1=0的两个不相等的实数根，
∴p2−3p−1=0，p+q=3，
∴p2=3p+1，
∴p3−4p2−2q+5
=pp2−3p−1−p2+p−2q+5
=−p2+p−2q+5
=−3p−1+p−2q+5
=−2p−2q+4
=−2p+q+4
=−2×3+4
=−2，
故答案为：−2．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数的关系，一元二次方程的解，利用整体思想降次消元是解题的关键．
【变式3-1】（2023春·山东日照·九年级统考期末）已知a，b是方程x2−x−3=0的两个根，则代数a2+2b2+a+ab的值为 ．
【答案】8
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义，得a+b=1，ab=−3，b2−b−3=0，a2−a−3=0，再代入降次求值即可．
【详解】解：由题意，得a+b=1，ab=−3，b2−b−3=0，a2−a−3=0，
b2=b+3，a2=a+3，
原式=a+3+2b+6+a−3，
=2(a+b)+6，
=2×1+6，
=8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，整式的化简求值，本题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．
【变式3-2】（2023春·浙江温州·九年级校考阶段练习）已知α、β是方程x2+x−1=0的两根，则α4β−β3+5的值是（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得出α+β=−1，αβ=−1，α2=1−α，β2=1−β，再对所求式子变形整理，求出答案即可．
【详解】解：∵α、β是方程x2+x−1=0的两根，
∴α+β=−1，αβ=−1，α2=1−α，β2=1−β，
∴α4β−β3+5
=α3×−1−β3+5
=−α1−α−β1−β+5
=−α+α2−β+β2+5
=−α+1−α−β+1−β+5
=−2α+β+7
=−2×−1+7
=9，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义和根与系数的关系，若一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）的两根为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
【变式3-3】（2023春·九年级课时练习）已知a，b是方程x2−x−1=0的两根，则代数式2a3+5a+3b3+3b+1的值是（ ）
A．19B．20C．14D．15
【答案】D
【分析】由根与系数的关系可得：a+b=1，再由a与b是方程的两根可得a2=a+1，b2=b+1，把a3与b3采用降次的方法即可求得结果的值．
【详解】∵a与b是方程x2−x−1=0的两根
∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0
∴a2=a+1，b2=b+1
∵a3=a2·a=(a+1)a=a2+a=a+1+a=2a+1，同理：b3=2b+1
∴2a3+5a+3b3+3b+1
=2(2a+1)+5a+3(2b+1)+3b+1
=9a+9b+6
=9(a+b)+6
=9×1+6
=15
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概论、一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，灵活进行整式的运算是解题的关键．
【题型4 由方程两根满足关系求字母的值】
【例4】（2023·四川乐山·统考中考真题）若关于x的一元二次方程x2−8x+m=0两根为x1、x2，且x1=3x2，则m的值为（ ）
A．4B．8C．12D．16
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2=8，然后即可确定两个根，再由根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2−8x+m=0两根为x1、x2，
∴x1+x2=8，
∵x1=3x2，
∴x2=2,x1=6，
∴m=x1x2=12，
故选：C．
【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键．
【变式4-1】（2023·上海·九年级校考期中）已知关于x的方程x2+(2k−1)x+k2−1=0的两根为x1,x2满足：x12+x22=16+x1x2，求实数k的值
【答案】k=−2
【分析】利用根的判别式求出k的取值范围，利用根与系数的关系求出x1+x2=1−2k，x1x2=k2−1，代入x12+x22=16+x1x2，即可求得k的值.
【详解】解：∵关于x的方程x2+2k−1x+k2−1=0的两根为x1,x2
∴Δ=b2−4ac=(2k−1)2−4×1×(k2−1)≥0
解得：k≤54
x1+x2=1−2k，x1x2=k2−1
∵x12+x22=16+x1x2
∴x12+x22−x1x2=16
(x1+x2)2−3x1x2=16
代入x1+x2=1−2k，x1x2=k2−1 得：
(1−2k)2−3(k2−1)=16
解得：k1=6,k2=−2
∵k≤54
∴k=−2
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程求解，熟练掌握相关知识点是解题关键.
【变式4-2】（2023春·广东佛山·九年级校考阶段练习）方程x2−k2−4x+k+1=0的两个实数根互为相反数，则k的值是 ．
【答案】−2
【分析】设方程的两根分别为x1，x2，根据根与系数的关系得到x1+x2=k2−4=0，解得k=±2，然后分别计算Δ，最后确定k=−2．
【详解】解：设方程的两根分别为x1，x2，
∵方程x2−k2−4x+k+1=0的两个实数根互为相反数，，
∴x1+x2=k2−4=0，解得k=±2，
当k=2，方程变为：x2+3=0，Δ =−12＜0，方程没有实数根，所以k=2舍去；
当k=−2，方程变为：x2−1=0，Δ =4＞0，方程有两个不相等的实数根；
∴k=−2．
故答案为：−2．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根与系数的关系：若方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=−ba； x1⋅x2=ca．也考查了一元二次方程的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ =0，方程有两个相等的实数根；当Δ ＜0，方程没有实数根．
【变式4-3】（2023春·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）若m、n是关于x的方程x2+2k+3x+k2=0的两个不相等的实数根，且1m+1n=−1，则k的值为 ．
【答案】3
【分析】根据根与系数的关系得到m+n=−2k−3，mn=k2，再根据1m+1n=−1得到k2−2k−3=0，解方程求出k的值，最后用根的判别式验证是否符合题意即可．
【详解】解：∵m、n是关于x的方程x2+2k+3x+k2=0的两个不相等的实数根，
∴m+n=−2k−3，mn=k2，
∵1m+1n=−1，
∴m+nmn=−1，即m+n=−mn，
∴−−2k−3=k2，
∴k2−2k−3=0，
解得k=3或k=−1，
又∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=2k+32−4k2>0，
∴k>−34，
∴k=3，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．
【题型5 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】
【例5】（2023春·江苏南京·九年级专题练习）关于x的方程x−2x+1=p2（p为常数）根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．有两个相异正根 B．有两个相异负根C．有一个正根和一个负根D．无实数根
【答案】C
【分析】先对方程进行化简，然后再根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
【详解】解：由题意得：方程可化为x2−x−2−p2=0，
∴Δ=−12−4−2−p2=1+8+4p2=4p2+9>0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
设该方程的两个根为x1,x2，则根据根与系数的关系可知：x1⋅x2=−2−p2<0，
∴该方程的两个根为一正一负，
故选C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
【变式5-1】（2023春·安徽合肥·九年级统考期末）方程2x2−3x+1=0根的符号是（ ）
A．两根一正一负B．两根都是负数C．两根都是正数D．无法确定
【答案】C
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系分析求解．
【详解】解：2x2−3x+1=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2=32>0，x1⋅x2=12>0，
∴方程的两根同号，且两根都是正数，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，理解一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两根x1，x2满足x1+x2=−ba，x1⋅x2=ac是解题关键．
【变式5-2】（2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知a、b、c是△ABC的三条边的长，那么方程cx2+a+bx+c4=0的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个不等的负实根D．只有一个实数根
【答案】C
【分析】首先根据根的判别式Δ=b2−4ac，结合三角形三边关系，得出方程有两个不相等的实数根，再根据根与系数的关系，判断出两根之和和两根之积的符号，即可作出判断．
【详解】解：在方程cx2+a+bx+c4=0中，
可得：Δ=a+b2−4c⋅c4=a+b2−c2，
∵a、b、c是△ABC的三条边的长，
∴a>0，b>0，c>0．a+b>c，即a+b2>c2，
∴a+b2−c2>0，
∴Δ>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
又∵两根的和是−a+bc<0，两根的积是c4c=14>0，
∴方程有两个不等的负实根．
故选：C
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、三角形的三边关系，解本题的关键在熟练掌握根据一元二次方程根与系数的关系，判断出方程有两个不等的负实根．
【变式5-3】（2023·九年级统考课时练习）已知a<0，b>0，c<0，则方程ax2−bx−c=0的根的情况是（ ）.
A．有两个负根B．两根异号且正根绝对值较大
C．有两个正根D．两根异号且负根绝对值较大
【答案】D
【分析】先计算△=b2+4ac，由a＜0，b＞0，c＜0，得到△＞0，然后根据判别式的意义得到方程有两个实数根．设方程两根为x1，x2．由x1x2=−ca<0得到方程有异号两实数根，再由x1+x2=ba<0得到负根的绝对值大．
【详解】△=（﹣b）2﹣4•a•（﹣c）=b2+4ac．
∵a＜0，b＞0，c＜0，∴b2＞0，ac＞0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根．
设方程两根为x1，x2．
∵x1x2=−ca<0，∴方程有异号两实数根．
∵x1+x2=ba<0，∴负根的绝对值大．
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式和根与系数的关系．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
【题型6 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】
【例6】（2023·四川成都·三模）若方程x2+（m﹣4）x+134﹣m＝0有两个不相等的实数根x1和x2，且x1+x2＞﹣3，x1x2＜214，则m的取值范围为多少？
【答案】﹣2＜m＜1或3＜m＜7
【分析】由方程有两个不相等实数根结合根的判别式即可得出关于m的不等式，解不等式即可得出m的取值范围，结合根与系数的关系可得出关于m的不等式，解不等式可得出答案．
【详解】解：∵方程x2+（m﹣4）x+134﹣m＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＝(m﹣4)2﹣4×134−m＞0，
整理得：m2−4m+3>0，
即(m−3)(m−1)>0，
根据乘法法则得：m−3>0m−1>0或m−3<0m−1<0，
解前一不等式组得：m＞3；解后一不等式组得：m＞1，
∴原不等式的解集为：m＞3或m＜1；
由题意得x1+x8＝−ba＝（4﹣m）＞﹣3，
解得m＜7；
∵x1x2＝ca=134−m<214，
解得m＞﹣2．
综上所述，﹣2＜m＜1或3＜m＜7．
【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式，根据题意得出关于m的不等式是解题的关键
【变式6-1】（2023·山东日照·日照港中学统考二模）已知关于x的一元二次方程x2−4x+m−1=0的实数根x1,x2，满足3x1x2−x1−x2>5，则m的取值范围是 ．
【答案】4【分析】根据根的判别式Δ≥0、根与系数的关系列出关于m的不等式组，通过解该不等式组，求得m的取值范围．
【详解】解：由题意得：x1+x2=4,x1x2=m−1，
所以3x1x2−x1−x2=3×(m−1)−4，
依题意得：(−4)2−4(m−1)≥03×(m−1)−4>5，
解得4＜m≤5．
故答案是：4＜m≤5．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解此题的关键是得出关于m的不等式，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）①当b2-4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2-4ac＜0时，一元二次方程没有实数根．
【变式6-2】（2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知关于x的方程4x2−k+5x−k−9=0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1=−1，0A．−18C．−9【答案】C
【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．根据x1x2=−k−94，x1=−1，可得x2=k+94，结合0【详解】解：∵方程4x2−k+5x−k−9=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=−k+52−4×4×−k−9=k+132>0，
解得：k≠−13，
∵x1x2=−k−94，x1=−1，
∴x2=k+94
又∵0∴0解得：−9综上，k的取值范围为：−9故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，关键是得到x2=k+94．
【变式6-3】（2023春·九年级单元测试）设关于x的方程ax2+(a+2)x+9a=0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1<−1【答案】0【分析】由方程有两个不相等的实数根利用根的判别式Δ＞0，可得出a的取值范围，利用根与系数的关系可得出x1+x2=−a+2a，x1x2=9，由x1<−1【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=(a+2)2−4a×9a=−35a2+4a+4>0，
解得：−27∵x1+x2=−a+2a，x1x2=9，x1<−1∴x1+1<0，x2+1>0，
∴(x1+1)(x2+1)<0，
∴x1x2+(x1+x2)+1<0，
即9−a+2a+1<0，
当a<0时，解得a>29（舍去）；
当a>0时，解得0又∵−27∴a的取值范围为0故答案为：0【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，由根与系数的关系结合(x1+1)(x2+1)<0，找出关于a的不等式是解题的关键．
【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】
【例7】（2023·陕西西安·校考二模）已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则mn 的值为（ ）
A．﹣402B．59 C．95 D．6703
【答案】C
【详解】将9n2+2010n+5=0方程两边同除以n2，变形得：5×（1n）2+2010×1n+9=0，又5m2+2010m+9=0，
∴m与1n为方程5x2+2010x+9=0的两个解，则根据一元二次方程的根与系数的关系可得m•1n=mn=95．
故选：C．
【变式7-1】（2023春·广东梅州·九年级校考阶段练习）已知a≥2,m2−2am+2=0,n2−2an+2=0，则(m−1)2+(n−1)2的最小值是（ ）．
A．6B．3C．-3D．0
【答案】A
【分析】由已知得m，n是关于x的一元二次方程x2－2ax＋2＝0的两个根，根据根与系数的关系得到m＋n＝2a，mn＝2，再根据完全平方公式展开化简，利用二次函数的性质解决问题．
【详解】解：∵m2－2am＋2＝0，n2－2an＋2＝0，
∴m，n是关于x的一元二次方程x2－2ax＋2＝0的两个根，
∴m＋n＝2a，mn＝2，
∴(m－1)2＋(n－1)2
＝m2－2m＋1＋n2－2n＋1
＝(m＋n)2－2mn－2(m＋n)＋2
＝4a2－4－4a＋2
＝4(a－12)2－3，
∵a≥2，
∴当a＝2时，(m－1)2＋(n－1)2有最小值，
∴(m－1)2＋(n－1)2的最小值＝4(2－12)2－3＝6，
故选A．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，二次函数的最值，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
【变式7-2】（2023·山东德州·统考一模）已知互不相等的三个实数a、b、c满足ca=−a−3，cb=−b−3，求a2c+b2c−9c的值 ．
【答案】﹣2
【分析】将已知的两等式去分母得到关系式a2+3a+c=0和b2+3b+c=0，把a、b看成方程x2+3x+c=0的两根，由根与系数的关系得到a+b=﹣3，ab=c，所求式子变形后，把a+b=﹣3，ab=c代入，即可求出值．
【详解】由ca=﹣a﹣3得：a2+3a+c=0①；
由cb=﹣b﹣3得： b2+3b+c=0②；
∵a≠b，∴a、b可以看成方程x2+3x+c=0的两根，∴a+b=﹣3，ab=c；
∴a2c+b2c﹣9c=a2+b2−9c=(a+b)2−2ab−9c=9−2c−9c=−2cc=﹣2．
故答案为﹣2．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及分式的加减运算，灵活变换已知等式是解答本题的关键．
【变式7-3】（2023春·江苏·九年级专题练习）设x，y，s，t为互不相等的实数，且(x2−s2)(x2−t2)=1，(y2−s2)(y2−t2)=1，则x2y2−s2t2的值为（ ）
A．-1B．1C．0D．0.5
【答案】A
【分析】把x2,y2看作以上方程的两个不同的根，可得x4−s2+t2x2−s2t2−1=0，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可
【详解】解：∵ (x2−s2)(x2−t2)=1，(y2−s2)(y2−t2)=1，
∴ x2,y2看作以上方程的两个不同的根，
即x2,y2是方程x4−s2+t2x2−s2t2−1=0的两根，
故x2y2=−s2t2−1，即x2y2−s2t2=−1
故选A
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系，整体代入是解题的关键．
【题型8 已知方程根的情况判断另一个方程】
【例8】（2023春·浙江·九年级期中）若关于x的一元二次方程ax2+2ax+c=0 (a≠0)的一个根为m，则方程a（x−1）2+2a（x−1）+c=0的两根分别是（ ）．
A．m+1，−m−1 B．m+1，−m+1
C．m+1，m+2 D．m−1 ，−m+1
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求出方程ax2+2ax+c=0 的另一个根，设x−1=t，根据方程ax2+2ax+c=0 的根代入求值即可得到答案；
【详解】解：∵一元二次方程ax2+2ax+c=0 (a≠0)的一个根为m，设方程另一根为n，
∴n+m=−2aa=−2，
解得：n=−2−m，
设x−1=t，方程a（x−1）2+2a（x−1）+c=0变形为at2+2at+c=0，
由一元二次方程ax2+2ax+c=0 (a≠0)的根可得，
t1=m，t2=−2−m，
∴x−1=−2−m，x−1=m，
∴x1=−m−1，x2=1+m，
故答案为：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系及换元法解一元二次方程，解题的关键是用换元法变形方程代入求解．
【变式8-1】（2023春·江西萍乡·九年级统考期中）有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a−c≠0，以下四个结论中，错误的是（ ）
A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根
B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同
C．如果5是方程M的一个根，那么15是方程N的一个根
D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1
【答案】D
【分析】求出方程M：ax2+bx+c=0的判别式△=b2−4ac，方程N：cx2+bx+a=0的判别式△=b2−4ac，再根据判别式的意义、根与系数的关系以及方程的解的意义求解即可．
【详解】解：A、∵M有两个不相等的实数根，
∴△>0即b2−4ac>0，
∴此时N的判别式△=b2−4ac>0，
∴N也有两个不相等的实数根，故此选项正确，不符合题意；
B、∵M的两根符号相同：即x1⋅x2=ca>0，
∴N的两根之积ac也大于0，
∴N的两个根也是同号的，故此选项正确，不符合题意；
C、如果5是M的一个根，则：25a+5b+c=0①，我们只需要考虑将15代入N方程看是否成立，代入得：125c+15b+a=0②，比较①与②，可知②式是由①式两边同时除以25得到，故②式成立，故此选项正确，不符合题意；
D、比较方程M与N可得：ax2+bx+c−cx2−bx−a=0，
∴a−cx2=a−c，
∵a−c≠0，
∴x2=1，
∴x=±1，
∴它们如果有根相同的根可能是1或−1，故此选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了根的判别式，根与系数的关系以及一元二次方程的解的意义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程，根的判别式△=b2−4ac，根与系数的关系x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
【变式8-2】（2023春·安徽合肥·九年级校考期末）关于x的一元二次方程x2+px+q=0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p=0也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（ ）
A．p是正数，q是负数B．(p−2)2+(q−2)2＜8
C．q是正数，p是负数D．(p−2)2+(q−2)2>8
【答案】D
【分析】设方程x2+px+q＝0的两根为x1、x2，方程y2+qy+p＝0的两根为y1、y2．根据方程解的情况，结合根与系数的关系可得出x1•x2＝q＞0，y1•y2＝p＞0，即可判断A与C；②由方程有两个实数根结合根的判别式得出p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，利用不等式的性质以及完全平方公式得出（p﹣2）2+（q﹣2）2＞8，即可判断B与D．
【详解】解：设方程x2+px+q＝0的两根为x1、x2，方程y2+qy+p＝0的两根为y1、y2．
∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有两个同号非零整数根，
∴x1•x2＝q＞0，y1•y2＝p＞0，
故选项A与C说法均错误，不符合题意；
∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有两个同号非零整数根，
∴p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，
∴（p﹣2）2+（q﹣2）2＝p2﹣4q+4+q2﹣4p+4＞8（p、q不能同时为2，否则两个方程均无实数根），
故选项B说法错误，不符合题意；选项D说法正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，逐一分析四个选项说法的正误是解题的关键．
【变式8-3】（2023春·九年级单元测试）一元二次方程M:ax2+bx+c=0；N:cx2+bx+a=0，其中ac≠0，a≠c，给出以下四个结论：①若方程M有两个不相等的实数根，则方程N也有两个不相等的实数根；②若方程M的两根符号相同，则方程N的两根符号也相同；③若m是方程M的一个根，则1m是方程N的一个根；④若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根必是x=1，其中正确的结论是（ ）
A．①③B．①②③C．①②④D．①③④
【答案】B
【分析】根据根的判别式，根的定义，计算判断即可．
【详解】∵M:ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac＞0，
∵N:cx2+bx+a=0的判别式为Δ=b2−4ca=b2−4ac＞0，
∴方程N也有两个不相等的实数根，
故①正确；
∵M:ax2+bx+c=0两根符号相同，
∴Δ=b2−4ac≥0,ca＞0，
∴Δ=b2−4ac≥0,ac＞0，
∴方程N的两根符号也相同，
故②正确；
∵m是方程 M:ax2+bx+c=0的一个根，
∴am2+bm+c=0，
∵cm2+b×1m+a=c+bm+am2m2=0
∴1m是方程N的一个根；
故③正确；
设方程M和方程N相同的根为x0，
根据题意，得ax02+bx0+c=0,cx02+bx0+a=0，
∴a−cx02=a−c，
∵ac≠0，a≠c，
∴x02=1，
解得x0=±1，
故这个根是x=±1，
故④错误；
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，公共根，方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
【题型9 根与系数关系中的新定义问题】
【例9】（2023春·山东日照·九年级日照市田家炳实验中学校考阶段练习）定义：如果实数a、b、c满足 a²+b²=c²， 那么我们称一元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0)为“勾股”方程；二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)为“勾股”函数．
(1)理解：下列方程是“勾股”方程的有 ．
①x²-1=0；②x2−x+2=0；③13x2+14x+15=0；④4x²+3x=5
(2)探究：若m、n是“勾股”方程 ax²+bx+c=0 的两个实数根，试探究m、n之间的数量关系．
【答案】(1)①②④；
(2)m2n2−(m+n)2=1；
【分析】（1）运用“勾股”方程的定义，即可得出答案；
（2）利用根与系数关系可得：m+n=-ba，mn=ca，再结合a2+b2=c2，即可得出答案；另解：根据题意可得：am2+bm+c=0①，an2+bn+c=0②，再结合a2+b2=c2，即可得出答案；
【详解】（1）根据“勾股”方程的定义，在方程x2−1=0中，a=1，b=0，c=−1，
∵a2+b2=1，c2=1，
∴a2+b2=c2，
∴一元二次方程x2−1=0为“勾股”方程；
在方程x2−x+2=0中，a=1，b=−1，c=2，
∵a2+b2=12+(−1)2=2，c2=(2)2=2，
∴a2+b2=c2，
∴一元二次方程x2−x+2=0为“勾股”方程；
在方程13x2+14x+15=0中，a=13，b=14，c=15，
∵a2+b2=(13)2+(14)2=25144，c2=(15)2=125，
∴a2+b2≠c2，
∴一元二次方程13x2+14x+15=0不是“勾股”方程；
在方程4x2+3x=5中，a=4，b=3，c=−5，
∵a2+b2=42+32=25，c2=(−5)2=25，
∴a2+b2=c2，
∴一元二次方程4x2+3x=5为“勾股”方程；
故答案为：①②④；
（2）m2n2−(m+n)2=1；理由如下：
∵m、n是“勾股”方程ax2+bx+c=0的两个实数根，
∴m+n=−ba，mn=ca，
又根据“勾股”方程的定义，a2+b2=c2，
∴(mn)2−(m+n)2=(ca)2−(−ba)2=c2−b2a2=1，
即m2n2−(m+n)2=1；
另解：∵m、n是“勾股”方程ax2+bx+c=0的两个实数根，
∴am2+bm+c=0①，an2+bn+c=0②，
由①、②得：b=−(m+n)a，c=mna，
又∵a2+b2=c2，
∴a2+(m+n)2a2=(mn)2a2，
即m2n2−(m+n)2=1；
【点睛】本题主要考查新定义问题，一元二次方程根与系数关系，理解并应用新定义是解题的关键．
【变式9-1】（2023春·河南安阳·九年级校联考期中）定义运算：a∗b=a1−b．若a，b是方程x2−x+m=0m<0的两根，则b∗b−a∗a的值为（ ）
A．0B．1C．2D．与m有关
【答案】A
【分析】由根与系数的关系可找出a+b=1，根据新运算找出b∗b−a∗a=b1−b−a1−a，将其中的1替换成a+b，即可得出结论．
【详解】解：∵a，b是方程x2−x+m=0m<0的两根，
∴a+b=1，
∴b∗b−a∗a=b1−b−a1−a=ba+b−b−aa+b−a=ab−ab=0．
故选A．
【点睛】本题考查定义新运算，一元二次方程根与系数的关系．理解并掌握新运算的法则，掌握一元二次方程根与系数的关系，是解题的关键．
【变式9-2】（2023春·广东揭阳·九年级校联考阶段练习）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知x2+mx+n=0是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，求m2+n2的值．
【答案】5
【分析】①根据凤凰方程的定义可知：x=1是方程的一个根，以及方程有两个相等的实数根，Δ=0，求出m,n的值，再进行计算即可；②利用凤凰方程的定义、根据系数法的关系求解．
【详解】解：法一：根据题意得：
1+m+n=0m2−4n=0
解得：m=−2n=1，
则m2+n2=(−2)2+12=5．
法二：∵x2+mx+n=0是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，
∴x2+mx+n=0的两个根均为1，
∴−m=1+1=2,n=1×1=1，
∴m=−2,n=1，
∴m2+n2=(−2)2+12=5．
【点睛】本题考查一元二次方程的解和一元二次方程判别式与根的个数的关系．理解凤凰方程的定义，得到x=1是方程的一个根，是解题的关键．本题也可以利用根与系数的关系进行解题．
【变式9-3】（2023春·辽宁鞍山·九年级校考阶段练习）已知：α、β(α>β)是一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根，设S1=α+β，S2=α2+β2，……Sn=αn+βn．
根据根的定义，有α2−α−1=0、β2−β−1=0，将两式相加，得(α2+β2)−(α+β)−2=0，于是S2−S1−2=0
根据以上信息，解答下列问题．
(1)求α、β的值，并利用一元二次方程根与系数关系，求出S2的值．
(2)猜想：当n⩾3时，Sn、Sn−1、Sn−2之间满足的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)3
(2)当n⩾3时，Sn=Sn−1+Sn−2，理由见解析
【分析】（1）利用根与系数的关系得到α+β=1，αβ=−1，接着根据完全平方公式得到S2=α2+β2=(α+β)2−2αβ，然后利用整体代入的方法计算；
（2）由于α+β=1，αβ=−1，则Sn=αn+βn=(αn−1+βn−1)(α+β)−αn−1β−αβn−1=(αn−1+βn−1)+(αn−2+βn−2)，从而得到Sn=Sn−1+Sn−2．
【详解】（1）解：∵α、β(α>β)是一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根，
其中a=1，b=−1，c=−1，
根据根与系数的关系得α+β=−ba=1，αβ=ca=−1，
∴S2=α2+β2=(α+β)2−2αβ=12−2×(−1)=3；
（2）解：猜想当n⩾3时，Sn=Sn−1+Sn−2．
理由如下：
∵α+β=1，αβ=−1，
∴Sn=αn+βn=(αn−1+βn−1)(α+β)−αn−1β−αβn−1=(αn−1+βn−1)(α+β)−αβ(αn−2+βn−2)=(αn−1+βn−1)+(αn−2+βn−2)，
∵Sn−1=αn−1+βn−1，Sn−2=αn−2+βn−2，
∴Sn=Sn−1+Sn−2．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系，掌握一元二次方程根与系数关系并进行合理的推理论证是解题的关键．
【题型10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】
【例10】（2023春·广东广州·九年级广州白云广雅实验学校校考阶段练习）已知关于x的方程x2−k+1x+14k2+1=0有两实数根x1，x2，
(1)若x1x2=5，求k的值．
(2)是否存在实数k满足x1=x2，若存在请求出k的值，若不存在请说明理由．
【答案】(1)k=4
(2)k=32
【分析】（1）利用根与系数的关系得到x1x2=14k2+1，再由x1x2=5得到14k2+1=5，解方程求出k=±4，再根据方程有解，利用根的判别式求出k的范围即可得到答案；
（2）由题意可得x1=±x2，当x1=x2，方程有两个相等的实数根，利用根的判别式求解即可；当x1=−x2时，则x1+x2=0，利用根与系数的关系求解即可．
【详解】（1）解：∵关于x的方程x2−k+1x+14k2+1=0有两实数根x1，x2，
∴x1x2=14k2+1，
又∵x1x2=5，
∴14k2+1=5，
解得k=±4；
∵方程要有实数根，
∴Δ=−k+12−414k2+1≥0，
∴k2+2k+1−k2−4≥0，
解得k≥32，
∴k=4；
（2）解：∵x1=x2，
∴x1=±x2，
当x1=x2是，则Δ=−k+12−414k2+1=0，
∴k2+2k+1−k2−4=0，
解得k=32；
当x1=−x2时，则x1+x2=0，
又∵x1+x2=k+1，
∴k=−1（舍去）；
综上所述，存在实数k=32满足x1=x2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系，根的判别式是解题的关键．
【变式10-1】（2023春·黑龙江大庆·九年级统考阶段练习）已知关于x的方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围．
(2)若两个实数根分别是x1，x2，且(x1x2−1)2+2(x1+x2)=0，求m的值．
【答案】(1)m<1
(2)m=−1
【分析】（1）根据题意可得Δ>0，继而求得实数m的取值范围；
（2）由方程的两个实数根为x1、x2，且x12+x22+(x1x2)2=7，可得方程m2+2m−3=0，解关于m的方程求得答案．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根．
∴ Δ=b2−4ac=22−4×1×m>0，
即m<1；
（2）解：由根与系数的关系可知：x1+x2=−2，x1⋅x2=m，
∵ (x1x2−1)2+2(x1+x2)=0，
∴(m−1)2−4=0
∴m−1=±2，
解得m=3或m=−1，
而m<1，
∴m的值为−1．
【点睛】此题考查了根的判别式以及根与系数的关系．注意Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根，若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=−p，x1x2=q．
【变式10-2】（2023·安徽·模拟预测）关于x的一元二次方程x2−(k−1)x−k+2=0有两个实数根x1，x2，若(x1−x2+2)(x1−x2−2)+2x1x2=−3，则k= ．
【答案】2
【分析】由根与系数的关系可得出x1+x2=k−1，x1x2=−k+2，结合(x1−x2+2)(x1−x2−2)+2x1x2=−3可求出k的可能值，根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，进而可确定k的值，此题得解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2−(k−1)x−k+2=0的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2=k−1，x1x2=−k+2．
∵(x1−x2+2)(x1−x2−2)+2x1x2=−3，即(x1+x2)2−2x1x2−4=−3，
∴(k−1)2+2k−4−4=−3，
解得：k=±2．
∵关于x的一元二次方程x2−(k−1)x−k+2=0有实数根，
∴ Δ=[−(k−1)]2−4×1×(−k+2)≥0，
解得：k≥22−1或k≤−22−1，
∴k=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合(x1−x2+2)(x1−x2−2)+2x1x2=−3，求出k的值是解题的关键．
【变式10-3】（2023·浙江·九年级假期作业）已知，关于x的方程x2−k+1x+14k2+1=0有两个实数根．
(1)求k的取值范围．
(2)若方程的两实根为x1，x2且满足x1+x2=4x1x2−5，求k的值．
(3)当k为何值时，式子x1+1x2+1+2有最小值，并求出该最小值．
【答案】(1)k≥32
(2)k=2
(3)当k=32，有最小值，最小值为11316
【分析】（1）根据方程有两个实数根可得Δ=b2−4ac≥0，解不等式即可求得；
（2）由根与系数的关系可得x1+x2=k+1>0，x1·x2=14k2+1>0，代入x1+x2=4x1x2−5中求解出k即可；
（3）由x1+x2=k+1，x1·x2=14k2+1，将x1+1x2+1+2进行变形，再代入根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）由题意可得：Δ=b2−4ac≥0，
∴−k+12−4×1×14k2+1≥0，
2k−3≥0，
解得k≥32；
（2）∵k≥32，
∴x1+x2=k+1>0，
又∵x1·x2=14k2+1>0，
∴x1+x2=x1+x2=k+1，
∵x1+x2=4x1x2−5，
∴k+1=414k2+1−5，
∴k2−k−2=0，
∴k1=−1，k2=2，
又∵k≥32，
∴k=2；
（3）∵x1+x2=k+1，x1·x2=14k2+1，
∴x1+1x2+1+2，
=x1·x2+x1+x2+3，
=14k2+1+k+1+3，
=14k+22+4，
∵k≥32，
∴当k=32，有最小值，最小值为14×32+22+4=11316．
【点睛】本题考查了ax2+bx+c=0(a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式和其根与系数的关系、二次函数的性质，解决本题的关键是掌握以上基本的性质并加以运用．