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    中考数学一轮复习专题2.8 绝对值贯穿有理数的八大经典题型(举一反三)(北师大版)(解析版)
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    中考数学一轮复习专题2.8 绝对值贯穿有理数的八大经典题型(举一反三)(北师大版)(解析版)

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    这是一份中考数学一轮复习专题2.8 绝对值贯穿有理数的八大经典题型(举一反三)(北师大版)(解析版),共20页。


    TOC \ "1-3" \h \u
    \l "_Tc18062" 【题型1 利用绝对值的性质化简求值】 PAGEREF _Tc18062 \h 1
    \l "_Tc11165" 【题型2 利用绝对值的非负性求值】 PAGEREF _Tc11165 \h 3
    \l "_Tc19167" 【题型3 根据字母的取值范围化简绝对值】 PAGEREF _Tc19167 \h 4
    \l "_Tc14840" 【题型4 利用绝对值的定义判断正误】 PAGEREF _Tc14840 \h 6
    \l "_Tc7552" 【题型5 利用绝对值的意义求字母取值范围】 PAGEREF _Tc7552 \h 8
    \l "_Tc23072" 【题型6 利用绝对值的意义分类讨论a|a|问题】 PAGEREF _Tc23072 \h 10
    \l "_Tc16777" 【题型7 分类讨论多绝对值问题】 PAGEREF _Tc16777 \h 13
    \l "_Tc31398" 【题型8 绝对值中最值问题】 PAGEREF _Tc31398 \h 15
    【题型1 利用绝对值的性质化简求值】
    【例1】(2023春·江苏常州·七年级校考期中)如图表示在数轴上四个点p,q,r,s位置关系,若|p-r|=10,|p-s|=12,|q-s|=9,则|q-r|=( )

    A.7B. 9C.11D.13
    【答案】A
    【分析】根据绝对值的几何意义,将|p-r|=10,|p-s|=12,|q-s|=9转化为两点间的距离,进而可得q、r两点间的距离,即可得答案.
    【详解】解:根据绝对值的几何意义,
    由|p-r|=10,|p-s|=12,|q-s|=9可得
    p、r两点间的距离为10,p、s两点间的距离为12,q、s两点间的距离为9,
    则q、r两点间的距离为10+9-12=7,
    即|q-r|=7,
    故选A.
    【点睛】本题考查绝对值的几何意义,|a-b|即两实数a、b表示两个点间的距离.
    【变式1-1】(2023春·山东威海·六年级校联考期中)有理数a、b,在数轴上的位置如图所示,化简a+b+c−c−b的结果为( )
    A.−aB.aC.a+2cD.−a−2c
    【答案】B
    【分析】由数轴可知−11,c<−1,c>b,然后进行去绝对值,进而问题可求解.
    【详解】解:由数轴可得:−11,c<−1,c>b,
    ∴a+b>0,c−b<0,
    ∴a+b+c−c−b=a+b−c+c−b=a;
    故选B.
    【点睛】本题主要考查数轴、绝对值,熟练掌握数轴、绝对值是解题的关键.
    【变式1-2】(2023春·陕西西安·七年级西安市铁一中学校联考阶段练习)化简:|x−2|−|x+1|+|x−4|.
    【答案】|x−2|−|x+1|+|x−4|=7−x , x<−15−3x , −1≤x<21−x , 2≤x<4x−7 , x≥4
    【详解】试题分析:要去掉绝对值符号,需知绝对值中式子的符号,x的取值是有理数范围内任一数,所以要对x的取值分情况讨论,再去绝对值符号.
    试题解析:
    ①当x<−1时,原式=(2−x)−(−x−1)+(4−x)=7−x
    ②当−1≤x<2时,原式=(2−x)−(x+1)+(4−x)=5−3x
    ③当2≤x<4时,原式=(x−2)−(x+1)+(4−x)=1−x
    ④当x≥4时,原式=(x−2)−(x+1)+(x−4)=x−7
    综上所述:|x−2|−|x+1|+|x−4|=7−x , x<−15−3x , −1≤x<21−x , 2≤x<4x−7 , x≥4
    【变式1-3】(2023春·全国·七年级期末)已知a+a=0,bb=−1,c=c,化简:a+2b−c−a+−b−a= .
    【答案】-a-3b-c
    【分析】先确定a、b、c的正负,然后再去绝对值,最后化简求值即可.
    【详解】解:∵a+a=0,bb=−1,c=c,
    ∴a≤0,b<0,c≥0
    ∴a+2b<0,c-a>0,-b-a>0
    ∴a+2b−c−a+−b−a=-(a+2b)-(c-a)+(-b-a)=-a-2b-c+a-b-a=-a-3b-c
    故答案为-a-3b-c.
    【点睛】本题考查了绝对值的相关知识,牢记非负数得绝对值是它本身,负数的绝对值为其相反数,是解答本题的关键.
    【题型2 利用绝对值的非负性求值】
    【例2】(2023春·天津和平·七年级天津二十中校考期中)若有理数x、y满足|x|=3, |y+1|=4,且|x+y|=−(x+y),求|x|+|y|的值.
    【答案】6或8.
    【分析】根据绝对值的性质解得x,y的值,分情况讨论得出符合条件的x,y的值,即可解.
    【详解】∵|x|=3,|y+1|=4,
    ∴x=3或−3,y=3或−5,
    ①当x=3,y=3时,|x+y|=6≠−(x+y)=−6(舍去),
    ②当x=3, y=−5时,|x+y|=2=−(−x+y)=2,
    |x|+|y|=8
    ③当x=−3, y=3时,|x+y|=0=−(x+y)=0,
    |x|+|y|=6.
    ④当x=−3, y=−5时,|x+y|=8=−(x+y)=8,
    |x|+|y|=8.
    则②3④满足,则|x|+|y|=6或8.
    【变式2-1】(2023春·七年级课时练习)已知(a+1)2+|b+5|=b+5,且|2a-b-1|=1,则ab= .
    【答案】2或4.
    【详解】解:根据平方数是非负数,绝对值是非负数的性质可得:|a+1|≥0,|b+5|≥0,∵(a+1)2+|b+5|=b+5,∴b+5≥0,∴(a+1)2+b+5=b+5,∴(a+1)2=0,解得a=-1,b≥﹣5,∵|2a-b-1|=1,∴|-2-b-1|=1,∴|b+3|=1,∴b+3=±1,∴b=-4或b=﹣2,∴当a=-1,b=-2时,ab=2;
    当a=-1,b=-4时,ab=4.
    故答案为2或4.
    点睛:本题主要考查了绝对值是非负数,偶次方是非负数的性质,根据题意列出等式是解题的关键.
    【变式2-2】(2023春·重庆·七年级校考阶段练习)已知x,y均为整数,且|x﹣y|+|x﹣3|=1,则x+y的值为 .
    【答案】5或7或8或4
    【分析】由绝对值的非负性质可知|x﹣y|和|x﹣3|这两个非负整数一个为1,一个为0,即x−y=1,x−3=0或x−3=1,x−y=0,然后解绝对值方程组即可,.
    【详解】解:因为x,y均为整数,x−y+x−3=1,
    可得:x−y=1,x−3=0或x−3=1,x−y=0,
    ∴当x−3=0,x−y=1,可得:x=3,y=2,则x+y=5;
    当x−3=0,x−y=−1,可得:x=3,y=4,则x+y=7;
    当x−3=1,x−y=0,可得:x=4,y=4,则x+y=8;
    当x−3=−1,x−y=0,可得:x=2,y=2,则x+y=4,
    故答案为5或7或8或4.
    【点睛】本题考查了绝对值性质,由非负整数和为1得出加数分别为1和0,然后分类讨论解含绝对值的方程是关键.
    【变式2-3】(2023春·浙江温州·七年级校联考阶段练习)满足|a﹣b|+ab=1的非负整数(a,b)的个数是( )
    A.1B.2C.3D.4
    【答案】C
    【详解】∵|a﹣b|+ab=1,∴|a-b|=1-ab,∵|a﹣b|≥0,∴1-ab≥0,∴ab≤1,
    ∵a,b是非负整数,
    ∴存在(1,1)(1,0)(0,1)3种情况.
    故选C.
    【点睛】本题主要考查非负整数、绝对值的性质,非负整数包括0和正整数,所以a,b可以是0或者是正整数.
    【题型3 根据字母的取值范围化简绝对值】
    【例3】(2023春·黑龙江牡丹江·七年级统考期中)当1【答案】2m−4
    【分析】根据绝对值的性质进行化简即可.
    【详解】解:根据绝对值的性质可知,当1∴ |m−1|−|m−3|=m−1−3−m=2m−4,
    故答案为:2m−4.
    【点睛】本题考查了绝对值的性质,整式的加减,熟知正数的绝对值是其本身、零的绝对值还是零、负数的绝对值是其相反数是解本题的关键.
    【变式3-1】(2023春·全国·七年级专题练习)已知有理数a<−1,则化简a+1+1−a的结果是 .
    【答案】−2a
    【分析】先根据已知条件判断每个绝对值里边的代数式的值是大于0还是小于0,再根据绝对值的性质去掉绝对值符号,最后去括号,合并同类项即可.
    【详解】∵a < - 1,
    ∴a + 1< 0,1- a > 0,
    ∴a+1+1−a
    = (- a -1) + (1- a)
    = - a -1+1- a
    = -2a,
    故答案为: -2a.
    【点睛】本题考查了绝对值和相反数的性质,正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值还是0,掌握以上知识是解题的关键.
    【变式3-2】(2023春·上海·六年级专题练习)已知非零实数a,b,c,a+a=0,ab=ab,c−c=0,化简b−a+b−c−b+a−c.
    【答案】b
    【分析】根据“一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值它的相反数”化简即可.
    【详解】
    ∵a+a=0,ab=ab,c−c=0,
    ∴a<0,b<0,c>0,
    ∴a+b<0,c−b>0,a−c<0,
    ∴原式=−b+a+b−c+b−a+c=b.
    【点睛】本题考查了化简绝对值,整式的加减计算,熟练掌握所学知识是解题关键.
    【变式3-3】(2023春·河南新乡·七年级校考期中)已知,|a|=﹣a,bb=−1,|c|=c,化简|a+b|﹣|a﹣c|﹣|b﹣c|= .
    【答案】−2c
    【分析】根据已知的等式判断出a、b、c的正负,进而确定出a+b、a﹣c、b﹣c的正负,再利用绝对值的代数意义化简,即可求解.
    【详解】解:∵|a|=−a,|b|b=﹣1,|c|=c,
    ∴a为非正数,b为负数,c为非负数,
    ∴a+b<0,a﹣c≤0,b﹣c<0,
    ∴原式=﹣a﹣b+a﹣c+b﹣c=﹣2c,
    故答案为:﹣2c.
    【点睛】本题考查了根据绝对值的代数意义进行化简等知识点,熟练掌握绝对值的代数意义是解答本题的关键.
    【题型4 利用绝对值的定义判断正误】
    【例4】(2023春·湖北宜昌·七年级枝江市实验中学校考期中)如果a+b+c=0,且c>b>a.则下列说法中可能成立的是( )
    A.a、b为正数,c为负数B.a、c为正数,b为负数C.b、c为正数,a为负数D.a、c为正数,b为0
    【答案】A
    【分析】根据有理数的加法,一对相反数的和为0,可得a、b、c中至少有一个为正数,至少有一个为负数,又c>b>a,那么c=b+a,进而得出可能存在的情况.
    【详解】解:∵ a+b+c=0,
    ∴ a、b、c中至少有一个为正数,至少有一个为负数,
    ∵ c>b>a,
    ∴ c=b+a,
    ∴可能a、b为正数,c为负数;也可能a、b为负数,c为正数.
    故选:A.
    【点睛】本题主要考查的是有理数的加法,绝对值的意义,掌握有理数的加法法则是解题的关键.
    【变式4-1】(2023春·四川甘孜·七年级统考期末)已知有理数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示.
    给出下列结论:①a+b+(−c)>0;②(−a)−b+c>0;③a|a|+b|b|+c|c|=1;④bc−a>0;⑤|a−b|−|c+b|+|a+c|=−2b.其中,正确的是 .(填序号)
    【答案】②③
    【分析】根据有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置和绝对值的意义逐一进行判断即可.
    【详解】解:由数轴可知,b<0∴a+−c<0,−a−b>0,
    ∴a+b+(−c)<0,(−a)−b+c>0
    故①不正确,②正确,
    ∵aa=1,bb=−1,cc=1,
    ∴a|a|+b|b|+c|c|=1+−1+1=1,
    故③正确,
    ∵b<0∴bc<0,
    ∴bc−a<0,
    故④不正确,
    ∵b<0∴|a−b|−|c+b|+|a+c|=a−b−c−b+a+c=2a−2b,
    故⑤不正确,
    故答案为:②③.
    【点睛】本题考查了数轴、绝对值,解决本题的关键是掌握绝对值的意义.
    【变式4-2】(2023春·湖北省直辖县级单位·七年级校考阶段练习)已知a、b为有理数,下列说法:
    ①若a、b互为相反数,则ab=1;
    ②若a+b<0,ab>0,则|3a+4b|=﹣3a﹣4b;
    ③若|a﹣b|+a﹣b=0,则b>a;
    ④若|a|>|b|,则(a+b)•(a﹣b)是负数.
    其中错误的是 (填写序号).
    【答案】①③④
    【分析】根据不等式的性质进行判断即可;
    【详解】解:若a=b=0,则ab没有意义,故①符合题意;
    ∵a+b<0,ab>0,
    ∴a<0,b<0,
    ∴3a+4b<0,
    ∴|3a+4b|=﹣3a﹣4b,故②不符合题意;
    ∵|a﹣b|+a﹣b=0,
    ∴|a﹣b|=b﹣a,
    ∴a≤b,故③符合题意;
    若a=﹣2,b=1,
    (a+b)•(a﹣b)=(﹣1)×(﹣3)=3>0,故④符合题意;
    故答案为:①③④.
    【点睛】本题主要考查有理数加法、乘法和除法法则,以及绝对值法则,掌握这些法则是解题的关键.
    【变式4-3】(2023春·湖北咸宁·七年级校联考期中)已知a、b为有理数,且a<0,ab<0,a+b<0,则下列结论:①b(a+b)>0;②a>b;③a<−b【答案】②③④
    【分析】根据a<0,ab<0,a+b<0得b>0,−a>0,从而得b(a+b)<0,a>b,−b<0,a−b<0,进而判断各项结论.
    【详解】解:∵a<0,ab<0,a+b<0,
    ∴b>0,−a>0,
    ∴b(a+b)<0,a>b,−b<0,a−b<0,故①错误,②正确,
    ∴a<−b故答案为:②③④.
    【点睛】本题主要考查了绝对值、有理数的乘法、有理数的比较大小,综合有理数的绝对值、有理数的乘法是解题的关键.
    【题型5 利用绝对值的意义求字母取值范围】
    【例5】(2023春·七年级单元测试)当a取什么范围时,关于x的方程|x﹣4|+2|x﹣2|+|x﹣1|+|x|=a总有解?( )
    A.a≥4.5B.a≥5C.a≥5.5D.a≥6
    【答案】B
    【分析】令y=|x-4|+2|x-2|+|x-1|+|x|,根据x的范围分情况去掉绝对值符号,可求得y≥5,再结合题意即可确定a的范围.
    【详解】令y=|x﹣4|+2|x﹣2|+|x﹣1|+|x|,
    当x≥4时,y=5x﹣9≥11,
    当2<x<4时,y=3x﹣1,
    ∴5<y<11;
    当1≤x≤2时,y=﹣x+7,
    ∴5≤y≤6;
    当0<x<1时,y=﹣3x+9,
    ∴6<y<9;
    当x≤0时,y=﹣5x+9,
    ∴y≥9;
    综上所述,y≥5,
    ∴a≥5时等式恒有解.
    故选:B.
    【点睛】本题考查绝对值的性质;通过构造函数,将等式问题转化为函数问题解题是关键
    【变式5-1】(2023春·四川资阳·七年级校考阶段练习)已知|5x﹣2|=2﹣5x,则x的范围是( )
    A.x>52B.x<25C.x≥25D.x≤25
    【答案】D
    【分析】根据正数的绝对值等于它本身,负数的绝对值等于它的相反数,0的绝对值是0可得出答案.
    【详解】解:∵|5x﹣2|=2﹣5x,
    ∴5x﹣2≤0,
    解得:x⩽25,
    故选:D.
    【点睛】本题考查了绝对值的性质,理解正数的绝对值等于它本身,负数的绝对值等于它的相反数,0的绝对值等于0是解决问题的关键.
    【变式5-2】(2023春·重庆·七年级重庆实验外国语学校校考期末)数a在数轴上对应点位置如图,若数b满足b≤|a|,则b的值不可能是( )
    A.﹣1B.2C.1D.0
    【答案】B
    【分析】根据数轴得到a<2,根据题意解答即可
    【详解】由数轴可知,a<2
    ∵b≤a,
    ∴b<2,
    ∴b可以是−1,1,0不可能是2,
    故选:B.
    【点睛】本题考查了数轴的概念、绝对值的性质,根据数轴确定a的范围是解题的关键.
    【变式5-3】(2023春·山东济南·七年级校联考期中)若|x﹣2+3﹣2x|=|x﹣2|+|3﹣2x|成立,则x的范围是 .
    【答案】32≤x≤2
    【分析】根据绝对值的性质可得x−2≤03−2x≤0或x−2≥03−2x≥0,解不等式组即可求解.
    【详解】∵|x-2+3-2x|=|x-2|+|3-2x|,
    ∴x−2≤03−2x≤0或x−2≥03−2x≥0,
    解得32≤x≤2 .
    故x的范围是32≤x≤2.
    故答案为32≤x≤2.
    【点睛】考查了绝对值,如果用字母a表示有理数,则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定:①当a是正有理数时,a的绝对值是它本身a;②当a是负有理数时,a的绝对值是它的相反数-a;③当a是零时,a的绝对值是零.
    【题型6 利用绝对值的意义分类讨论a|a|问题】
    【例6】(2023春·全国·七年级专题练习)已知a,b,c为有理数,且a+b+c=0,abc<0,则aa+bb+cc的值为( )
    A.1B.−1或−3C.1或−3D.−1或3
    【答案】A
    【分析】先根据有理数的乘法法则推出:要使三个数的乘积为负,a,b,c中应有奇数个负数,进而可将a,b,c的符号分两种情况:1负2正或3负;再根据加法法则:要使三个数的和为0,a,b,c的符号只能为1负2正,然后化简即得.
    【详解】∵abc<0
    ∴a,b,c中应有奇数个负数
    ∴a,b,c的符号可以为:1负2正或3负
    ∵a+b+c=0
    ∴a,b,c的符号为1负2正
    令a<0,b>0,c>0
    ∴a=−a,b=b,c=c
    ∴aa+bb+cc =−1+1+1=1
    故选:A.
    【点睛】本题考查了绝对值的性质、乘法法则及加法法则,利用加法法则和乘法法则确定数的符号是解题关键.
    【变式6-1】(2023·浙江·模拟预测)有理数a,b,c均不为0.且a+b+c=0,设x=|a|b+c+|b|c+a+|c|a+b,则代数式x21−21x+2010的值是( )
    A.2010B.1990C.2030或1990D.2010或1990
    【答案】C
    【分析】根据题意可得a,b,c中不能全同号,必有一正两负或两正一负,a=-(b+c),b=-(c+a),c=-(a+b),则可得|a|b+c,|b|c+a,|c|a+b的值为两个+1,一个-1或两个-1,一个+1,即可求得x的值,代入即可求得答案.
    【详解】解:由a,b,c均不为0,知b+c,c+a,a+b均不为0,
    ∵a+b+c=0,
    ∴a=-(b+c),b=-(c+a),c=-(a+b),
    又a,b,c中不能全同号,故必一正二负或一负二正,
    ∴|a|b+c,|b|c+a,|c|a+b中必有两个同号,另一个符号相反,
    即其值为两个+1,一个-1或两个-1,一个+1,
    ∴x=|a|b+c+|b|c+a+|c|a+b=±1,
    ∴x21−21x+2010=121−21+2010=1990,
    或x21−21x+2010=−121−21×−1+2010=2030,
    故选C.
    【点睛】本题考查了代数式求值,注意分类讨论思想的应用.能得到|a|b+c,|b|c+a,|c|a+b的值为两个+1,一个-1或两个-1,一个+1是解此题的关键,要注意仔细分析,难度适中.
    【变式6-2】(2023春·浙江·七年级专题练习)已知有理数a、b、c、d满足abcdabcd=−1,求a|a|+b|b|+c|c|+d|d|的值.
    【答案】2或−2
    【分析】根据abcdabcd=−1,得到a,b,c,d中负数个数为1个或3个,然后分情况求解即可.
    【详解】解:根据abcdabcd=−1,得到a,b,c,d中负数个数为1个或3个,
    则原式=−1+1+1+1=2或−1−1−1+1=−2.
    【点睛】本题考查了绝对值的意义以及有理数的混合运算,熟练掌握绝对值的意义结合分类讨论的思想解题是关键.
    【变式6-3】(2023春·四川内江·七年级四川省内江市第六中学校考期中)已知x1,x2,x3,⋯x2021都是不等于0的有理数,若y1=x1x1,求y1的值.
    解:当x1>0时,y1=x1x1=x1x1=1,当x1﹤0时,y1=x1x1=−x1x1=−1,所以y1=±1
    (1)若y2=|x1|x1+|x2|x2,则y2的值为______;
    (2)若y3=|x1|x1+|x2|x2+|x3|x3,则y3的值为______;
    (3)由以上探究猜想,y2021=x1x1+x2x2+x3x3+⋯+x2021x2021,共有_____个不同的值.
    (4)应用:如果a、b、c是非零实数,且a+b+c=0,那a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|的所有可能的值为______?
    【答案】(1)±2或0
    (2)±1或±3
    (3)2022
    (4)0
    【分析】(1)由题意可得|x1|x1=±1,|x2|x2=±1,再求解即可;
    (2)由题意可得|x1|x1=±1,|x2|x2=±1,|x3|x3=±1,再求解即可;
    (3)通过计算发现规律:y2021有2022个值,最大值2021,最小值为−2021,再求解即可;
    (4)根据正负性去绝对值计算即可,注意分类讨论.
    【详解】(1)解:∵ |x1|x1=±1,|x2|x2=±1,
    ∴ y2=|x1|x1+|x2|x2=±2或0,
    故答案为:±2或0;
    (2)解:∵ |x1|x1=±1,|x2|x2=±1,|x3|x3=±1,
    ∴ y3=|x1|x1+|x2|x2+|x3|x3=±1或±3,
    故答案为:±1或±3;
    (3)解:由(1)(2)可知,y1有2个值,y2有3个值,y3有4个值,
    ∴y2021有2022个值,最大值2021,最小值为−2021,
    故答案为:2022.
    (4)解:∵a、b、c是非零实数,且a+b+c=0,
    ∴a、b、c是两个正数一个负数或一个正数两个负数,
    当a、b、c是两个正数一个负数时,abc<0,此时a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|=1+1−1−1=0;
    当a、b、c是一个正数两个负数时,abc>0,此时a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|=1−1−1+1=0;
    ∴a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|=0,
    故答案为:0.
    【点睛】本题考查数字的变化规律、绝对值化简,通过计算,从特殊到一般进行归纳,探索出结果的规律是解题的关键.
    【题型7 分类讨论多绝对值问题】
    【例7】(2023春·广西南宁·七年级校考期中)在数轴上有四个互不相等的有理数a、b、c、d,若|a−b|+|b−c|=c−a,设d在a、c之间,则|a−d|+ |d−c|+|c−b|+|a−c|= .
    【答案】−2a−b+3c
    【分析】由a−b+b−c=c−a⇒a【详解】解:∵a−b+b−c=c−a,
    ∴a<b<c,
    ∵d在a、c之间,
    ∴ a当a当a故答案为:−2a−b+3c
    【点睛】本题考查去绝对值,解题的关键是分类讨论思想的应用.
    【变式7-1】(2023春·湖北武汉·七年级校考阶段练习)已知a,b,c,d都是整数,且a+b+b+c+c+d+d+a=2,则a+b= .
    【答案】1或0.
    【分析】根据题意易知|a+b|、|b+c|、|c+d|、|d+a|是整数,所以不外乎两种可能:①3个为0,1个为2;②2个为0,2个为1,继而讨论|a+d|的值.
    【详解】由题意得:|a+b|、|b+c|、|c+d|、|d+a|是整数,所以有两种可能:
    ①3个为0,1个为2,
    ②2个为0,2个为1,
    所以|a+d|只可能取0、1、2,若为2,
    则|a+b|=|b+c|=|c+d|=0,
    不难得出a=-d,所以|a+d|=0,与假设|a+d|=2矛盾.
    所以|a+d|只可能取0、1,a=0,b=0,c=-1,d=1时|a+d|=1;
    a=-1,b=0,c=0,d=1时|a+d|=0.
    故答案为1或0.
    【点睛】本题考查了绝对值的知识,难度较大,注意对各种情况的讨论,不要漏解.
    【变式7-2】(2023春·福建泉州·七年级统考期末)已知x是有理数,且x有无数个值可以使得代数式2021x+20212+x+2021+2022x+20222的值是同一个常数,则此常数为 .
    【答案】2022
    【分析】由题意确定出x的取值范围,然后按照这个取值范围化简原式即可求出此常数.
    【详解】由题意,得将2021x+20212+x+2021+2022x+20222进行化简后代数式中不含x,才能满足题意.
    因此,当−2022≤x≤−2021时,
    原式=−20212−2021x−x−2021+2022x+20222
    =−2021x−x+2022x−20212−2021+20222
    =2022.
    故答案为:2022.
    【点睛】本题考查了绝对值的性质、有理数的加减,解题的关键是确定x的取值范围.
    【变式7-3】(2023春·四川成都·七年级成都实外校考期中)已知m、n为有理数,方程||x+m|−n|=2.7仅有三个不相等的解,则n= .
    【答案】2.7
    【分析】含有绝对值的方程,先去掉外边绝对值得|x+m|=2.7+n或|x+m|=−2.7+n,由于仅有3个不相等的解,则−2.7+n=0,解方程求得n的值.
    【详解】解:∵||x+m|−n|=2.7,
    ∴|x+m|=2.7+n或|x+m|=−2.7+n,
    当|x+m|=2.7+n时,x=2.7+n−m或x=−2.7−n−m,
    当|x+m|=−2.7+n时,x=−2.7+n−m或x=2.7−n−m,
    ∵方程||x+m|−n|=2.7仅有三个不相等的解,
    ∴−2.7+n=0时,n=2.7或2.7+n=0时,n=−2.7,
    当n=−2.7时,|x+m|=−5.4,不成立,
    ∴n=2.7,
    综上所述:n的值为2.7,
    故答案为:2.7.
    【点睛】本题考查绝对值方程,分类讨论是解题的关键.
    【题型8 绝对值中最值问题】
    【例8】(2023春·江苏·七年级期末)如图,数轴上有点a,b,c三点.
    (1)用“<”将a,b,c连接起来.
    (2)b-a______0(填“<”“>”,“=”);
    (3)化简|c-b|-|c-a|+|a-1|;
    (4)用含a,b的式子表示下列的最小值.
    ①|x-a|+|x-b|的最小值为_______;
    ②|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值为_______.
    【答案】(1)c<a<b,(2)>,(3)b-1;(4)①b﹣a;②b﹣c.
    【分析】(1)比较有理数的大小可以利用数轴,它们从左到右的顺序,即从小到大的顺序(在数轴上表示的两个有理数,右边的数总比左边的数大);
    (2)先求出b﹣a的范围,再比较大小即可求解;
    (3)先计算绝对值,再合并同类项即可求解;
    (4)根据绝对值的性质以及题意即可求出答案.
    【详解】解:(1)根据数轴上的点得:c<a<b;
    (2)由题意得:b﹣a>0;
    (3)|c﹣b|﹣|c﹣a|+|a﹣1|
    =b﹣c﹣(a﹣c)+a﹣1
    =b﹣c﹣a+c+a﹣1
    =b-1;
    (4)由图形可知:①当x在a和b之间时,|x﹣a|+|x﹣b|有最小值,
    ∴|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为:x﹣a+b﹣x=b﹣a;
    ②当x=a时,|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|=0+b﹣a+a﹣c=b﹣c为最小值.
    故答案为:①b﹣a;②b﹣c.
    【点睛】考查了数轴,通过比较,可以发现借助数轴用几何方法化简含有绝对值的式子,比较有关数的大小有直观、简捷,举重若轻的优势.
    【变式8-1】(2023春·广东汕头·七年级校考阶段练习)(1)在数轴上,点A表示数−3,点O表示原点,点A、O之间的距离= .
    (2)在数轴上,点A、B分别表示数a、b,点A、B之间的距离=a−b,数轴上分别表示a和−2的两点A和B之间的距离为3,那么a=
    (3)计算:13−12+14−13+15−14+⋅⋅⋅+12020−12019=
    (4)3−a+a−2的最小值是
    【答案】(1)3;(2)1或−5;(3)10092020;(4)1
    【分析】(1)数轴上两点的距离=右边的数−左边的数,据此即可得到答案;
    (2)根据已知中两点的距离公式计算,即可得到答案;
    (3)根据绝对值的意义去绝对值符号,再进行计算,即可得到答案;
    (4)分三种情况讨论,分别求出最小值,比较即可得到答案.
    【详解】解:(1)∵点A表示数−3,点O表示原点,
    点A、O之间的距离=0−−3=3,
    故答案为:3;
    (2)∵数轴上分别表示a和−2的两点A和B之间的距离为3,
    ∴a−−2=3,
    ∴a=1或a=−5,
    故答案为:1或−5;
    (3)13−12+14−13+15−14+⋅⋅⋅+12020−12019
    =12−13+13−14+14−15+…+12019−12020
    =12−12020
    =10092020,
    故答案为:10092020;
    (4)当a≥3时,3−a+a−2=a−3+a−2=2a−5,此时最小值为2×3−5=1;
    当2当a≤2时,3−a+a−2=3−a+2−a=5−2a,此时最小值为5−2×2=1,
    综上可知,3−a+a−2的最小值是1,
    故答案为:1.
    【点睛】本题考查了绝对值的意义和数轴的定理,解题关键是掌握一个正数的绝对值是它本身;零的绝对值是零;一个负数的绝对值是它的相反数.
    【变式8-2】(2023春·福建泉州·七年级福建省永春第三中学校联考期中)已知|x+1|+|x−2||y−2|+|y+1||z−3|+|z+1|=36,则2016x+2017y+2018z的最大值是 .最小值是 .
    【答案】 14120 −6051
    【分析】先讨论∶ |x+1|+|x−2|、y−2+y+1、z−3+z+1的最小值,根据它们的积是36,分别得到|x+1|+|x−2|、y−2+y+1、z−3+z+1的值, 再讨论x、y、z的最大最小值,代入计算出代数式的最大值和最小值.
    【详解】解:∵|x+1|+|x−2|≥3,y−2+y+1≥3,z−3+z+1≥4,|x+1|+|x−2||y−2|+|y+1||z−3|+|z+1|=36
    ∴|x+1|+|x−2|=3,y−2+y+1=3,z−3+z+1=4,
    当|x+1|+|x−2|=3时,x最小取−1,最大取2,
    当y−2+y+1=3时,y最小取−1,最大取2,
    当z−3+z+1=4时,z最小取−1,最大取3
    ∴2016x+2017y+2018z的最大值为∶
    2016×2+2017×2+2018×3
    =14120,
    2016x+2017y+2018z的最小值为∶
    2016×−1+2017×−1+2018×−1
    =−6051 ,
    故答案为:14120;−6051.
    【点睛】本题考查了绝对值的意义,主要运用了分类讨论的思想.根据积得到各个绝对值的和分别是多少是解决本题的关键.
    【变式8-3】(2023春·江苏泰州·七年级校考阶段练习)三个整数a,b,c满足a【答案】34
    【分析】根据a+b+c=0,a0,a+b<0,则a>b,再由a<10,a,b,c都是整数,得到a≤9则b≤8,根据a+b=−b+a=−b−a,b≥−b,a≥a即可得到c=−a−b=a+b≤a+b≤17,由此求解即可.
    【详解】解:∵a+b+c=0,a∴a<0,c>0,a+b<0,
    ∴a>b,
    ∵a<10,a,b,c都是整数,
    ∴a≤9
    ∴b≤8,
    ∵a+b=−b+a=−b−a,b≥−b,a≥a
    ∴c=−a−b=a+b≤a+b≤17,
    ∴a+b+c的值最大为9+8+17=34,
    故答案为:34.
    【点睛】本题主要考查了绝对值,解题的关键在于能够根据题意得到a<0,c>0,a+b<0.
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