中考数学一轮复习专题2.3 根的判别式【十大题型】（举一反三）（北师大版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习专题2.3 根的判别式【十大题型】（举一反三）（北师大版）（解析版），共31页。


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\l "_Tc30997" 【题型1 判断不含字母的一元二次方程的根的情况】 PAGEREF _Tc30997 \h 1
\l "_Tc4230" 【题型2 判断含字母的一元二次方程的根的情况】 PAGEREF _Tc4230 \h 3
\l "_Tc15250" 【题型3 由方程根的情况确定字母的值或取值范围】 PAGEREF _Tc15250 \h 5
\l "_Tc2754" 【题型4 应用根的判别式证明方程根的情况】 PAGEREF _Tc2754 \h 8
\l "_Tc32484" 【题型5 应用根的判别式求代数式的取值范围】 PAGEREF _Tc32484 \h 10
\l "_Tc17755" 【题型6 根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】 PAGEREF _Tc17755 \h 13
\l "_Tc29072" 【题型7 根的判别式与三角形的综合】 PAGEREF _Tc29072 \h 16
\l "_Tc30097" 【题型8 根的判别式与四边形的综合】 PAGEREF _Tc30097 \h 20
\l "_Tc31073" 【题型9 关于根的判别式的多结论问题】 PAGEREF _Tc31073 \h 23
\l "_Tc359" 【题型10 关于根的判别式的新定义问题】 PAGEREF _Tc359 \h 27
【知识点 一元二次方程根的判别式】
一元二次方程根的判别式：∆=b2−4ac．
①当∆=b2−4ac>0时，原方程有两个不等的实数根；
②当∆=b2−4ac=0时，原方程有两个相等的实数根；
③当∆=b2−4ac<0时，原方程没有实数根.
【题型1 判断不含字母的一元二次方程的根的情况】
【例1】（2023春·山东青岛·九年级统考期末）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A． x2−2x+1=0 B． x2+1=0 C． x2−2x−3=0 D． x2−2x=0
【答案】A
【分析】根据各选项中各方程的系数，利用根的判别式Δ=b2−4ac可求出各方程的根的判别式Δ的值，根据当Δ=0时，方程有两个相等的实数根即可得出结论．
【详解】解：A．∵a=1，b=−2，c=1，
∴Δ=b2−4ac=(−2)2−4×1×1=0，
∴方程有两个相等实数根，故选项符合题意；
B．∵a=1，b=0，c=1，
∴Δ=b2−4ac=02−4×1×1=0−4<0，
∴方程无实数根，故选项不符合题意；
C．∵a=1，b=−2，c=−3，
∴Δ=b2−4ac=(−2)2−4×1×(−3)=16>0，
∴方程有两个不相等的实数根，故选项不符合题意；
D．∵a=1，b=−2，c=0，
∴Δ=b2−4ac=(−2)2−4×1×0=4>0，
∴方程有两个不相等实数根，故选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，牢记“①当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ<0时，方程无实数根”是解题的关键．
【变式1-1】（2023春·九年级课时练习）一元二次方程 x2−22x+2=0 的实数根的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法判断1
【答案】B
【详解】试题解析：∵Δ=b2−4ac=8−8=0，
∴方程有两个相等的实数根；
故选B.
【变式1-2】（2023春·江西·九年级统考阶段练习）下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2+1=0B．x2+2x+1=0C．x2=4D．x2+x−2=0
【分析】根据一元二次方程的系数及根的判别式，逐一求出选项中一元二次方程的根的判别式△的值，△＜0的选项即为答案.
【详解】解：A选项：∵△=02－4×1×1=－4＜0，
∴方程x2+1=0没有实数根，
∴A选项符合题意.
B选项：∵△=22－4×1×1=0，
∴方程x2+2x+1=0有两个相等实数根，
∴B选项不符合题意.
C选项：∵△=02－4×1×（－4）=16＞0，
∴方程x2=4有两个不相等实数根，
∴C选项不符合题意.
D选项：∵△=12－4×1×（－2）=9＞0，
∴方程x2+x−2=0有两个不相等实数根，
∴D选项不符合题意.
故答案选：A
【点睛】本题考查了根的判别式，熟记“当△＜0，一元二次方程没有实数根”是解题的关键.
【变式1-3】（2023春·上海长宁·九年级上海市延安初级中学校考期中）在下列方程中，有实数根的是（ ）
A．x2+2x+3=0B．4x+1+1=0
C．xx−1=1x−1D．x3+8=0
【答案】D
【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可判断A；根据二次根式有意义的条件，即可判断B；根据分式有意义的条件，即可判断C；根据立方根的定义，即可判断D．
【详解】解：A、∵Δ=b2−4ac=22−4×1×3=−8<0，∴该方程无实数根，不符合题意；
B、移项，得：4x+1=−1，∵4x+1≥0，∴该方程无实数根，不符合题意；
C、去分母，得：x=1，当x=1时，x−1=0，∴该方程无实数根，不符合题意；
D、移项，得：x3=−8，解得：x=−2，∴该方程有实数根，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式；二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；立方根的定义；解题的关键是熟练掌握相关知识点，并灵活运用．
【题型2 判断含字母的一元二次方程的根的情况】
【例2】（2023春·安徽合肥·九年级统考期中）已知关于x的方程ax2−(1−a)x−1=0，下列说法正确的是（ ）
A．当a=0时，方程无实数解B．当a≠0时，方程有两个相等的实数解
C．当a=−1时，方程有两个不相等的实数解D．当a=−1时，方程有两个相等的实数解
【答案】D
【分析】直接利用一元二次方程根的判别式分析求出即可．
【详解】解：A、当a=0时，方程为x−1=0，
解得x=1，
故当a=0时，方程有一个实数根，故A不符合题意；
B、当a≠0时，关于x的方程ax2−(1−a)x−1=0为一元二次方程，
∴ Δ=(1−a)2+4a=(1+a)2≥0，
∴当a≠0时，方程有相等的实数根，故B不符合题意，
CD、当a=−1时，关于x的方程为−x2+2x−1=0为一元二次方程，
∵ Δ=4−4=0，
∴当a=−1时，方程有两个相等的实数根，故C不符合题意，D符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，根的判别式，正确把握其定义是解题关键．
【变式2-1】（2023·河北邯郸·统考一模）已知a、c互为相反数，则关于x的方程ax2+5x+c=0a≠0根的情况（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．有一根为5
【答案】A
【分析】由一元二次方程根的判别式即可得到答案．
【详解】解：关于x的方程ax2+5x+c=0a≠0根的判别式为25−4ac，
∵a、c互为相反数
∴ac<0
∴25−4ac>0．
故选：A．
【点睛】本题考查从根的判别式判断方程根的情况，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【变式2-2】（2023·全国·九年级专题练习）已知关于x的方程x2－2x－m＝0没有实数根，试判断关于x的方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0的根的情况．
【答案】方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有两个不相等的实数根，理由见解析
【分析】首先根据已知方程无实根可得Δ1<0，可求出m的取值范围，再计算新方程的判别式，结合m的取值范围确定新方程判别式Δ2的情况，进而得出新方程根的情况即可.
【详解】∵x2－2x－m＝0没有实数根，
∴Δ1＝(－2)2－4·(－m)＝4＋4m<0，即m<－1.
对于方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0，
Δ2＝(2m)2－4m(m＋1)＝－4m>4，
∴方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
【变式2-3】（2023春·福建厦门·九年级厦门市松柏中学校考期末）关于x的一元二次方程x2−5x+c=0，当c=t0时，方程有两个相等的实数根：若将c的值在t0的基础上增大，则此时方程根的情况是（ ）
A．没有实数根B．两个相等的实数根
C．两个不相等的实数根D．一个实数根
【答案】A
【分析】先求解t0=254，再判断当c=t>t0=254，方程x2−5x+t=0的根的判别式的值的情况，从而可得答案．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2−5x+c=0，当c=t0时，方程有两个相等的实数根，
∴x2−5x+t0=0有两个相等的实数根，
∴△=−52−4t0=0，
解得：t0=254，
当c=t>t0=254，方程化为x2−5x+t=0，
∴△=−52−4t=25−4t，
由t>254，则4t>25，
∴25−4t<0，
∴此时方程没有实数根．
故选A
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟记根的判别式的含义是解本题的关键．
【题型3 由方程根的情况确定字母的值或取值范围】
【例3】（2023春·浙江舟山·九年级校联考期中）在实数范围内，存在2个不同的x的值，使代数式x2−3x+c与代数式x+2值相等，则c的取值范围是 ．
【答案】c<6
【分析】根据题意可得方程x2−3x+c=x+2有两个不相等的根，即判别式Δ>0，即可求解．
【详解】解：由题意得，方程x2−3x+c=x+2有两个不相等的根，
x2−3x+c=x+2整理得x2−4x+c−2=0，
∴Δ=−42−4×1×c−2>0，
解得：c<6，
故答案为：c<6．
【点睛】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，熟练掌握一元二次方程的判别式与根的关系是解题的关键．
【变式3-1】（2023春·北京西城·九年级北京市第三十五中学校考期中）已知关于x的方程mx2−3x+1=0无实数解，则m取到的最小正整数值是 ．
【答案】3
【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式列出不等式，即可求解．
【详解】解：∵关于x的方程mx2−3x+1=0无实数解，
当m=0时，原方程为一元一次方程，有解，
当m≠0时，原方程为一元二次方程，
∴Δ=b2−4ac=9−4m<0，
解得：m>94，
∴则m取到的最小正整数值是3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键．
【变式3-2】（2023春·广西梧州·九年级校考期中）关于x的方程x2+2m−2x+m2−3m+3=0．
(1)有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
(2)若方程有实数根，而且m为非负整数，求方程的根．
【答案】(1)m<1
(2)x=3或x=1
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，即可求解；
（2）首先根据m<1且m为非负整数，可求得m=0，再解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵关于x的方程x2+2m−2x+m2−3m+3=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=2m−22−4×1×m2−3m+3>0，
解得m<1，
故m的取值范围为m<1；
（2）解：∵关于x的方程x2+2m−2x+m2−3m+3=0有实数根，
∴Δ=2m−22−4×1×m2−3m+3≥0，
解得m≤1，
∵m为非负整数，
∴m=0或m=1，
当m=0时，原方程化为x2−4x+3=0，
解得x1=3，x2=1；
当m=1时，原方程化为x2−2x+1=0，
解得x3=x4=1，
所以，原方程的解为x=3或x=1．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及解法，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式及解法是解决本题的关键．
【变式3-3】（2023春·北京平谷·九年级统考期末）关于x的一元二次方程ax2−2ax+b+1=0（ab≠0）有两个相等的实数根k，则下列选项成立的是（ ）
A．若﹣1＜a＜0，则ka>kbB．若ka>kb，则0＜a＜1
C．若0＜a＜1，则ka【答案】B
【分析】根据一元二次方程的根的情况利用判别式求得a与b的数量关系，再代入方程求k的值，然后结合a的取值范围和分式加减法运算法则计算求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2−2ax+b+1=0（ab≠0）有两个相等的实数根k，
∴ Δ=(−2a)2−4a(b+1)=0，
4a2−4ab−4a=0，
又∵ab≠0，
∴a-b-1=0，即a=b+1，
∴ax2-2ax+a=0，
解得：x1=x2=1，
∴k=1，
ka−kb=1a−1a−1=−1a(a−1)
当ka>kb时，即ka−kb>0，
即−1a(a−1)>0，
∴a（a-1）<0，
即a<0a−1>0或a>0a−1<0
解得0当ka即−1a(a−1)<0，
∴a（a-1）>0，
即a>0a−1>0或a<0a−1<0
解得：a>1或a<0．
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程根的情况求得a与b之间的等量关系是解题关键．
【题型4 应用根的判别式证明方程根的情况】
【例4】（2023春·广东珠海·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程x2−2mx+m2−1=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的一根大于2，一根小于1，求m的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)1【分析】（1）表示出Δ，根据Δ的数值判断即可；
（2）利用公式求出两根，根据两根及其条件列出不等式，并解不等式即可．
【详解】（1）解：依题意，得
∵Δ=(−2m)2−4×1×m2−1=4m2−4m2+4=4>0
∴方程总有两个实数根；
（2）解：方程x2−2mx+m2−1=0
由（1）得Δ=4
∴x=−(−2m)±42×1=m±1，∴x1=m+1，x2=m−1，
∵方程的一根大于2，一根小于1，m+1>m−1
∴m+1>2m−1<1
∴1∴m的取值范围是1【点睛】本题考查了一元二次方程，相关知识点有：根的判别式、解一元二次方程等，熟悉一元二次方程的知识点是解题关键．
【变式4-1】（2023春·九年级课时练习）已知关于x的一元二次方程2x2+2mx+m−1=0，求证：不论m为什么实数，这个方程总有两个不相等实数根．
【答案】见解析
【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义计算证明即可．
【详解】证明：△=b2−4ac=(2m)2−4×2×(m−1)=4m2−8m+8=4(m−1)2+4，
∵4(m−1)2≥0，
∴4(m−1)2+4>0，即△>0，
∴不论m为什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根．
【点睛】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2−4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．
【变式4-2】（2023春·九年级课时练习）已知关于x的一元二次方程x2−3x+2=m(x−1)．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程两个根的差是2，求实数m的值．
【答案】(1)见详解
(2)1或−3
【分析】（1）将方程化为一般形式，计算判别式即可；
（2）由因式分解法求出方程的解，根据两个根的差是2方程即可求出m．
（1）证明：x2−(m+3)x+m+2=0，∵∆=(m+3)2−4(m+2)=(m+1)2≥0，∴方程总有两个实数根；
（2）解：x2−(m+3)x+m+2=0，∴（x-1）（x-m-2）=0，∴x1=1，x2=m+2，∵方程两个根的差是2，∴若m+2−1=2，则m=1；若1−(m+2)=2，则m=−3．∴实数m的值为1或−3．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式得到方程的根的情况，解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的知识是解题的关键．
【变式4-3】（2023春·九年级课时练习）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+2m﹣8＝0．
(1)求证：方程总有两个实数根．
(2)若方程有一个根是负整数，求正整数m的值．
【答案】(1)见解析
(2)1或2或3
【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ=（m-6）2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）利用求根公式得到x1=m-4，x2=2，则m-4＜0，从而得到正整数m的值．
【详解】（1）解：证明：∵Δ=（m-2）2-4（2m-8）
=m2-12m+36
=（m-6）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）x=−b±b2−4ac2a=m−2±m−62，
∴x1=m-4，x2=2，
∵方程有一个根是负整数，
∴m-4＜0，
∴正整数m的值为1或2或3．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
【题型5 应用根的判别式求代数式的取值范围】
【例5】（2023春·浙江温州·九年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2−2x+3m=0有实数根，设此方程的一个实数根为t，令y=t2−2t+4m+1，则y的取值范围为 ．
【答案】y≤4
【分析】由一元二次方程根的判别式先求解m≤3，根据一元二次方程的解的定义得出t2−2t=3m代入代数式，进而即可求解．
【详解】解：∵ 关于x的一元二次方程x2−2x+3m=0有实数根，
∴△=b2−4ac=4−12m≥0，
解得：m≤3，
设此方程的一个实数根为t，
∴t2−2t=−3m
∴ y=t2−2t+4m+1
=−3m+4m+1
=m+1
∵m≤3
∴m+1≤4 即y≤4
故答案为：y≤4．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的定义，不等式的性质，熟练的运用一元二次方程根的判别式是解本题的关键．
【变式5-1】（2023春·安徽合肥·九年级统考期中）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根x0，则下列关于2ax0+b的值判断正确的是（ ）
A．2ax0+b>0B．2ax0+b=0C．2ax0+b<0D．2ax0+b≤0
【答案】B
【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，表示出这个根，即可得到结论．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根x0，
∴b2−4ac=0，且x0=−b2a，
则2ax0+b=2a⋅−b2a+b=−b+b=0．
故选：B．
【点睛】此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键．
【变式5-2】（2023春·浙江宁波·九年级统考期末）已知实数m,n满足m2−mn+n2=3，设P=m2+mn−n2，则P的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】由原式得，P=2m2−3．将m2−mn+n2=3看成关于n的一元二次方程，根据方程有实数解，所以Δ=m2−4m2−3≥0，可得m2≤4，进而得出结论．
【详解】解：将两个等式相加得：P+3=2m2，则P=2m2−3．
要求P的最大值，只需求出m2的最大值．
将m2−mn+n2=3看成关于n的一元二次方程，整理得：n2−mn+m2−3=0．
根据方程有实数解，所以Δ=m2−4m2−3≥0．
可得m2≤4，即m2的最大值为4．
所以当m2=4时，P的最大值为5．
故选：C
【点睛】本题考查等式性质，一元二次方程根的判别式，将含有多个参数的等式理解为含参数的一元二次方程，从而运用方程的知识解决问题是解题的关键．
【变式5-3】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令y=4b2−8b+3m+2，则（ ）
A．y>1B．y≥1C．y≤1D．y<1
【答案】A
【分析】先根据一元二次方程根的判别式得到m<1，再根据一元二次方程解的定义求出4b2−8b=−4m，进而推出y=−m+2，由此求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=−22−4m>0，
∴m<1，
∵此方程的一个实数根为b，
∴b2−2b+m=0，
∴b2−2b=−m，
∴4b2−8b=−4m，
∴y=4b2−8b+3m+2=−4m+3m+2=−m+2，
∵m<1，即−m>−1
∴y=−m+2>1，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程解的定义，对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，若Δ=b2−4ac>0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ=b2−4ac=0，则方程有两个相等的实数根，若Δ=b2−4ac<0，则方程没有实数根．
【题型6 根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】
【例6】（2023春·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期中）若关于x的一元一次不等式组3x+82≤x+63x+a>4x−5的解集为x≤4，关于x的一元二次方程(a−1)x2+3x+1=0有实数根，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
【答案】5
【分析】先求出不等式组中不等式的解集，根据不等式组的解集求出a的范围，再根据根的判别式得出Δ>0，求出a的范围，最后取符合条件的整数a即可．
【详解】解：解不等式3x+82≤x+6得：x≤4，
解不等式3x+a>4x−5得：x∵关于x的一元一次不等式组3x+82≤x+63x+a>4x−5的解集为x≤4，
∴a+5>4，解得a>−1，
∵关于x的一元二次方程(a−1)x2+3x+1=0有实数根，
∴Δ=32−4a−1≥0，a−1≠0，
解得a≤134且a≠1，
综上所述，−1∴所有满足条件的整数a的值是0、2、3，
∴所有满足条件的整数a的值之和是0+2+3=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和根的判别式，能求出a的取值范围是解此题的关键，特别注意a≠1．
【变式6-1】（2023春·安徽安庆·九年级安庆市第四中学校考期末）若关于x的一元二次方程x2+2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用判别式的意义得到Δ=22−4kb+1>0，则kb<0，然后根据一次函数的性质对各选项进行判断．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=22−4kb+1>0，
∴kb<0，
当k>0，b<0时，一次函数经过第一、三、四象限；
当k<0，b>0时，一次函数经过第一、二、四象限．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次函数根的判别式，一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握Δ=b2−4ac>0，则方程有两根不相等的实数根；Δ=b2−4ac=0，则方程有两根相等的实数根；Δ=b2−4ac<0，则方程有没有实数根．
【变式6-2】（2023春·九年级课时练习）要使关于x的一元二次方程ax2+2x−1=0有两个实数根，且使关于x的分式方程xx−4+a+24−x=2的解为非负数的所有整数a的个数为（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
【答案】B
【分析】根据一元二次方程根的情况得到a≠0且Δ=22−4a·(−1)≥0解得：a≥−1且a≠0，再把分式方程化简求值得：x=−a+6，因为解为非负数，−a+6≥0且−a+6≠4即a≤6且a≠2，所以−1≤a≤6且a≠0,a≠2，即可得出满足题意的整数解．
【详解】解：关于x的一元二次方程ax2+2x−1=0有两个实数根
则a≠0Δ=22−4a·(−1)≫0
∴a≥−1且a≠0
关于x的分式方程xx−4+a+24−x=2
去分母得：x−(a+2)=2(x−4)
解得：x=−a+6
∵分式方程的解为非负数
∴−a+6≥0且−a+6≠4即a≤6且a≠2
∴−1≤a≤6且a≠0,a≠2
∴满足题意的整数a的值为−1,1,3,4,5,6
故答案为：B．
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况、分式方程的解，注意二次项系数不为0及分式方程的解要有意义，这是此题的易错点．
【变式6-3】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）已知a，b为正整数，且满足a+ba2+ab+b2=449，则a+b的值为（ ）
A．4B．10C．12D．16
【答案】D
【分析】将已知方程整理为一元二次方程，结合方程根的情况，得出k的取值范围，再代入方程即可求解．
【详解】解：a+ba2+ab+b2=449变形得，49(a+b)=4(a2+ab+b2)，
∵a，b为正整数，
∴存在正整数k，使得a+b=4k①，
∴a2+ab+b2=49k，即(a+b)2−ab=49k，
∴ab=(a+b)2−49k=16k2−49k②，
设a，b关于x的方程为x2−4kx+(16k2−49k)=0③，方程有两个正整数解，
∴Δ=16k2−4(16k2−49k)≥0，
∴0≤k≤4912，
∵k为正整数，
∴k的值为1,2,3,4，可证k为1,2,3时方程③无正整数根，
∴当k=4时，方程x2−4kx+(16k2−49k)=0得，x2−16x+60=0，解得，x1=10，x2=6，
∴a+b=4k=4×4=16，
故选：D．
【点睛】本题主要考查将分式转化为一元二次方程方程，根据根的情况解一元二次方程的参数，再代入计算，掌握以上相关知识的运用是解题的关键．
【题型7 根的判别式与三角形的综合】
【例7】（2023春·广东惠州·九年级校考期中）已知关于x的一元二次方程a+cx2−2bx+a−c=0，其中分别a、b、c是△ABC的边长．
(1)若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状；
(2)若△ABC是等边三角形，试求该一元二次方程的根．
【答案】(1)△ABC是直角三角形
(2)x1=0，x2=1
【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根，可得Δ=0，代入化简即可；
（2）根据△ABC是等边三角形，可得a=b=c，将原方程化简求解即可．
【详解】（1）∵方程有两个相等的实数根，
∴−2b2−4a+ca−c=0，
∴4b2−4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）当△ABC是等边三角形，
∴a+cx2−2bx+a−c=0，
可整理为：2ax2−2ax=0，
∴x2−x=0，
∴xx−1=0，
解得：x1=0，x2=1．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元一次方程，勾股定理，熟知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)：若Δ>0，方程有两个不相等的实数根；若Δ=0，方程有两个相等的实数根；若Δ<0，方程没有实数根；是解本题的关键．
【变式7-1】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2−2k+1x+k2+k=0．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，
①若k=3时，请判断△ABC的形状并说明理由；
②若△ABC是等腰三角形，求k的值．
【答案】(1)见解析
(2)①△ABC是直角三角形，理由见解析；②k的值为4或5
【分析】（1）先计算出Δ=1，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）①k=3代入方程，解方程求得AB=3,AC=4，然后利用勾股定理的逆定理即可判断△ABC是直角三角形；②把x=5代入方程，求得k的值，然后判断即可．
【详解】（1）证明：∵Δ=−2k+12−4k2+k=1>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）解：①k=3时，方程为x2−7x+12=0，
解得x1=3,x2=4，
∴AB=3,AC=4，
∵BC=5，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形；
②∵Δ=1>0，
∴AB≠AC，
∴AB,AC中有一个数为5．
当x=5时，原方程为：25−52k+1+k2+k=0，
即k2−9k+20=0，
解得：k1=4,k2=5．
当k=4时，原方程为x2−9x+20=0．
∴x1=4,x2=5．
由三角形的三边关系，得4、5、5能围成等腰三角形，
∴k=4符合题意；
当k=5时，原方程为x2−11x+30=0，
解得：x1=5,x2=6．
由三角形的三边关系，得5、5、6能围成等腰三角形，
∴k=5符合题意．
综上所述：k的值为4或5．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，当Δ=b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=b2−4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ=b2−4ac<0时，方程没有实数根是解题的关键．也考查了三角形三边的关系以及直角三角形和等腰三角形．
【变式7-2】（2023春·浙江金华·九年级校考期中）已知关于x的方程x2−m+1x+2m−1=0．
(1)当方程一个根为x=3时，求m的值．
(2)求证：无论m取何值，这个方程总有实数根．
(3)若等腰△ABC的一腰长a=6，另两边b、c恰好是这个方程的两个根．则△ABC的面积为______．
【答案】(1)m=4
(2)见解析
(3)35
【分析】（1）把x=3代入求解即可；
（2）求出判别式的符号，即可得证；
（3）根据等腰三角形两腰相等，得到方程有一个根为6，代入方程，求出m的值，进而求出另外一个根，据此即可得解．
【详解】（1）解：当x=3时，方程为9−3m+1+2m−1=0，
整理得−m+4=0，
解得m=4；
（2）证明：∵Δ=−m+12−4×2m−1
=m2−6m+9
=m−32≥0，
∴无论m取何值，这个方程总有实数根；
（3）解：∵等腰△ABC的一腰长a=6，
∴方程有一个根为6，
将x=6代入原方程，得：36−6m+1+2m−1=0，
解得：m=7，
∴原方程为x2−8x+12=0，
解得：x1=2，x2=6．
∵2、6、6能组成三角形，
不妨设AB=AC=6，则BC=2，
作AD⊥BC于D，则BD=DC=12BC=1，

∴AD=62−12=35，
∴该三角形的面积为12×2×35=35．
故答案为：35．
【点睛】本题考查一元二次方程的判别式与根的个数的关系，以及等腰三角形的定义，一元二次方程的解，解一元二次方程．熟练掌握相关知识，是解题的关键．
【变式7-3】（2023春·福建厦门·九年级厦门市松柏中学校考期末）已知关于x的一元二次方程x2−m+5x+5m=0．
(1)求证：此一元二次方程一定有两个实数根；
(2)设该一元二次方程的两根为a，b，且6，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)m的值为：61或11．
【分析】（1）利用根的判别式求出关于m的代数式，整理成非负数的形式即可判定b2−4ac≥0；
（2）把原方程因式分解，求出方程的两个根，分别探讨不同的数值为斜边，利用勾股定理解决问题．
【详解】（1）解：∵x2−m+5x+5m=0，
∴b2−4ac=−m+52−4×5m=m2−10m+25=m−52≥0，
∴这个一元二次方程一定有两个实数根；
（2）原方程可变为x−5x−m=0，
则方程的两根为x1=a=m，x2=b=5，
∴直角三角形三边为6，5，m；
∴1①若m为直角三角形的斜边时，则：m=52+62=61；
②若6为直角三角形的斜边时，则：m=62−52=11．
综上：m的值为：61或11．
【点睛】此题考查利用根的判别式b2−4ac探讨根的情况，以及用因式分解法解一元二次方程，勾股定理等知识点；注意分类讨论思想的渗透．
【题型8 根的判别式与四边形的综合】
【例8】（2023春·四川成都·九年级校考阶段练习）已知：矩形ABCD的两边AB，BC的长是关于方程x2−mx+m2−14=0的两个实数根．
(1)当m为何值时，矩形ABCD是正方形？求出这时正方形的边长；
(2)若AB的长为2，那么矩形ABCD的周长是多少？
【答案】(1)m=1，矩形ABCD是正方形，边长是12
(2)5
【分析】（1）根据正方形的性质可得AB=BC，则有关于x的方程有两个相等的实数根，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解；
（2）根据题意把x=2代入方程求解m，然后再求解方程的解，进而问题可求解．
【详解】（1）解：四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC．
又∵AB，BC的长是关于x的方程x2−mx+m2−14=0的两个实数根，
∴Δ=−m2−4×m2−14=m−12=0，
∴m=1，此时四边形为正方形；
当m=1时，原方程为x2−x+14=0，
解得：x1=x2=12，
∴正方形ABCD的边长是12．
（2）∵AB的长为2，
∴把x=2代入原方程，得22−2m+m2−14=0，
解得m=52．
将m=52代入原方程，得x2−52x+1=0，
解得x1=2，x2=12
∴方程的另一根BC=12，
∴矩形ABCD的周长是2×2+12=5．
【点睛】本题主要考查正方形的性质及一元二次方程的应用，熟练掌握正方形的性质及一元二次方程的应用是解题的关键．
【变式8-1】（2023春·湖南益阳·九年级统考期末）已知▱ABCD两邻边是关于x的方程x2-mx+m-1=0的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD为菱形？求出这时菱形的边长．
（2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？
【答案】（1）当m为2时，四边形ABCD为菱形，菱形边长为1;（2）C平行四边形ABCD=6．
【分析】（1）根据根的判别式得出△=m2-4（m-1）=0即可得出m的值，进而得出方程的根得出答案即可；
（2）由AB=2知方程的一根为2，将x=2代入得，4-2m-1=0，解出m的值，此时方程化为：x2-3x+2=0，得出方程根，进而得出C平行四边形ABCD．
【详解】（1）若四边形为菱形，则方程两实根相等．
∴△=m2-4（m-1）=0
∴m2-4m+4=0
∴m1=m2=2
∴方程化为x2-2x+1=0
解得：x1=x2=1
∴菱形边长为1．
（2）由AB=2知方程的一根为2，将x=2代入得，4-2m-1=0，
解得：m=3此时方程化为：x2-3x+2=0，
解得（x-1）（x-2）=0
解得：x1=1，x2=2
∴C平行四边形ABCD=2×（1+2）=6．
【点睛】考查了一元二次方程的解法以及菱形的性质等知识，正确应用菱形的性质得出是解题关键．
【变式8-2】（2023春·浙江杭州·九年级杭州市采荷中学校考期中）已知关于x的一元二次方程x2+m−5x−5m=0．
(1)判别方程根的情况，并说明理由．
(2)设该一元二次方程的两根为a， b，且a， b是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长．
【答案】(1)有两个实数根，见解析
(2)5
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，即可进行解答；
（2）根据矩形对角线相等的性质可得a=b，则该方程有两个相等的实数根，即可求出m的值，最后将m的值代入原方程，即可求解．
【详解】（1）解：这个一元二次方程一定有两个实数根
理由：Δ=b2−4ac=m−52+20m=m2+10m+25=m+52，
∵m+52≥0，
∴b2−4ac≥0，
∴这个一元二次方程一定有两个实数根；
（2）解：∵a，b是矩形两条对角线的长，
∴a=b，
∵该一元二次方程的两根为a，b，
∴x2+m−5x−5m=0有两个相等的实数根，
∴m+52=0，解得m=−5，
∴这个一元二次方程为x2−10x+25=0，解得x=5．
∴这个矩形对角线的长是5．
【点睛】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b2−4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2−4ac<0时，方程没有实数根．
【变式8-3】（2023春·广东佛山·九年级校考期中）关于x的一元二次方程14x2−mx+2m−1=0的两个根是平行四边形ABCD的两邻边长．
(1)当m=2，且四边形ABCD为矩形时，求矩形的对角线长度．
(2)若四边形ABCD为菱形，求菱形的周长．
【答案】(1)210
(2)8
【分析】（1）由m=2可以求出方程的两个根，再由矩形性质即可求值；
（2）由菱形邻边相等得到方程有两等根，再由判别式求值即可．
【详解】（1）解：当m=2时，14x2−2x+3=0
整理得：(x−2)(x−6)=0
∴x1=2,x2=6
∵四边形ABCD为矩形
∴矩形的对角线长为x12+x22=22+62=210．
（2）解：∵四边形ABCD为菱形
∴关于x的一元二次方程14x2−mx+2m−1=0有两相等的根
∴Δ=m2−4×14(2m−1)=0
解得：m=1
此时原方程为14x2−x+1=0
∴x1=x2=2
∴菱形周长为2×4=8．
【点睛】本题考查一元二次方程与四边形综合，解题的关键是熟练解方程并理解矩形和菱形的性质．
【题型9 关于根的判别式的多结论问题】
【例9】（2023春·河北保定·九年级保定市第十七中学校考期末）已知关于x的方程kx2−2k−3x+k−2=0，则①无论k取何值，方程一定无实数根；②k=0时，方程只有一个实数根；③k≤94且k≠0时，方程有两个实数根；④无论k取何值，方程一定有两个实数根．上述说法正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】利用根的判别式，可得出Δ=9−4k，进而根据各选项的情况得出结论．
【详解】解：关于x的方程kx2−2k−3x+k−2=0，
Δ=−2k−32−4kk−2=9−4k，
当k=0时，关于x的方程为3x−2=0，则x=23，
方程只有一个实数根，故②说法正确；
当9−4k≥0，解得k≤94，则k≤94且k≠0时，方程有两个实数根，故③说法正确，①④说法错误；
综上，上述说法正确的是②③，共2个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”是解题的关键．
【变式9-1】（2023春·浙江绍兴·九年级统考期末）已知aa>1是关于x的方程x2−bx+b−a=0的实数根．下列说法：①此方程有两个不相等的实数根；②当a=t＋1时，一定有b=t−1；③b是此方程的根；④此方程有两个相等的实数根．上述说法中，正确的有（ ）
A．①②B．②③C．①③D．③④
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根的定义求出b=a，以及根的判别式判断根的情况，进一步可得结论．
【详解】解：∵aa>1是关于x的方程x2−bx+b−a=0的实数根，
∴a2−ab+b−a=0，
整理得，a−1a−b=0
∵a>1，
∴a−1>0，
∴a−b=0，即b=a；
①Δ=b2−4×1×b−a=a2−4×1×a−a=a2>1，
∴此方程有两个不相等的实数根，故①说法正确；
②∵b=a，
∴当a=t+1时，一定有b=t+1，故②说法错误；
③∵aa>1是关于x的方程x2−bx+b−a=0的实数根．且b=a，
∴b也是关于x的方程x2−bx+b−a=0的实数根．故③说法正确；
④此方程有两个不相等的实数根，故④说法错误；
所以，正确的结论是①③，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的意义，一元二次方程根的判别式，熟练掌握运用根的判别式判断根的情况是解答本题的关键．
【变式9-2】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）对于代数式ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）①若b2−4ac=0，则ax2+bx+c=0有两个相等的实数根；②存在三个实数m≠n≠s，使得am2+bm+c=an2+bn+c=as2+bs+c；③若ax2+bx+c+2=0与方程x+2x−3=0的解相同，则4a−2b+c=−2，以上说法正确的是 ．
【答案】①③/③①
【分析】根据根的判别式判断①；根据一元二次方程ax2+bx+c=k (k为常数)最多有两个解判断②；将方程x+2x−3=0的解代入ax2+bx+c+2=0即可判断③．
【详解】解：①∵Δ=b2−4ac=0
∴方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根．
∴①正确：
②∵一元二次方程ax2+bx+c=k(k为常数)最多有两个解，
∴②错误；
③方程x+2x−3=0的解为x1=−2，x2=3，
将x=−2代入ax2+bx+c+2=0得a⋅(−2)2+b⋅(−2)+c+2=0，
∴4a−2b+c=−2，
∴③正确．
综上，正确的有①③，
故答案为：①③．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解．
【变式9-3】（2023春·浙江·九年级期末）已知方程甲：ax2+2bx+a=0，方程乙：bx2+2ax+b=0都是一元二次方程，
①若x=1是方程甲的解，则x=1也是方程乙的解；
②若方程甲有两个相等的实数解，则方程乙也有两个相等的实数解；
③若方程甲有两个不相等的实数解，则方程乙也有两个不相等的实数解；
④若x=n既是方程甲的解，又是方程乙的解，那么n可以取1或−1．
以上说法中正确的序号是（ ）
A．①②B．③④C．①②③④D．①②④
【答案】A
【分析】若x=1是方程甲的解，则可得出a=−b，根据判别式的意义可对①进行判断；
由方程甲有两个相等的实数解可知于4a2−4b2=0，根据判别式的意义可对②进行判断；
由方程甲有两个不相等的实数解可知于4a2−4b2<0，根据判别式的意义可对③进行判断；
若x=n既是方程甲的解，又是方程乙的解，则解方程组求得n1=n2=1，可对④进行判断．
【详解】解：若x=1是方程甲的解，所以a+2b+a=0，即a=−b，
则方程乙：bx2+2ax+b=0变为bx2−2bx+b=0，
解得x1=x2=1，
所以x=1也是方程乙的解，故①正确；
若方程甲有两个相等的实数解，则Δ=(2b)2−4a⋅a=0，
解得4b2=4a2，
所以4a2−4b2=0，
而方程乙：bx2+2ax+b=0中，Δ=(2a)2−4b⋅b=4a2−4b2=0，
所以方程乙有两相等实数解，故②正确；
若方程甲有两个不相等的实数解，则Δ=(2b)2−4a⋅a>0，
解得4b2>4a2，
所以4a2−4b2<0，
而方程乙：bx2+2ax+b=0中，Δ=(2a)2−4b⋅b=4a2−4b2<0，
所以方程乙没有实数解，故③不正确；
若x=n既是方程甲的解，又是方程乙的解，
所以an2+2bn+a=0①bn2+2an+b=0②，
①−②得a−bn2−2a−bn+a−b=0，
∵a≠b，
∴n2−2n+1=0，
解得n1=n2=1，故④不正确；
综上分析可知，正确的是①②，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程解的定义．
【题型10 关于根的判别式的新定义问题】
【例10】（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）对于实数a、b，定义运算“*”； a∗b=a2−aba≤bb2−aba>b，关于x的方程2x∗x−1=t+3恰好有三个不相等的实数根，则t的取值范围是 ．
【答案】−3t>−3
【分析】根据新定义的运算，分两种情况得出两个关于x的一元二次方程，再由关于x的方程2x∗x−1=t+3恰好有三个实数根，得到关于x的两个一元二次方程的根的情况，然后分情况讨论，确定t的取值范围．
【详解】解：由新定义的运算可得关于x的方程为：
当2x≤x−1时，即x≤−1时，有2x2−2x(x−1)=t+3，
即：2x2+2x−t−3=0x≤−1，其根为：x=−1±2t+72是负数，
当2x>x−1时，即x>−1，时，有x−12−2xx−1=t+3，
即：x2=−t−2x>−1，
要使关于x的方程2x∗x−1=t+3恰好有三个不相等的实数根，则x2=−t−2x>−1和2x2+2x−t−3=0x≤−1都必须有解，
∴−t−2≥02t+7≥0，
∴−72≤t≤−2，
（1）当−t−2=0时，即t=−2时，方程x2=−t−2x>−1只有一个根x=0，
∵当t=−2时，2t+7=3，
∴−1+32>0，−1−32<−1，
∴此时方程2x2+2x−t−3=0x≤−1只有一个根符合题意，
∴t=−2不符合题意；
（2）当−3−1的两个根−1∵当−3∴−1+2t+72>0，−1−2t+72<−1，
∴方程2x2+2x−t−3=0x≤−1只有一个根符合题意，
∴当−3（3）∵当−7t≤t≤−3时，方程x2=−t−2x>−1的一个根≥1，另外一个根≤−1，
∴此时方程x2=−t−2x>−1只有一个根符合题意，
∵−12≤−1+2t+72≤0，−1≤−1−2t+72<−12，
∴当−7t≤t≤−3时，方程2x2+2x−t−3=0x≤−1最多有一个根符合题意，
∴当−7t≤t≤−3时2x∗x−1=t+3不可能有三个不相等的实根；
综上分析可知，t的取值范围是−3故答案为：−3【点睛】本题考查了新运算及利用一元二次方程根的情况求字母的取值范围，读懂题意，进行分类讨论，是解题的关键．
【变式10-1】（2023春·四川雅安·九年级统考期末）对于实数a，b定义运算“☆”如下：a☆b=ab2−ab，例如3☆2=3×22−3×2=6，则方程2☆x=−12的根的情况为（ ）
A．没有实数根B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
【答案】C
【分析】根据题意所给的运算得出一元二次方程，然后根据根的判别式进行解答即可．
【详解】解：根据题意2☆x=−12即为2x2−2x=−12，
整理得：4x2−4x+1=0，
则Δ=b2−4ac=(−4)2−4×4×1=0，
∴此方程有两个相等的实数根，
故选：C．
【点睛】本题考查了定义新运算以及一元二次方程根的判别式，熟知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)：若Δ=b2−4ac>0，则方程有两个不相等的实数根；若Δ=b2−4ac=0，则方程有两个相等的实数根；若Δ=b2−4ac<0，则方程没有实数根．
【变式10-2】（2023春·安徽马鞍山·九年级校考阶段练习）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0(a≠0)是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A．a=b−cB．a=bC．b=cD．a=c
【答案】D
【分析】已知ax2+bx+c=0(a≠0)是“凤凰”方程，则有a+b+c=0，方程有两个相等的实数根，则有Δ=b2−4ac=0，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得，a+b+c=0，且b2−4ac=0，
∴b=−a−c，b2−4ac=(−a−c)2−4ac=(a−c)2=0，
∴a=c，
故选：D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根，根据“凤凰”方程的定义和方程有两个相等的实根可找出系数间的关系是解题的关键．
【变式10-3】（2023春·河北沧州·九年级统考期中）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有m，p※q，n=mn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：2，3※4，5=2×5+3×4=22．若关于x的方程x2+1，x※5−2k，k=0：有两个实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】k≤54且k≠0
【分析】由新定义的运算法则可得出关于x的方程为kx2+5−2kx+k=0，由该方程有两个实数根得出其为一元二次方程，且Δ=b2−4ac≥0，即5−2k2−4k2≥0且k≠0，解出k的解集即可．
【详解】由新定义的运算法则可得出：x2+1，x※5−2k，k=kx2+1+5−2kx=kx2+5−2kx+k．
∵x2+1，x※5−2k，k=0，
∴kx2+5−2kx+k=0．
∵该方程有两个实数根，
∴Δ=b2−4ac=5−2k2−4k2≥0且k≠0，
∴k≤54且k≠0．
故答案为：k≤54且k≠0．
【点睛】本题考查新定义下的实数运算，一元二次方程的定义，根据一元二次方程根的情况求参数．掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为Δ=b2−4ac，且当Δ>0时，该方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，该方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，该方程没有实数根是解题关键．