中考数学一轮复习专题2.8 绝对值贯穿有理数的八大经典题型(举一反三)(北师大版)(解析版)
展开TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc18062" 【题型1 利用绝对值的性质化简求值】 PAGEREF _Tc18062 \h 1
\l "_Tc11165" 【题型2 利用绝对值的非负性求值】 PAGEREF _Tc11165 \h 3
\l "_Tc19167" 【题型3 根据字母的取值范围化简绝对值】 PAGEREF _Tc19167 \h 4
\l "_Tc14840" 【题型4 利用绝对值的定义判断正误】 PAGEREF _Tc14840 \h 6
\l "_Tc7552" 【题型5 利用绝对值的意义求字母取值范围】 PAGEREF _Tc7552 \h 8
\l "_Tc23072" 【题型6 利用绝对值的意义分类讨论a|a|问题】 PAGEREF _Tc23072 \h 10
\l "_Tc16777" 【题型7 分类讨论多绝对值问题】 PAGEREF _Tc16777 \h 13
\l "_Tc31398" 【题型8 绝对值中最值问题】 PAGEREF _Tc31398 \h 15
【题型1 利用绝对值的性质化简求值】
【例1】(2023春·江苏常州·七年级校考期中)如图表示在数轴上四个点p,q,r,s位置关系,若|p-r|=10,|p-s|=12,|q-s|=9,则|q-r|=( )
A.7B. 9C.11D.13
【答案】A
【分析】根据绝对值的几何意义,将|p-r|=10,|p-s|=12,|q-s|=9转化为两点间的距离,进而可得q、r两点间的距离,即可得答案.
【详解】解:根据绝对值的几何意义,
由|p-r|=10,|p-s|=12,|q-s|=9可得
p、r两点间的距离为10,p、s两点间的距离为12,q、s两点间的距离为9,
则q、r两点间的距离为10+9-12=7,
即|q-r|=7,
故选A.
【点睛】本题考查绝对值的几何意义,|a-b|即两实数a、b表示两个点间的距离.
【变式1-1】(2023春·山东威海·六年级校联考期中)有理数a、b,在数轴上的位置如图所示,化简a+b+c−c−b的结果为( )
A.−aB.aC.a+2cD.−a−2c
【答案】B
【分析】由数轴可知−11,c<−1,c>b,然后进行去绝对值,进而问题可求解.
【详解】解:由数轴可得:−11,c<−1,c>b,
∴a+b>0,c−b<0,
∴a+b+c−c−b=a+b−c+c−b=a;
故选B.
【点睛】本题主要考查数轴、绝对值,熟练掌握数轴、绝对值是解题的关键.
【变式1-2】(2023春·陕西西安·七年级西安市铁一中学校联考阶段练习)化简:|x−2|−|x+1|+|x−4|.
【答案】|x−2|−|x+1|+|x−4|=7−x , x<−15−3x , −1≤x<21−x , 2≤x<4x−7 , x≥4
【详解】试题分析:要去掉绝对值符号,需知绝对值中式子的符号,x的取值是有理数范围内任一数,所以要对x的取值分情况讨论,再去绝对值符号.
试题解析:
①当x<−1时,原式=(2−x)−(−x−1)+(4−x)=7−x
②当−1≤x<2时,原式=(2−x)−(x+1)+(4−x)=5−3x
③当2≤x<4时,原式=(x−2)−(x+1)+(4−x)=1−x
④当x≥4时,原式=(x−2)−(x+1)+(x−4)=x−7
综上所述:|x−2|−|x+1|+|x−4|=7−x , x<−15−3x , −1≤x<21−x , 2≤x<4x−7 , x≥4
【变式1-3】(2023春·全国·七年级期末)已知a+a=0,bb=−1,c=c,化简:a+2b−c−a+−b−a= .
【答案】-a-3b-c
【分析】先确定a、b、c的正负,然后再去绝对值,最后化简求值即可.
【详解】解:∵a+a=0,bb=−1,c=c,
∴a≤0,b<0,c≥0
∴a+2b<0,c-a>0,-b-a>0
∴a+2b−c−a+−b−a=-(a+2b)-(c-a)+(-b-a)=-a-2b-c+a-b-a=-a-3b-c
故答案为-a-3b-c.
【点睛】本题考查了绝对值的相关知识,牢记非负数得绝对值是它本身,负数的绝对值为其相反数,是解答本题的关键.
【题型2 利用绝对值的非负性求值】
【例2】(2023春·天津和平·七年级天津二十中校考期中)若有理数x、y满足|x|=3, |y+1|=4,且|x+y|=−(x+y),求|x|+|y|的值.
【答案】6或8.
【分析】根据绝对值的性质解得x,y的值,分情况讨论得出符合条件的x,y的值,即可解.
【详解】∵|x|=3,|y+1|=4,
∴x=3或−3,y=3或−5,
①当x=3,y=3时,|x+y|=6≠−(x+y)=−6(舍去),
②当x=3, y=−5时,|x+y|=2=−(−x+y)=2,
|x|+|y|=8
③当x=−3, y=3时,|x+y|=0=−(x+y)=0,
|x|+|y|=6.
④当x=−3, y=−5时,|x+y|=8=−(x+y)=8,
|x|+|y|=8.
则②3④满足,则|x|+|y|=6或8.
【变式2-1】(2023春·七年级课时练习)已知(a+1)2+|b+5|=b+5,且|2a-b-1|=1,则ab= .
【答案】2或4.
【详解】解:根据平方数是非负数,绝对值是非负数的性质可得:|a+1|≥0,|b+5|≥0,∵(a+1)2+|b+5|=b+5,∴b+5≥0,∴(a+1)2+b+5=b+5,∴(a+1)2=0,解得a=-1,b≥﹣5,∵|2a-b-1|=1,∴|-2-b-1|=1,∴|b+3|=1,∴b+3=±1,∴b=-4或b=﹣2,∴当a=-1,b=-2时,ab=2;
当a=-1,b=-4时,ab=4.
故答案为2或4.
点睛:本题主要考查了绝对值是非负数,偶次方是非负数的性质,根据题意列出等式是解题的关键.
【变式2-2】(2023春·重庆·七年级校考阶段练习)已知x,y均为整数,且|x﹣y|+|x﹣3|=1,则x+y的值为 .
【答案】5或7或8或4
【分析】由绝对值的非负性质可知|x﹣y|和|x﹣3|这两个非负整数一个为1,一个为0,即x−y=1,x−3=0或x−3=1,x−y=0,然后解绝对值方程组即可,.
【详解】解:因为x,y均为整数,x−y+x−3=1,
可得:x−y=1,x−3=0或x−3=1,x−y=0,
∴当x−3=0,x−y=1,可得:x=3,y=2,则x+y=5;
当x−3=0,x−y=−1,可得:x=3,y=4,则x+y=7;
当x−3=1,x−y=0,可得:x=4,y=4,则x+y=8;
当x−3=−1,x−y=0,可得:x=2,y=2,则x+y=4,
故答案为5或7或8或4.
【点睛】本题考查了绝对值性质,由非负整数和为1得出加数分别为1和0,然后分类讨论解含绝对值的方程是关键.
【变式2-3】(2023春·浙江温州·七年级校联考阶段练习)满足|a﹣b|+ab=1的非负整数(a,b)的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【详解】∵|a﹣b|+ab=1,∴|a-b|=1-ab,∵|a﹣b|≥0,∴1-ab≥0,∴ab≤1,
∵a,b是非负整数,
∴存在(1,1)(1,0)(0,1)3种情况.
故选C.
【点睛】本题主要考查非负整数、绝对值的性质,非负整数包括0和正整数,所以a,b可以是0或者是正整数.
【题型3 根据字母的取值范围化简绝对值】
【例3】(2023春·黑龙江牡丹江·七年级统考期中)当1
【分析】根据绝对值的性质进行化简即可.
【详解】解:根据绝对值的性质可知,当1
故答案为:2m−4.
【点睛】本题考查了绝对值的性质,整式的加减,熟知正数的绝对值是其本身、零的绝对值还是零、负数的绝对值是其相反数是解本题的关键.
【变式3-1】(2023春·全国·七年级专题练习)已知有理数a<−1,则化简a+1+1−a的结果是 .
【答案】−2a
【分析】先根据已知条件判断每个绝对值里边的代数式的值是大于0还是小于0,再根据绝对值的性质去掉绝对值符号,最后去括号,合并同类项即可.
【详解】∵a < - 1,
∴a + 1< 0,1- a > 0,
∴a+1+1−a
= (- a -1) + (1- a)
= - a -1+1- a
= -2a,
故答案为: -2a.
【点睛】本题考查了绝对值和相反数的性质,正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值还是0,掌握以上知识是解题的关键.
【变式3-2】(2023春·上海·六年级专题练习)已知非零实数a,b,c,a+a=0,ab=ab,c−c=0,化简b−a+b−c−b+a−c.
【答案】b
【分析】根据“一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值它的相反数”化简即可.
【详解】
∵a+a=0,ab=ab,c−c=0,
∴a<0,b<0,c>0,
∴a+b<0,c−b>0,a−c<0,
∴原式=−b+a+b−c+b−a+c=b.
【点睛】本题考查了化简绝对值,整式的加减计算,熟练掌握所学知识是解题关键.
【变式3-3】(2023春·河南新乡·七年级校考期中)已知,|a|=﹣a,bb=−1,|c|=c,化简|a+b|﹣|a﹣c|﹣|b﹣c|= .
【答案】−2c
【分析】根据已知的等式判断出a、b、c的正负,进而确定出a+b、a﹣c、b﹣c的正负,再利用绝对值的代数意义化简,即可求解.
【详解】解:∵|a|=−a,|b|b=﹣1,|c|=c,
∴a为非正数,b为负数,c为非负数,
∴a+b<0,a﹣c≤0,b﹣c<0,
∴原式=﹣a﹣b+a﹣c+b﹣c=﹣2c,
故答案为:﹣2c.
【点睛】本题考查了根据绝对值的代数意义进行化简等知识点,熟练掌握绝对值的代数意义是解答本题的关键.
【题型4 利用绝对值的定义判断正误】
【例4】(2023春·湖北宜昌·七年级枝江市实验中学校考期中)如果a+b+c=0,且c>b>a.则下列说法中可能成立的是( )
A.a、b为正数,c为负数B.a、c为正数,b为负数C.b、c为正数,a为负数D.a、c为正数,b为0
【答案】A
【分析】根据有理数的加法,一对相反数的和为0,可得a、b、c中至少有一个为正数,至少有一个为负数,又c>b>a,那么c=b+a,进而得出可能存在的情况.
【详解】解:∵ a+b+c=0,
∴ a、b、c中至少有一个为正数,至少有一个为负数,
∵ c>b>a,
∴ c=b+a,
∴可能a、b为正数,c为负数;也可能a、b为负数,c为正数.
故选:A.
【点睛】本题主要考查的是有理数的加法,绝对值的意义,掌握有理数的加法法则是解题的关键.
【变式4-1】(2023春·四川甘孜·七年级统考期末)已知有理数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示.
给出下列结论:①a+b+(−c)>0;②(−a)−b+c>0;③a|a|+b|b|+c|c|=1;④bc−a>0;⑤|a−b|−|c+b|+|a+c|=−2b.其中,正确的是 .(填序号)
【答案】②③
【分析】根据有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置和绝对值的意义逐一进行判断即可.
【详解】解:由数轴可知,b<0∴a+−c<0,−a−b>0,
∴a+b+(−c)<0,(−a)−b+c>0
故①不正确,②正确,
∵aa=1,bb=−1,cc=1,
∴a|a|+b|b|+c|c|=1+−1+1=1,
故③正确,
∵b<0∴bc<0,
∴bc−a<0,
故④不正确,
∵b<0∴|a−b|−|c+b|+|a+c|=a−b−c−b+a+c=2a−2b,
故⑤不正确,
故答案为:②③.
【点睛】本题考查了数轴、绝对值,解决本题的关键是掌握绝对值的意义.
【变式4-2】(2023春·湖北省直辖县级单位·七年级校考阶段练习)已知a、b为有理数,下列说法:
①若a、b互为相反数,则ab=1;
②若a+b<0,ab>0,则|3a+4b|=﹣3a﹣4b;
③若|a﹣b|+a﹣b=0,则b>a;
④若|a|>|b|,则(a+b)•(a﹣b)是负数.
其中错误的是 (填写序号).
【答案】①③④
【分析】根据不等式的性质进行判断即可;
【详解】解:若a=b=0,则ab没有意义,故①符合题意;
∵a+b<0,ab>0,
∴a<0,b<0,
∴3a+4b<0,
∴|3a+4b|=﹣3a﹣4b,故②不符合题意;
∵|a﹣b|+a﹣b=0,
∴|a﹣b|=b﹣a,
∴a≤b,故③符合题意;
若a=﹣2,b=1,
(a+b)•(a﹣b)=(﹣1)×(﹣3)=3>0,故④符合题意;
故答案为:①③④.
【点睛】本题主要考查有理数加法、乘法和除法法则,以及绝对值法则,掌握这些法则是解题的关键.
【变式4-3】(2023春·湖北咸宁·七年级校联考期中)已知a、b为有理数,且a<0,ab<0,a+b<0,则下列结论:①b(a+b)>0;②a>b;③a<−b【答案】②③④
【分析】根据a<0,ab<0,a+b<0得b>0,−a>0,从而得b(a+b)<0,a>b,−b<0,a−b<0,进而判断各项结论.
【详解】解:∵a<0,ab<0,a+b<0,
∴b>0,−a>0,
∴b(a+b)<0,a>b,−b<0,a−b<0,故①错误,②正确,
∴a<−b故答案为:②③④.
【点睛】本题主要考查了绝对值、有理数的乘法、有理数的比较大小,综合有理数的绝对值、有理数的乘法是解题的关键.
【题型5 利用绝对值的意义求字母取值范围】
【例5】(2023春·七年级单元测试)当a取什么范围时,关于x的方程|x﹣4|+2|x﹣2|+|x﹣1|+|x|=a总有解?( )
A.a≥4.5B.a≥5C.a≥5.5D.a≥6
【答案】B
【分析】令y=|x-4|+2|x-2|+|x-1|+|x|,根据x的范围分情况去掉绝对值符号,可求得y≥5,再结合题意即可确定a的范围.
【详解】令y=|x﹣4|+2|x﹣2|+|x﹣1|+|x|,
当x≥4时,y=5x﹣9≥11,
当2<x<4时,y=3x﹣1,
∴5<y<11;
当1≤x≤2时,y=﹣x+7,
∴5≤y≤6;
当0<x<1时,y=﹣3x+9,
∴6<y<9;
当x≤0时,y=﹣5x+9,
∴y≥9;
综上所述,y≥5,
∴a≥5时等式恒有解.
故选:B.
【点睛】本题考查绝对值的性质;通过构造函数,将等式问题转化为函数问题解题是关键
【变式5-1】(2023春·四川资阳·七年级校考阶段练习)已知|5x﹣2|=2﹣5x,则x的范围是( )
A.x>52B.x<25C.x≥25D.x≤25
【答案】D
【分析】根据正数的绝对值等于它本身,负数的绝对值等于它的相反数,0的绝对值是0可得出答案.
【详解】解:∵|5x﹣2|=2﹣5x,
∴5x﹣2≤0,
解得:x⩽25,
故选:D.
【点睛】本题考查了绝对值的性质,理解正数的绝对值等于它本身,负数的绝对值等于它的相反数,0的绝对值等于0是解决问题的关键.
【变式5-2】(2023春·重庆·七年级重庆实验外国语学校校考期末)数a在数轴上对应点位置如图,若数b满足b≤|a|,则b的值不可能是( )
A.﹣1B.2C.1D.0
【答案】B
【分析】根据数轴得到a<2,根据题意解答即可
【详解】由数轴可知,a<2
∵b≤a,
∴b<2,
∴b可以是−1,1,0不可能是2,
故选:B.
【点睛】本题考查了数轴的概念、绝对值的性质,根据数轴确定a的范围是解题的关键.
【变式5-3】(2023春·山东济南·七年级校联考期中)若|x﹣2+3﹣2x|=|x﹣2|+|3﹣2x|成立,则x的范围是 .
【答案】32≤x≤2
【分析】根据绝对值的性质可得x−2≤03−2x≤0或x−2≥03−2x≥0,解不等式组即可求解.
【详解】∵|x-2+3-2x|=|x-2|+|3-2x|,
∴x−2≤03−2x≤0或x−2≥03−2x≥0,
解得32≤x≤2 .
故x的范围是32≤x≤2.
故答案为32≤x≤2.
【点睛】考查了绝对值,如果用字母a表示有理数,则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定:①当a是正有理数时,a的绝对值是它本身a;②当a是负有理数时,a的绝对值是它的相反数-a;③当a是零时,a的绝对值是零.
【题型6 利用绝对值的意义分类讨论a|a|问题】
【例6】(2023春·全国·七年级专题练习)已知a,b,c为有理数,且a+b+c=0,abc<0,则aa+bb+cc的值为( )
A.1B.−1或−3C.1或−3D.−1或3
【答案】A
【分析】先根据有理数的乘法法则推出:要使三个数的乘积为负,a,b,c中应有奇数个负数,进而可将a,b,c的符号分两种情况:1负2正或3负;再根据加法法则:要使三个数的和为0,a,b,c的符号只能为1负2正,然后化简即得.
【详解】∵abc<0
∴a,b,c中应有奇数个负数
∴a,b,c的符号可以为:1负2正或3负
∵a+b+c=0
∴a,b,c的符号为1负2正
令a<0,b>0,c>0
∴a=−a,b=b,c=c
∴aa+bb+cc =−1+1+1=1
故选:A.
【点睛】本题考查了绝对值的性质、乘法法则及加法法则,利用加法法则和乘法法则确定数的符号是解题关键.
【变式6-1】(2023·浙江·模拟预测)有理数a,b,c均不为0.且a+b+c=0,设x=|a|b+c+|b|c+a+|c|a+b,则代数式x21−21x+2010的值是( )
A.2010B.1990C.2030或1990D.2010或1990
【答案】C
【分析】根据题意可得a,b,c中不能全同号,必有一正两负或两正一负,a=-(b+c),b=-(c+a),c=-(a+b),则可得|a|b+c,|b|c+a,|c|a+b的值为两个+1,一个-1或两个-1,一个+1,即可求得x的值,代入即可求得答案.
【详解】解:由a,b,c均不为0,知b+c,c+a,a+b均不为0,
∵a+b+c=0,
∴a=-(b+c),b=-(c+a),c=-(a+b),
又a,b,c中不能全同号,故必一正二负或一负二正,
∴|a|b+c,|b|c+a,|c|a+b中必有两个同号,另一个符号相反,
即其值为两个+1,一个-1或两个-1,一个+1,
∴x=|a|b+c+|b|c+a+|c|a+b=±1,
∴x21−21x+2010=121−21+2010=1990,
或x21−21x+2010=−121−21×−1+2010=2030,
故选C.
【点睛】本题考查了代数式求值,注意分类讨论思想的应用.能得到|a|b+c,|b|c+a,|c|a+b的值为两个+1,一个-1或两个-1,一个+1是解此题的关键,要注意仔细分析,难度适中.
【变式6-2】(2023春·浙江·七年级专题练习)已知有理数a、b、c、d满足abcdabcd=−1,求a|a|+b|b|+c|c|+d|d|的值.
【答案】2或−2
【分析】根据abcdabcd=−1,得到a,b,c,d中负数个数为1个或3个,然后分情况求解即可.
【详解】解:根据abcdabcd=−1,得到a,b,c,d中负数个数为1个或3个,
则原式=−1+1+1+1=2或−1−1−1+1=−2.
【点睛】本题考查了绝对值的意义以及有理数的混合运算,熟练掌握绝对值的意义结合分类讨论的思想解题是关键.
【变式6-3】(2023春·四川内江·七年级四川省内江市第六中学校考期中)已知x1,x2,x3,⋯x2021都是不等于0的有理数,若y1=x1x1,求y1的值.
解:当x1>0时,y1=x1x1=x1x1=1,当x1﹤0时,y1=x1x1=−x1x1=−1,所以y1=±1
(1)若y2=|x1|x1+|x2|x2,则y2的值为______;
(2)若y3=|x1|x1+|x2|x2+|x3|x3,则y3的值为______;
(3)由以上探究猜想,y2021=x1x1+x2x2+x3x3+⋯+x2021x2021,共有_____个不同的值.
(4)应用:如果a、b、c是非零实数,且a+b+c=0,那a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|的所有可能的值为______?
【答案】(1)±2或0
(2)±1或±3
(3)2022
(4)0
【分析】(1)由题意可得|x1|x1=±1,|x2|x2=±1,再求解即可;
(2)由题意可得|x1|x1=±1,|x2|x2=±1,|x3|x3=±1,再求解即可;
(3)通过计算发现规律:y2021有2022个值,最大值2021,最小值为−2021,再求解即可;
(4)根据正负性去绝对值计算即可,注意分类讨论.
【详解】(1)解:∵ |x1|x1=±1,|x2|x2=±1,
∴ y2=|x1|x1+|x2|x2=±2或0,
故答案为:±2或0;
(2)解:∵ |x1|x1=±1,|x2|x2=±1,|x3|x3=±1,
∴ y3=|x1|x1+|x2|x2+|x3|x3=±1或±3,
故答案为:±1或±3;
(3)解:由(1)(2)可知,y1有2个值,y2有3个值,y3有4个值,
∴y2021有2022个值,最大值2021,最小值为−2021,
故答案为:2022.
(4)解:∵a、b、c是非零实数,且a+b+c=0,
∴a、b、c是两个正数一个负数或一个正数两个负数,
当a、b、c是两个正数一个负数时,abc<0,此时a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|=1+1−1−1=0;
当a、b、c是一个正数两个负数时,abc>0,此时a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|=1−1−1+1=0;
∴a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|=0,
故答案为:0.
【点睛】本题考查数字的变化规律、绝对值化简,通过计算,从特殊到一般进行归纳,探索出结果的规律是解题的关键.
【题型7 分类讨论多绝对值问题】
【例7】(2023春·广西南宁·七年级校考期中)在数轴上有四个互不相等的有理数a、b、c、d,若|a−b|+|b−c|=c−a,设d在a、c之间,则|a−d|+ |d−c|+|c−b|+|a−c|= .
【答案】−2a−b+3c
【分析】由a−b+b−c=c−a⇒a【详解】解:∵a−b+b−c=c−a,
∴a<b<c,
∵d在a、c之间,
∴ a
【点睛】本题考查去绝对值,解题的关键是分类讨论思想的应用.
【变式7-1】(2023春·湖北武汉·七年级校考阶段练习)已知a,b,c,d都是整数,且a+b+b+c+c+d+d+a=2,则a+b= .
【答案】1或0.
【分析】根据题意易知|a+b|、|b+c|、|c+d|、|d+a|是整数,所以不外乎两种可能:①3个为0,1个为2;②2个为0,2个为1,继而讨论|a+d|的值.
【详解】由题意得:|a+b|、|b+c|、|c+d|、|d+a|是整数,所以有两种可能:
①3个为0,1个为2,
②2个为0,2个为1,
所以|a+d|只可能取0、1、2,若为2,
则|a+b|=|b+c|=|c+d|=0,
不难得出a=-d,所以|a+d|=0,与假设|a+d|=2矛盾.
所以|a+d|只可能取0、1,a=0,b=0,c=-1,d=1时|a+d|=1;
a=-1,b=0,c=0,d=1时|a+d|=0.
故答案为1或0.
【点睛】本题考查了绝对值的知识,难度较大,注意对各种情况的讨论,不要漏解.
【变式7-2】(2023春·福建泉州·七年级统考期末)已知x是有理数,且x有无数个值可以使得代数式2021x+20212+x+2021+2022x+20222的值是同一个常数,则此常数为 .
【答案】2022
【分析】由题意确定出x的取值范围,然后按照这个取值范围化简原式即可求出此常数.
【详解】由题意,得将2021x+20212+x+2021+2022x+20222进行化简后代数式中不含x,才能满足题意.
因此,当−2022≤x≤−2021时,
原式=−20212−2021x−x−2021+2022x+20222
=−2021x−x+2022x−20212−2021+20222
=2022.
故答案为:2022.
【点睛】本题考查了绝对值的性质、有理数的加减,解题的关键是确定x的取值范围.
【变式7-3】(2023春·四川成都·七年级成都实外校考期中)已知m、n为有理数,方程||x+m|−n|=2.7仅有三个不相等的解,则n= .
【答案】2.7
【分析】含有绝对值的方程,先去掉外边绝对值得|x+m|=2.7+n或|x+m|=−2.7+n,由于仅有3个不相等的解,则−2.7+n=0,解方程求得n的值.
【详解】解:∵||x+m|−n|=2.7,
∴|x+m|=2.7+n或|x+m|=−2.7+n,
当|x+m|=2.7+n时,x=2.7+n−m或x=−2.7−n−m,
当|x+m|=−2.7+n时,x=−2.7+n−m或x=2.7−n−m,
∵方程||x+m|−n|=2.7仅有三个不相等的解,
∴−2.7+n=0时,n=2.7或2.7+n=0时,n=−2.7,
当n=−2.7时,|x+m|=−5.4,不成立,
∴n=2.7,
综上所述:n的值为2.7,
故答案为:2.7.
【点睛】本题考查绝对值方程,分类讨论是解题的关键.
【题型8 绝对值中最值问题】
【例8】(2023春·江苏·七年级期末)如图,数轴上有点a,b,c三点.
(1)用“<”将a,b,c连接起来.
(2)b-a______0(填“<”“>”,“=”);
(3)化简|c-b|-|c-a|+|a-1|;
(4)用含a,b的式子表示下列的最小值.
①|x-a|+|x-b|的最小值为_______;
②|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值为_______.
【答案】(1)c<a<b,(2)>,(3)b-1;(4)①b﹣a;②b﹣c.
【分析】(1)比较有理数的大小可以利用数轴,它们从左到右的顺序,即从小到大的顺序(在数轴上表示的两个有理数,右边的数总比左边的数大);
(2)先求出b﹣a的范围,再比较大小即可求解;
(3)先计算绝对值,再合并同类项即可求解;
(4)根据绝对值的性质以及题意即可求出答案.
【详解】解:(1)根据数轴上的点得:c<a<b;
(2)由题意得:b﹣a>0;
(3)|c﹣b|﹣|c﹣a|+|a﹣1|
=b﹣c﹣(a﹣c)+a﹣1
=b﹣c﹣a+c+a﹣1
=b-1;
(4)由图形可知:①当x在a和b之间时,|x﹣a|+|x﹣b|有最小值,
∴|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为:x﹣a+b﹣x=b﹣a;
②当x=a时,|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|=0+b﹣a+a﹣c=b﹣c为最小值.
故答案为:①b﹣a;②b﹣c.
【点睛】考查了数轴,通过比较,可以发现借助数轴用几何方法化简含有绝对值的式子,比较有关数的大小有直观、简捷,举重若轻的优势.
【变式8-1】(2023春·广东汕头·七年级校考阶段练习)(1)在数轴上,点A表示数−3,点O表示原点,点A、O之间的距离= .
(2)在数轴上,点A、B分别表示数a、b,点A、B之间的距离=a−b,数轴上分别表示a和−2的两点A和B之间的距离为3,那么a=
(3)计算:13−12+14−13+15−14+⋅⋅⋅+12020−12019=
(4)3−a+a−2的最小值是
【答案】(1)3;(2)1或−5;(3)10092020;(4)1
【分析】(1)数轴上两点的距离=右边的数−左边的数,据此即可得到答案;
(2)根据已知中两点的距离公式计算,即可得到答案;
(3)根据绝对值的意义去绝对值符号,再进行计算,即可得到答案;
(4)分三种情况讨论,分别求出最小值,比较即可得到答案.
【详解】解:(1)∵点A表示数−3,点O表示原点,
点A、O之间的距离=0−−3=3,
故答案为:3;
(2)∵数轴上分别表示a和−2的两点A和B之间的距离为3,
∴a−−2=3,
∴a=1或a=−5,
故答案为:1或−5;
(3)13−12+14−13+15−14+⋅⋅⋅+12020−12019
=12−13+13−14+14−15+…+12019−12020
=12−12020
=10092020,
故答案为:10092020;
(4)当a≥3时,3−a+a−2=a−3+a−2=2a−5,此时最小值为2×3−5=1;
当2当a≤2时,3−a+a−2=3−a+2−a=5−2a,此时最小值为5−2×2=1,
综上可知,3−a+a−2的最小值是1,
故答案为:1.
【点睛】本题考查了绝对值的意义和数轴的定理,解题关键是掌握一个正数的绝对值是它本身;零的绝对值是零;一个负数的绝对值是它的相反数.
【变式8-2】(2023春·福建泉州·七年级福建省永春第三中学校联考期中)已知|x+1|+|x−2||y−2|+|y+1||z−3|+|z+1|=36,则2016x+2017y+2018z的最大值是 .最小值是 .
【答案】 14120 −6051
【分析】先讨论∶ |x+1|+|x−2|、y−2+y+1、z−3+z+1的最小值,根据它们的积是36,分别得到|x+1|+|x−2|、y−2+y+1、z−3+z+1的值, 再讨论x、y、z的最大最小值,代入计算出代数式的最大值和最小值.
【详解】解:∵|x+1|+|x−2|≥3,y−2+y+1≥3,z−3+z+1≥4,|x+1|+|x−2||y−2|+|y+1||z−3|+|z+1|=36
∴|x+1|+|x−2|=3,y−2+y+1=3,z−3+z+1=4,
当|x+1|+|x−2|=3时,x最小取−1,最大取2,
当y−2+y+1=3时,y最小取−1,最大取2,
当z−3+z+1=4时,z最小取−1,最大取3
∴2016x+2017y+2018z的最大值为∶
2016×2+2017×2+2018×3
=14120,
2016x+2017y+2018z的最小值为∶
2016×−1+2017×−1+2018×−1
=−6051 ,
故答案为:14120;−6051.
【点睛】本题考查了绝对值的意义,主要运用了分类讨论的思想.根据积得到各个绝对值的和分别是多少是解决本题的关键.
【变式8-3】(2023春·江苏泰州·七年级校考阶段练习)三个整数a,b,c满足a【答案】34
【分析】根据a+b+c=0,a0,a+b<0,则a>b,再由a<10,a,b,c都是整数,得到a≤9则b≤8,根据a+b=−b+a=−b−a,b≥−b,a≥a即可得到c=−a−b=a+b≤a+b≤17,由此求解即可.
【详解】解:∵a+b+c=0,a∴a<0,c>0,a+b<0,
∴a>b,
∵a<10,a,b,c都是整数,
∴a≤9
∴b≤8,
∵a+b=−b+a=−b−a,b≥−b,a≥a
∴c=−a−b=a+b≤a+b≤17,
∴a+b+c的值最大为9+8+17=34,
故答案为:34.
【点睛】本题主要考查了绝对值,解题的关键在于能够根据题意得到a<0,c>0,a+b<0.
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