中考数学一轮复习专题2.1 不等式的基本性质【十一大题型】（举一反三）（北师大版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习专题2.1 不等式的基本性质【十一大题型】（举一反三）（北师大版）（解析版），共26页。


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\l "_Tc17462" 【题型1 不等式的定义】 PAGEREF _Tc17462 \h 1
\l "_Tc27332" 【题型2 取值是否满足不等式】 PAGEREF _Tc27332 \h 3
\l "_Tc6460" 【题型3 在数轴上表示不等式】 PAGEREF _Tc6460 \h 4
\l "_Tc20188" 【题型4 根据实际问题列出不等式】 PAGEREF _Tc20188 \h 6
\l "_Tc13462" 【题型5 根据不等式的性质判断正误】 PAGEREF _Tc13462 \h 8
\l "_Tc21124" 【题型6 根据不等式的性质比较大小】 PAGEREF _Tc21124 \h 10
\l "_Tc8855" 【题型7 根据不等式的解集求字母取值范围】 PAGEREF _Tc8855 \h 12
\l "_Tc12091" 【题型8 根据不等式的性质求式子取值范围】 PAGEREF _Tc12091 \h 14
\l "_Tc25450" 【题型9 根据不等式的性质求最值】 PAGEREF _Tc25450 \h 16
\l "_Tc1661" 【题型10 不等关系的简单应用】 PAGEREF _Tc1661 \h 19
\l "_Tc13460" 【题型11 利用不等式性质证明不等式】 PAGEREF _Tc13460 \h 23
【知识点1 认识不等式】
用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”），“≠”连接而成的式子，叫做不等式。用符号这些用来连接的符号统称不等式.
【题型1 不等式的定义】
【例1】（2023春·安徽宿州·八年级校考期中）下列式子：x−1≥1；2x+2；−2<0；x−12y=0；x+2y≤0．其中是不等式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】根据不等式的定义逐个判断即可得到答案．
【详解】解：不等式有x−1≥1；−2<0；x+2y≤0，
故选：B．
【点睛】本题考查不等式定义，熟记由不等号表示大小关系的式子叫不等式是解决问题的关键．
【变式1-1】（2023春·八年级统考课时练习）某养生钙奶饮料中的包装瓶上标注“每100克内含钙＞150毫克”，它的含义是指（ ）
A．每100克内含钙150毫克
B．每100克内含钙不低于150毫克
C．每100克内含钙高于150毫克
D．每100克内含钙不超过150毫克
【答案】C
【分析】“>”就是大于，在本题中也就是“高于”的意思．
【详解】解：根据>的含义，“每100克内含钙＞150毫克”，就是“每100克内含钙高于150毫克”，
故选：C．
【点睛】本题主要考查不等号的含义，是需要熟练记忆的内容．
【变式1-2】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x＋30y≥500”表示的实际意义是( )
A．两种客车总的载客量不少于500人B．两种客车总的载客量不超过500人
C．两种客车总的载客量不足500人D．两种客车总的载客量恰好等于500人
【答案】A
【分析】主要依据不等式的定义：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．
【详解】不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是两种客车总的载客量不少于500人，
故选A．
【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞＜≤≥≠．
【变式1-3】（2023春·河南驻马店·八年级统考期中）在数学的发展史中，符号占有很重要的地位，它不但书写简单，而且表达的意义很明确．在不等式中，除了我们熟悉的符号外，还有很多：比如：<表示不小于；>表示不大于，≫表示远大于；≪表示远小于等．下列选项中表达错误的是（ ）
A．2<2B．−1>0C．100≫1D．−2≪−99
【答案】D
【分析】根据对每个符号的定义对每一项进行判断即可．
【详解】解：A．2<2表示2不小于2，正确，故本选项不符合题意；
B．−1>0表示-1不大于0，正确，故本选项不符合题意；
C．100≫1表示100远大于1，正确，故本选项不符合题意；
D．−2≪−99表示-2远小于-99，错误，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了不等式的新定义问题，解决本题的关键是理解各个符号的意思．
【题型2 取值是否满足不等式】
【例2】（2023秋·八年级课时练习）试写出一个不等式，使它的解集满足下列条件：
（1）x=−2是不等式的一个解；
（2）−2，−1，0都是不等式的解；
（3）不等式的正整数解只有1，2，3；
（4）不等式的非正整数解只有−2，−1，0；
（5）不等式的解中不含0．
【答案】（1）x>−3（答案不唯一） （2）x>−3（答案不唯一） （3）x<4（答案不唯一） （4）x>−3 （答案不唯一） （5）x>1（答案不唯一）
【分析】（1）只要解集中含有-2这个解的不等式均可以；
（2）只要解集中含有-2，-1，0这三个整数解的不等式均可以；
（3）只要不等式的解集中恰好含有1，2，3这三个正整数解的不等式均可以；
（4）只要不等式的解集中恰好含有-2，-1，0这三个非正整数解的不等式均可以；
（5）只要不等式的解集中不含0的不等式均可以．
【详解】（1）满足题意的不等式为x>−3（答案不唯一）；
（2）满足题意的不等式为x>−3（答案不唯一）；
（3）满足题意的不等式为x<4（答案不唯一）；
（4）满足题意的不等式为x>−3（答案不唯一）；
（5）满足题意的不等式为x>1（答案不唯一）；
【点睛】本题根据不等式的解集要求写出一个不等式，考查了不等式的概念．
【变式2-1】（2023春·江西景德镇·八年级统考期中）x=3是下列不等式（ ）的一个解．
A．x+1<0B．x+1<4C．x+1<3D．x+1<5
【答案】D
【分析】直接将x=3代入各个不等式，不等式成立的即为所选.
【详解】解：A、3+1=4>0，故A不成立；
B、3+1=4，故B不成立；
C、3+1=4>3，故C不成立；
D、3+1=4<5，故D成立；
故选：D.
【点睛】本题主要考查不等式的的解（集），使不等式成立的的未知数的值，就是不等式的解，由所有不等式的解组成的集合就是不等式的解集.
【变式2-2】（2023春·广东深圳·八年级统考期末）下列各数中，能使不等式12x−2<0成立的是（ ）
A．6B．5C．4D．2
【答案】D
【分析】将A、B、C、D选项逐个代入12x−2中计算出结果，即可作出判断.
【详解】解：当x=6时，12x−2=1＞0，
当x=5时，12x−2=0.5＞0，
当x=4时，12x−2=0，
当x=2时，12x−2=-1＜0，
由此可知，x=2可以使不等式12x−2<0成立．
故选D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解的概念，代入求值是关键.
【变式2-3】（2023春·广西南宁·八年级三美学校校考期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．x=2是不等式3x>5的一个解B．x=2是不等式3x>5的唯一解
C．x=2是不等式3x>5的解集D．x=2不是不等式3x>5的解
【答案】A
【详解】A.x=2是不等式3x＞5的一个解，正确；B.不等式3x＞5的解有无数个，则B错误；C.x=2是不等式3x＞5的解，则C错误；D.x=2是不等式3x＞5的解，则D错误，故选A.
【题型3 在数轴上表示不等式】
【例3】（2023秋·浙江温州·八年级统考期中）如图，在数轴上表示的是下列哪个不等式( )
A．x＞－2B．x＜－2C．x≥－2D．x≤－2
【答案】C
【详解】根据数轴上不等式解集的表示方法得出此不等式组的解集，再对各选项进行逐一判断即可得到x≥-2．
故选C.
本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集，根据题意得出数轴上不等式组的解集是解答此题的关键，注意实点和虚点的区别．
【变式3-1】（2023春•永丰县期中）不等式x≥a的解集在数轴上表示如图所示，则a＝ 2 ．
【分析】根据数轴上表示的解集确定出a的值即可．
【详解】解：根据数轴上的解集得：a＝2，
故答案为：2
【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
【变式3-2】（2023春·全国·八年级专题练习）把下列不等式的解集在数轴上表示出来．
(1)x≥－3；(2)x＞－1；(3)x≤3；(4)x<－32.
【详解】试题分析：
将上述不等式的解集规范的表示在数轴上即可.
试题解析：
（1）将x≥−3表示在数轴上为：
（2）将x>−1表示在数轴上为：
（3）将x≤3表示在数轴上为：
（4）将x<−32表示在数轴上为：
点睛：将不等式的解集表示在数轴上时，需注意两点：（1）“大于（大于或等于）向右，小于（小于或等于）向左”；（2）“x>a或（x【变式3-3】（2023春·全国·八年级专题练习）在数轴上表示不等式﹣3≤x＜6的解集和x的下列值：﹣4，﹣2，0，412，7，并利用数轴说明x的这些数值中，哪些满足不等式﹣3≤x＜6，哪些不满足？
【答案】﹣2，0，412满足不等式；﹣4，7不满足不等式
【分析】根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则将不等式的解集和x的下列值：﹣4，﹣2，0，412，7在数轴上表示出来，这些值如果在解集范围内则表示满足不等式，否则就是不满足不等式．
【详解】解：根据图可知：x的下列值：﹣2，0，412满足不等式；x的下列值：﹣4，7不满足不等式．
【点睛】不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
【题型4 根据实际问题列出不等式】
【例4】（2023春·吉林松原·八年级校联考期中）用不等式表示：x的2倍与y的34的和不大于5，正确的是（ ）
A．2x+34y>5B．2x+34y≥5C．2x+34y≤5D．2x+34y≤5
【答案】D
【分析】根据题意列出不等式，不大于5即≤5．
【详解】解：x的2倍与y的34的和不大于5，即2x+34y≤5，
故选：D．
【点睛】本题考查了列不等式，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．
【变式4-1】（2023春·河南周口·八年级校考期中）据气象台报道．2023年2月14日郑州市的最高气温为14°C，最低气温为6°C，则当天气温t°C的变化范围是 ．
【答案】6≤t≤14/14≥t≥6
【分析】根据最高气温和最低气温，可得答案．
【详解】解：由郑州市的最高气温为14°C，最低气温为6°C，
可得当天气温t°C的变化范围是6≤t≤14，
故答案为：6≤t≤14．
【点睛】本题考查了不等式的定义，熟练根据题意列出不等式是解题的关键．
【变式4-2】（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）某校女子100m跑的记录是14秒．在今年的校春季运动会上，很遗憾，没有人能打破该项记录，若参加运动会的女生小丽的100m成绩为t秒，则用不等式表示为 ．
【答案】t≥14
【分析】根据没有人能打破该项记录列不等式即可．
【详解】解：∵没有人能打破该项记录，
∴t≥14．
故答案为：t≥14．
【点睛】本题考查了列不等式表示数量关系，与列代数式问题相类似，首先要注意其中的运算及运算顺序，再就是要注意分清大于、小于、不大于、不小于的区别．
【变式4-3】（2023春·吉林长春·八年级统考期中）将“a与b的和是负数”用不等式表示为 ．
【答案】a+b<0
【分析】a与b的和为负数即是小于0的数，据此列不等式．
【详解】解：由题意得，a+b<0．
故答案为：a+b<0．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
【知识点2 不等式的基本性质】
性质1：若a＜b，b＜c，则a＜c.这个性质叫做不等式的传递性.
性质2：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。
若a＞b，则a±c＞b±c.
性质3：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
若a＞b，c＞0，则ac＞bc，ac＞bc;
若a＞b，c＜0，则ac＜bc，ac＜bc
【题型5 根据不等式的性质判断正误】
【例5】（2023秋·湖北鄂州·八年级校考期末）下列说法中，错误的个数为( )
①若a>b，则a+c>b+c；
②若a>b，则ac>bc；
③若a>b，则ac2>bc2；
④若a>b，c>d，则ac>bd；
⑤若aA．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【详解】分析：运用不等式的基本性质判定即可．
详解：①若a＞b，则a+c＞b+c；正确；
②若a＞b，则ac＞bc；c的符号不确定，故错误，③若a＞b，则ac2＞bc2；当c=0时不成立．故错误．
④若a＞b，c＞d，则ac＞bd；c，d符号不确定，故错误，⑤若a＜b＜0＜c，则a2c＜b2c．应为a2c＞b2c，故错误．
所以错误的有4个．
故选C．
点睛：本题主要考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟记不等式的性质．
【变式5-1】（2023·四川南充·八年级校考期末）若m＞n，则下列不等式不成立的是（ ）
A．m-2＞n-2B．a-m＞a-nC．ma2+1>na2+1D．-m5 ＜-n5
【答案】B
【详解】分析：
根据不等式的性质进行分析判断即可.
A选项中，因为m＞n，所以m-2＞n-2；故A中不等式成立；
B选项中，因为m＞n，所以-m<-n，所以a-mC选项中，因为m＞n，a2+1>0，所以ma2+1>na2+1，故C中不等式成立；
D选项中，因为m＞n，所以−m5<−n5，故D中不等式成立.
故选B.
点睛：熟记“不等式的性质”，尤其是“当不等式两边同时乘以（或除以）一个负数时，不等号方向要发生改变”是解答这类题的关键.
【变式5-2】（2023春·山东威海·八年级统考期末）设x，y，z是实数，则下列结论正确的是（ ）
A．若x>y，则xz>yzB．若xC．若xy，则x−z>y−z
【答案】D
【分析】根据不等式性质逐选项判断即可．
【详解】解：A，x>y时，不知z的正负，无法判断，因此A选项不符合题意．
B，x−y，再根据不等式基本性质1，两边同时加z，可得：z−x>z−y，因此B选项不符合题意．
C，xD，x>y时，根据不等式基本性质1，两边同时减z，可得：x−z>y−z，因此D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，尤其注意不等式两边同时乘以或除以一个不为0的数时，不等号的变化．
【变式5-3】（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末）如果4x−1<4y−1，那么下列不等式正确的是（ ）
A．5x<5yB．−2x<−2yC．3x−1>3y−1D．2x+1>2y+1
【答案】A
【分析】由已知条件得出x【详解】解：∵ 4x−1<4y−1，
∴4x<4y，
∴xA.5x<5y正确，故该选项符合题意；
B.−2x>−2y，此选项不正确，故该选项不符合题意；
C.3x−1<3y−1，此选项不正确，故该选项不符合题意；
D.2x+1<2y+1，此选项不正确，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，①不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；②不等式性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
【题型6 根据不等式的性质比较大小】
【例6】（2023春·上海普陀·六年级校考期中）比较大小：如果ac>bc，c<0时，那么a b；如果ab>1，b<0，那么a b．
【答案】 < <
【分析】根据不等式的性质进行求解即可：不等式两边同时乘以或除以一个小于0的数或式子，不等式要改变方向．
【详解】解：∵ac>bc，c<0，
∴a∵ab>1，b<0，
∴a故答案为：<；<．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键．
【变式6-1】（2023春·北京大兴·八年级统考期末）比较5a−3b−3a2−2b与5a+3b+1的大小，并说明理由．
【答案】5a−3b−3a2−2b<5a+3b+1，理由见解析
【分析】两个整式相减，用它们的差和零作比较即可做出判断．
【详解】解：5a−3b−3a2−2b<5a+3b+1，
理由如下：
5a−3b−3a2−2b−5a+3b+1
=5a−3b−3a2+6b−5a−3b−1
=−3a2−1，
∵a2≥0，
∴−3a2≤0，
∴−3a2−1≤0−1，
−3a2−1≤−1，
∴−3a2−1<0，
∴5a−3b−3a2−2b−5a+3b+1<0，
∴5a−3b−3a2−2b<5a+3b+1．
【点睛】本题考查了整式加减应用，不等式的性质，准确算出两个整式的差和零作比较是解答本题的关键．
【变式6-2】（2023春·河北保定·八年级统考期末）比较7a与4a的大小关系是（ ）
A．7a<4aB．7a=4aC．7a>4aD．不能确定
【答案】D
【分析】由7＞4，分a＞0，a=0，a＜0三种情况讨论，得出答案即可．
【详解】由7＞4，
当a＞0时，7a＞4a；
当a=0时，7a=4a；
当a＜0时，7a＜4a．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，注意：不等式两边同时乘以负数时，不等号方向改变．
【变式6-3】（2023秋·广东惠州·八年级校考阶段练习）若a−b>0，则a>b；若a−b=0，则a=b；若a−b<0，则a(1)试比较代数式5m2−4m+2与4m2−4m−7的值之间的大小关系；
(2)已知代数式3a+2b与2a+3b相等，试用等式的性质比较a，b的大小关系．
(3)已知12m−13n−1=12n−13m，试用等式的性质比较m，n的大小关系．
【答案】(1)5m2−4m+2>4m2−4m−7
(2)a=b
(3)m>n
【分析】（1）把两个多项式作差比较大小即可；
（2）等式两边同时减去2a+3b即可得到a−b=0，由此即可得到结论；
（3）等式的性质两边同时乘以6可得5m−n=6，m−n>0，由此可得结论．
【详解】（1）解：5m2−4m+2−4m2−4m−7=5m2−4m+2−4m2+4m+7=m2+9．
∵不论m为何值，都有m2+9>0．
∴5m2−4m+2>4m2−4m−7．
（2）解：∵3a+2b=2a+3b，
∴等式两边同时减去2a+3b，得3a+2b−2a+3b=0，
整理得a−b=0，
∴a=b．
（3）解：∵12m−13n−1=12n−13m，
根据等式的性质两边同时乘以6可得3m−2n−6=3n−2m，
整理得5m−5n=6，
即5m−n=6，
∴m−n>0，
∴m>n．
【点睛】本题主要考查了等式的性质和不等式的性质，正确理解题意是解题的关键．
【题型7 根据不等式的解集求字母取值范围】
【例7】（2023·安徽合肥·八年级统考期末）不等式（2a-1）x＜2（2a-1）的解集是x＞2，则a的取值范围是（ ）
A．a＜0B．a＜12C．a＜−12D．a＞−12
【答案】B
【详解】【分析】仔细观察，（2a-1）x＜2（2a-1），要想求得解集，需把（2a-1）这个整体看作x的系数，然后运用不等式的性质求出，给出的解集是x＞2，不等号的方向已改变，说明运用的是不等式的性质3，运用性质3的前提是两边都乘以（或除以）同一个负数，从而求出a的范围．
【详解】∵不等式（2a-1）x＜2（2a-1）的解集是x＞2，
∴不等式的方向改变了，
∴2a-1＜0，
∴a＜12，
故选B．
【点睛】本题考查了利用不等式的性质解含有字母系数的不等式，解题的关键是根据原不等式和给出的解集的情况确定字母系数的取值范围，为此需熟练掌握不等式的基本性质，也是正确解一元一次不等式的基础．
【变式7-1】（2023春·福建泉州·八年级校考期末）若xa−2y，则a的取值范围是 ．
【答案】a<2
【分析】根据不等式的性质，两边同时乘一个负数不等号改变，求出a的取值范围．
【详解】解：∵xa−2y，
∴a−2<0，
∴a<2，
故答案为：a<2．
【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质．
【变式7-2】（2023春·广西南宁·八年级统考期末）若关于x的不等式mx﹣x＞1﹣m的解集是x＜﹣1，则m的取值范围是（ ）
A．m＞1B．m＜1C．m＞﹣1D．m＜﹣1
【答案】B
【分析】根据不等式的性质可得，两边同除以一个负数，不等号方向发生改变，即可求得结果．
【详解】解：将不等式mx−x>1−m化为x(m−1)>1−m，
∵不等号两边同时除以m−1得到x<−1，
∴m−1<0，
解得m<1，
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
【变式7-3】（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）若x>y，且(a+3)x<(a+3)y，求a的取值范围 ．
【答案】a<−3
【分析】根据题意，在不等式x>y的两边同时乘以(a+3)后不等号改变方向，根据不等式的性质3，得出a+3<0，解此不等式即可求解．
【详解】解：∵x>y，且(a+3)x<(a+3)y，
∴a+3<0，
则a<−3．
故答案为：a<−3．
【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【题型8 根据不等式的性质求式子取值范围】
【例8】（2023春·福建泉州·八年级统考期末）已知x−y=5，且x>3,y<0，则x+y的取值范围是（ ）
A．1【答案】A
【分析】直接利用不等式的性质求解．
【详解】解：∵x−y=5，
∴y=x−5，
∵x>3,y<0，
∴3∴1故选：A．
【点睛】此题考查了不等式的性质，正确理解题意掌握计算能力是解题的关键．
【变式8-1】（2023春·河南漯河·八年级统考期末）已知−1A．12<1−12x≤1B．−32<1−12x≤1
C．1≤1−12x≤32D．1≤1−12x<32
【答案】D
【分析】根据不等式的性质，由x通过乘以−1，再乘以12，再加上1，注意不等号方向的变化．
【详解】∵ −1同时乘以−1，0≤−x<1
同时乘以12，0≤−12x<12
同时加上1，1≤1−12x<32．
故选D．
【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．
【变式8-2】（2023春·上海杨浦·六年级校考期中）已知2a+3b+c=0,a>b>c，求2−3ca的取值范围？
【答案】12<2−3ca<17
【分析】由2a+3b+c=0，可得3b=−2a−c，再根据a>b>c，可得3a>−2a−c>3c，再根据不等式的性质解答即可．
【详解】解：∵2a+3b+c=0，
∴3b=−2a−c，
又∵a>b>c，
∴3a>−2a−c>3c，
由3a>−2a−c，得5a>−c，
∴5>−ca，
∴ ca>−5，
∴ −3ca<15；
由−2a−c>3c，得−2a>4c，
∴−2>4ca，
∴ ca<−12，
∴ −3ca>−32，
综上所述，−32<−3ca<15，
∴ 2−32<2−3ca<15+2，
∴ 12<2−3ca<17．
【点睛】本题考查了不等式的性质，根据题意得出3a>−2a−c>3c是解答本题的关键．
【变式8-3】（2023春·四川德阳·八年级统考期末）若6a=2b−6=3c，且b≥0，c≤2，设t=2a+b−c，则t的取值范围为 ．
【答案】0≤t≤6
【分析】由条件可得2b−6≤6，先求解b的取值范围，再把t=2a+b−c化为t=12b−2，再结合不等式的基本性质可得答案．
【详解】解：∵6a=2b−6=3c，c≤2，
∴2b−6≤6，
解得：b≤6而b≥0，
∴0≤b≤6，
∵6a=2b−6=3c，
∴a=13b−1，c=23b−2，
∴t=2a+b−c
=213b−1+b−23b−2
=23b−2+b−23b−2
=b，
∵0≤b≤6，
∴t的取值范围是：0≤t≤6，
故答案为：0≤t≤6．
【点睛】本题考查的是不等式的性质，方程思想的应用，求解0≤b≤6及t=b是解本题的关键．
【题型9 根据不等式的性质求最值】
【例9】（2023春·安徽六安·八年级校考阶段练习）若a+b=−2，且a≥2b，则（ ）
A．a有最小值43B．b有最小值为−23C．ab有最大值2D．ab有最小值−23
【答案】C
【分析】由a+b=−2，a≥2b得a≥2(−a−2)，于是a≥−43，故A错误；a+b=−2，得a=−b−2，得−b−2≥2b，于是b≤−23，故B错误；由b≤−23，a≥2b，得ab≤2，故C正确；ab=−2−bb=−1−2b，无最小值；
【详解】解：A. a有最小值43；
由a+b=−2，得b=−a−2，
∴a≥2(−a−2)，
∴a≥−43，故A错误，本选项不合题意；
B. b有最小值为−23；
由a+b=−2，得a=−b−2，
∴−b−2≥2b，
∴b≤−23，故B错误，本选项不合题意；
C. ab有最大值2，b≤−23
∵a≥2b，
∴ab≤2，故C正确，本选项符合题意；
D. ab有最小值−23，
ab=−2−bb=−1−2b，无最小值；
故选：C．
【点睛】本题考查不等式的性质，等式变形；掌握不等式的性质是解题的关键．
【变式9-1】（2023·甘肃天水·校联考一模）若x+y=3，x≥0，y≥0，则2x+3y的最小值为（ ）
A．0B．3C．6D．9
【答案】C
【分析】把问题转化为2x+3y=6−2y+3y=6+y，利用不等式的性质解决最值问题．
【详解】解：∵x+y=3，
∴x=3−y，
∴2x+3y=6−2y+3y=6+y，
∵x≥0，
∴3−y≥0，即y≤3，
∵y≥0
∴0≤y≤3，
∴6≤y+6≤9，
即6≤2x+3y≤9，
∴y=0时，2x+3y的值最小，最小值为6．
故选：C．
【点睛】本题考查代入消元法、不等式的性质，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．
【变式9-2】（2023秋·浙江·八年级专题练习）若a，b，c，d为整数，且a＜2b，b＜3c，c＜4d，d＜100，则a可能取的最大值是（ ）
A．2367B．2375C．2391D．2399
【答案】A
【分析】需要根据题意确定d的取值，然后依次可得出c、b、a的最大值，继而可得出答案．
【详解】解：∵d＜100，d为整数，
∴d的最大值为99，
∵c<4d=4×99=396，c为整数，
∴c的最大整数为395，
∵b<3c=3×395=1185，b为整数，
∴b的最大整数为1184，
∵a<2b=2×1184=2368，a为整数，
∴a的最大整数为2367．
故选：A
【点睛】本题考查了整数问题，解答本题的关键是根据题意确定d的值．
【变式9-3】（2023春·江苏南通·八年级统考期末）已知实数aa≥0，b满足a−23=1−b2，若m=a+3b，则m的最大值为（ ）
A．9B．7C．5D．72
【答案】B
【分析】先根据题意用a表示出b，再代入m=a+3b，由a≥0即可得出结论．
【详解】解：∵a−23=1−b2，
∴2a−2=31−b，
∴3b=7−2a，
∴m=a+3b
=a+7−2a
=7−a，
∵a≥0，
∴当a=0时，m有最大值，最大值为7．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是把b当做一个已知数求解，用a表示b．
【题型10 不等关系的简单应用】
【例10】（2023春·四川泸州·八年级统考期末）P , Q , R , S四个小朋友玩跷跷板，结果如图所示，则他们的体重大小关系为（ ）
A．R【答案】B
【分析】由图一、二得，S＞P＞R，则S-P＞0，由图三得，P+R＞Q+S，则S-P＜R-Q，所以，R-Q＞0，即R＞Q；即可解答．
【详解】由图一、二得，S＞P＞R，
∴S-P＞0，
由图三得，P+R＞Q+S，
∴S-P＜R-Q，
∴R-Q＞0，
∴R＞Q；
综上，Q＜R＜P＜S．
故选B．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，①不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；②不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【变式10-1】（2023春·八年级课时练习）5名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米，则（ ）
A．a+b2>c+d2B．a+b2【答案】B
【分析】根据题意可得c>a>d>b，利用不等式的性质即可得出结果．
【详解】解：根据把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米，则
c>a>d>b，c−a>0>b−d，
得c+d>a+b，
得：c+d2>a+b2．
即a+b2故选：B．
【点睛】此题考查了一元一次不等式的应用及性质，解题的关键是理解题意，得出相关不等式．
【变式10-2】（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）在数的学习过程中，我们通过对其中一些具有某种特性的数进行研究探索，发现了数字的美和数学的灵动性，现在我们继续探索一类数．
定义：一个各位数字均不为0的四位自然数t，若t的百位、十位数字之和的2倍等于千位与个位数字之和，那我们称这个四位数t为“优数”．
例如：当t＝6414时，∵2×（4+1）﹣（6+4）＝0，∴6414是“优数”；
当t＝4257时，∵2×（2+5）﹣（4+7）＝3≠0，∴4257不是“优数”．
（1）判断1318和7401是否为“优数”，并说明理由；
（2）已知：t＝4abc（1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9且a，b，c均为正整数）是“优数”，且满足4a与bc的差能被7整除，且F（t）＝|4+a﹣b﹣c|，求F（t）的最大值．
【答案】（1）1318不是“优数”，7401是“优数”，理由见解析；（2）2．
【分析】（1）利用“优数”的定义解答即可；
（2）利用“优数”的定义可得：c=2a+2b−4,结合数位上数字的特征可得：2b﹣a+2＝0或7或14，再结合二元一次方程的正整数解可得答案．
【详解】解：（1）1318不是“优数”．理由：
∵2×（1+3）≠1+8，
∴1318不是“优数”；
7401是“优数”．理由：
∵2×（4+0）＝7+1，
∴7401是“优数”．
（2）∵t＝4abc是“优数”，
∴2（a+b）＝4+c．
∴c＝2a+2b﹣4．
∵4a−bc=40+a−10b−c，
∴4a−bc=40+a−10b−(2a+2b−4),
＝44﹣a﹣12b
＝6×7﹣7×2b+2b﹣a+2．
∵4a与bc的差能被7整除，
∴2b﹣a+2能被7整除．
∵1≤a≤9，1≤b≤9，且a，b，c均为正整数，
∴﹣5≤2b﹣a+2≤19．
∴2b﹣a+2＝0或7或14．
∴2b﹣a＝﹣2或5或12．
∵2（a+b）＝4+c，1≤c≤9．
∴5≤2（a+b）≤13．
∴2.5≤a+b≤6.5．
①当2b﹣a＝﹣2时，a＝4，b＝1．则c=2a+2b−4=6,
∴t＝4416．
F（t）＝|4+a﹣b﹣c|＝1；
②当2b﹣a＝5时，a＝1，b＝3．则c=2a+2b−4=4,
∴t＝4134．
∴F（t）＝|4+a﹣b﹣c|＝2；
③当2b﹣a＝12时，
∵a≥1，
∴2b≥13．
∴b≥6.5．这与a+b≤6.5矛盾，此种情况不存在．
综上，F（t）的最大值为：2．
【点睛】本题考查的是新定义情境下的二元一次方程的正整数解问题，不等式的性质的理解，正确理解新定义是解题的关键．
【变式10-3】（2023春·重庆渝北·八年级统考期末）中国共产主义青年团成立100周年之际，某校团委组织义务植树活动，让七、八、九三个年级的学生到某苗圃为本年级的种植点选购树苗，购买树苗的钱由学校统一支付．该苗圃共有a种树苗可供选择，每种树苗分别有大、中、小三类树苗，且每种树苗大、中、小三类的单价分别为80元/棵、10m元/棵、10n元/棵，其中3≤n【答案】90
【分析】由题意得：三个年级的学生各不相同，说明每一类树苗的各类都被三个年级的学生选购，所以730+1220=1950应该是每一类树苗的总价的整数倍，可得(8+m+n)a=195, 结合15≤m+n+8≤21, 195=5×39=15×13=3×65, 可得方程的正整数解，设八年级选了大的树苗x棵，中树苗y棵，可得5x+y=34, 结合x,y,13−x−y都为正整数，可得方程的解，从而可得答案．
【详解】解：由题意得：三个年级的学生各不相同，说明每一类树苗的各类都被三个年级的学生选购，
所以730+1220=1950应该是每一类树苗的总价的整数倍，
∴(80+10m+10n)a=1950, 即(8+m+n)a=195,
∵3≤n∴15≤m+n+8≤21,
而195=5×39=15×13=3×65,
∴{m+n+8=15a=13,
∴n=3,m=4,a=13,
设八年级选了大的树苗x棵，中树苗y棵，则
80x+40y+30(13−x−y)=730,
整理得：5x+y=34,
∵x,y,13−x−y都为正整数，
∴{x=6y=4,
则八年级购买小树苗共花费30(13−6−4)=90（元）．
答：八年级购买小树苗共花费90元．
故答案为：90
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的整数解问题，不等式的性质，理解题意，确定相等关系列方程，再利用方程的正整数解的条件求解方程的解是解本题的关键．
【题型11 利用不等式性质证明不等式】
【例11】（2023春·全国·八年级专题练习）【阅读】在证明“如果a>b>0，c<0，那么a2+bc>ab+ac”时，小明的证明方法如下：
证明：∵a>b>0，
∴a2> ． ∴a2+bc> ．
∵a>b，c<0，
∴bc> ． ∴ab+bc> ．
∴a2+bc>ab+ac．
【问题解决】
(1)请将上面的证明过程填写完整；
(2)有以下几个条件：①a>b，②ab ．你选择的条件序号是 ，并给出证明过程 ．
【答案】(1)见解析
(2)②④，证明见解析
【分析】（1）根据a>b>0，可得a2> ab．从而得到a2+bc> ab+bc ．再由a>b，c<0，可得bc>ac．从而得到ab+bc> ab+ac ．即可求证；
（2）选择②④ ．理由：根据a−b，即可．
【详解】（1）证明：∵a>b>0，
∴a2> ab．
∴a2+bc> ab+bc ．
∵a>b，c<0，
∴bc>ac．
∴ab+bc> ab+ac ．
∴a2+bc>ab+ac ．
（2）解∶选择②④ ．
证明如下： ∵a∴a<0．
∴a=−a，b=−b．
∵a < b，
∴−a>−b．
∴a>b．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，绝对值的性质，熟练掌握不等式的性质，绝对值的性质是解题的关键．
【变式11-1】（2023春•武侯区期末）求证：如果a＞b，e＞f，c＞0，那么f﹣ac＜e﹣bc．
【分析】根据不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，不等式的两边都加同一个数，不等号的方向不变，可得答案．
【详解】证明：∵a＞b，c＞0，
∴﹣ac＜﹣bc．
f﹣ac＜f﹣bc．
∵e＞f，
∴e﹣bc＞f﹣bc．
∴f﹣ac＜e﹣bc．
【点睛】本题考查了不等式的性质，注意不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
【变式11-2】（2023春·全国·八年级专题练习）请先阅读下列材料，再解决问题．
例题:已知n>0，求证: m−12n证明:因为−12<−15，又因为n>0，根据不等式基本性质2，得−12n<−15n，再根据不等式基本性质1，在不等式的两边同时加上m，得m−12n仿照上例，证明下题：已知x<0，求证2x−5y>3x−5y．
【答案】见详解.
【分析】根据材料的证明方法，结合不等式性质，即可得到结论成立.
【详解】解：∵2<3，且x<0，
∴2x>3x，
不等式两边同时减去5y，则
∴2x−5y>3x−5y.
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质进行解题.
【变式11-3】（2023春•夏津县期中）已知实数a，b，c满足：a+b+c＝0，c＞0，3a+2b+c＞0．
求证：（1）a＞c；
（2）﹣2＜ba＜−1．
【分析】（1）根据等式的性质可得3a+2b+c＝（a+b+c）2a+b＝2a+b＞0，由a+b+c＝0可得b＝﹣a﹣c，再代入2a+b＞0解答即可；
（2）由b＝﹣a﹣c，c＞0，由不等式的性质可得b＜﹣a，再根据2a+b＞0可得﹣2a＜b，所以﹣2a＜b＜﹣a，再由a＞0，结合不等式的性质解答即可．
【详解】证明：（1）∵a+b+c＝0，3a+2b+c＞0，
∴3a+2b+c＝（a+b+c）+2a+b＝2a+b＞0，
又∵b＝﹣a﹣c，
∴2a﹣a﹣c＞0，
即a﹣c＞0，
∴a＞c；
（2）∵b＝﹣a﹣c，c＞0，
∴b＜﹣a，
又∵2a+b＞0，
∴﹣2a＜b，
∴﹣2a＜b＜﹣a，
又∵a＞c＞0，
∴﹣2＜ba＜−1．
【点睛】本题主要考查不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．