中考数学一轮复习专题3.1 整式【十大题型】（举一反三）（北师大版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习专题3.1 整式【十大题型】（举一反三）（北师大版）（解析版），共22页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc9871" 【题型1 代数式的表示及其含义】 PAGEREF _Tc9871 \h 1
\l "_Tc27389" 【题型2 用字母表示变化规律】 PAGEREF _Tc27389 \h 2
\l "_Tc12997" 【题型3 整式相关的概念辨析】 PAGEREF _Tc12997 \h 6
\l "_Tc933" 【题型4 根据单项式的概念求字母参数的值】 PAGEREF _Tc933 \h 8
\l "_Tc8720" 【题型5 根据多项式的概念求字母参数的值】 PAGEREF _Tc8720 \h 10
\l "_Tc13980" 【题型6 根据多项式不存在某项求字母参数的值】 PAGEREF _Tc13980 \h 11
\l "_Tc195" 【题型7 单项式与多项式中的结论开放性问题】 PAGEREF _Tc195 \h 13
\l "_Tc17755" 【题型8 单项式与多项式综合运用】 PAGEREF _Tc17755 \h 14
\l "_Tc7964" 【题型9 与整式有关的规律探究题】 PAGEREF _Tc7964 \h 16
\l "_Tc10537" 【题型10 列整式解决实际问题】 PAGEREF _Tc10537 \h 17
【知识点1 代数式】
用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式.
【题型1 代数式的表示及其含义】
【例1】（2023春·黑龙江双鸭山·七年级校考期中）小王用100元人民币买3枚面值为a元的邮票，应找回 元．
【答案】（100−3a）
【分析】根据题意可以列出相应的代数式，本题得以解决．
【详解】解：根据题意可得：用于买邮票的钱是：3a元，
则应找回（100−3a）元，
故答案为：（100−3a）．
【点睛】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
【变式1-1】（2023春·福建三明·七年级统考期中）一个长为5cm的长方形的周长为2(5＋b)cm，则字母b表示的是 ．
【答案】宽
【分析】根据长方形的周长等于（长+宽）×2解答即可．
【详解】解：∵长方形的长为5，周长为2(5＋b)，
∴b表示长方形的宽，
故答案为：宽．
【点睛】本题考查长方形的周长、用字母表示数，熟记长方形的周长公式是解答的关键．
【变式1-2】（2023春·山西大同·七年级统考期中）−a是（ ）
A．负数B．正数C．0D．正负无法确定
【答案】D
【分析】根据代数式的意义分析即可．
【详解】∵ a可以表示负数，正数，0，
∴−a也可以表示负数，正数，0，
故选D
【点睛】本题考查了代数式的意义，理解代数式的意义是解题的关键．
【变式1-3】（2023春·福建泉州·七年级校联考期中）一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为（ ）
A．abcB．a＋b＋cC．100a＋10b＋cD．100abc
【答案】C
【分析】三位数＝百位上的数字×100＋十位上的数字×10＋个位上的数字，把相关数值代入即可．
【详解】∵一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，
∴这个三位数可以表示为100a＋10b＋c，
故选：C．
【点睛】本题考查列代数式，掌握三位数的表示方法是解决本题的关键．
【题型2 用字母表示变化规律】
【例2】（2023春·福建福州·七年级校考期中）观察下列等式：
−1×12=−1+12，
−12×13=−12+13，
−13×14=−13+14，
……
(1)写出第4个等式是：_______；
(2)猜想并写出第n个等式是：_______；（n为正整数）
(3)探究并计算：−1×12+−12×13+−13×14+⋯+−12022×12023．
【答案】(1)−14×15=−14+15
(2)−1n⋅1n+1=−1n+1n+1
(3)−20222023
【分析】（1）按照上面计算方法计算即可得出答案；
（2）根据题目规律可发现，−1n⋅1n+1=−1n+1n+1；
（3）由规律式子变形，中间部分互相抵消，只剩首项和尾项，即可算出答案．
【详解】（1）解：∵−1×12=−1+12，
−12×13=−12+13，
−13×14=−13+14，
∴第4个等式为−14×15=−14+15．
故答案为：−14×15=−14+15．
（2）解：−1×12=−1+12，
−12×13=−12+13，
−13×14=−13+14，
……
第n个等式是：−1n⋅1n+1=−1n+1n+1．
故答案为：−1n⋅1n+1=−1n+1n+1．
（3）解：−1×12+−12×13+−13×14+⋯+−12022×12023
=−1+12+−12+13+−13+14+⋯+−12022+12023
=−1+12−12+13−13+14−⋯−12022+12023
=−1+12023
=−20222023．
【点睛】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律是解题的关键．
【变式2-1】（2023春·广东梅州·七年级校考期末）任意选取四个连续的自然数，将它们的积再加上1，所得的结果可以用一个自然数的平方表示．如：1×2×3×4+1=25=52;2×3×4×5+1=121=112．．．．．．．设这四个连续的自然数分别为n,n+1,n+2,n+3，则nn+1n+2n+3+1=△2，其中“△”用含n的式子表示为 ．
【答案】n2+3n+1
【分析】根据所给等式归纳总结得到第n个算式即可．
【详解】解：∵1×2×3×4+1=12+3×1+1=52，
2×3×4×5+1=22+3×2+1=112，
3×4×5×6+1=32+3×3+1=192，
．．．
∴nn+1n+2n+3+1=n2+3n+12，
∴“△”用含n的式子表示为n2+3n+1，
故答案为：n2+3n+1．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，数字类规律探索，弄清题中的规律是解本题的关键．
【变式2-2】（2023春·湖南永州·七年级校考期中）观察下列算式：
12−02=1+0=1; 22−12=2+1=3； 32−22=3+2=5；
42−32=4+3=7； 52−42=5+4=9； ……
若字母n表示正整数，请把第n个等式用含n的式子表示出来： ．
【答案】n2−(n−1)2=n+(n−1)=2n−1
【分析】观察式子即可得出结论．
【详解】解：观察式子可发现n2−(n−1)2=n+(n−1)=2n−1，
故答案为：n2−(n−1)2=n+(n−1)=2n−1．
【点睛】本题考查规律型，观察式子得到规律是解题的关键．
【变式2-3】（2023春·安徽安庆·七年级统考期中）观察下列等式：
第1个等式：12=13
第2个等式：(1+2)2=13+23；
第3个等式：(1+2+3)2=13+23+33；
第4个等式：(1+2+3+4)2=13+23+33+43
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：______
(2)写出第n（n为正整数）个等式：______（用含n的等式表示）
(3)利用你发现的规律113+123+133+⋯+1003的值；
(4)计算13+33+53+73+⋯+993的值．
【答案】(1)(1+2+3+4+5)2=13+23+33+43+53
(2)(1+2+3+4+5+⋯+n)2=13+23+33+43+53+⋯+n3
(3)25499475
(4)12497500
【分析】（1）根据题干中给定的式子，写出第5个式子即可；
（2）根据给定的式子，写出第n（n为正整数）个等式即可；
（3）将113+123+133+⋯+1003转化为13+23+33+43+53+⋯+1003−13+23+33+43+53+⋯+103，利用前面等式的特点转化为1+2+3+4+5+⋯+1002−1+2+3+4+5+⋯+102，进行求解即可；
（4）将13+33+53+73+⋯+993转化为1+2+3+4+5+⋯+1002−81+2+3+4+5+⋯+502，进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得：第五个式子为：1+2+3+4+52=13+23+33+43+53
（2）1+2+3+4+5+⋯+n2=13+23+33+43+53+⋯+n3
（3）113+123+133+143+153+⋯+1003
=13+23+33+43+53+⋯+1003−13+23+33+43+53+⋯+103
=1+2+3+4+5+⋯+1002−1+2+3+4+5+⋯+102
=50502−552
=25499475；
（4）13+33+53+73+⋯+993
=13+23+33+43+53+⋯+1003−23+43+63+83+⋯+1003
=1+2+3+4+5+⋯+1002−81+2+3+4+5+⋯+502
=50502−851×252
=25502500−13005000
=12497500．
【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是得到1+2+3+4+5+⋯+n2=13+23+33+43+53+⋯+n3．
【知识点2 整式相关的概念】
单项式：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．注意：（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母．（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
多项式：几个单项式的和叫做多项式．其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．
整式：单项式与多项式统称为整式．
【题型3 整式相关的概念辨析】
【例3】（2023春·吉林·七年级统考期中）观察下列各式：−ab，−a2，2a，a+b，a2+a−1．回答下列问题：
(1)单项式分别为：______________________________；
(2)多项式分别为：_________________________________；
(3)整式有___________个；
(4)−ab的系数为__________；
(5)次数最高的多项式为__________________．
【答案】(1)−ab，−a2
(2)a+b，a2+a−1
(3)4
(4)−1
(5)a2+a−1
【分析】根据单项式的定义即可得出（1），根据多项式的定义即可得出（2），根据整式的定义即可得出（3），根据间项式的系数的定义即可得出（4），根据多项式的次数的定义即可得出（5）．
【详解】（1）解：单项式有−ab，−a2；
故答案为：−ab，−a2；
（2）多项式有a+b，a2+a−1；
故答案为：a+b，a2+a−1；
（3）整式有−ab，−a2，a+b，a2+a−1共4个；
故答案为：4；
（4）−ab的系数为−1；
故答案为：−1；
（5）次数最高的多项式为a2+a−1．
故答案为：a2+a−1．
【点睛】本题考查了单项式，整式和多项式的定义，多项式的项和次数等知识点，能熟记单项式和多项式的定义是解此题的关键，注意：表示数与数或数与字母的积，叫单项式，单独一个数或字母也是单项式，两个或两个以上单项式的和，叫多项式，单项式和多项式统称整式，多项式中次数最高的项的次数，叫这个多项式的次数．
【变式3-1】（2023春·福建福州·七年级校考期中）下列说法中，错误的是（ ）
A．5a2b的次数是3B．−x的系数为−1
C．x2y−1是二次二项式D．x+y2不是单项式
【答案】C
【分析】根据单项式和多项式的定义，单项式的次数、系数，多项式的次数，系数进行解答即可．
【详解】解：A．5a2b的次数是3，故A正确，不符合题意；
B．−x的系数为−1，故B正确，不符合题意；
C．x2y−1是三次二项式，故C错误，符合题意；
D．x+y2是多项式，不是单项式，故D正确，不符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了多项式和单项式的概念，解题的关键是熟练掌握多项式系数和次数，单项式的系数和次数．
【变式3-2】（2023春·湖南长沙·七年级校联考期末）在代数式x−y，3a，x2−y+15，1x，xyz，0，π，x+y3中有（ ）
A．3个多项式，4个单项式B．2个多项式，5个单项式
C．8个整式D．3个多项式，5个单项式
【答案】A
【分析】根据单项式和多项式的定义逐一判断可得答案．
【详解】解：在所列代数式中，单项式有3a，xyz，0，π这4个，
多项式有x-y，x2−y+15，x+y3这3个，共7个整式，
故选A．
【点睛】本题考查了多项式与单项式，解题的关键是掌握单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，几个单项式的和是多项式．
【变式3-3】（2023春·吉林长春·七年级校考期末）将多项式2−4ab+3a2b2−b3按字母b降幂排列后，则从左边数第三项为 ．
【答案】−4ab
【分析】先把多项式按照字母b的指数由高到低排列，从而可得答案．
【详解】解：多项式2−4ab+3a2b2−b3按字母b降幂排列后为：
−b3+3a2b2−4ab+2，
∴从左边数第三项为−4ab，
故答案为：−4ab．
【点睛】本题考查的是多项式的降幂排列，熟记多项式的降幂排列的含义是解本题的关键．
【题型4 根据单项式的概念求字母参数的值】
【例4】（2023春·贵州黔西·七年级统考期中）已知（a-3）x2y|a|+（b+2）是关于x，y的五次单项式，求a2-3ab+b2的值.
【答案】-5.
【分析】根据单项式及单项式次数的定义，可得出a、b的值，代入代数式即可得出答案．
【详解】∵（a-3）x2y|a|+（b+2）是关于x，y的五次单项式，
∴a＝3b＝−2a−3≠0，
解得：a＝−3b＝−2，
则a2-3ab+b2=9-18+4=-5．
【点睛】本题考查了单项式的知识，属于基础题，掌握单项式的定义及单项式次数的定义是解答本题的关键．
【变式4-1】（2023春·全国·七年级专题练习）若m+3x2yn+1是关于x，y的五次单项式且系数为6，试求m，n的值．
【答案】m=3,n=2
【分析】根据题意可得m+3=6,n+1+2=5，进而求得m,n的值．
【详解】解：∵ m+3x2yn+1是关于x，y的五次单项式且系数为6，
∴ m+3=6,n+1+2=5
∴m=3,n=2
【点睛】本题考查了单项式的系数与次数，单项式中，数字因数叫单项式的系数，单项式中所有字母的指数的和叫做它的次数，掌握单项式的系数与次数是解题的关键．
【变式4-2】（2023春·江苏南通·七年级校联考期中）若（m+2）2x3yn-2是关于x，y的六次单项式，则m≠ ，n= ．
【答案】 -2 5
【详解】试题解析：∵（m+2）2x3yn-2是关于x，y的六次单项式，
∴m+2≠0，3+n-2=6，
解得m≠-2，n=5．
故答案为：-2；5．
考点：单项式．
【变式4-3】（2023春·六年级单元测试）已知单项式−23xy2m−1与−22x2y2的次数相同．
(1)求m的值；
(2)求当x=−9，y=−2时单项式−23xy2m−1的值．
【答案】(1)2
(2)−48
【分析】（1）根据单项式的次数的定义，即可得到一个关于m的方程，解方程即可求得m的值；
（2）首先根据（1）的结果求得代数式，然后把x，y的值代入即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：1+2m−1=2+2，
解得：m=2；
（2）∵m=2，
∴−23xy2m−1=−23xy3，
则当x=−9，y=−2时，
原式=−23×(−9)×(−8)=−48．
【点睛】本题考查了单项式的次数的定义，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．根据定义求得m的值是关键．
【题型5 根据多项式的概念求字母参数的值】
【例5】（2023春·陕西商洛·七年级统考期末）已知多项式a−2x5+3xb+x−7是关于x的四次三项式，则ab= ．
【答案】8
【分析】根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，单项式的个数就是多项式的项数可得a−2=0，b=4，再解即可．
【详解】解：由题意得：a−2=0,b=4，
解得：a=2,b=4，
则ab=8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查多项式，解题关键是掌握多项式次数的确定方法．
【变式5-1】（2023春·四川遂宁·七年级统考期末）如果多项式a−2x4−12xb+x2−3是关于x的三次多项式，则（ ）
A．a=0，b=3B．a=1，b=3
C．a=2，b=2D．a=2，b=3
【答案】D
【分析】根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，进而求解即可．
【详解】解：依题意可得a−2=0，b=3，
解得a=2，b=3．
故选：D．
【点睛】本题考查了多项式的相关概念，掌握多项式次数的确定方法是解题关键．
【变式5-2】（2023春·湖南长沙·七年级统考期中）关于x，y的多项式x2−3kxy−8是二次二项式，则常数k= ．
【答案】0
【分析】根据题意可得−3k=0，即可求解．
【详解】解：∵关于x，y的多项式x2−3kxy−8是二次二项式，
∴−3k=0，
解得：k=0．
故答案为：0．
【点睛】本题主要考查了多项式，熟练掌握几个单项式的和叫做多项式，其中，每个单项式叫做多项式的项；多项式的次数：多项式中最高次项的次数，叫做多项式的次数是解题的关键．
【变式5-3】（2023春·广西防城港·七年级统考期末）若多项式x2ym+m+2x2−y+3是一个关于x，y的四次四项式，则m的值为 ．
【答案】2
【分析】根据多项式的次数和项数的定义，即可求解．
【详解】解：∵多项式x2ym+m+2x2−y+3是一个关于x，y的四次四项式，
∴m=2且m+2≠0，
解得：m=2，
故答案为：2
【点睛】本题主要考查了多项式，熟练掌握一个多项式有几项就叫几项式，次数最高的项的次数是几就叫几次多项式是解题的关键．
【题型6 根据多项式不存在某项求字母参数的值】
【例6】（2023春·山东滨州·七年级统考期末）当k= 时，多项式x2+(15k−15)xy−3y2−20y不含xy项．
【答案】1
【分析】多项式x2+(15k−15)xy−3y2−20y的同类项合并已完成，不含xy项就是使15k−15为0，即可得出k值．
【详解】解：由题意可得：15k−15=0，即15k=15，
解得k=1．
故答案为：1
【点睛】此题主要考查了多项式内容，关键是理解不含xy项的含义．即合并后的xy项的系数为0 ．
【变式6-1】（2023春·吉林·七年级统考期末）若多项式(k−5)x2−3x+1中不含x2项，则k的值为 ．
【答案】5
【分析】根据不含某项即该项的系数为0进行求解即可．
【详解】解：∵(k−5)x2−3x+1中不含x2项，
∴k−5=0，
∴k=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了多项式项中的系数求值，熟知不含某项即该项的系数为0是解题的关键．
【变式6-2】（2023春·湖北武汉·七年级统考期末）如果整式xm+nx是关于x的二次单项式，则（ ）．
A．m=0，n=0B．m=2，n=1C．m=0，n=1D．m=2，n=0
【答案】D
【分析】根据多项式项数和次数的定义，即可求解．
【详解】解：∵整式xm+nx是关于x的二次单项式，
∴m=2，n=0．
故选：D
【点睛】此题主要考查了多项式，关键是掌握一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．
【变式6-3】（2023春·北京东城·七年级北京市第五中学分校校考期中）如果多项式x4−a−1x3+5x2+b+3x−1不含x3和x项，则ab= ．
【答案】-3
【分析】根据题意得出x3和x项的系数为0，即−a−1=0，b+3=0，解方程求出a和b的值，代入即可求出ab的值．
【详解】∵x4−a−1x3+5x2+b+3x−1不含x3和x项，
∴−a−1=0，b+3=0，
解得：a=1，b=−3，
∴ab=1×−3=−3．
故答案为：-3．
【点睛】此题考查了多项式的知识点，解题的关键是多项式不含有的项的系数为零．
【题型7 单项式与多项式中的结论开放性问题】
【例7】（2023春·河南南阳·七年级统考期中）写出一个单项式，要求：此单项式含有字母a、b，系数是负数，次数是3．我写的单项式为 ．
【答案】答案不唯一，如：﹣ab2
【分析】单项式的次数是字母部分的次数和,系数是数字部分,据此即可解题.
【详解】解：这个单项式可以是﹣ab2,答案不唯一.
【点睛】本题考查了单项式的定义,属于简单题,熟悉单项式的概念是解题关键.
【变式7-1】（2023春·甘肃平凉·七年级校考期中）小马虎在抄写一个5次单项式−23xy□z□时，误把字母y、z上的指数给漏掉了，原单项式可能是 （填一个即可）．
【答案】−23xy2z2或−23xy3z或−23xyz3
【分析】根据单项式的次数是单项式中所有字母指数之和即得．
【详解】解：∵单项式−23xy□z□的次数是5
∴y、z上的指数之和为5−1=4
∴有三种情况：−23xy2z2或−23xy3z或−23xyz3
故答案为：−23xy2z2或−23xy3z或−23xyz3
【点睛】本题考查单项式的次数的定义，解题关键是理解单项式中所有字母指数之和是单项式的次数．
【变式7-2】（2023春·江苏南通·七年级校联考期中）请你写出一个只含x的整式，满足当x=﹣2时，它的值等于3．你写的整式是 ．
【答案】−32x，答案不唯一
【分析】直接利用已知结合整式的定义：多项式和单项式的统称，进行求解即可．
【详解】解：由题意可得：−32x（答案不唯一），当x＝-2时，−32x=3．
故答案为：−32x（答案不唯一）．
【点睛】此题主要考查了整式，正确理解整式的定义是解题关键．
【变式7-3】（2023春·吉林·七年级统考期末）任意写出一个含有字母m，n的三次四项式，其中最高次项的系数为6，常数项为-8的式子为 ．
【答案】6m3−2mn+n2−8（答案不唯一）
【分析】根据题意，结合三次四项式、最高次项的系数为6，常数项−8可写出所求多项式，只要符合题意即可．
【详解】解：∵一个含有字母m,n三次四项式，其中最高次项的系数为6，常数项为−8，
此多项式是：6m3−2mn+n2−8．
故答案是：6m3−2mn+n2−8．
【点睛】本题考查了列代数式，多项式，解题的关键是熟练掌握多项式中系数、最高次项、常数项的概念．
【题型8 单项式与多项式综合运用】
【例8】（2023春·广西河池·七年级统考期中）已知关于x，y的多项式x2ym+1+xy2–2x3–5是六次四项式，单项式3x2ny5–m的次数与这个多项式的次数相同，求m-n的值．
【答案】1
【分析】根据多项式x2ym+1+xy2-2x3-5是六次四项式知2+m+1=6，求得m的值，根据单项式3x2ny5-m的次数与这个多项式的次数相同知2n+5-m=6，求得n的值，再代入计算可得．
【详解】解：因为多项式x2ym+1+xy2-2x3-5是六次四项式，
所以2+m+1=6，
所以m=3，
因为单项式6x2ny5–m的次数也是六次，
所以2n+5-m=6，
所以n=2，
所以m-n=3-2=1．
【点睛】本题考查了多项式的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握多项式次数的判断，得出m、n的值，难度一般．
【变式8-1】（2023·全国·七年级假期作业）已知多项式xa+1y2−x3+x2y−1是关于x、y的五次四项式，单项式−8x2y3z的次数为b，c是最小的正整数，求a−bc+1的值．
【答案】16
【分析】根据多项式xa+1y2−x3+x2y−1是五次四项式，可得a+1=3，a=2，由单项式−8x2y3z的次数为b，c是最小的正整数，得出b=6，c=1，代入即可得出答案．
【详解】∵多项式xa+1y2−x3+x2y−1是五次四项式，
∴a+1=3，a=2．
∵单项式−8x2y3z的次数为b，c是最小的正整数，
∴b=6，c=1，
∴a−bc+1=2−61+1=−42=16．
∴a−bc+1的值为16．
【点睛】本题考查了多项式、单项式的知识，解答本题的关键是掌握单项式、多项式的定义．
【变式8-2】（2023春·全国·七年级专题练习）已知单项式3x2yn的次数为5，多项式6+x2y﹣12x2﹣16x2ym+3的次数为6，求单项式（m+n）xmyn的次数与系数的和．
【答案】8
【分析】根据已知求出m、n的值，把m、n的值代入单项式，求出单项式的系数和次数，即可得出答案．
【详解】解：∵单项式3x2yn的次数为5，多项式6＋x2y−12x2−16x2ym＋3的次数为6，
∴2＋n＝5，2＋m＋3＝6，
解得：m＝1，n＝3，
∴（m＋n）xmyn＝4xy3，
系数是4，次数是1＋3＝4，
4＋4＝8，
即单项式（m＋n）xmyn的次数与系数的和是8．
【点睛】本题考查了多项式和单项式的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
【变式8-3】（2023春·陕西西安·七年级统考期末）已知多项式−3x2ym+1−2x2y2+4y2+8是五次四项式，单项式5xny的次数与该多项式的二次项系数相同，求mn的值．
【答案】6
【分析】根据多项式次数，单项式的次数列等式求出m，n，即可求解．
【详解】解：根据多项式−3x2ym+1−2x2y2+4y2+8是五次四项式，
有2+m+1=5，解得m=2，
根据单项式5xny的次数与−3x2ym+1−2x2y2+4y2+8的二次项系数相同，
即有n+1=4，解得n=3，
则有：mn=2×3=6，
即值为6．
【点睛】本题主要考查多项式和单项式的次数，掌握多项式和单项式次数的求法是解题的关键．
【题型9 与整式有关的规律探究题】
【例9】（2023春·云南昭通·七年级统考期末）一组按规律排列的式子：−2，52，−83，114，⋯⋯．第n个式子是______（n为正整数）（ ）
A．(−1)n+13n−1nB．(−1)n3n−1n+1C．(−1)n2n+1nD．(−1)n3n−1n
【答案】D
【分析】观察各式子可以得到分子满足3n−1，分母是连续整数n，符号为奇数位负，偶数为正，即为(−1)n+1，按要求写出公式即可．
【详解】解：−2=−21，52，−83，114，……的分子相差3，故分子满足3n−1，分母是连续整数n，符号为奇数位负，偶数为正，即为(−1)n，
∴第n个式子是(−1)n3n−1n，
故选D．
【点睛】本题考查数字规律问题，通过观察得到规律是解题的关键．
【变式9-1】（2023春·广东梅州·七年级校考开学考试）观察下列数：1x2，−1x3，1x4，−1x5，…，按此规律排列，第十个数为 ．
【答案】−1x11
【分析】先通过观察数字的变化规律得出第n个数是(−1)n+1⋅1xn+1，再把n等于10代入即可．
【详解】解：由1x2，−1x3，1x4，−1x5，…可得：
第n个数是：(−1)n+1⋅1xn+1 ，
则第十个数为(−1)10+1⋅ 1x10+1 = −1x11．
故答案为：−1x11．
【点睛】此题考查了数字的变化问题，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现，在找规律时首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的解题的关键是把数据的分母用n表示出来．
【变式9-2】（2023春·辽宁锦州·七年级统考期末）一组按规律排列的两项式：a−b，a2−b3，a3−b5，a4−b7，…，则第2023个两项式为 ．
【答案】a2023−b4045
【分析】把已知的多项式看成由两个单项式组成，分别找出两个单项式的规律，也就知道了多项式的规律．
【详解】解：多项式的第一项a的指数依次为：1，2，3，4，…，
第二项b的指数依次为：1，3，5，7，…，（2×1−1=1，2×2−1=3，2×3−1=5，2×4−1=7，…，）且系数都是−1，
∴第n个式子是：an−b2n−1，
当n=2023时，这个二项式为a2023−b4045．
故答案为：a2023−b4045．
【点睛】本题考查多项式，本题属于找规律的题目，把多项式分成几个单项式的和，分别找出各单项式的规律是解题的关键．
【变式9-3】（2023春·山西忻州·七年级校考期中）观察下列多项式：2a−b，4a+b2，8a−b3，16a+b4，…，按此规律，则可得到第2023个多项式是 ．
【答案】22021a−b2021
【分析】把已知的多项式看成由两个单项式组成，分别找出两个单项式的规律，也就知道了多项式的规律．
【详解】解：多项式的第一项依次是2a，4a，8a，16a，…2na，
第二项依次是−b，b2，−b3…(−1)nbn，
则可以得到第2023个多项式是22021a−b2021．
故答案为：22021a−b2021．
【点睛】本题考查了多项式，本题属于找规律的题目，把多项式分成几个单项式的和，分别找出各单项式的规律是解决这类问题的关键．
【题型10 列整式解决实际问题】
【例10】（2023春·吉林长春·七年级统考期末）甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价40元，乒乓球每盒定价5元，现两家商店搞促销活动，甲店的优惠办法是：每买一副乒乓球拍赠两盒乒乓球；乙店的优惠办法是：全部商品按定价的8.5折出售．某班需购买乒乓球拍4副和x盒乒乓球．
(1)当x>8时，分别求在这两家商店购买所需支付的费用．（用含x的代数式表示）
(2)当x=20时，分别计算在这两家商店购买所需支付的费用，如果这两种方案可以同时使用，请帮助该班设计一种最省钱的购买方案，并计算此方案所需支付的费用．
【答案】(1)甲商店费用为：5x+120元，乙商店费用为：4.25x+136元；
(2)甲店费用220元，乙店费用221元；先在甲商店购买4副乒乓球拍，再在乙商店购买12盒乒乓球，所需支付的费用为211元．
【分析】（1）根据优惠方案结合金额=单价×数量列式即可得到答案；
（2）将x=20代入（1）中代数式求解，即可得到答案.
【详解】（1）解：由题意可得，
甲商店费用：40×4+5x−8=5x+120元，
乙商店费用：0.85×40×4+5x=4.25x+136元，
∴甲商店费用为：5x+120元，乙商店费用为：4.25x+136元；
（2）解：当x=20时，
甲商店：5×20+120=220（元），
乙商店：4.25×20+136=221（元），
如果两种方案能同时使用，可先在甲商店购买4副乒乓球拍，再在乙商店购买12盒乒乓球，此时最省钱，
所需支付的费用为：40×4+0.85×5×20−8=211（元）．
【点睛】本题考查列代数式及求值，解题的关键是从题干中找到数量关系，列出代数式．
【变式10-1】（2023春·山东临沂·七年级统考期中）某公园的门票价格是：成人票每张10元，学生票每张5元，一个旅游团有成人x人，学生y人．
（1）该旅游团应付多少门票费？
（2）如果该旅游团有30个成人和15个学生，那么他们应付多少门票费？
【答案】(10x+5y)元；（2）375元
【分析】（1）根据旅游团应付的门票费=成人的单人票价×成人人数＋学生的单人票价×学生人数即可得出结论；
（2）将x=30,y=15代入（1）中代数式即可得出结论．
【详解】解：（1）根据题意可知：该旅游团应付门票费为(10x+5y)元
答：该旅游团应付(10x+5y)元．
（2）当x=30,y=15时，
10x+5y=10×30+5×15=375
答：他们应付375元门票费．
【点睛】此题考查的是用代数式表示实际意义和求代数式的值，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．
【变式10-2】（2011秋·山东·七年级统考期中）今年十月份，为方便民众出行，连江县成立了出租车公司，收费标准是：起步价5元，可乘坐3千米；3千米之后每千米加收1.8元.若某人乘坐了x千米，
（1）用代数式表示他应支付的费用；
（2）若他乘坐了13千米，应支付多少元？
【答案】（1）①当0﹤x≦3时：5，②当x﹥3时：5+1.8（x-3）（2）23
【分析】（1）根据题意分两种情况①当0＜x≤3与②当x＞3写出代数式即可；（2）把x=13代入即可求出.
【详解】（1） ①当0＜x≦3时：支付的费用为5，
②当x＞3时：支付的费用为5+1.8（x-3）
（2）当x=13时，费用为5+1.8×（13-3）
=5 +1.8×10
=5+18
=23
【变式10-3】（2023春·河北邯郸·七年级统考期末）某超市新进了一批百香果，进价为每斤8元，为了合理定价，在前五天试行机动价格，售出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，超市记录的前五天百香果的销售单价和销售数量如下表所示，
(1)前5天售卖中，单价最高的是第___________天；单价最高的一天比单价最低的一天多___________元；
(2)求前5天售出百香果的总利润；
(3)该超市为了促销这种百香果，决定推出一种优惠方案：购买不超过6斤百香果，每斤12元，超出6斤的部分，每斤9.6元．若嘉嘉在该超市买x(x>6)斤百香果，用含x的式子表示嘉嘉的付款金额．
【答案】(1)3，5
(2)前5天售出百香果的总利润为200元
(3)付款金额为9.6x+14.4元
【分析】（1）根据+3>+2>+1>−1>−2得前5天售卖中，单价最高的是第3天；根据+3−(−2)=5得价最高的一天比单价最低的一天多5元；
（2）以10元为标准每斤百香果所获的利润为2元，则前5天售出百香果的总利润为20×(1+2)+35×(−2+2)+10×(3+2)+30×(−1+2)+15×(2+2)，进行计算即可得；
（3）根据题意得12×6+9.6(x−6)，进行计算即可得．
【详解】（1）解：∵+3>+2>+1>−1>−2，
∴前5天售卖中，单价最高的是第3天；
∵+3−(−2)=5
∴价最高的一天比单价最低的一天多5元，
故答案为：3，5；
（2）解：以10元为标准每斤百香果所获的利润为10−8=2（元），
前5天售出百香果的总利润为：20×(1+2)+35×(−2+2)+10×(3+2)+30×(−1+2)+15×(2+2)
= 20×3+35×0+10×5+30×1+15×4
= 200（元），
答：前5天售出百香果的总利润为200元；
（3）解：根据题意得，12×6+9.6(x−6)=9.6x+14.4元，
即嘉嘉在该超市买x(x>6)斤百香果，付款金额为9.6x+14.4元．
【点睛】本题考查了有理数比较大小，有理数的混合运算，列代数式，解题意的关键是理解题意，掌握这些知识点，正确计算．第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
销售单价（元）
+1
−2
+3
−1
+2
销售数量（斤）
20
35
10
30
15