中考数学一轮复习专题4.5 角中的四种常见思想方法（北师大版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习专题4.5 角中的四种常见思想方法（北师大版）（解析版），共69页。

考卷信息：
本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对角中的四种常见思想方法的理解！
【题型1 数形结合思想】
1．（2023下·湖南娄底·七年级统考期中）入射光线和平面镜的夹角为40°，转动平面镜，使入射角减小20°，反射光线与入射光线的夹角和原来相比较将（ ）
A．减小40°B．增大40°C．减小20°D．不变
【答案】A
【分析】分别求出平面镜转动前后反射光线与入射光线的夹角，再对两者进行比较即可得到解答．
【详解】解：入射光线与平面镜的夹角是40°，所以入射角为90°−40°=50°．
根据光的反射定律，反射角等于入射角，反射角也为50°，
所以入射光线与反射光线的夹角是100° ．
入射角减小20°，变为50°−20°=30°，所以反射角也变为30°，
此时入射光线与反射光线的夹角为60°．
则反射光线与入射光线间的夹角和原来比较将减小40°．
故选：A．
【点睛】本题考查角度与光反射的综合应用，熟练掌握光的反射规律及角度的计算方法是解题关键．
2．（2023上·吉林·七年级统考期末）如图，OA表示北偏东41°方向，OB表示南偏东54°方向，则∠AOB＝ 度．
【答案】85
【分析】利用方位角、角度和差的性质计算，即可完成求解．
【详解】∵OA表示北偏东41°方向，OB表示南偏东54°方向
∴∠AOB＝180°-41°-54°＝85°
故答案是：85．
【点睛】本题考查了角度的知识；解题的关键是熟练掌握方位角、角度和差的性质，从而完成求解．
3．（2023·江苏泰州·七年级泰州市姜堰区第四中学校考期末）七年级上册《数学实验手册》中有“三角尺拼角”的问题．将一副三角尺如图这样放置，就可画出∠AOB=75°，在实验中同学们发现用一副三角尺还能画出其他特殊角．
(1)请你借助三角尺完成以下操作，并在所画图形上标注所使用三角尺的相应角度；
①设计用一副三角尺画出105°角的画图方案，并画出相应的几何图形；
②用一副三角尺能画出145°的角吗？__________．（填“能”或“不能”）．
(2)利用一副三角尺在图中画出∠MON的角平分线OP，并在所画图形上标注所使用三角尺的相应角度．
(3)如图，现有19°、23°、29°角的三种模板，∠ABC=19°，∠FED=23°，∠IHG=29°请设计一种方案，只用给出的一种模板画出1°的角．
小冬想出了一个方案，利用19°角模板画出1°角，动手操作：如图，M、O、N三点在一条直线上，将∠ABC的顶点B与点O重合，BC边与射线ON重合，如图所示，将∠ABC绕点O逆时针旋转19°，得∠A1B1C1，再将∠A1B1C1绕点O逆时针旋转19°，得∠A2B2C2，……，如此连续操作18次，再利用两个平角等于一个周角，可得1°的角，即：19°×19−180°×2=361°−360°=1°．
请从23°或29°角模板中选一个你认为能画出1°角的模板，设计一个方案，并说明理由．
(4)对于任意一个n°（n为正整数）角的模板，只用此模板是否一定能画出1°的角？请作出判断，并说明理由．
【答案】(1)①见解析；②不能
(2)见解析
(3)选用23°，理由见解析
(4)不一定能，理由见解析
【分析】（1）①用一副三角尺画出105°角的画图方案，用含60°，45°的两个角拼接即可求解;
②根据用一副三角板可以直接画出角的度数是15的倍数可解答；
（2）根据题意设计一个15°，一边与射线ON重合，另一边即为角平分线OP，
（3）根据题目所给的方案，进行设计即可求解；
（4）根据角度的四则运算进行判断即可求解．
【详解】（1）解： ①用一副三角尺画出105°角，如图所示，∠ABC=105°
②用一副三角板可以直接画出角的度数是15的倍数，
∴用一副三角尺能不能画出145°的角，
故答案为：不能．
（2）解：如图所示，
（3）选用23°，
用23°的角旋转15次，则23°×15=345°，与360°差15°，
再旋转16次，得到23°×15+16=713°，与周角差7°，
再旋转16次，得到23°×15+16+16=1081°，超过始边1°
∴∠ABC绕点O逆时针旋转23°，得∠A1B1C1，
再将∠A1B1C1绕点O逆时针旋转23°，
得∠A2B2C2，……，如此连续操作47次，
可得1°的角，
即：23°×47−360°×3=1081°−1080°=1°．
（4）对于任意一个n°（n为正整数）角的模板，只用此模板不一定能画出1°的角
例如，n=2°，此时无论如何旋转，都不能得到1°的角
【点睛】本题考查了三角板中的角度计算，角平分线的定义，角度的计算，理解题意是解题的关键．
4．（2023上·江苏盐城·七年级阶段练习）探究实验：《钟面上的数字》
实验目的：了解钟面上时针与分针在转动时的内在联系，学会用一元一次方程解决钟面上的有关数学问题，体会数学建模思想．
实验准备：机械钟（手表）一只
实验内容与步骤：
观察与思考：
（1）时针每分钟转动__°，分针每分钟转动__°．
（2）若时间为8：30，则钟面角为__°，（钟面角是时针与分针所成的角）
操作与探究：
（1）转动钟面上的时针与分针，使时针与分针重合在12点处．再次转动钟面上的时针与分针，算一算，什么时刻时针与分针再次重合？一天24小时中，时针与分针重合多少次？（一天中起始时刻和结束时刻时针与分针重合次数只算一次，下同）
（2）转动钟面上的时针与分针，使时针与分针重合在12点处，再次转动钟面上的时针与分针，算一算，什么时刻钟面角第一次为90°？一天24小时中，钟面角为90°多少次？
拓展延伸：
一天24小时中，钟面角为180°__次，钟面角为n°（0＜n＜180）____次．（直接写出结果）
【答案】观察与思考：（1）0.5，6，（2）75；操作与探究：（1）1211，22；（2）311 ，44；拓展延伸：22，44．
【详解】解析:
试题分析：观察与思考：(1)钟表12个数字,每相邻两个数字之间的夹角为30°即可得出答案;(2)钟表上8:30,时针指向8和9的中间,分针指向6,即可得出答案,时针和分针相隔2.5个格;
操作与探究：(1)①设经过x小时时针与分针再次重合，根据分针转过的角度=时针转过的角度+360°列出方程即可得出答案；②设经过x小时时针与分针再次重合，根据分针转过的角度=时针转过的角度+90°列出方程即可得出答案；
拓展延伸：根据一天时针与分针重合的次数，结合每重合一次都会出此案两次n的角可得到答案.
解：观察与思考：
（1）30°÷60=0.5；30°÷5=6°；
（2）30°×2.5=75°
操作与探究：
（1）设经过x小时时针与分针再次重合．
360x=30x+360
解得：x=1211，
∵时针与分针每经过x=1211重合一次，
∴24÷1211=22（次）．
答：1211时时针与分针再次重合．一天24小时中，时针与分针重合22次．
（2）设经过y小时钟面角第一次为90°．
360y=30y+90，
解得：y=311．
∵每经过x=1211时针与分针重合一次，而钟面角为90°两次．
∴24÷1211×2=44（次）
答：12311时钟面角第一次为90°．一天24小时中，钟面角为90° 44次．
拓展延伸：
由2可得：一天24小时中，钟面角为180°有22次，钟面角为n°（0＜n＜180）44次．
故答案为22；44．
点睛：本题考查了钟面角的计算及一元一次方程的应用，根据时针与分针每小时转动的角度和时针与分针所形成的夹角列方程求解.
5．（2023上·宁夏银川·七年级统考期末）如图1，点O是弹力墙MN上一点，魔法棒从OM的位置开始绕点O向ON的位置顺时针旋转，当转到ON位置时，则从ON位置弹回，继续向OM位置旋转；当转到OM位置时，再从OM的位置弹回，继续转向ON位置，…，如此反复．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转：第1步，从OA0（OA0在OM上）开始旋转α至OA1；第2步，从OA1开始继续旋转2α至OA2；第3步，从OA2开始继续旋转3α至OA3，…．
例如：当α=30°时，OA1，OA2，OA3，OA4的位置如图2所示，其中OA3恰好落在ON上，∠A3OA4=120°；当α=20°时，OA1，OA2，OA3，OA4，OA5的位置如图3所示，其中第4步旋转到ON后弹回，即∠A3ON+∠NOA4=80°，而OA5恰好与OA2重合．解决如下问题：
(1)若α=35°，在图4中借助量角器画出，OA2，OA3，其中∠A3OA2的度数是 ；
(2)若α＜30°，且OA4所在的射线平分∠A2OA3，在如图5中画出OA1，OA2，OA3，OA4并求出α的值；
(3)若α＜36°，且∠A2OA4＝20°，则对应的α值是 ．
【答案】(1)45°
(2)α＝（72029）°
(3)（207）°或（34013）°或（38013）°
【分析】（1）根据题意，明确每次旋转的角度，计算即可，并画图；
（2）根据各角的度数，找出等量关系式，列出方程，求出α的度数即可；
（3）分三种情况讨论，根据各角的度数，找出等量关系式，列出方程，求出α的度数即可．
【详解】（1）解：如图1，当α=35°，则∠A0OA1=35°，
∴∠A1OA2=70°，
∴∠A2ON=180°−70°−35°=75°，
∴∠A3OA2=75°−(35°×3−75°)=45°；
（2）解：如图5所示．
∵α<30°，
∴∠A0OA3<180°，4α<180°．
∵OA4平分∠A2OA3，
∴2(180°−6α)+32α=4α，
解得：α=72029°;
（3）解：分三种情况：
①OA4和OA3都不从ON回弹时，如图2，
3α+4α=20，
α=207°；
②OA4在OA2的右边时，如图3，
根据题意得：4α−(180−6α)+20=3α，
α=34013°；
③OA4在OA2的左边时，如图4，
根据题意得：4α−(180−6α)=3α+20，
α=38013°；
综上，对应的α值是207°或34013°或38013°；
故答案为：207°或34013°或38013°；
【点睛】本题主要考查角度的计算和旋转的相关知识，可结合平角的性质及角度的加减进行计算分析．
6．（2023上·湖南长沙·七年级长沙麓山国际实验学校校考期末）如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为A，B两点，两脚脚跟位置分别为C，D两点，定义A，B，C，D平面内O为定点，将手脚运动看作绕点O进行旋转：
(1)填空：如图2，A，O，B三点共线，且∠AOC=∠BOC，则∠AOC=______°
(2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然A，O，B三点共线，却不在水平方向上，且∠AOD:∠BOC=6:5．她经过计算发现，∠AOC−20°∠BOD+12°的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由；
(3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且∠COD=30°，开始运动前A、O、B三点在同一水平线上，OA、OB绕点O顺时针旋转，OA旋转速度为50°/s，OB旋转速度为25°/s，当OB旋转到与OD重合时，运动停止，如图4
①运动停止时，直接写出∠AOD=______；
②请帮助乐乐求解运动过程中∠AOC与∠BOE的数量关系．
【答案】(1)90
(2)正确，代数式的值为56；
(3)①105°；②当0≤t≤2.1时，∠AOC+2∠BOE=255°；当2.1【分析】（1）由A，O，B三点共线，可得出∠AOC+∠BOD=180°，再由两角相等，可得出∠AOC=90°；
（2）由∠AOD:∠BOC=6:5，设∠AOD=6α，则∠BOC=5α，分别表达∠AOC−20°和∠BOD+12°，再求比值，可得结论；
（3）①算出运动停止时的时间，求出OA运动的角度，进而求出∠AOD的度数；②由OA的运动过程可知，需要分类讨论，在点C，O，A共线前，和共线后两种状态，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵A，O，B三点共线，
∴∠AOC+∠BOD=180°，
∵∠AOC=∠BOD，
∴∠AOC=12×180°=90°．
故答案为：90；
（2）∵∠AOD:∠BOC=6:5，
设∠AOD=6α，则∠BOC=5α，
∴∠AOC=180°−∠BOC=180°−5α，∠BOD=180°−∠AOD=180°−6α，
∴∠AOC−20°∠BOD+12°=180°−5α−20°180°−6α+12°=160°−5α192°−6α=560°−2α6100°−2α=56．
∴欢欢的发现是正确的，代数式的值为56；
（3）解：∵∠COD=30°，
∴∠COE=∠EOD=15°，∠BOD=∠AOC=75°，
设运动时间为ts，则t=75°÷25°=3，则0≤t≤3．
①运动停止时，即t=3时，OA旋转的角度为50°×3=150°，
∴∠AOD=75°+180°−150°=105°，
故答案为：105°；
②当点C，O，A三点共线时，t=180°−75°÷50°=2.1；
∴当0≤t≤2.1时，∠AOC=75°+50°t，∠BOE=90°−25°t，
∴∠AOC+2∠BOE=255°；
当2.1∠BOE=90°−25°t，
∴∠AOC−2∠BOE=105°．
综上，当0≤t≤2.1时，∠AOC+2∠BOE=255°；当2.1【点睛】本题主要考查角的和差的相关计算，发现图形中角之间的和差关系是解题关键．
7．（2023上·江苏镇江·七年级统考期末）如图1，点O为直线AB上一点，点C是位于直线AB上方的一点，且∠BOC=20°，将一个含60°三角板（∠POQ=60°）顶点放在点O处，一边OP与射线OA重合，点Q在直线AB的上方．
（1）∠QOC= °
（2）如图2，现将图1位置中三角板△OPQ绕点O沿顺时针方向每秒转动8°，射线OC绕点O沿逆时针方向每秒转动12°，设转动的时间为t秒，当点Q、点C有一点位于直线AB上时，转动停止．
①当线段OQ与射线OC重合时，求t的值；
②当t= 时，OP⊥OC．
【答案】（1）100；（2）①t=5；②3.5或12.5
【分析】（1）根据角的和差关系，直接求出∠QOC的度数，即可；
（2）①根据题意，列出关于t的一元一次方程，即可求解；②分两种情况：第一次OP⊥OC时，第二次OP⊥OC时，分别列出关于t的一元一次方程，即可求解．
【详解】（1）∵∠BOC=20°，∠POQ=60°，
∴∠QOC=180°-20°-60°=100°，
故答案是：100；
（2）①设过t秒，线段OQ与射线OC重合，
则12t+8t=100，解得：t=5，
②第一次OP⊥OC时，∠QOC=90°-60°=30°，
则12t+8t=100-30，解得：t=3.5；
第二次OP⊥OC时，∠QOC=90°+60°=150°，
则12t+8t=100+150，解得：t=12.5，
综上所述：t=3.5或12.5秒，OP⊥OC，
故答案是：3.5或12.5
【点睛】本题主要考查一元一次方程与角的和差的综合应用，根据角的和差关系，列出方程，是解题的关键．
【题型2 分类讨论思想】
1．（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图，已知∠AOC=∠BOD．

(1)试说明：∠AOB=∠COD；
(2)若OC平分∠BOE，∠AOB=16°，∠DOE=24°，求∠BOC的度数；
(3)在（2）的条件下，作射线OF，OG，当∠BOF=∠DOF，∠FOG=3∠EOG时，请正确画出图形，并直接写出∠AOG的度数．
【答案】(1)见解析
(2)40°
(3)图见解析，∠AOG的度数是83°或122°或128° 或38°
【分析】（1）观察图形，可知已知的两等角存在公共部分，同时减去，即可得解；
（2）观察图形中角之间的位置关系，得∠COE=∠COD+∠DOE=40°，由角平分线，得∠BOC=∠COE=40°；
（3）由∠BOF=∠DOF，分情况：①OF在∠BOD内部：由∠FOG=3∠EOG，进一步分情况讨论，OG在∠EOF内部或OG在∠EOF外部，②OF在∠BOD外部：进一步分情况讨论，OG在∠EOF内部或OG在∠EOF外部；分别求解．
【详解】（1）解：∵∠AOC=∠BOD，
∠AOB+∠BOC=∠AOC，
∠COD+∠BOC=∠BOD，
∴∠AOB=∠COD；
（2）由（1）可知，
∠AOB=∠COD=16°，
∵∠DOE=24°，
∴∠COE=∠COD+∠DOE=40°，
∵OC平分∠BOE，
∴∠BOC=∠COE=40°，
∴∠BOC的度数是40°；
（3）∠AOG的度数是83°或122°或128°或38°，
理由如下：
如图1，∵∠AOE=∠AOB+∠BOC+∠COE=96°，
∵∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+16°=56°，
∴ ∠BOF=∠DOF=12∠BOD=28°，

∵∠EOF=∠DOF+∠DOE=28°+24°=52°，
又∵∠FOG=3∠EOG，
∴ ∠EOG=14∠EOF=13°，
∴∠AOG=∠AOE−∠EOG=96°−13°=83°，
如图2，∵∠FOG=3∠EOG，

即∠EOF+∠EOG=3∠EOG，
又∵∠EOF=52°，
∴∠EOG=26°，
∠AOG=∠AOE+∠EOG=96°+26°=122°，

如图3，∵∠BOF=∠DOF=12(360°−∠BOD)=152°，
∴∠EOF=∠DOF−∠DOE=128°，
又∴∠FOG=3∠EOG，
∠EOG=32°，
∠AOG=∠AOE+∠EOG=128°，
如图4:∵∠FOG=3∠EOG，
∴3∠EOG+∠EOG=360°−∠EOF=360°−128°，

∠EOG=58°，
∠AOG=∠AOE−∠EOG=96°−58°=38°，
综上所述，∠AOG的大小为83°或122°或128° 或38°．
【点睛】本题考查角的数量关系和计算，角平分线的定义；根据图形得出角之间的数量关系是解题的关键．
2．（2023上·湖南永州·七年级统考期末）点O为直线AB上一点，在直线AB同侧任作射线OC,OD，使得∠COD=90°．

(1)如图一，过点O作射线OE，使OE为∠AOD的角平分线，若∠COE=25°时，则∠DOE=________°，∠AOC=________°；
(2)如图二，过点O作射线OE，当OE恰好为∠AOC的角平分线时，另作射线OF，使得OF平分∠BOD．
①若∠AOC=50°，求∠EOF的度数（写出推理过程）；
②若∠AOC=α0°<α<90°，则∠EOF的度数是________（直接填空）．
(3)过点O作射线OE，当OC恰好为∠AOE的角平分线时，另作射线OF，使得OF平分∠COD，当∠EOF=10°时，则∠AOC的度数是________．（在稿纸上画图分析，直接填空）
【答案】(1)65°，40°
(2)①135°，②135°
(3)35°或55°
【分析】（1）根据∠DOE=∠COD−∠COE求出∠DOE，利用角平分线的定义得到∠AOE，再根据∠AOC=∠AOE−∠COE进行求解即可；
（2）①由平角的定义，角平分线的定义求出∠COE，∠DOF，根据∠EOF=∠COE+∠COD+∠DOF进行求解即可；
②同①法，进行计算即可；
（3）分OF在∠EOD内部和OF在∠EOD外部两种情况，进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵∠COD=90°，∠COE=25°，
∴∠DOE=∠COD−∠COE=65°，
∵OE为∠AOD的角平分线，
∴∠AOE=∠DOE=65°，
∴∠AOC=∠AOE−∠COE=40°；
故答案为：65°，40°；
（2）①解：∵∠AOC=50°，∠COD=90°，
∴∠BOD=180°−∠AOC−∠COD=40°，
又∵OE为∠AOC的角平分线，OF为∠BOD的角平分线，
∴∠COE=12∠AOC=25°，∠DOF=12∠BOD=20°，
∴∠EOF=∠COE+∠COD+∠DOF=135°，
②∵∠AOC=α，∠COD=90°，
∴∠BOD=180°−∠AOC−∠COD=90°−α，
又∵OE为∠AOC的角平分线，OF为∠BOD的角平分线，
∴∠COE=12∠AOC=12α，∠DOF=12∠BOD=45°−12α，
∴∠EOF=∠COE+∠COD+∠DOF=135°；
故答案为：135°；
（3）①当OF在∠EOD内部时，如图：

∵∠COD=90°，OF平分∠COD，
∴∠COF=12∠COD=45°，
∵∠EOF=10°，
∴∠COE=∠COF−∠EOF=35°，
∵OC平分∠AOE，
∴∠AOC=∠COE=35°，
②当OF在∠EOD外部时，如图：

∵∠COD=90°，OF平分∠COD，
∴∠COF=12∠COD=45°，
∵∠EOF=10°，
∴∠COE=∠COF+EOF=55°，
∵OC平分∠AOE，
∴∠AOC=∠COE=55°；
综上：∠AOC的度数是35°或55°；
故答案为：35°或55°．
【点睛】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的相关计算．解题的关键是正确的识图，理清角之间的和差关系．
3．（2023下·上海长宁·七年级校联考期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角，如图1，若∠COD=12∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角．

(1)如图1，∠AOB=70°，∠AOC=15°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD=________；
(2)如图2，已知∠AOB=120°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α0°<α<60°得∠COD，当旋转角α为何值时，∠COB是∠AOD的内半角；
(3)已知∠AOB=30°，把一块含有30°角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点O以5度/秒的速度按顺时针旋转（如图4），问：在旋转一周的过程中，射线OA、OB、OC、OD能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由．
【答案】(1)20°
(2)当旋转角度α为40°时∠COB是∠AOD的内半角
(3)能，分别为2秒，18秒，54秒，70秒
【分析】（1）根据“内半角”的定义，可求出∠COD的度数，再根据∠BOD=∠AOB−∠AOC−∠COD，可得出结论；
（2）由旋转可分别求出∠BOC和∠AOD的度数，再根据“内半角”的定义，可列出等式120°−α=120°+α2，即可求出α的值；
（3）由旋转可知，分四种情况，分别进行讨论，根据“内半角”的定义，可求出对应的时间．
【详解】（1）解：如图1，∵∠AOB=70°，∠COD是∠AOB的内半角，

∴∠COD=12∠AOB=35°，
∵∠AOC=15°，
∴∠BOD=∠AOB−∠AOC−∠COD=70°−15°−35°=20°；
故答案为：20°．
（2）解：如图2，由旋转可知，∠AOC=∠BOD=α，

∴∠BOC=120°−α，∠AOD=120°+α，
∵∠COB是∠AOD的内半角，
∴∠COB=12∠AOD，即120°−α=120°+α2，
解得，α=40°；
（3）解：能，理由如下：
由旋转可知，∠AOC=∠BOD=5°t；根据题意可分以下四种情况：
①当射线OC在∠AOB内，如图4，

此时，∠BOC=30°−5°t，∠AOD=30°+5°t，
则∠COB是∠AOD的内半角，
∴∠COB=12∠AOD，即30°−5°t=12(30°+5°t)，
解得t=2（秒)；
②当射线OC在∠AOB外部，有以下两种情况，如图5，图6，
如图5，此时，∠BOC=5°t−30°，∠AOD=30°+5°t，

则∠COB是∠AOD的内半角，
∴∠COB=12∠AOD，即5°t−30°=12(30°+5°t)，
解得t=18（秒)；
如图6，此时，∠BOC=360°−5°t+30°，∠AOD=360°−5°t−30°，

则∠AOD是∠BOC的内半角，
∴∠AOD=12∠BOC，即360°−5°t−30°=12(360°−5°t+30°)，
解得t=54（秒)；
③当射线OD在∠AOB内，如图7，

此时，∠BOC=360°−5°t+30°，∠AOD=30°−(360°−5°t)=5°t−330°，
则∠AOD是∠BOC的内半角，
∴∠AOD=12∠BOC，即5°t−330°=12(360°−5°t+30°)，
解得t=70（秒)；
综上，在旋转一周的过程中，射线OA、OB、OC、OD构成内半角时，旋转的时间分别为：2秒；18秒；54秒；70秒．
【点睛】本题属于新定义类问题，主要考查旋转中角度的表示，及角度的和差运算；由旋转正确表达对应的角是本题解题关键．
4．（2023上·湖北十堰·七年级统考期末）已知 ∠AOB与∠COD互补，将∠COD绕点O逆时针旋转．
(1)若∠AOB=110°,∠COD=70°
①如图1，当∠COB=30°时，∠AOD= °；
②将∠COD绕点O逆时针旋转至∠AOC=3∠BOD，求∠COB与∠AOD的度数；
(2)将∠COD绕点O逆时针旋转α°(0<α<180)，在旋转过程中，∠AOD+∠COB的度数是否随之的改变而改变？若不改变，请求出这个度数；若改变，请说明理由．
【答案】(1)①150；②∠COB=20°，∠AOD=130°或∠COB=80°，∠AOD=100°
(2)不改变，其度数为180°
【分析】（1）①先根据∠AOB=110°,∠COD=70°求出∠AOB+∠COD=180°，再根据∠AOB+∠COD=∠AOD+∠BOC计算即可；
②设∠AOC=x°，分两种情况：(Ⅰ) OB在∠COD内部，(Ⅱ) ∠COD在∠AOB内部，分别讨论即可；
（2）设∠AOB=β°,∠COD=θ°,∠AOC=γ°，求出所有情况后判断即可．
【详解】（1）①∵∠AOB=110°,∠COD=70°，
∴∠AOB+∠COD=110°+70°=180°，
∵∠AOB+∠COD=∠AOD+∠BOC，∠COB=30°，
∴∠AOD=180°−30°=150°，
故答案为150；
②(Ⅰ)当OB在∠COD内部时（如图1），
设∠AOC=x°，则∠COB=110°−x°，
∠BOD=∠COD−∠COB=70°−(110°−x°)=x°−40°，
由∠AOC=3∠BOD得，x°=3(x°−40°)，
解得x=60，
∴∠COB=110°−x°=110°−60°=50°,∠BOD=x°−40°=60°−40°=20°，
∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=110°+20°=130°；

(Ⅱ) 当∠COD在∠AOB内部时（如图2），
设∠AOC=x°，则∠BOD=∠AOB−∠AOC−∠COD=110°−x°−70°=40°−x°，
由∠AOC=3∠BOD得，x°=3(40°−x°)，
解得x=30，
∠BOD=40°−x°=40°−30°=10°，
∠COB=∠COD+∠BOD=70°+10°=80°，
∴∠AOD=∠AOC+∠COD=30°+70°=100°；
（2）不改变，其度数为180°．
设∠AOB=β°,∠COD=θ°,∠AOC=γ°，由条件知β+θ=180，
分四种情况：
ⅰ)当OB在∠COD内部时（如图3），

∠COB=∠AOB−∠AOC=β°−γ°，
∠BOD=∠COD−∠BOC=θ°−(β°−γ°)，
∠AOD=∠AOB+∠BOD=β°+θ°−(β°−γ°)=θ°+γ°，
∴∠AOD+∠COB=θ°+γ°+β°−γ°=θ°+β°=180°；
ⅱ) 当∠COD在∠AOB内部时（如图4），
∠COB=∠AOB−∠AOC=β°−γ°，
∠AOD=∠AOC+∠COD=γ°+θ°，
∴∠AOD+∠COB=θ°+γ°+β°−γ°=θ°+β°=180°；
ⅲ)当OA在∠COD内部时（如图5），
∠COB=∠AOB+∠AOC=β°+γ°，
∠AOD=∠DOC−∠COA=θ°−γ°，
∴∠AOD+∠COB=β°+γ°+θ°−γ°=θ°+β°=180°；
ⅳ)当∠COD在∠AOB外部时（如图6），
∠AOD+∠COB=360°−(∠AOB+∠COD)
=360°−180°=180°；
综上所述，在旋转过程中，∠AOD+∠COB的度数不改变，其度数为180°．
【点睛】本题考查了角的和差，关键是运用角的和差正确表示所需要的角．
5．（2023上·江苏南通·七年级校联考期末）定义：从∠MPN的顶点P引一条射线PQ（不与PM重合），若∠QPN+∠MPN=180°，则称射线PQ为∠MPN关于边PN的补线．

(1)下列说法：①一个角关于某边的补线一定在这个角的外部；②一个角关于某边的补线一定有2条；③一个角关于某边的补线有1条或2条，其中正确的是 ；（填序号）
(2)如图，O是直线AB上一点，射线OC，OD在AB同侧，OD是∠BOC的平分线，则OC是∠AOD关于边OD的补线吗？为什么？
(3)已知射线OC为∠AOB关于边OB的补线，OP是∠BOC的平分线．若∠AOB=α，试用含α的式子表示∠AOP（直接写出结果）．
【答案】(1)③
(2)OC是∠AOD关于边OD的补线，理由见解答
(3)∠AOP可以表示为90°+12α或90°−12α或90°−32α或32α−90°
【分析】（1）根据题目中给出的信息进行判断即可；
（2）根据OD是∠BOC的平分线，得出∠BOD=∠COD，求出∠COD+∠AOD=180°，根据OC不与OA重合，结合补线定义进行判断即可；
（3）分情况讨论：当∠AOB为钝角，且OC在∠AOB内部时，当∠AOB为钝角，且OC在∠AOB外部时，当∠AOB为锐角，且OA在∠BOC内部，且0<α≤60°时，当∠AOB为锐角，且OA在∠BOC内部，且60<α<90°时，当∠AOB为锐角，且OA在∠BOC外部，当∠AOB为直角时，OC只能在∠AOB的外部，分别画出图形求出结果即可．
【详解】（1）解：①当这个角是钝角时，它的补线一条在内部，邻补的在外部；
②当这个角是直角时，它的补线只有1条；
③当这个角是直角时，它的补线只有1条，当这个角不是直角时，有两条；
故答案为：③；
（2）解：OC是∠AOD关于边OD的补线，理由如下：
∵OD是∠BOC的平分线，
∴∠BOD=∠COD，
∵∠BOD+∠AOD=180°，
∴∠COD+∠AOD=180°，
又∵OC不与OA重合，
∴OC是∠AOD关于边OD的补线．
（3）解：当∠AOB为钝角，且OC在∠AOB内部时，如图所示：

∵射线OC为∠AOB关于边OB的补线，
∴∠AOB+∠BOC=180°，
∵∠AOB=α，
∴∠BOC=180°−α，
∵OP是∠BOC的平分线．
∴∠BOP=12∠BOC=90°−12α，
∴∠AOP=∠AOB−∠BOP=12α−90°−α=32α−90°．
当∠AOB为钝角，且OC在∠AOB外部时，如图所示：

∵射线OC为∠AOB关于边OB的补线，
∴∠AOB+∠BOC=180°，
∵∠AOB=α，
∴∠BOC=180°−α，
∵OP是∠BOC的平分线．
∴∠BOP=12∠BOC=90°−12α，
∴∠AOP=∠AOC−∠BOP=180°−90°−12α=12α+90°．
当∠AOB为锐角，且OA在∠BOC内部，且0<α≤60°时，如图所示：

∵射线OC为∠AOB关于边OB的补线，
∴∠AOB+∠BOC=180°，
∵∠AOB=α，
∴∠BOC=180°−α，
∵OP是∠BOC的平分线．
∴∠BOP=12∠BOC=90°−12α，
∴∠AOP=∠BOP−∠AOB=90°−12α−α=90°−32α；
当∠AOB为锐角，且OA在∠BOC内部，且60<α<90°时，如图所示：

∵射线OC为∠AOB关于边OB的补线，
∴∠AOB+∠BOC=180°，
∵∠AOB=α，
∴∠BOC=180°−α，
∵OP是∠BOC的平分线，
∴∠BOP=12∠BOC=90°−12α，
∴∠AOP=∠AOB−∠BOP=α−90°−12α=32α−90°；
当∠AOB为锐角，且OA在∠BOC外部，如图所示：

∵射线OC为∠AOB关于边OB的补线，
∴∠AOB+∠BOC=180°，
∵∠AOB=α，
∴∠BOC=180°−α，
∵OP是∠BOC的平分线，
∴∠BOP=12∠BOC=90°−12α，
∴∠AOP=∠AOB+∠BOP=α+90°−12α=90°+12α；
当∠AOB为直角时，OC只能在∠AOB的外部，如图所示：

∵射线OC为∠AOB关于边OB的补线，
∴∠AOB+∠BOC=180°，
∵∠AOB=α，
∴∠BOC=180°−α，
∵OP是∠BOC的平分线，
∴∠BOP=12∠BOC=90°−12α，
∴∠AOP=∠AOB+∠BOP=α+90°−12α=90°+12α；
综上分析可知：∠AOP可以表示为90°±12α或90°−32α或32α−90°．
【点睛】本题主要考查了角平分线的有关计算，解题的关键是熟练掌握新定义，数形结合，注意进行分类讨论．
6．（2023下·广东广州·七年级统考期末）点O为直线AB上一点，在直线AB同侧任作射线OC，OD，使得∠COD=90°．
(1)如图1，过点O作射线OE，当OE恰好为∠AOC的角平分线时，另作射线OF，使得OF平分∠BOD，则∠EOC+∠DOF的度数是___________°；
(2)如图2，过点O作射线OG，当OG恰好为∠AOD的角平分线时，求出∠BOD与∠COG的数量关系；
(3)过点O作射线OH，当OC恰好为∠AOH的角平分线时，另作射线OK，使得OK平分∠COD，若∠HOC=3∠HOK，求出∠AOH的度数．
【答案】(1)45
(2)2∠COG=∠BOD
(3)∠AOH为135°或67.5°
【分析】（1）直接通过角平分线的定义直接求解即可．
（2）用同一个角度表示不同的角，直接求解即可．
（3）分类讨论H，K的位置关系直接求解即可．
【详解】（1）∵ OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴ ∠EOC=12∠AOC，∠DOF=12∠BOD
∵ ∠COD=90°
∴ ∠AOC+∠BOD=90°
∴ ∠DOF+∠EOC=12∠AOC+12∠BOD=45°
（2）
∵ OG平分∠AOD，
∴ ∠GOA=∠GOD=12∠AOD，
根据图形有：∠BOD=180°−∠AOD，
∵ ∠COD=90°，
∴ ∠COG=90°−∠GOD=90°−12∠AOD，
∵ ∠BOD=180°−∠AOD，
∴ 2∠COG=∠BOD，
（3）当H在K左侧时
∵ ∠HOC=3∠HOK
∴ ∠KOC=4∠HOK
∵ OK平分∠COD
∴ ∠KOC=12∠COD=45°
∴ ∠HOK=45°4
∵ OC平分∠AOH
∴ ∠AOC=12∠AOH=135°4
∴ ∠AOH=2×135°4=67.5°
当K在H左侧时
∵ ∠HOC=3∠HOK
∴ ∠KOC=2∠HOK
∵ OK平分∠COD
∴ ∠KOC=12∠COD=45°
∴ ∠HOK=22.5°
∵ OC平分∠AOH
∴ ∠AOC=12∠AOH=67.5°
∴ ∠AOH=2×67.5°=135°
综上所述：∠AOH为135°或67.5°
【点睛】此题考查角度的计算，解题关键是分类讨论H和K的位置．
7．（2023·湖北武汉·七年级统考期末）如图，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC＝∠AOD，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s，运动时间为t秒（0＜t＜12，本题出现的角均小于平角）
（1）图中一定有 个直角；当t＝2时，∠MON的度数为 ，∠BON的度数为 ；
（2）若OE平分∠COM，OF平分∠NOD，当∠EOF为直角时，请求出t的值；
（3）当射线OM在∠COB内部，且7∠COM+2∠BON∠MON是定值时，求t的取值范围，并求出这个定值．
【答案】(1)4；144°，114°；(2)t的值为10s；(3)当射线OM在∠COB内部，且7∠COM+2∠BON∠MON是定值时，t的取值范围为103＜t＜6，这个定值是3
【分析】(1)由直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝∠AOD即可得到共4个直角；当t＝2时求得∠BOM＝30°，∠NON＝24°，即可得到∠MON、∠BON的度数；
(2)用t分别表示出∠BOM＝15t，∠NOD＝12t，∠COM＝15t﹣90°，根据OE平分∠COM，OF平分∠NOD，分别求得∠COE、∠DOF,由∠EOF为直角即∠COE+∠DOF＝90°，列出方程解答即可.
(3)先确定∠MON＝180°时，∠BOM＝90°时t的值，再分两种情况进行计算，得到0＜t＜103时7∠COM+2∠BON∠MON不是定值，当103＜t＜6时，7∠COM+2∠BON∠MON=3是定值.
【详解】（1）如图所示，∵两条直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝∠AOD，
∴∠AOC＝∠AOD＝90°，
∴∠BOC＝∠BOD＝90°，
∴图中一定有4个直角；
当t＝2时，∠BOM＝30°，∠NON＝24°，
∴∠MON＝30°+90°+24°＝144°，
∠BON＝90°+24°＝114°；
故答案为：4；144°，114°；
（2）如图所示，∠BOM＝15t，∠NOD＝12t，∠COM＝15t﹣90°，
∵OE平分∠COM，OF平分∠NOD，
∴∠COE＝12∠COM＝12（15t﹣90°），∠DOF＝12∠DON＝12×12t，
∵当∠EOF为直角时，∠COE+∠DOF＝90°，
∴12（15t﹣90°）＝12×12t，
解得t＝10，
∴当∠EOF为直角时，t的值为10s；
（3）当∠MON＝180°时，∠BOM+∠BOD+∠DON＝180°，
∴15t+90°+12t＝180°，
解得t＝103，
当∠BOM＝90°时，15t＝90°，
解得t＝6，
①如图所示，当0＜t＜103时，
∠COM＝90°﹣15t，∠BON＝90°+12t，
∠MON＝∠BOM+∠BOD+∠DON＝15t+90°+12t，
∴7∠COM+2∠BON∠MON＝7(90°﹣15t)+2(90°+12t)15t+90°+12t=810°﹣81t27t+90°，（不是定值）
②如图所示，当103＜t＜6时，
∠COM＝90°﹣15t，∠BON＝90°+12t，
∠MON＝360°﹣（∠BOM+∠BOD+∠DON）＝360°﹣（15t+90°+12t）＝270°﹣27t，
∴7∠COM+2∠BON∠MON＝7(90°﹣15t)+2(90°+12t)270°﹣27t=810°﹣81t270°﹣27t=3，（是定值）
综上所述，当射线OM在∠COB内部，且7∠COM+2∠BON∠MON是定值时，t的取值范围为103＜t＜6，这个定值是3．
【点睛】此题考查图形中的运动问题，(3)先确定∠MON＝180°时，∠BOM＝90°时t的值，再分两种情况进行计算，得到0＜t＜103时7∠COM+2∠BON∠MON不是定值，当103＜t＜6时，7∠COM+2∠BON∠MON=3是定值.
8．（2023下·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考开学考试）平面上顺时针排列射线OA,OB,OC,OD，∠BOC=30°，∠COD=12∠AOB，射线OM,ON分别平分∠AOB，∠AOD（题目中所出现的角均小于180°）．
(1)如图1，若∠AOD=10°，则∠AOM=___________，∠CON=___________；
(2)如图2，探究∠MON与∠BON的数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若∠BON=5°，将∠AOB绕点O以每秒2°的速度顺时针旋转，同时将∠COD绕点O以每秒3°逆时针旋转，若旋转时间为t秒0【答案】(1)40°，45°
(2)∠MON−∠BON=30°
(3)当∠MON=5°时，t=40或t=12
【分析】（1）先根据∠COD=12∠AOB，射线OM平分∠AOB求出∠COD=12∠AOB=∠AOM=∠BOM，进而得到∠AOD=∠COM=10°，即可求出∠AOM，再根据射线ON平分∠AOD求出∠DON=12∠AOD=5°，最后计算∠CON即可；
（2）先由∠COD=12∠AOB，射线OM平分∠AOB求出∠COD=∠AOM=∠BOM，再由射线ON分别平分∠AOD求出∠AOM+∠MON=∠NOB+∠BOC+∠COD，最后根据∠BOC=30°计算即可．
（3）先根据题意得到∠COD=∠AOM=∠BOM=40°，∠AOB=80°，进而求出旋转前 ∠AOD=80°+40°+30°=150°，再由“将∠AOB绕点O以每秒2°的速度顺时针旋转”得到∠AOM=40°恒定，然后分类讨论即可．
【详解】（1）∵∠COD=12∠AOB，射线OM平分∠AOB，
∴∠COD=12∠AOB=∠AOM=∠BOM，
∴∠AOD=∠COM=10°，
∴∠AOM=∠COD=∠BOM=∠MOC+∠BOC=30°+10°=40°，
∵射线ON平分∠AOD，
∴∠DON=12∠AOD=5°，
∴∠CON=∠COD+∠DON=40°+5°=45°，
故答案为40°，45°；
（2）∵∠COD=12∠AOB，射线OM平分∠AOB，
∴∠COD=∠AOM=∠BOM，
∵射线ON分别平分∠AOD，
∴∠AON=∠NOD，
∴∠AOM+∠MON=∠NOB+∠BOC+∠COD，
∵∠BOC=30°，∠COD=∠AOM=∠BOM，
∴∠MON=∠NOB+30°，
∴∠MON−∠BON=30°；
（3）∵∠MON−∠BON=30°，∠BON=5°，
∴∠MON=35°，
∴∠COD=∠AOM=∠BOM=40°，
∴∠AOB=80°，
∵∠BOC=30°，
∴∠AOD=80°+40°+30°=150°，
∵将∠AOB绕点O以每秒2°的速度顺时针旋转，
∴∠AOB度数恒定，
即∠AOM=40°恒定，
在OM和ON相遇前，
∵∠MON=5°，射线ON平分∠AOD，
∴∠AON=∠DON=12∠AOD=12×150°−2t°−3t°=∠AOM+∠MON，
∵∠AOM=40°，∠MON=5°，
∴12×150°−2t°−3t°=40°+5°，
解得t=12；
在OM和ON相遇后，
此时∠AOD=150°−2t°−3t°=150°−5t°，
∵射线ON平分∠AOD，
∴∠AON=12∠AOD=12150°−5t°
∵∠AOM=40°，∠MON=5°，
∴∠AON=∠AOM−∠MON=40°−5°=35°，
即35°=12150°−5t°，
解得t=40；
即当∠MON=5°时，t=40或t=12．
【点睛】本题考查了与角平分线有关的计算，难度较大，需要有良好的空间想象能力．因为题干要求题目中所出现的角均小于180°，所以第三问无需考虑t=40后再次出现∠MON=5°的情况．
【题型3 方程思想】
1．（2023上·全国·七年级期末）已知∠AOB=120°，∠COD=40°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD(图中的角均大于0°且小于180°)
(1)如图1，求∠MON的度数；
(2)若OD与OB重合，OC从图2中的位置出发绕点O逆时针以每秒10°的速度旋转，同时OD从OB的位置出发绕点O顺时针以每秒5°的速度旋转，旋转时间为t秒
①当8②当0【答案】（1）80°；（2）①所求的∠BOM与∠AON的数量关系为：2∠AON−∠BOM=160°(8【分析】（1）设∠BOC=x，则可得∠AOC=120°−x和∠BOD=40°−x，根据角平分线的定义得∠MOC和∠NOB，再根据∠MON=∠MOC+∠BOC+∠NOB即可得；
（2）①当8②根据图中的角均小于180°，首先要分OC是否转过OA；再分OC与OD是否转到共线的位置；然后分角平分线OM与ON是否共线，即∠MON是否大于180°；最后分OC与OD是否重合；计算各个情形的下∠MON和∠COD，代入∠MON−∠COD=14∠AOB即可计算出t的值.
【详解】（1）设∠BOC=x
∵∠AOB=120°，∠COD=40°
∴∠AOC=∠AOB−∠BOC=120°−x∠BOD=∠COD−∠BOC=40°−x
又∵ OM平分∠AOC，ON平分∠BOD
∴∠MOC=12∠AOC=120°−x2，∠NOB=12∠BOD=40°−x2
∴∠MON=∠MOC+∠BOC+∠NOB=120°−x2+x+40°−x2=80°；
（2）①由题意将t分为以下两段：
当8此时有2∠AON−∠BOM=160°
当20此时有2∠AON+∠BOM=520°
综上，所求的∠BOM与∠AON的数量关系为：2∠AON−∠BOM=160°(8②根据图中的角均小于180°，需作以下几方面的讨论：
当OC恰好转到OA的位置时，t=80°10°=8；当OC与OD恰好转到共线的位置时，10°t+40°+5°t=180°，即t=283；当OC与OD转到使OM与ON恰好共线的位置时，10°t−80°2+5°t2=60°，即t=403；当OC与OD恰好重合时，10°t+5°t+40°=360°，即t=643，下面据此将t的取值范围逐一分段：
1）当0代入∠MON−∠COD=14∠AOB得：15°t2=30°解得t=43
2）当8代入∠MON−∠COD=14∠AOB得：15°t2−40°=30°解得t=283（舍）
3）当283代入∠MON−∠COD=14∠AOB得：45°t2−240°=30°解得t=283（舍）或t=12
4）当403代入∠MON−∠COD=14∠AOB得：15°t2−40°=30°解得t=283（舍）
5）当643代入∠MON−∠COD=14∠AOB得：600°−45°t2=30°解得t=763
综上，所求的t的值为：t=43或t=12或t=763.
【点睛】本题难度较高，考查了角平分线的定义、角的和差倍分，根据题意划分各种情形是解题关键.
2．（2023下·湖南长沙·七年级统考期末）综合题
如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC=30°，将一直角三角板（∠D=30°）的直角顶点放在点O处，一边OE在射线OA上，另一边OD与OC都在直线AB的上方．
（1）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t秒后，OD恰好平分∠BOC．
①此时t的值为______；（直接填空）
②此时OE是否平分∠AOC？请说明理由．
（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒8°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠DOE？请说明理由；
（3）在（2）问的基础上，经过多长时间OC平分∠DOB？
【答案】（1）①3；②是，理由见解析；（2）经过5秒或69秒时，OC平分∠DOE；（3）经过21011秒时，OC平分∠DOB．
【分析】（1）①先求出t=0时的∠DOC的度数，再求出当OD恰好平分∠BOC时∠DOC，最后根据旋转的角度等于前后两次所求∠DOC度数的差列出方程即得．
②在①中求出的t的条件下，求出此时的∠COE的度数即可．
（2）先根据OC平分∠DOE可将OC旋转度数与三角板旋转度数之差分为15°、375°和345°三种情况， 然后以OC平分∠DOE为等量关系列出方程即得．
（3）先根据OC旋转速度与三角板旋转速度判断OC平分∠DOB应该在两者旋转过OB之后，然后用t分别表示出∠COB与∠DOB的度数，最后依据OC平分∠DOB为等量关系列出方程即可．
【详解】（1）①当t=0时
∵∠AOC=30°，∠AOD=90°
∴∠DOC=∠AOD−∠AOC=60°
当直角三角板绕O点旋转t秒后
∴∠DOC=60°+5t
∵∠AOC=30°，∠BOC+∠AOC=180°
∴∠BOC=150°
∵OD恰好平分∠BOC
∴∠DOC=12∠BOC
∴60°+5t=75°
∴t=3．
②是，理由如下：
∵转动3秒，
∴∠AOE=15°，
∴∠COE=∠AOC−∠AOE=15°，
∴∠COE=∠AOE，即OE平分∠AOC．
（2）直角三角板绕O点旋转一周所需的时间为3605=72（秒），射线OC绕O点旋转一周所需的时间为
3608=45（秒），
设经过x秒时，OC平分∠DOE，
由题意：①8x−5x=45−30，
解得：x=5，
②8x−5x=360−30+45，
解得：x=125>72，不合题意，
③∵射线OC绕O点旋转一周所需的时间为3608=45（秒），45秒后停止运动，
∴OE旋转345°时，OC平分∠DOE，
∴x=3455=69（秒），
综上所述，x=5秒或69秒时，OC平分∠DOE．
（3）由题意可知，OD旋转到与OB重合时，需要90÷5=18（秒），
OC旋转到与OB重合时，需要(180−30)÷8=1834（秒），
所以OD比OC早与OB重合，
设经过x秒时，OC平分∠DOB．
由题意：8x−(180−30)=12(5x−90)，
解得：x=21011，
所以经过21011秒时，OC平分∠DOB．
【点睛】本题考查角的和与差的综合问题中的动态问题，弄清运动情况，将动态问题静态化是解题关键，根据等量关系确定所有满足条件的状态是难点也是容易遗漏点，在解题过程中一定要检验每一种情况是否符合题目条件，做到不重不漏的分类讨论．
3．（2023上·江苏·七年级期末）如图，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC＝∠AOD，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s，运动时间为t秒（0＜t＜12，本题出现的角均小于平角）
（1）图中一定有 个直角；当t＝2时，∠MON的度数为 ，∠BON的度数为 ；
（2）若OE平分∠COM，OF平分∠NOD，当∠EOF为直角时，请求出t的值；
（3）当射线OM在∠COB内部，且7∠COM+2∠BON∠MON是定值时，求t的取值范围，并求出这个定值．
【答案】(1)4；144°，114°；(2)t的值为10s；(3)当射线OM在∠COB内部，且7∠COM+2∠BON∠MON是定值时，t的取值范围为103＜t＜6，这个定值是3
【分析】(1)由直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝∠AOD即可得到共4个直角；当t＝2时求得∠BOM＝30°，∠NON＝24°，即可得到∠MON、∠BON的度数；
(2)用t分别表示出∠BOM＝15t，∠NOD＝12t，∠COM＝15t﹣90°，根据OE平分∠COM，OF平分∠NOD，分别求得∠COE、∠DOF,由∠EOF为直角即∠COE+∠DOF＝90°，列出方程解答即可.
(3)先确定∠MON＝180°时，∠BOM＝90°时t的值，再分两种情况进行计算，得到0＜t＜103时7∠COM+2∠BON∠MON不是定值，当103＜t＜6时，7∠COM+2∠BON∠MON=3是定值.
【详解】（1）如图所示，∵两条直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝∠AOD，
∴∠AOC＝∠AOD＝90°，
∴∠BOC＝∠BOD＝90°，
∴图中一定有4个直角；
当t＝2时，∠BOM＝30°，∠NON＝24°，
∴∠MON＝30°+90°+24°＝144°，
∠BON＝90°+24°＝114°；
故答案为：4；144°，114°；
（2）如图所示，∠BOM＝15t，∠NOD＝12t，∠COM＝15t﹣90°，
∵OE平分∠COM，OF平分∠NOD，
∴∠COE＝12∠COM＝12（15t﹣90°），∠DOF＝12∠DON＝12×12t，
∵当∠EOF为直角时，∠COE+∠DOF＝90°，
∴12（15t﹣90°）＝12×12t，
解得t＝10，
∴当∠EOF为直角时，t的值为10s；
（3）当∠MON＝180°时，∠BOM+∠BOD+∠DON＝180°，
∴15t+90°+12t＝180°，
解得t＝103，
当∠BOM＝90°时，15t＝90°，
解得t＝6，
①如图所示，当0＜t＜103时，
∠COM＝90°﹣15t，∠BON＝90°+12t，
∠MON＝∠BOM+∠BOD+∠DON＝15t+90°+12t，
∴7∠COM+2∠BON∠MON＝7(90°﹣15t)+2(90°+12t)15t+90°+12t=810°﹣81t27t+90°，（不是定值）
②如图所示，当103＜t＜6时，
∠COM＝90°﹣15t，∠BON＝90°+12t，
∠MON＝360°﹣（∠BOM+∠BOD+∠DON）＝360°﹣（15t+90°+12t）＝270°﹣27t，
∴7∠COM+2∠BON∠MON＝7(90°﹣15t)+2(90°+12t)270°﹣27t=810°﹣81t270°﹣27t=3，（是定值）
综上所述，当射线OM在∠COB内部，且7∠COM+2∠BON∠MON是定值时，t的取值范围为103＜t＜6，这个定值是3．
【点睛】此题考查图形中的运动问题，(3)先确定∠MON＝180°时，∠BOM＝90°时t的值，再分两种情况进行计算，得到0＜t＜103时7∠COM+2∠BON∠MON不是定值，当103＜t＜6时，7∠COM+2∠BON∠MON=3是定值.
4．（2023下·湖北黄冈·七年级校联考开学考试）如图，已知O为直线AB上一点，射线OD，OC，OE位于直线AB上方，OD在OE的左侧，∠AOC=120°，∠DOE=80°.
(1)当OD平分∠AOC时，求∠EOB的度数；
(2)点F在射线OB上，若射线OF绕点O逆时针旋转n°（0(3)点F在射线OB上，若射线OF绕点O顺时针旋转n°（0【答案】(1)40°
(2)∠EOF=2∠EOC，理由见解析
(3)164或68
【分析】（1）利用角平分线的性质和图形找出角之间的关系即可得出结论；
（2）分两种情况，画出图形，找出角之间的关系即可得到结论；
（3）分三种情况，结合（2）的方法，即可得出结论．
【详解】（1）解：当OD平分∠AOC，∠AOD=12∠AOC=60° ，
又因为∠DOE=80°，
所以∠AOE=∠AOD+∠DOE=140°，
∠EOB=180°-∠AOE=40°．
（2）解：∠EOF=2∠EOC，理由如下：
①当∠DOE在∠AOC内部时，
令∠AOD=x°，则∠DOF=2x°，∠EOF=80°—2x°，
∠EOC=120—（x°+2x°+80°—2x°）=40°—x°，
∴∠EOF=2∠EOC；
②当∠DOE的两边在射线OC的两侧时，
令∠AOD=x°，则∠DOF=2x°, ∠DOC=120°—x°，
∠EOF=2x°—80°，∠EOC=80°—（120°—x°）=x°—40°，
∴∠EOF=2∠EOC．
综上所述，∠EOF=2∠EOC．
（3）解：①当∠DOE在∠AOC内部时，
令∠AOD=x°，则∠AOF=2x°，
∠EOC=120°—x°—80°=40°—x°，∠EOH=12(40°—x°)，
∴∠HOF=12(40°—x°)+80°+x°+2x°=120°，解得x=8，
则∠BOF=180−2x=180−16=164°；
②∠当DOE的两边在射线OC的两侧时，
令∠AOD=x°，则∠AOF=2x°, ∠COD=120−x°
∠EOC=80°—(120°—x°)=x—40°，∠EOH=12( x°—40°)，
∠EOB=100°-x°，∠BOF=180-2x°，
∴∠HOF=12( x°—40°)+ 100°-x°+180-2x°=120°，解得x=56，
则∠BOF=180−2x=180−112=68°．
综上所述，n＝164或68．
【点睛】本题是角的计算，主要考查了角平分线，综合性较强，考查了学生分析解决问题的能力，是否能根据题意，正确画出图形，是解决此类问题的关键．
5．（2023上·浙江绍兴·七年级统考期末）已知：如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒4°的速度旋转，如图2，设旋转时间为t（0秒≤t≤90秒）．
（1）用含t的代数式表示∠MOA的度数．
（2）在运动过程中，当∠AOB第二次达到60°时，求t的值．
（3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角（指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）∠MOA=2t，（2）t=40秒时，∠AOB第二次达到60°；（3）当t的值分别为18、22.5、36、67.5秒时，射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线．
【分析】（1）∠AOM的度数等于OA旋转速度乘以旋转时间；
（2）当∠AOB第二次达到60°时，射线OB在OA的左侧，根据∠AOM+∠BON﹣∠MON=60°列方程求解可得；
（3）射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线有三种情况：
①OB平分∠AOM时，根据12∠AOM=∠BOM，列方程求解，
②OB平分∠MON时，根据∠BOM=12∠MON，列方程求解，
③OB平分∠AON时，根据∠BON=12∠AON，列方程求解．
【详解】解：（1）∵射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转，
∴∠MOA=2t；
（2）如图，
根据题意知：∠AOM=2t，∠BON=4t，
当∠AOB第二次达到60°时，∠AOM+∠BON﹣∠MON=60°，
即2t+4t﹣180=60，解得：t=40，
故t=40秒时，∠AOB第二次达到60°；
（3）射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线有以下三种情况：
①OB平分∠AOM时，12∠AOM=∠BOM，
∴12×2t=180−4t，
解得：t=36；
②OB平分∠MON时，∠BOM=12∠MON，即∠BOM=90°，
∴90=180−4t或4t−180=90，
解得：t=22.5，或t=67.5；
③OB平分∠AON时，∠BON=12∠AON，
∴4t=12(180−2t)，
解得：t=18；
综上，当t的值分别为18、22.5、36、67.5秒时，射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线．
【点睛】本题主要考查角的计算和角平分线性质的运用，OB为角平分线时分类讨论是解题的关键和难点．
6．（2023上·湖北武汉·七年级校考阶段练习）已知∠AOB、∠COD共顶点O，OM平分∠AOD，ON平分∠COB．

(1)如图1，当OB与OD重合时，若∠AOB=120°，∠COD=100°，求∠MON的度数；
(2)将∠COD绕点O逆时针旋转一个角α至图2所示位置，设∠AOC＝β，求∠MON的度数（用α、β表示）；
(3)在（1）条件下，将∠COD从图1所示位置逆时针以每秒2°的速度旋转，设运动时间为t秒（0【答案】(1)10度
(2)12α−12β
(3)5或75
【分析】（1）根据角平分线定义及角的和差关系即可求得答案；
（2）根据角平分线定义及角的和差关系即可求得答案；
（3）分四种情况：①当0【详解】（1）解：如图1，

∵OM平分∠AOD，ON平分∠COB，OB与OD重合，
∴∠MOB=12∠AOB=60°，∠NOB=12∠COD=50°，
∴∠MON=∠MOB−∠NOB=10°；
（2）如图2，

∵OM平分∠AOD，ON平分∠COB，
∴∠MOA=12∠AOD，∠NOC=12∠COB，
∴∠MON=∠NOC−∠MOC
＝∠NOC−∠MOA−∠AOC
＝12∠COB−12∠AOD−∠AOC
＝12∠COB−∠AOD−∠AOC
＝12∠BOD+∠AOC−∠AOC
＝12∠BOD−12∠AOC，
∵∠COD绕点O逆时针旋转一个角α，
∴∠BOD=α，
∵∠AOC＝β，
∴∠MON=12α−12β；
（3）①当0
由题可知∠AOC=20−2t°，∠BOD=2t°，
则∠AOD=120−2t°，∠COB=100+2t°，
∵OM平分∠AOD，ON平分∠COB，
∴∠AOM=∠DOM=12∠AOD=60−t°，∠CON=∠BON=12∠COB=50+t°，
∴∠MON=∠DOM+∠BOD−∠BON
=60−t°+2t°−50+t°
=10°，
∵∠AOC+∠MON=2∠BOD，
∴20−2t+10=2×2t，
解得：t=5；
②当10
由题可知∠AOC=2t−20°，∠BOD=2t°，
则∠AOD=120−2t°，∠COB=100+2t°，
∵OM平分∠AOD，ON平分∠COB，
∴∠AOM=∠DOM=12∠AOD=60−t°，∠CON=∠BON=12∠COB=50+t°，
∴∠MON=∠DOM+∠BOD−∠BON
=60−t°+2t°−50+t°
=10°，
∵∠AOC+∠MON=2∠BOD，
∴2t−20+10=2×2t，
解得：t=−5（不符合题意，舍去）；
③当40
由题可知∠AOC=2t−20°，∠BOD=2t°，
则∠AOD=120−2t°，∠COB=260−2t°，
∵OM平分∠AOD，ON平分∠COB，
∴∠AOM=∠DOM=12∠AOD=60−t°，∠CON=∠BON=12∠COB=130−t°，
∴∠MON=∠AOM+∠AOC+∠CON
=60−t°+2t−20°+130−t°
=170°，
∵∠AOC+∠MON=2∠BOD，
∴2t−20+170=2×2t，
解得：t=75（不符合题意，舍去）；
④当60
由题可知∠AOD=2t−120°，∠BOD=2t°，
则∠AOC=2t−20°，∠COB=260−2t°，
∵OM平分∠AOD，ON平分∠COB，
∴∴∠AOM=∠DOM=12∠AOD=t−60°，∠CON=∠BON=12∠COB=130−t°，
∴∠MON=∠DOM+∠DOC+∠CON
=t−60°+100°+130−t°
=170°，
∵∠AOC+∠MON=2∠BOD，
∴2t−20+170=2×2t，
解得：t=75；
综上，t的值为5或75，
故答案为：5或75．
【点睛】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义．本题是探究型题目，利用类比的方法解答是解题的关键．
7．（2023下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）已知∠AOD=120°，射线OB、OC均为∠AOD内的射线．
(1)如图1，若OB、OC为∠AOD的三等分线，则∠BOD＝ ；
(2)如图2，若∠BOC=60°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，求∠MON的大小
(3)射线OB以每秒10°的速度顺时针方向旋转，射线OC以每秒8°的速度顺时针方向旋转，射线OM始终平分∠AOC，两条射线同时从图1的位置出发，当其中一条射线到达OA的位置时两条射线同时停止运动．设运动的时间为t秒，当t为何值时，∠AOB−∠DOM=20°.
【答案】(1)80°
(2)30°
(3)307或403或1007
【分析】（1）根据三等分角的定义求解即可；
（2）设∠BOA=x°，根据角平分线性质表示出∠MOC，∠DON，根据∠MON=∠COM−∠CON求解即可；
（3）根据运动时间分类讨论，表示出∠AOB、∠DOM，根据题意列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵OB、OC为∠AOD的三等分线，∠AOD=120°，
∴∠BOA=∠BOC=∠COD=13∠AOD=40°，
∠BOD=∠BOC+∠COD=80°；
故答案为：80°．
（2）解：设∠BOA=x°，则∠COD=(60−x)°，∠COA=(60+x)°，∠BOD=(120−x)°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠COM=12∠COA=(30+12x)°，∠DON=12∠BOD=(60−12x)°，
∠CON=∠DON−∠COD=(12x)°
∠MON=∠COM−∠CON=30+12x−12x=30°．
（3）解：如图所示，当0≤t≤5时，∠AOB=(40+10t)°，∠AOC=(80+8t)°，∠DOC=(40−8t)°，
∵射线OM平分∠AOC，
∴∠COM=12∠COA=(40+4t)°，
∠DOM=∠COM+∠COD=(80−4t)°，
40+10t−80+4t=20°，
解得，t=307；
如图所示，当5∵射线OM平分∠AOC，
∴∠COM=12∠COA=(40+4t)°，
∠DOM=∠COM−∠COD=(80−4t)°，
40+10t−80+4t=20°，
解得，t=307（舍去）；
如图所示，当252∵射线OM平分∠AOC，
∴∠COM=12∠COA=(140−4t)°，
∠DOM=∠COM+∠COD=(100+4t)°，
40+10t−100−4t=20°，
解得，t=403
如图所示，当14∵射线OM平分∠AOC，
∴∠COM=12∠COA=(140−4t)°，
∠DOM=∠COM+∠COD=(100+4t)°，
320−10t−100−4t=20°，
解得，t=1007
【点睛】本题考查了与角平分线有关的计算，解题关键是熟练运用角平分线的性质表示出角的度数，利用角的和差关系求解．
8．（2023下·全国·七年级假期作业）已知O为直线AB上一点，射线OD、OC、OE位于直线AB上方，OD在OE的左侧，∠AOC=120°，∠DOE=80°．
(1)如图，当OD平分∠AOC时，求∠EOB的度数；
(2)点F在射线OB上．
①若射线OF绕点O逆时针旋转n°（0②若射线OF绕点O顺时针旋转n°0【答案】(1)∠EOB=40°
(2)①∠EOF=2∠EOC；理由见解析；②164或68
【分析】（1）利用角平分线的性质和图形找出角之间的关系即可得出结论；
（2）①分两种情况，画出图形，找出角之间的关系即可得到结论；②分三种情况，结合①的方法，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD=12∠AOC=60°，
∵∠DOE=80°，
∴∠AOE=∠AOD+∠DOE=140°，
∴∠EOB=180°−∠AOE=40°．
（2）解：①∠EOF=2∠EOC，理由如下：
当∠DOE在∠AOC内部时，
令∠AOD=x°，则∠DOF=2x°，∠EOF=80°−2x°，
∠EOC=120°−x°+2x°+80°−2x°=40°−x°，
∴∠EOF=2∠EOC；
当∠DOE的两边在射线OC的两侧时，
令∠AOD=x°，则∠DOF=2x°，∠DOC=120°−x°，
∠EOF=2x°−80°，∠EOC=80°−120°−x°=x°−40°，
∴∠EOF=2∠EOC．
综上所述，∠EOF=2∠EOC．
②当∠DOE在∠AOC内部时，
令∠AOD=x°，则∠AOF=2x°，
∠EOC=120°−x°−80°=40°−x°，∠EOH=1240°−x°，
∴∠HOF=1240°−x°+80°+x°+2x°=120°，
解得：x=8，
则∠BOF=180°−2x°=180°−16°=164°；
②当∠DOE的两边在射线OC的两侧时，
令∠AOD=x°，则∠AOF=2x°， ∠COD=120°−x°
∠EOC=80°−120°−x°=x−40°，∠EOH=12x°−40°，
∠EOB=100°−x°，∠BOF=180°−2x°，
∴∠HOF=12x°−40°+100°−x°+180°−2x°=120°，
解得：x=56，
则∠BOF=180°−2x°=180°−112°=68°．
综上所述，n=164或68．
故答案为：164或68．
【点睛】本题是角的计算，主要考查了角平分线，综合性较强，考查了学生分析解决问题的能力，是否能根据题意，正确画出图形，是解决此类问题的关键．
【题型4 整体思想】
1．（2023上·湖北襄阳·七年级统考期末）如图，OB在∠AOC内部，且∠BOC=3∠AOB，OD是∠AOB的平分线，∠BOC=3∠COE，则下列结论：①∠EOC=13∠AOE；②∠DOE=5∠BOD；③∠BOE=12∠AOE+∠BOC；④∠AOE=65∠BOC−∠AOD．其中正确结论有 （写序号）．

【答案】①②④
【分析】根据∠BOC=3∠AOB，∠BOC=3∠COE，得到∠AOB=∠COE，进而得到∠AOE=∠BOC，根据OD是∠AOB的平分线，得到∠AOD=∠BOD=12∠AOB，再根据角之间的和差，倍数关系，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵∠BOC=3∠AOB，∠BOC=3∠COE，
∴∠AOB=∠COE，
∴∠AOB+∠BOE=∠COE+∠BOE，
∴∠AOE=∠BOC，
∴∠AOE=3∠COE，∠AOE=3∠AOB，
∴∠COE=13∠AOE；故①正确；
∴∠BOE=2∠AOB，
∵OD是∠AOB的平分线，
∴∠BOD=∠AOD=12∠AOB，
∴∠BOE=2∠AOB=4∠BOD，
∴∠DOE=5∠BOD，故②正确；
∵∠AOE=3∠AOB，∠BOC=3∠AOB，
∴∠AOE+∠BOC=6∠AOB，
∴12∠AOE+∠BOC=3∠AOB，
∵∠BOE=2∠AOB，
∴∠BOE≠12∠AOE+∠BOC，故③错误；
∵65∠BOC−∠AOD=653∠AOB−12∠AOB=3∠AOB，∠AOE=3∠AOB，
∴∠AOE=65∠BOC−∠AOD；故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查几何图形中角度的计算．正确的识图，理清角度之间的和差，倍数关系，是解题的关键．
2．（2023上·安徽宣城·七年级统考期末）已知：将一副三角板如图1摆放，∠AOB=60°，∠COD=45°，OM平分∠AOD，ON平分∠COB．
（1）将图1中的三角板OCD绕点O旋转到图2的位置，则∠MON的度数是 ．
（2）将图1中的三角板OCD绕点O旋转到图3的位置，则∠MON的度数是 ．
【答案】 52.5° 52.5°
【分析】（1）由角平分线分别表示出∠MOD和∠NOB，则∠MON=12∠AOD+12∠COB+∠BOD，将式子变形为∠MON=12∠AOD+∠BOD+∠COB+∠BOD=12∠AOB+∠COD，代入数值计算即可；
（2）同（1）由角平分线分别表示出∠MOD和∠NOB，则∠MON=12∠AOD+12∠COB−∠BOD，将式子变形为∠MON=12∠AOD+∠BOD−∠COB−∠BOD=12∠AOD−∠BOD+12∠COB−∠BOD，代入数值计算即可．
【详解】解：（1）∵OM平分∠AOD，ON平分∠COB，
∴∠MOD=12∠AOD，∠NOB=12∠COB，
∴∠MON=12∠AOD+12∠COB+∠BOD
=12∠AOD+∠COB+2∠BOD
=12∠AOD+∠BOD+∠COB+∠BOD
=12∠AOB+∠COD
=1260°+45°
=52.5°；
（2）∵OM平分∠AOD，ON平分∠COB，
∴∠MOD=12∠AOD，∠NOB=12∠COB，
∴∠MON=12∠AOD+12∠COB−∠BOD
=12∠AOD+∠COB−2∠BOD
=12∠AOD−∠BOD+12∠COB−∠BOD
=12∠AOB+∠COD
=12×60°+45°
=52.5°．
故答案为：①52.5°；②52.5°
【点睛】本题考查了角平分线的计算，几何图形中角的计算．准确识图并发现角度之间的关系是解题关键．
3．（2023·湖南娄底·七年级校联考期末）如图，已知∠AOB内部有三条射线，其中OE平分角∠BOC，OF平分∠AOC．
（1）如图1，若∠AOB=120°，∠AOC=30°，求∠EOF的度数？
（2）如图2，若∠AOB=α，求∠EOF的度数，（用含α的式子表示）
（3）若将题中的“平分”的条件改为“∠EOB=13∠COB，∠COF=23∠COA，且∠AOB=α，求∠EOF的度数．（用含α的式子表示）
【答案】(1) 45°;(2) 12a; (3)23a．
【分析】(1) 首先求得∠BOC的度数, 然后根据角的平分线的定义和角的和差可得∠EOF=∠EOC+∠COF即可求解;
(2) 根据角的平分线的定义和角的和差可得∠EOF=∠EOC+∠COF=12∠BOC+12∠AOC=12 (∠BOC+∠AOC),即可求解;
(3) 根据角的等分线的定义可得∠EOF=∠EOC+∠COF=23∠BOC+23.∠AOC= 23(∠BOC+∠AOC) =23∠AOB,即可求解.
【详解】解：（1）∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=90°﹣30°=60°，
∵OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，
∴∠EOC=∠BOC=×60°=30°，∠COF=∠AOC=×30°=15°，
∴∠EOF=∠EOC+∠COF=30°+15°=45°；
（2）∵OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，
∴∠EOC=∠BOC，∠COF=∠AOC，
∴∠EOF=∠EOC+∠COF=∠BOC+∠AOC=（∠BOC+∠AOC）=∠AOB=a；
（3）∵∠EOB=∠BOC，
∴∠EOC=∠BOC，
又∵∠COF=∠AOC，
∴∠EOF=∠EOC+∠COF=∠BOC+∠AOC=（∠BOC+∠AOC）=∠AOB=a．
【点睛】本题主要考查角的计算及角平分线的定义，注意运算的准确性.
4．（2023上·山西·七年级校联考期末）数学课上，李老师出示了如下题目．
将一副三角板按如图1所示方式摆放，分别作出∠AOC，∠BOD的平分线OM，ON，然后提出问题：求∠MON的度数．
小明与同桌小丽讨论后，进行了如下解答：
特殊情况，探索思路
将三角板分别按图2，图3所示的方式摆放，OM和ON仍然是∠AOC和∠BOD的平分线，其中，按图2方式摆放时，可以看成是ON，OD，OB在同一直线上．按图3方式摆放时，∠AOC和∠BOD相等．
（1）请你直接写出计算结果：图2中∠MON的度数为______，图3中∠MON的度数为______；
特例启发，解答题目
（2）请你完成李老师出示的题目的解答过程；
拓展结论，设计新题
（3）若将李老师出示的题目中条件“分别作出∠AOC，∠BOD的平分线OM，ON”改为“分别作出射线OM，ON，使∠AOM=34∠AOC，∠DON=14∠BOD”，请你直接写出∠MON的度数．
【答案】（1）135°；135°；（2）答案见解析；（3）112.5°
【分析】（1）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论；
（2）根据已知条件得到∠AOC+∠BOD=180°-∠COD=90°，根据角平分线的定义得到∠MOC+∠NOD =12∠AOC+12∠BOD=12(∠AOC+∠BOD)=45°，于是得到结论；
（3）根据已知条件得到∠AOC+∠BOD=180°-∠COD=90°，根据角平分线的定义得到∠MOC+∠NOD=14∠AOC+∠BOD=22.5°，于是得到结论．
【详解】（1）解：图2中，∠MON=12×90°+90°=135°,
图3中，∠MDN=12∠AOC+12∠BOD+∠COD
=12(∠AOC+∠BOD)+90°
=12×90°+90°
=135°；
故答案为：135°，135°；
（2）图1中，∵∠COD=90°，
∴∠AOC+∠BOD=180°-∠COD=90°，
∵OM和ON是∠AOC和∠BOD的角平分线，
∴∠MOC+∠NOD=12∠AOC+12∠BOD=12(∠AOC+∠BOD)=45°，
∴∠MON=（∠MOC+∠NOD）+∠COD=45°+90°=135°；
（3）∵∠COD=90°，
∴∠AOC+∠BOD=180°-∠COD=90°，
∵∠AOM=34∠AOC，∠DON=14∠BOD，
∴∠MOC=14∠AOC，
∴∠MOC+∠NOD=14∠AOC+14∠BOD=14(∠AOC+∠BOD)=22.5°，
∴∠MON=（∠MOC+∠NOD）+∠COD=22.5°+90°=112.5°；
故答案为：112.5°．
【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，通过图形直观得出各个角之间的和差关系，是解决问题的关键．
5．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）现有一副三角尺，将△ABC和△ADE重合于点A放置，且∠BAC=∠D=90°，∠ABC=∠C=45°，∠DAE=60°．将三角尺ADE绕点A逆时针旋转一周（旋转过程中∠BAD和∠CAE均是指小于180°的角），分别作出∠BAD、∠CAE的平分线AM、AN
(1)将三角尺旋转到如图1的位置时，点B在AE上，直接写出图1中∠MAN=______度；
(2)将三角尺旋转到如图2位的置时，点B在EA的延长线上，直接写出图2中∠MAN=______度
(3)将三角尺旋转到图3所示的位置时，若∠BAE=x°，
①∠NAE=______．（用含x的代数式表示）
②请求出∠MAN的度数．
【答案】(1)75
(2)75
(3)①45°−12x°；②75°
【分析】（1）根据三角板得到∠BAD=60°，∠CAE=90°，根据角平分线的定义求出∠BAN，∠EAM，相加可得结果；
（2）求出∠BAD、∠CAE，利用角平分线的定义得到∠DAM=12∠BAD=60°，∠CAN=12∠CAE=45°，最后根据∠MAN=∠DAM+∠CAN−∠CAD得出结果；
（3）①求出∠CAE，根据角平分线的定义可得结果；②求出∠BAD=60°−x°，根据角平分线的定义求出∠BAM=30°−12x°，再加上∠NAE和∠BAE即可得解．
【详解】（1）解：如图所示：∠BAD=60°，∠CAE=90°，
∵AM、AN分别平分∠BAD、∠CAE，
∴∠BAN=12∠CAE=45°，∠EAM=12∠BAD=30°，
∴∠MAN=∠BAN+∠EAM=75°；
（2）∵∠BAC=60°，∠DAE=90°，
∴∠CAD=180°−60°−90°=30°，
∴∠BAD=90°+30°=120°，∠CAE=60°+30°=90°，
∵AM、AN分别平分∠BAD、∠CAE，
∴∠DAM=12∠BAD=60°，∠CAN=12∠CAE=45°，
∴∠MAN=∠DAM+∠CAN−∠CAD=75°；
（3）①∵∠CAB=90°，∠BAE=x°，
∴∠CAE=∠CAB−∠BAE=90°−x°，
∵AN平分∠CAE，
∴∠NAE=12∠CAE=90°−x°2=45°−12x°；
②∵∠DAE=60°，∠BAE=x°，
∴∠BAD=∠DAE−∠BAE=60°−x°，
∵AM平分∠BAD，
∴∠BAM=12∠BAD=30°−12x°，
∴∠MAN=∠NAE+∠BAM+BAE=45°−12x°+x°+30°−12x°=75°．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角板中的角度运算，角的和差，解题的关键是仔细分析，得出每个小问中的∠MAN的构成．
6．（2023上·江苏扬州·七年级统考期末）如图，点O在直线AB上，在同一平面内，以O为顶点作直角∠COD．射线OE、射线OF分别平分∠AOC、∠BOD．
(1)如图1，当∠AOC=40°时，∠AOE=________°，∠BOF=________°．
(2)如图1，猜想∠AOE与∠BOF的数量关系，并说明理由．
(3)直接写出图2和图3中，∠AOE与∠BOF的数量关系．
图2：__________；图3：__________．
【答案】(1)20，25
(2)∠AOE+∠BOF=45°，理由见详解
(3)∠AOE−∠BOF=45°，∠AOE+∠BOF=135°
【分析】（1）根据角平分的定义即可求解；
（2）根据（1），可得∠AOE+∠BOF=12∠BOD+∠AOC=45°，问题得解；
（3）图2，先表示出∠BOD=90°−∠BOC，∠AOC=180°−∠BOC，再根据角平分线可得∠AOE−∠BOF=12∠AOC−∠BOD，问题随之得解；图3，由∠COD=90°，可得∠BOC+∠AOD=90°，根据∠BOC=180°−∠AOC，∠AOD=180°−∠BOD，可得∠AOC+∠BOD=270°，问题随之得解．
【详解】（1）∵射线OE、射线OF分别平分∠AOC、∠BOD，
∴∠AOE=∠COE=12∠AOC，∠BOF=∠DOF=12∠BOD，
∵∠COD=90°，
∴∠AOC+∠BOD=180°−90°=90°，
∵∠AOC=40°，
∴∠AOE=12∠AOC=20°，∠BOD=90°−∠AOC=50°
∴∠BOF=12∠BOD=25°，
故答案为：20°，25°；
（2）∠AOE+∠BOF=45°，理由如下：
在（1）中有：∠AOE=12∠AOC，∠BOF=12∠BOD，∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠AOE+∠BOF=12∠BOD+∠AOC=45°；
（3）图2中，∠AOE−∠BOF=45°，理由如下：
∵∠COD=90°，
∴∠BOC+∠BOD=90°，
∴∠BOD=90°−∠BOC，
∵∠BOC+∠AOC=180°，
∴∠AOC=180°−∠BOC，
∵射线OE、射线OF分别平分∠AOC、∠BOD，
∴∠AOE=12∠AOC，∠BOF=12∠BOD，
∴∠AOE−∠BOF=12∠AOC−∠BOD，
∵∠BOD=90°−∠BOC，∠AOC=180°−∠BOC，
∴∠AOE−∠BOF=12∠AOC−∠BOD=45°；
图3中，∠AOE+∠BOF=135°，理由如下：
∵∠COD=90°，
∴∠BOC+∠AOD=90°，
∵射线OE、射线OF分别平分∠AOC、∠BOD，
∴∠AOE=12∠AOC，∠BOF=12∠BOD，
∵∠BOC=180°−∠AOC，∠AOD=180°−∠BOD，
∵∠BOC+∠AOD=90°，
∴180°−∠AOC+180°−∠BOD=360−∠AOC−∠BOD=90°，
∴∠AOC+∠BOD=270°，
∴∠AOE+∠BOF=12∠AOC+∠BOD=135°．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平角为180°，以及角度的计算，理清图中各个角直角的数量关系是解答本题的关键．
7．（2023上·河北唐山·七年级校考期末）已知∠AOB＝120∘，OC、OD是过点O的射线，射线OM、ON分别平分∠AOC和∠DOB．
（1）如图①，若OC、OD是∠AOB的三等分线，求∠MON的度数；
（2）如图②，若∠COD＝50∘，∠AOC≠∠DOB，则∠MON＝________；
（3）如图③，在∠AOB内，若∠COD＝α(0∘<α<60∘)，则∠MON＝________．
【答案】（1）80º；（2）85º；（3）60∘+12α
【分析】（1）由题意易得∠AOC＝∠COD＝∠DOB=13×120∘＝40∘，进而可得∠MOC=12∠AOC＝20∘，∠DON=12∠DOB＝20∘，然后问题可求解；
（2）由题意易得∠MOC=12∠AOC，∠DON=12∠DOB，则有∠MOC+∠DON=12∠AOC+∠DOB，进而可得∠MOC+∠DON＝35°，然后问题可求解；
（3）由题意可得∠MOC+∠DON=12∠AOC+∠DOB，则有∠MOC+∠DON＝60°−12α，然后根据角的和差关系可求解．
【详解】解：（1）∵OC、OD是∠AOB的三等分线，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB=13×120∘＝40∘，
∵射线OM、ON分别平分∠ACO和∠DOB，
∴∠MOC=12∠AOC＝20∘，∠DON=12∠DOB＝20∘，
∴∠MON＝20∘+40∘+20∘＝80∘；
（2）∵射线OM、ON分别平分∠ACO和∠DOB，
∴∠MOC=12∠AOC，∠DON=12∠DOB，
∴∠MOC+∠DON=12∠AOC+∠DOB，
∵∠AOB＝120∘，∠COD＝50∘，
∴∠AOC+∠DOB＝120∘−50∘＝70∘，
∴∠MOC+∠DON＝35∘，
∴∠MON＝50∘+35∘＝85∘；
故答案为85°；
（3）∵射线OM、ON分别平分∠AOC和∠DOB，
∴∠MOC=12∠AOC，∠DON=12∠DOB，
∴∠MOC+∠DON=12∠AOC+∠DOB，
∵∠AOB＝120∘，∠COD＝α，
∴∠AOC+∠DOB＝120°−α，
∴∠MOC+∠DON＝60°−12α，
∴∠MON＝60°−12α+α＝60°+12α；
故答案为60°+12α．
【点评】本题考查了角度的计算，也考查了角平分线的性质．