中考数学一轮复习专题2.11 实数章末十二大题型总结（拔尖篇）（北师大版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习专题2.11 实数章末十二大题型总结（拔尖篇）（北师大版）（解析版），共43页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc21043" 【题型1 算术平方根的双重非负性】 PAGEREF _Tc21043 \h 1
\l "_Tc4350" 【题型2 无理数的估算】 PAGEREF _Tc4350 \h 3
\l "_Tc21531" 【题型3 探究平方根和立方根的规律】 PAGEREF _Tc21531 \h 6
\l "_Tc15160" 【题型4 利用“夹逼法”求整数部分和小数部分】 PAGEREF _Tc15160 \h 9
\l "_Tc10167" 【题型5 与实数运算有关的规律问题】 PAGEREF _Tc10167 \h 13
\l "_Tc8998" 【题型6 程序框图中的实数运算】 PAGEREF _Tc8998 \h 16
\l "_Tc15045" 【题型7 新定义中的实数运算】 PAGEREF _Tc15045 \h 19
\l "_Tc12304" 【题型8 实数运算的应用】 PAGEREF _Tc12304 \h 24
\l "_Tc19945" 【题型9 二次根式双重非负性的运用】 PAGEREF _Tc19945 \h 29
\l "_Tc9372" 【题型10 复合二次根式的化简】 PAGEREF _Tc9372 \h 31
\l "_Tc21372" 【题型11 二次根式的运算与求值技巧】 PAGEREF _Tc21372 \h 35
\l "_Tc8932" 【题型12 利用分母有理化求值】 PAGEREF _Tc8932 \h 37
【题型1 算术平方根的双重非负性】
【例1】（2023春·浙江温州·八年级校联考期中）若a−2022+b+2022=2，其中a，b均为整数，则a+b= ．
【答案】0，2，4
【分析】先根据绝对值和算术平方根的非负性分三种情况进行讨论得出a，b的值，再代入进行计算即可求解
【详解】解：∵a−2022+b+2022=2，其中a，b均为整数，
又∵|a−2022|≥0，b+2022≥0
①当|a−2022|=0，b+2022=2时，
∴a=2022，b=−2018
∴a+b=2022−2018=4
②当|a−2022|=1，b+2022=1时，
∴a=2023或a=2021，b=−2021
∴a+b=2023−2021=2或a+b=2021−2021=0
③当|a−2022|=2，b+2022=0时，
∴a=2024或a=2020，b=−2022
∴a+b=2024−2022=2或a+b=2020−2022=2
故答案为：4或2或0
【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，得出a、b可能的取值是解决此题的关键，注意分类讨论的数学思想．
【变式1-1】（2023春·安徽芜湖·八年级统考期中）已知实数a满足2000−a+a−2001=a，那么a−20002的值是( )
A．1999B．2000C．2001D．2002
【答案】C
【分析】根据绝对值性质与算术平方根的性质先化简，进而平方即可得到答案
【详解】解：∵a−2001≥0，
∴a≥2001>2000，即2000−a<0，
∴2000−a+a−2001 =a−2000+a−2001 =a，
即a−2001=2000，
∴a−20012=20002，即a−2001=20002，
∴a−20002=2001，
故选：C．
【点睛】本题考查代数式求值，涉及到绝对值性质与算术平方根的性质，根据条件逐步恒等变形到所求代数式是解决问题的关键．
【变式1-2】（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级新疆师范大学附属中学校考期中）已知a,b为实数，且1+a−(b−1)1−b=0，求a2015−b2016的值.
【答案】-2
【分析】由已知条件得到1+a−(b−1)1−b=0，利用二次根式有意义的条件得到1-b≥0，再根据几个非负数和的性质得到1+a=0，1-b=0，解得a=-1，b=1，然后根据有理数的乘方运算计算即可得出结果．
【详解】解：∵1+a−(b−1)1−b=0，
∴1+a+(1−b)1−b=0，
∵1-b≥0，
∴1+a=0，1-b=0，
解得a=-1，b=1，
∴a2015-b2016
=（-1）2015-12016
=-1-1
=-2．
【点睛】本题考查了非负数的性质及求代数式的值、有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
【变式1-3】（2023春·内蒙古呼和浩特·八年级校联考期中）若m满足关系式3x+5y−2−m+2x+3y−m =199−x−y⋅x−199+y，则m= ．
【答案】201
【分析】根据能开平方的数一定是非负数，得199-x-y≥0，x-199+y≥0，所以199-x-y=x-199+y=0，即x+y=199①，从而有3x+5y−2−m+2x+3y−m=0，再根据算术平方根的非负性可得出3x+5y-2-m=0②，2x+3y-m=0③，联立①②③解方程组可得出m的值．
【详解】解：由题意可得，199-x-y≥0，x-199+y≥0，
∴199-x-y=x-199+y=0，∴x+y=199①．
∴3x+5y−2−m+2x+3y−m=0，
∴3x+5y-2-m=0②，2x+3y-m=0③，
联立①②③得，x+y=199①3x+5y−2−m=0②2x+3y−m=0③，
②×2-③×3得，y=4-m，
将y=4-m代入③，解得x=2m-6，
将x=2m-6，y=4-m代入①得，2m-6+4-m=199，解得m=201．
故答案为：201．
【点睛】本题考查了算术平方根的非负性以及方程组的解法，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键．
【题型2 无理数的估算】
【例2】（2023春·内蒙古呼和浩特·八年级统考期末）如图所示，数轴上点P所表示的数可能是（ ）
A．30B．13C．10D．8
【答案】B
【分析】根据数轴上的点处于3.5和4之间，即12.25和16之间，逐一判定比较即可.
【详解】解：设点P表示的数为x，
得72∴494∴12.25∵30>4，
∴A选项不符合题意，
∵12.25<13<4，
∴选项B符合题意，
∵10<12.25，
∴C选项不符合题意，
∵8<12.25，
∴D选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】此题主要考查数轴上点的判定，关键是转化为二次根式的形式，即可解题．
【变式2-1】（2023春·北京丰台·八年级校考阶段练习）已知a＝23﹣2，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（ ）
A．1＜a＜2B．2＜a＜3C．3＜a＜4D．4＜a＜＜5
【答案】B
【分析】先估算出23的范围，即可求得答案．
【详解】∵4<23<5，
∴2<23−2<3，
∴23−2在2和3之间，即2＜a＜3．
故选：B．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，能估算出23的范围是解题关键．
【变式2-2】（2023春·河北保定·八年级校考阶段练习）在数轴上标注了四段范围，如图，则表示8的点落在（ ）
A．段①B．段②C．段③D．段④
【答案】C
【详解】解：∵ 2．62=6．76，
2．72=7．29，
2．82=7．84，
2．92=8．41，
∵7．84＜8＜8．41，
∴2．82＜8＜2．92，
∴2．8＜8＜2．9，
所以8应在③段上．
故选：C
【变式2-3】（2023春·浙江杭州·八年级期中）若a，b均为正整数，且a>7，b<32，则a+b的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】先估算7、32的范围，然后确定a、b的最小值，即可计算a+b的最小值．
【详解】∵4<7<9，∴2<7<3．
∵a>7，a为正整数，
∴a的最小值为3．
∵31<32<38，∴1<32<2．
∵b＜32，b为正整数，
∴b的最小值为1，
∴a+b的最小值为3+1=4．
故选B．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是：确定a、b的最小值．
【题型3 探究平方根和立方根的规律】
【例3】（2023春·北京·八年级校考期中）为了进一步研究算术平方根的特点，闫老师用计算器计算出了一些数的算术平方根，并将结果填在了下表中．
(1)请你帮助闫老师将表格内容补充完整；
表1．
(2)请你仿照表1中的规律，将表2补充完整．
表2．
(3)通过表1和表2，你能发现什么规律？请用文字或符号概括你的发现．
（提示：如果没有思路，你可以先观察第1组、第3组、第5组、第7组中的被开方数和结果，再观察第2组、第4组、第6组中的被开方数和结果）．
【答案】(1)1；10；100
(2)1.732；17.32；54.77
(3)被开方数的小数点向左或向右移动2n位，算术平方根的小数点就随之向左或向右移动n位．
【分析】（1）根据表中的数据，可以发现数字规律，即可求得答案
（2）观察第1组、第3组、第5组中的被开方数和结果以及第2组、第4组、第6组中的被开方数和结果，可得出答案
（3）根据（1）（2）中发现的规律解答即可
【详解】（1）解：根据题意，得1=1,100=10,10000=100．
故答案为：1；10；100．
（2）解：已知0.03=0.1732，
∴3=1.732，300=17.32．
∵已知30=5.477，
∴3000=54.77．
故答案为：1.732；17.32；54.77．
（3）解：通过观察表1和表2可发现，被开方数的小数点向左或向右移动2n位，算术平方根的小数点就随之向左或向右移动n位．
【点睛】本题考查了算术平方根，解题的关键是从表格中发现数字的规律．
【变式3-1】（2023春·四川广元·八年级校联考期中）已知按照一定规律排成的一列实数：−1，2，33，−2，5，36，−7，8，39，−10，…，则按此规律可推得这一列数中的第2023个数是 ．
【答案】−2023
【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，从而可以得到这一列数中的第2023个数．
【详解】解：∵一列实数：−1，2，33，−2，5，36，−7，8，39，−10，…
∴这些数每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，
∵2023÷3=674…1
∴这一列数中的第2023个数应是−2023，
故答案为：−2023．
【点睛】此题主要考查实数的规律探索，解题的关键是根据已知的式子发现规律求解．
【变式3-2】（2023春·甘肃庆阳·八年级统考期中）观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题；
(1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向___移动___位．
(2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知313≈2.35，则30.013≈___，313000≈___．
(3)类比上述立方根运算：已知3.66≈1.913，则366≈___，36600≈___．
【答案】(1)右；一；
(2)0.235；23.5；
(3)19.13；191.3
【分析】（1）根据表格中的数据，可以发现数字的变化规律；
（2）根据（1）的规律可得结论；
（3）根据立方根的移位规律可得算术平方根的移位规律，即可求得所求数字的值．
【详解】（1）用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向右移动一位．
故答案为：右，一；
（2）∵313≈2.35，
∴30.013≈0.235，313000≈23.5，
故答案为：0.235，23.5；
（3）在算术平方根运算中，被开方数的小数点每向右移动两位，相应的平方根的小数点就向右移动一位．
∵3.66≈1.913，
∴366≈19.13，36600≈191.3．
故答案为：19.13，191.3．
【点睛】本题考查数字的变化类、数的开方，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求得所求数字的值．
【变式3-3】（2023春·福建福州·八年级统考期中）若记x表示任意实数的整数部分例如：3.5=3，5=2， ⋯，则1−2+3−4+⋯+2019−2020（其中“+”“−”依次相间）的值为
【答案】−22
【分析】按照整数是1，整数是2，…整数是44，确定算术平方根的个数，运用估算思想，列式，寻找规律计算．
【详解】解：∵1≤n＜2即1≤n＜4时，n=1，此时n=1，2，3，
∴1−2+3=1−1+1=1；
∵2≤n＜3即4≤n＜9时，n=2，此时n=4，5，6，7，8，
∴−4+5−6+7−8=−2+2−2+2−2=−2；
∵3≤n＜4即9≤n＜16时，n=3，此时n=9，10，11，12，13，14，15，
∴9−10+11−12+13−14+15=3−3+3−3+3−3+3=3；
由此发现如下规律，整数部分是1的算术平方根的整数和是1，且奇数为正整数，偶数位为负整数；整数部分是2的算术平方根的整数和是-2，整数部分是3的算术平方根的整数和是3，
∵442=1936，452=2025，
∴44≤n＜45即1936≤n＜2025时，n=44，
∴−1936+1937−1938+1939−⋯+2019−2020=-44，
∴1−2+3−4+⋯+2019−2020
=1-2+3-4+5-6+…+43-44
=(1-2)+(3-4)+…+(43-44)
=−1×22
=-22，
故答案为：-22．
【点睛】本题考查了实数的新定义运算，解题的关键是正确运用估算思想，确定整数部分中的运算规律．
【题型4 利用“夹逼法”求整数部分和小数部分】
【例4】（2023春·湖北随州·八年级统考期中）我们知道，2是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即2的整数部分是1，小数部分是2−1，请回答以下问题：
(1)10的小数部分是________，5−13的小数部分是________．
(2)若a是90的整数部分，b是3的小数部分，求a+b−3+1的平方根．
(3)若7+5=x+y，其中x是整数，且0【答案】(1)10−3，4−13；
(2)±3；
(3)11．
【分析】（1）确定10的整数部分，即可确定它的小数部分；确定13的整数部分，即可确定5−13的整数部分，从而确定5−13的小数部分；
（2）确定90的整数部分，即知a的值，同理可确定3的整数部分，从而求得它的小数部分，即b的值，则可以求得代数式a+b−3+1的值，从而求得其平方根；
（3）由2<5<3得即9<7+5<10，从而得x=9，y=5−2，将x、y的值代入原式即可求解．
【详解】（1）解：∵3<10<4，
∴10的整数部分为3，
∴10的小数部分为10−3，
∵3<13<4，
∴−3＞−13＞−4，
∴5−3＞5−13＞5−4即1＜5−13＜2，
∴5−13的整数部分为1，
∴5−13的小数部分为4−13，
故答案为：10−3，4−13；
（2）解：∵9<90<10，a是90的整数部分，
∴a=9，
∵1<3<2，
∴3的整数部分为1，
∵b是3的小数部分，
∴b=3−1，
∴a+b−3+1=9+3−1−3+1=9
∵9的平方根等于±3，
∴a+b−3+1的平方根等于±3；
（3）解：∵2<5<3，
∴7+2<7+5<7+3即9<7+5<10，
∵7+5=x+y，其中x是整数，且0∴x=9，y=7+5−9=5−2，
∴x−y+5=9−5−2+5=11．
【点睛】本题考查了无理数的估算、求平方根以及求代数式的值，关键是掌握二次根式的大小估算方法．
【变式4-1】（2023春·湖北恩施·八年级统考期末）已知13的整数部分是m，10−13的小数部分是n，则m+n= ．
【答案】7−13/−13+7
【分析】先估算出13的取值范围，再求出m，n的值，进而可得出结论．
【详解】解：∵9<13<16，
∴3<13<4，
∵13的整数部分是m，
∴m=3；
∵3<13<4，
∴−4<−13<−3，
∴6<10−13<7，
∵10−13的小数部分是n，
∴n=10−13−6=4−13，
∴m+n=3+4−13=7−13．
故答案为：7−13．
【点睛】本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键．
【变式4-2】（2023春·河北邢台·八年级校考期中）阅读下列材料：
∵1<3<4，
∴1<3<2，
∴3的整数部分为1，小数部分为3−1．
请根据材料提示，解答下列问题．
(1)14的整数部分是________，小数部分是________；
(2)如果6的小数部分为m，21的整数部分为n，求2m−n−26的立方根；
(3)若a的整数部分为5，直接写出a的取值范围．
【答案】(1)3，14−3
(2)−2
(3)25≤a<36
【分析】（1）由9<14<16可得3<14<4，从而即可得出答案；
（2）估算6和21的大小，确定m、n的值，代入进行计算即可得到答案；
（3）由a的整数部分是5，25=5，36=6即可得到答案．
【详解】（1）解：∵9<14<16，
∴3<14<4，
∴ 14的整数部分是3，
∴ 14的小数部分是14−3，
故答案为：3，14−3；
（2）解：∵4<6<9，16<21<25，
∴2<6<3，4<21<5，
∵ 6的小数部分为m，21的整数部分为n，
∴m=6−2，n=4，
∴2m−n−26=2×6−2−4−26=26−4−4−26=−8，
∴ 2m−n−26的立方根为：3−8=−2；
（3）解：∵a的整数部分是5，25=5，36=6，
∴25≤a<36．
【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，求一个数的立方根，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提，确定无理数的整数部分、小数部分是得出正确答案的关键．
【变式4-3】（2023春·江苏泰州·八年级校考期末）材料1：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以看成是2.5−2得来的，类比来看，2是无理数，而1<2<2，所以2的整数部分是1，于是可用2−1来表示2的小数部分．
料2：若10−122=a+b2，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即a，b要满足a=10，b=−12．
根据以上材料，完成下列问题：
(1)17的整数部分是______，小数部分是 _____；
(2)3+3也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为a<3+3【答案】(1)4，17−4
(2)3
【分析】（1）根据算术平方根的定义估算无理数17的大小即可；
（2）根据算术平方根的定义估算无理数3+3的大小，确定a、b的值，再代入计算即可．
【详解】（1）解：∵4<17<5，
∴ 17的整数部分为4，小数部分为17−4，
故答案为：4，17−4；
（2）∵1<3<2，
∴4<3+3<5，
∵3+3也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为a<3+3∴a=4，b=5，
∴a+b=9，
∴a+b的算术平方根为9=3；
【点睛】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的性质是正确解答的前提．
【题型5 与实数运算有关的规律问题】
【例5】（2023春·山东聊城·八年级统考期中）阅读下列解题过程：
1−34=14=122=12；
1−59=49=232=23；
1−716=916=342=34；
……
(1)计算：1−1349=________；
(2)按照你所发现的规律，猜想：1−2n+1n+12=_______；（n为正整数）
(3)计算：1−34×1−59×1−716×．．．×1−19910000．
【答案】(1)67
(2)nn+1
(3)1100
【分析】（1）利用算术平方根的意义解答即可；
（2）利用式子的规律解答即可；
（3）利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可．
【详解】（1）解： 1−1349
=3649
=67；
（2）解：依据上述运算的规律可得：
1−2n+1(n+1)2＝nn+1；
（3）解：原式=12×23×34×...×99100
=1100．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，数式规律探究，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键．
【变式5-1】（2023春·河北唐山·八年级统考期中）观察下列各式：32+27=2327,33+326=33326,34+463=43463,···用含n（n≥2且n为整数）的等式表示上述规律为 ．
【答案】3n+nn3−1=n3nn3−1
【分析】观察规律可直接得到规律．
【详解】解：∵32+27=2+223−1=2327，
33+326=33+333−1=33326，
34+463=34+443−1=33463，…，
∴3n+nn3−1=n3nn3−1．
故答案为：3n+nn3−1=n3nn3−1
【点睛】此题考查了数字规律的运算，会求一个数的立方根，正确分析已知中的等式由此得到变化规律是解题的关键．
【变式5-2】（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）观察下列等式：
①x1=1+112+122=32=1+11×2；
②x2=1+122+132=76=1+12×3；
③x3=1+132+142=1312=1+13×4；
…
(1)写出④x4=______；
(2)猜想：xn=______；
(3)由以上规律，计算x1+x2+x3+⋅⋅⋅+x2022−2023的值．
【答案】(1)1+142+152=2120=1+14×5
(2)1+1n(n+1)
(3)−12023
【分析】（1）观察已知等式找到规律，即可求解；
（2）根据规律直接得出结果即可；
（3）利用（2）中结论及有理数的混合运算进行计算即可．
【详解】（1）解：x4=1+142+152=2120=1+14×5，
故答案为：1+142+152=2120=1+14×5．
（2）解：根据规律可知，xn= 1+1n2+1(n+1)2=1+1n(n+1)，
故答案为： 1+1n(n+1)；
（3）x1+x2+x3+⋅⋅⋅+x2022−2023
=112+116+1112+⋅⋅⋅+112022×2023−2023
=2022+1−12+12−13+⋅⋅⋅+12022−12023−2023
=2022+1−12023−2023
=−12023．
【点睛】题目主要考查算术平方根及有理数规律性运算，根据题意找出相应规律是解题关键．
【变式5-3】（2023春·湖北武汉·八年级武汉市洪山高级中学校考期中）探索：先观察并计算下列各式，在空白处填上“>”“<”或“=”，并完成后面的问题.
4×16______4×16,
49×9______49×9
925×25_____925×25,
169×425______169×425……
（1）用a,b,ab表示上述规律为：____________；
（2）利用（1）中的结论，求8×12的值
（3）设x=3，y=6试用含x,y的式子表示54
【答案】（1）a×b=ab；（2））2；（2）54=3×3×6=x2y.
【分析】（1）先求出每个式子的值，再比较即可；
（2）根据规律，把被开方数相乘，根指数不变，即可求出答案；
（3）先分解质因数，再根据规律得出3×3×6，即可得出答案.
【详解】（1）∵ 4×16=2×4=8，4×16=64=8，
∴ 4×16=4×16，
49×9=49×9，
925×25=925×25，
169×425=169×425，
a×b=ab，
故答案为=，=，=，=，a×b=ab（a≥0，b≥0）；
（2）8×12=8×12=4=2；
（3）∵ x=3，y=6，
∴ 54=3×3×6=3×3×6=x⋅x⋅y=x2y.
【点睛】本题考查了实数的乘除，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键.
【题型6 程序框图中的实数运算】
【例6】（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图下面说法正确的是（ ）
A．输入值x为16时，输出y值为4
B．输入任意整数，都能输出一个无理数
C．输出值y为3时，输入值x为9
D．存在正整数x，输入x后该生成器一直运行，但始终不能输出y值
【答案】D
【分析】根据运算规则即可求解．
【详解】解∶A．输入值x为16时，16=4，4=2，即y=2，故A错误；
B．当x=0， 1时，始终输不出y值． 因为0， 1的算术平方根是0， 1，一定是有理数，故B错误；
C．x的值不唯一． x=3或x=9或81等，故C错误；
D．当x= 1时，始终输不出y值． 因为1的算术平方根是1，一定是有理数；故D正确；
故选∶D．
【点睛】本题考查了算术平方根及无理数的概念，正确理解给出的运算方法是关键．
【变式6-1】（2023春·浙江温州·八年级统考期中）如图，是一个计算程序．若输入x的值为64，则输出y的结果为 ．
【答案】32
【分析】根据题意利用立方根和算术平方根的定义即可求解．
【详解】解：输入的x值为64，取立方根为4，4是有理数，
则取4的算术平方根为2，2是有理数，
则取2的立方根为32，32是无理数，
所以输出的y的结果为32，
故答案为：32．
【点睛】本题主要考查了算术平方根、立方根以及无理数，正确把握定义是解题的关键．
【变式6-2】（2023春·山东德州·八年级统考期中）如图是一个数值转换器的工作原理．
(1)当输入的x值为−19时，求输出的y值；
(2)是否存在输入x值后，始终输不出y值的情况，若存在，请写出所有满足要求的x值；若不存在，请说明理由；
(3)若输出的y值是3，请写出四个满足要求的x值．
【答案】(1)2
(2)x=−2或−3或−4
(3)x=0或x=−6或x=−12或x=6时，输出的y值是3，答案不唯一．
【分析】（1）根据运算规则计算即可求解；
（2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，即可判断；
（3）根据运算法则，9的算术平方根是3，3的算术平方根是3，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数．
【详解】（1）解：|−19+3|=16，16的算术平方根是4，
4不是无理数，4的算术平方根是2，
2不是无理数，2的算术平方根是2，2是无理数，
故输出的y值是2．
故答案是：2．
（2）解：存在输入x值后，始终输不出y值的情况．
∵0和1的算术平方根是0和1，
∴当|x+3|=0或|x+3|=1时，始终输不出y值，
∴x=−2或−3或−4．
（3）解：∵9的算术平方根是3，3的算术平方根是3，
∴当|x+3|=3或|x+3|=9，
即x=0或x=−6或x=−12或x=6时，输出的y值是3，(答案不唯一)．
【点睛】本题考查了绝对值，算术平方根，正确理解给出的运算方法是关键．
【变式6-3】（2023春·北京·八年级校考期中）给出下列程序：若输入的x值为1时，输出值为1；若输入的x值为−1时，输出值为−3；则当输入的x值为8时，输出值为 ．
【答案】3
【分析】设输出的值为y，根据程序可得计算法则：y=k3x+b，根据待定系数法确定k，b的值，再将8代入即可．
【详解】解：设输出的值为y，根据图示可得计算法则为y=k3x+b，
∵若输入的x值为1时，输出值为1；若输入的x值为−1时，输出值为−3，
∴ k+b=1−k+b=−3，解得k=2b=−1，
∴y=23x−1，
当x=8时，y=2×2−1=3，
故答案为：3．
【点睛】本题以程序为背景考查了求代数式的值，关键是弄清楚图示给出的计算程序．
【题型7 新定义中的实数运算】
【例7】（2023春·重庆江津·八年级校联考期中）对于任意非负数m、n，若定义新运算：m∯n=m−n(m≥n)m+n(mA．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】利用新运算的定义对每个结论进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：①∵27>12，
∴27∯12 =27−12 =33−23 =3，
∴①的说法正确；
②等式的左边=11+2+12+3+...+12022+2023
=2−1(2+1)(2−1)+3−2(3+2)(3−2)+...+2023−2022(2023+2022)(2023−2022)
=2−1+3−2+...+2023−2022
=2023−1．
等式的右边=2023−1 =2023−1．
∴等式成立，
∴②的说法正确；
③当x≥y时，
左边=(x−y)(y+x)
=(x−y)(x+y)
=(x)2−(y)2
=x−y
=|x−y|
=右边，
当x左边=(x+y)(y−x)
=(y)2−(x)2
=y−x
=|x−y|
=右边，
综上，③的说法正确；
④x2∯(x2−4x+4)
=x2−(x−2)2
=x−(x−2)
=x−x+2
=2，
由题意可知：x2≥x2−4x+4，
∴x≥1，
∴④的说法不正确．
综上，说法正确的有①②③，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，分母有理化，本题是新定义型，理解新定义的规定，并熟练应用是解题的关键．
【变式7-1】（2023春·福建厦门·八年级统考期末）对于任意不为0的有理数m，n，定义一种新运算“※”，规则如下：m※n=3m−n．
例如：−1※2=3×−1−2=−3−2=−5．
(1)若x−2※5x=6，求x的值；
(2)判断这种新运算“※”是否满足分配律a※b+c=a※b+a※c，并说明理由．
【答案】(1)−6
(2)这种新运算“※”不满足分配律a※b+c=a※b+a※c
【分析】（1）根据新定义运算得出方程3x−2−5x=6，解方程即可得到答案；
（2）先根据新定义运算分别表示出等式左边和右边，再观察左右两边是否相等，即可得到结论．
【详解】（1）解：∵x−2※5x=6，
∴3x−2−5x=6，
解得：x=−6，
∴ x的值为−6；
（2）解：根据题意得：
左边a※b+c=3a−b+c=3a−b−c，
右边a※b+a※c=3a−b+3a−c=6a−b−c，
∴左边≠右边，
∴这种新运算“※”不满足分配律a※b+c=a※b+a※c．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数的运算，解一元一次方程，理解新定义的运算法则，熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键．
【变式7-2】（2023春·八年级单元测试）将n个0或2排列在一起组成一个数组，记为A=t1,t2,⋯,tn，其中t1，t2，…，tn取0或2，称A是一个n元完美数组（n≥2且n为整数）．例如：0,2，2,2都是2元完美数组，2,0,0,0，2,0,0,2都是4元完美数组．
定义以下两个新运算：
新运算1：对于x∗y=x+y−x−y，
新运算2：对于任意两个n元完美数组M=x1,x2,⋯,xn和N=y1,y2,⋯,yn，
M⊕N=12x1∗y1+x2∗y2+⋯+xn∗yn．例如：对于3元完美数组
M=2,2,2和N=0,0,2，有M⊕N=12×(0+0+22)=2．
(1)①在3,2，2,0，2,2,0中是2元完美数组的有______；
②设A=2,0,2，B=2,0,0，则A⊕B=______；
(2)已知完美数组M=2,2,2,0，求出所有4元完美数组N，使得M⊕N=22；
(3)现有m个不同的2022元完美数组，m是正整数，且对于其中任意的两个完美数组C，D满足C⊕D=0，则m的最大可能值是______．
【答案】(1)①2,0；②2
(2)N=2,2,0,2或2,0,2,2或0,2,2,2或2,2,0,0或2,0,2,0或0,2,2,0．
(3)2023
【分析】（1）①根据定义直接判定即可；
②根据定义直接计算即可；
（2）由定义可知当x=y时，x∗y=2x，当x≠y时，x∗y=0，当x∗y=22或0，再由此求解即可；
（3）根据题意可知C、D中对应的元都不相等，m的最大值为2023，当C确定后，D中的对应元与C中的不同即可．
【详解】（1）解：①∵3,2中有3，
∴3,2不是2元完美数组；
∵2,0中只有2和0，且有2个数，
∴2,0是2元完美数组；
∵2,2,0中有3个数，
∴2,2,0不是2元完美数组；
故答案为：2,0．
②A⊕B=122∗2+0∗0+2∗0
=122+2−2−2+0+0−0−0+2+0−2−0
=12×22
=2．
故答案为：2．
（2）解：∵x∗y=x+y−x−y，
∴当x=y时，x∗y=2x，当x≠y时，x∗y=0，
当x∗y=2x时，x∗y=22或0，
∵M⊕N=22，
∴x1∗y1+x2∗y2+x3∗y3+x4∗y4=42，
∵M=2,2,2,0，
∴N=2,2,0,2或2,0,2,2或0,2,2,2或2,2,0,0或2,0,2,0或0,2,2,0．
（3）解：∵C⊕D=0，
∴C、D中对应的元都不相等或C、D中对应的元都相等且为0，
∵C、D是不同的两个完美数组，
∴C、D中对应的元都不相等，
∴m的最大值为2023，当C确定后，D中的对应元与C中的不同．
故答案为：2023．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，弄清定义，熟练掌握绝对值的运算，能够通过所给的运算关系，得到一般规律是解题的关键．
【变式7-3】（2023春·重庆梁平·八年级统考期末）材料一：对于一个三位正整数，若百位数字与个位数字之和减去十位数字的差为3，则称这个三位数为“尚美数”，例如：234，因为2+4−3=3，所以234是“尚美数”；
材料二：若t=abc（1≤a≤9,0≤b≤9,0≤c≤9，且a,b,c均为整数），记F(t)=2a−c．已知t1=2y6,t2=myn是两个不同的“尚美数”，且Ft1+2Ft2+4n能被13整除，则y= ．t2= ．
【答案】 5 652
【分析】根据t1=2y6,t2=myn是两个不同的“尚美数，可得方程组；再根据Ft1+2Ft2+4n列代数式，最后根据Ft1+2Ft2+4n能被13整除进行分类讨论，即可得答案．
【详解】解：∵t1=2y6,t2=myn是两个不同的“尚美数，
∴2+6−y=3m+n−y=3
得y=5，即m+n=8，
∴n=8−m，
∵t=abc（1≤a≤9,0≤b≤9,0≤c≤9，且a,b,c均为整数），记F(t)=2a−c，
∴ Ft1+2Ft2+4n
=2×2−6+22×m−n+4n
=4m+2n−2
=4m+28−m−2=2m+14．
∵1≤m≤9，
∴16≤2m+14≤32．
∵2m+14能被13整除，
∴2m+14=26
解得m=6,n=8−m=2，
故t2=myn=652，
故答案为：5,652．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，新定义、数的整除、实数的运算，不等式等知识，消元求解是解题的关键．
【题型8 实数运算的应用】
【例8】（2023春·河南新乡·八年级新乡市第一中学校考期中）“说不完的2”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题．
(1)2到底有多大？
下面是小欣探索2的近似值的过程，请补充完整：
我们知道面积是2的正方形边长是2，且2>1.4．设2=1.4+x，画出如下示意图．
由面积公式，可得x2+______=2．
因为x值很小，所以x2更小，略去x2，得方程______，解得x≈____（保留到0.001），即2≈_____．
(2)怎样画出2？请一起参与小敏探索画2过程．
现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．
小敏同学的做法是：设新正方形的边长为xx>0．依题意，割补前后图形的面积相等，有x2=2，解得x=2．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形．
请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程．
【答案】(1)2.8x+1.96，2.8x+1.96=2，0.014，1.414；
(2)见解析
【分析】（1）根据图形中大正方形的面积列方程即可；
（2）在网格中分别找到1×1和1×2的长方形，依次连接顶点即可．
【详解】（1）由面积公式，可得x2+2.8x+1.96=2
∵x值很小，所以x2更小，略去x2，得方程2.8x+1.96=2，解得x≈0.014（保留到0.001），即2≈1.4+x≈1.414．
故答案为：2.8x+1.96，2.8x+1.96=2，0.014，1.414；
（2）小敏同学的做法，如图：
排列形式如图（3），如图：
画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形，如图所示
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，考查数形结合的思想，根据正方形的面积求出带根号的边长是解题的关键．
【变式8-1】（2023春·浙江绍兴·八年级校联考期末）已知小正方形的边长为1，在4×4的正方形网中．
（1）求S阴=_______________．
（2）在5×5的正方形网中作一个边长为13的正方形．
【答案】（1）10；（2）见解析
【分析】（1）用大正方形的面积减去四个小三角形的面积即可得出阴影部分面积；
（2）边长为13的正方形，则面积为(13)2=13，则每个三角形的面积为14(5×5−13)=3，据此作图即可．
【详解】解：（1）S阴=4×4−12×1×3×4=10，
故答案为：10；
（2）边长为13的正方形，则面积为(13)2=13，
则每个三角形的面积为14(5×5−13)=3，
则作图如下：
.
【点睛】本题主要考查了作图-应用与设计作图，解决本题的关键是利用网格求出周围四个小三角形的边长．
【变式8-2】（2023春·八年级课时练习）如图，长方形ABCD的长为2cm，宽为1cm．
（1）将长方形ABCD进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画出所拼的正方形；（标出关键点和数据）
（2）求所拼正方形的边长．
【答案】（1）分割方法不唯一，如图，见解析；（2）拼成的正方形边长为2cm.
【分析】（1）根据AB=2AD，可找到CD的中点，即可分成两个正方形，再沿对角线分割一次，即可补全成一个新的正方形；
（2）设拼成的正方形边长为xcm，根据面积相等得到方程，即可求解．
【详解】（1）如图，
∵AB=2AD，找到CD,AB的中点，如图所示，可把矩形分割成4个等腰直角三角形，再拼成一个新的正方形；
（2）设拼成的正方形边长为xcm，根据题意得x2=1×2=2，
∴x=2（负值舍去）
答：拼成的正方形边长为2cm．
【点睛】此题主要考查实数性质的应用，解题的关键是根据图形的特点进行分割．
【变式8-3】（2023春·浙江·八年级期末）阅读材料，回答问题：
（1）对于任意实数x，符号x表示“不超过x的最大整数”，在数轴上，当x是整数，x就是x，当x不是整数时，x是点x左侧的第一个整数点，如3=3，−2=−2，2.5=2，−1.5=−2，则3.4=________，−5.7=________．
（2）2015年11月24日，杭州地铁1号线下沙延伸段开通运营，极大的方便了下沙江滨居住区居民的出行，杭州地铁收费采用里程分段计价，起步价为2元/人次，最高价为8元/人次，不足1元按1元计算，具体权费标准如下：
①若从下沙江滨站到文海南路站的里程是3.07公里，车费________元，下沙江滨站到金沙湖站里程是7.93公里，车费________元，下沙江滨站到杭州火东站里程是19.17公里，车费________元；
②若某人乘地铁花了7元，则他乘地铁行驶的路程范围（不考虑实际站点下车里程情况）？
【答案】（1）3；−6；（2）①2；3；6．②这个乘客花费7元乘坐的地铁行驶的路程范围为：大于24公里小于等于32公里．
【分析】（1）根据题意，确定实数左侧第一个整数点所对应的数即得；
（2）①根据表格确定乘坐里程的对应段，然后将乘坐里程分段计费并累加即得；
②根据表格将每段的费用从左至右依次累加直至费用为7元，进而确定7元乘坐的具体里程即得．
【详解】（1）∵3<3.4<4
∴3.4=3
∵−6<−5.7<−5
∴−5.7=−6
故答案为：3；−6．
（2）①∵3.07<4
∴3.07公里需要2元
∵4<7.93<12
∴7.93公里所需费用分为两段即：前4公里2元 ，后3.93公里1元
∴7.93公里所需费用为：2+1=3（元）
∵12<19.17<24
∴19.17公里所需费用分为三段计费即： 前4公里2元，4至12公里2元，12公里至19.17公里2元；
∴19.17公里所需费用为：2+2+2=6（元）
故答案为：2；3；6．
②由题意得：乘坐24公里所需费用分为三段：前4公里2元，4至12公里2元，12公里至24公里2元；
∴乘坐24公里所需费用为：2+2+2=6（元）
∵由表格可知：乘坐24公里以上的部分，每一元可以坐8公里
∴7元可以乘坐的地铁最大里程为：24+8=32（公里）
∴这个乘客花费7元乘坐的地铁行驶的路程范围为：大于24公里小于等于32公里
答：这个乘客花费7元乘坐的地铁行驶的路程范围为：大于24公里小于等于32公里．
【点睛】本题是阅读材料题，考查了实数的实际应用，根据材料中的新定义举一反三并挖掘材料中深层次含义是解题关键．
【题型9 二次根式双重非负性的运用】
【例9】（2023春·天津和平·八年级耀华中学校考期中）若实数a，b，c满足关系式a−199+199−a=2a+b−c+b−6，则c＝ ．
【答案】404
【分析】根据二次根式有意义条件求得a＝199，然后由非负数的性质求得b、c的值．
【详解】解：根据题意，得a−199=0199−a=0，
解得a＝199，
则2a+b−c+b−6=0，
所以2×199+b−c=0b−6=0，
解得b=6c=404，
故答案为：404．
【点睛】本题考查二次根式的意义和性质，熟知相关知识点是解题的关键．
【变式9-1】（2023春·全国·八年级期中）已知实数x，y，a，b满足3x−y−7+x−2y−4=a+b−2022×2022−a−b．求a+b的值及7x−y2023的值．
【答案】15
【分析】根据算术平方根的非负性列方程和不等式计算即可．
【详解】解：由已知，得a+b−2022≥02022−a−b≥0，
∴a+b−2022=0，∴a+b=2022，
∴3x−y−7+x−2y−4=0，
∴3x−y−7=0x−2y−4=0，解得x=2y=−1，
∴7x−y2023=7×2−−12013=14+1=15．
【点睛】本题考查二次根式的乘法、非负数的性质、二次根式有意义的条件以及解二元一次方程组，熟练掌握二次根式的乘法以及非负数的性质是解答本题的关键．
【变式9-2】（2023春·湖北恩施·八年级校联考阶段练习）设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：x3(y−x)3+x3(z−x)3=y−x−x−z，则x3+y3+z3﹣3xyz的值是（ ）
A．0B．1C．3D．条件不足，无法计算
【答案】A
【分析】首先根据二次根式的被开方数为非负数与x、y、z是两两不等的实数，即可求得：x为0，y与z互为相反数，据此即可求得代数式的值．
【详解】解：根据题意得：x3y−x3≥0x3z−x3≥0y−x>0x−z>0
∴y>x>z，
∴y−x>0，z−x<0，
∴由x3(y−x)3≥0可得x≥0，由x3(z−x)3≥0可得x≤0，
∴x=0，
∴y−x−x−z=0，
∴y−−z=0，
∴y=−z，
∴x3+y3+z3−3xyz=−z3+z3=0．
【点睛】此题考查了二次根式成立的条件与不等式组解集的求解方法，代数式求值问题，找到x，y，z的关系是求解本题的关键．
【变式9-3】（2023秋·上海静安·八年级上海市民办扬波中学校考期中）已知m,x,y是两两不相等的实数，且满足mx−m+my−m=x−m−m−y，则3x2+xy−y2x2−xy+5y2的值为 ．
【答案】17
【分析】根据被开方数是非负数，确定出m=0，x=−y，代入原式即可解决问题．
【详解】解：∵m，x，y是两两不相等的实数且满足m(x−m)+m(y−m)=x−m−m−y，
又∵ m−y≥0x−m≥0m(y−m)≥0m(x−m)≥0，
∴m=0，x=−y，x≠0，y≠0，
∴原式=3y2−y2−y2y2+y2+5y2=17．
故答案为：17
【点睛】本题考查二次根式的性质、解题的关键是根据条件确定出m=0，x=−y，记住二次根式的被开方数是非负数这个隐含条件，属于中考常考题型．
【题型10 复合二次根式的化简】
【例10】（2023春·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期中）像4−23，48−45…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：
4−23＝3−23+1＝(3)2−2×3×1+12＝(3−1)2＝3−1．
再如：5+26=3+26+2=(3)2+23×2+(2)2 =(3+2)2= 3 +2
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：12+235；
(2)化简：17−415；
(3)若a+65=(m+5n)2，且a，m，n为正整数，求a的值．
【答案】(1)5+7
(2)23−5
(3)14或46
【分析】（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（3）利用完全平方公式，结合整除的意义求解．
【详解】（1）12+235=52+2×5×7+72=(7+5)2=5+7
（2）17−415=12−415+5=232−2×23×5+52=23−52=23−5
（3）∵a+65=m2+5n2+5，
∴a=m2+5n2，6=2mn，
∴mn=3
又∵a、m、n为正整数，
∴m=1,n=3，或者m=3,n=1，
∴当m=1,n=3时，a=46；
当m=3,n=1时，a=14．
∴a的值为：14或46．
【点睛】此题考查活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用公式因式分解化简，注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值．
【变式10-1】（2023秋·上海·八年级期中）当x=4时，x−23x2−43x+12−x+23x2+43x+12的值为（ ）
A．1B．3C．2D．3
【答案】A
【分析】根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案．
【详解】解：原式=x−23x−232−x+23x+232
=1x−23−1x+23
将x=4代入得，
原式=14−23−14+23
=11−32−11+32
=13−1−11+3
=1+3−3+13−11+3
=1.
故选：A.
【点睛】本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母可以开根号，本题属于较难题型．
【变式10-2】（2023春·广东韶关·八年级校考期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=1+22，善于思考的小明进行了以下探索：
设a+2b=m+2n2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+2b=m2+22mn+2n2，
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．
这样小明就找到了一种把部分a+2b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+6b=m+6n2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ；
（2）若a+43=m+3n2，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（3）化简：7−21+80．
【答案】（1）m2+6n2，2mn；（2）a＝13或7；（3）5﹣1．
【分析】（1）利用完全平方公式展开得到m+6n2=m2+26mn+6n2，再利用对应值相等即可用m、n表示出a、b；
（2）直接利用完全平方公式，变形后得到对应值相等，即可求出答案；
（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．
【详解】解：（1）∵a+6b=m+6n2=m2+26mn+6n2，
∴a＝m2+6n2，b＝2mn．
故答案为：m2+6n2，2mn；
（2）∵a+43=m+3n2=m2+23mn+3n2，
∴a＝m2+3n2，mn＝2，
∵m、n均为正整数，
∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1，
∴a＝13或7；
（3）∵21+80=20+45+1=25+12=25+1，
则7−21+80=7−25+1=6−25=5−12=5−1．
【点睛】本题考查了二次根式性质和完全平方式的内容，考生须先弄清材料中解题的方法，同时熟练掌握和灵活运用二次根式的相关运算法则以及二次根式的化简公式是解题的关键.
【变式10-3】（2023春·江苏·八年级期末）阅读材料：康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，
如：3+22=1+22，善于思考的康康进行了以下探索：
设a+b2=m+n22（其中a、b、m、n均为正整数），
则有a+b2=m2+2n2+2mn2（有理数和无理数分别对应相等），
∴a=m2+2n2，b=2mn，这样康康就找到了一种把式子a+b2化为平方式的方法．
请你仿照康康的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若a+b3=c+d32，用含c、d的式子分别表示a、b，得：a=________，b=________；
(2)若7−43=e−f32，且e、f均为正整数，试化简：7−43；
(3)化简：7+21−80．
【答案】(1)c2+3d2，2cd
(2)2−32
(3)1+5
【分析】（1）根据完全平方公式进行计算进行求解；
（2）将7−43变为22−2×2×3+32即可求解；
（3）将7+21−80化为1+52进行求解即可．
【详解】（1）解：∵c+d32=c2+23cd+3d2=c2+3d2+23cd，
∴a=c2+3d2，b=2cd，
故答案为：c2+3d2，2cd；
（2）∵7−43=4−2×2×3+3=22−2×2×3+32=2−32，
∴7−43=2−32；
（3）7+21−80
=7+1−45+20=7+1−252
=7+25−1
=6+25
=1+25+5
=1+52
=1+5．
【点睛】此题考查了二次根式的化简能力，关键是能准确理解并运用相关知识进行求解．
【题型11 二次根式的运算与求值技巧】
【例11】（2023·八年级单元测试）若a=122+18−182，求a2+a4+a+1的值.
【答案】2.
【分析】已知条件比较复杂，将已知条件变形得出所求式子的结构求值即可.
【详解】∵a+1822=122+182，
∴a2+24a=24．
∴a2=241−a．
∴a4+a+1=181−a2+a+1=a+328．
∵a>0，
∴a2+a4+a+1=241−a+24a+3=2．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，式子较复杂需要先化简条件.
【变式11-1】（2023秋·四川成都·八年级校考阶段练习）若实数x，y满足（x﹣x2−2016）（y﹣y2−2016）＝2016．
（1）求x，y之间的数量关系；
（2）求3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2017的值．
【答案】（1）x=y；（2）-1.
【分析】（1）将式子变形后，再分母有理化得①式：x﹣x2−2016＝y+y2−2016，同理得②式：x+x2−2016＝y﹣y2−2016，将两式相加可得结论；
（2）将x=y代入①式得：x2=2016，再代入原式结合x2=2016，计算即可．
【详解】解：（1）∵（x﹣x2−2016）（y﹣y2−2016）＝2016，
∴x﹣x2−2016＝2016y−y2−2016＝2016(y+y2−2016)y2−y2−2016＝y+y2−2016①，
同理得：x+x2−2016＝y﹣y2−2016②，
①+②得：2x＝2y，
∴x＝y，
（2）把x＝y代入①得：x－x2−2016＝x+x2−2016，
∴x2＝2016，
则3x2－2y2+3x－3y－2017，
＝3x2－2x2+3x－3x－2017，
＝x2－2017，
＝2016－2017，
＝－1．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简, 掌握分母有理化的方法是解题的关键.
【变式11-2】（2023春·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考阶段练习）若x，y是实数，且y＝4x−1+1−4x+13，求（23x9x+4xy）﹣（x3+25xy）的值．
【答案】18﹣123．
【分析】首先根据二次根式有意义求出x 、y的值，再化简后面的代数式，最后代入求值即可．
【详解】解：∵x，y是实数，且y＝4x−1+1−4x+13，
∴4x﹣1≥0且1﹣4x≥0，
解得：x＝14，
∴y＝13，
∴23x9x+4xy）﹣（x3+25xy）的值．
＝2xx+2xy﹣xx﹣5xy
＝xx﹣3xy
＝1414﹣314×13
＝18−32．
【点睛】本题主要考查含字母的二次根式化简求值，需要注意利用二次根式有意义的情况求未知数的值．
【变式11-3】（2023春·浙江·八年级专题练习）当x=1+19942时，多项式4x3−1997x−19942019的值为( ).
A．1B．−1C．22002D．−22001
【答案】B
【分析】由原式得2x−12=1994，得4x2−4x+1=1994，原式变形后再将4x2−4x+1=1994代和可得出答案.
【详解】∵x=1+19942，
∴2x−12=1994，即4x2−4x−1993=0，
∴4x3−1997x−1994=x4x2−4x−1993+4x2−4x−1993−1=−1．
∴原式=−12019=−1．
【点睛】本题难度较大，需要对要求的式子进行变形，学会转化.
【题型12 利用分母有理化求值】
【例12】（2023春·广东惠州·八年级校考期中）阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如23+1一样的式子，可以将其进一步化简：
23+1=23−13+13−1=23−132−1=23−12=3−1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算．
(1)计算：13+1+15+3+17+5+⋯+12019+2017．
(2)已知m是正整数，a=m+1−mm+1+m，b=m+1+mm+1−m，a+b+3ab=2021，求m．
(3)已知15+x2−26−x2=1，则15+x2+26−x2的值为?
【答案】(1)2019−12
(2)504
(3)9
【分析】（1）将各部分分子变为2，再根据分母有理化去分母后可相互消掉可得结果；
（2）a、b互为倒数，分母有理化后可得a+b的值，代入所求式子即可；
（3）设a=15+x2，b=26−x2，则a2+b2=41，利用已知等式导出2ab=40，根据完全平方公式计算出a+b即为所求．
【详解】（1）解：13+1+15+3+17+5+⋯+12019+2017
=1223+1+25+3+27+5+⋯+22019+2017
=123−1+5−3+7−5+⋯+2019−2017
=122019−1
=2019−12；
（2）∵a=m+1−mm+1+m，b=m+1+mm+1−m，
∴a=(m+1−m)2，b=(m+1+m)2，ab=1，
∴a+b=(m+1−m)2+(m+1+m)2=4m+2，
∴a+b+3ab=2021，
∴4m+2+3=2021，
∴m=504；
（3）设a=15+x2，b=26−x2，则a2+b2=41，
∴ 15+x2−26−x2=1，
∴a−b=1，
∴(a−b)2=1，
∴a2+b2−2ab=1，
∴2ab=40，
∵(a+b)2=a2+b2+2ab=41+40=81，
∴a+b=±9．（−9舍去），
∴ 15+x2+26−x2=9．
【点睛】本题考查了分母有理化的技巧，利用完全平方公式和平方差公式设未知数整体代入是常用的方法．
【变式12--1】（2023秋·山西临汾·八年级校联考期末）阅读下列解题过程：
15+4=1×5−45+45−4=5−452−42=5−4
16+5=1×6−56+56−5=6−562−52=6−5
请回答下列问题：
（1）观察上面的解答过程，请写出1n+1+n=______；
（2）利用上面的解法，请化简：11+2+12+3+13+4+⋅⋅⋅+12019+2020+12020+2021
（3）12−11和13−12的值哪个较大，请说明理由．
【答案】（1）n+1−n；（2）2021−1；（3）12−11>13−12，见解析
【分析】（1）把分子分母都乘以(5+2)，然后利用平方差公式计算；
（2）先分母有理化，然后合并即可；
（3）由（1）的方法可得，12−11=112+11， 13−12=113+12，根据12+11<13+12可得 112+11>113+12，据此判断即可．
【详解】解：（1）1n+1+n=n+1−nn+1+nn+1−n=n+1−n；
（2）11+2+12+3+13+4+⋅⋅⋅+12019+2020+12020+2021 =2−1+3−2+4−3+⋅⋅⋅+2020−2019+2021−2020
=2−1+3−2+4−3+⋅⋅⋅+2020−2019+2021−2020
=2021−1
（3）由（1）的方法可得，
12−11=112+11
13−12=113+12
∵12+11<13+12
∴112+11>113+12
即，12−11>13−12．
【点睛】本题考查了分母有理化和二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
【变式12--2】（2023春·黑龙江牡丹江·八年级校考期中）（1）观察下列各式的特点：
2−1>3−2，
3−2>2−3，
2−3>5−2，
5−2>6−5，
…
根据以上规律可知：2021−2020______2022−2021（填“＞”“＜”或“＝”）．
（2）观察下列式子的化简过程：
12+1=2−1(2+1)(2−1)=2−1，
13+2=3−2(3+2)(3−2)=3−2，
14+3=4−3(4+3)(4−3)＝4−3，
…
根据观察，请写出式子1n+n−1（n≥2，且n是正整数）的化简过程．
（3）根据上面（1）（2）得出的规律计算下面的算式：|12+1−13+2|+|13+2−14+3|+|14+3−15+4|+•••+|1100+99−1101+100|．
【答案】（1）＞；（2）见解析；（3）2−101+9
【分析】（1）根据题目所给的例题大小关系可直接得到答案；
（2）把分子分母同时乘以n−n−1，然后化简即可得到答案；
（3）根据（2）中的规律可得12+1=2−1，13+2=3−2，…，1101+100=101−100分别把绝对值里面的式子化简计算即可．
【详解】解：（1）∵2−1>3−2，
3−2>4−3，
4−3>5−4，
5−4>6−5，
…，
∴n+1−n>n+2−n+1，
∴2021−2020>2022−2021，
故答案为：＞；
（2）1n+n−1
=n−n−1n+n−1n−n−1
=n−n−1；
（3）原式=|(2−1)−(3−2)|+|(3−2)−(4−3)|++…+|(100−99)−(101−100)|
=(2−1)−(3−2)+(3−2)−(4−3)+…+(100−99)−(101−100)
=(2−1)−(101−100)
=2−1−101+10
=2−101+9．
【点睛】此题主要考查了分母有理化，关键是注意观察题目所给的例题，找出其中的规律，然后再进行计算．
【变式12--3】（2023春·北京西城·八年级北京市第十三中学分校校考期中）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：
7−6=7−67+67+6=17+6，
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较7−6和6−5的大小．可以先将它们分子有理化如下：
7−6=17+6， 6−5=16+5，
因为7+6>6+5，所以7−6<6−5．
再例如：求y=x+2−x−2的最大值．做法如下：
解：由x+2≥0,x−2≥0可知x≥2，而y=x+2−x−2=4x+2+x−2，
当x=2时，分母x+2+x−2有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
（1）比较32−4和23−10的大小；
（2）求y=1−x+1+x−x的最大值和最小值．
【答案】（1）32−4<23−10；（2）y的最大值为2，最小值为2−1．
【分析】（1）利用分子有理化得到32−4=232+4，23−10=223+10，然后比较32+4和23+10的大小即可得到32−4与23−10的大小；
（2）利用二次根式有意义的条件得到0⩽x⩽1，而y=1−x+11+x+x，利用当x=0时，11+x+x有最大值1，1−x有最大值1得到所以y的最大值；利用当x=1时，11+x+x有最小值2−1，1−x有最小值0得到y的最小值．
【详解】解：（1）32−4=(32+4)(32−4)32+4=232+4，
23−10=(23+10)(23−10)23+10=223+10，
而32>23，4>10，
∴32+4>23+10，
∴32−4<23−10；
（2）由1−x⩾0，1+x⩾0，x⩾0得0⩽x⩽1，
y=1−x+1+x−x=1−x+11+x+x，
∴当x=0时，1+x+x有最小值，则11+x+x有最大值1，此时1−x有最大值1，所以y的最大值为2；
当x=1时，1+x+x有最大值，则11+x+x有最小值2−1，此时1−x有最小值0，所以y的最小值为2−1．
【点睛】本题考查了非常重要的一种数学思想：类比思想．解决本题关键是要读懂例题，然后根据例题提供的知识点和方法解决问题．同时要注意所解决的问题在方法上类似，但在细节上有所区别．第1组
第2组
第3组
第4组
第5组
第6组
第7组
……
0.01
0.1
1
10
100
1000
10000
……
……
0.1
0.316
______
3.16
______
31.6
______
……
第1组
第2组
第3组
第4组
第5组
第6组
……
0.03
0.3
3
30
300
3000
……
……
0.1732
0.5477
______
5.477
______
______
……
b
0.004096
4.096
4096
4096000
4096000000
3b
0.16
1.6
16
160
1600
里程范围
4公里以内（含4公里）
4-12公里以内（含12公里）
12-24公里以内（含24公里）
24公里以上
收费标准
2元
4公里/元
6公里/元
8公里/元