中考数学一轮复习专题4.8 线段中的四种常见思想方法（北师大版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习专题4.8 线段中的四种常见思想方法（北师大版）（解析版），共48页。

考卷信息：
本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对线段中的四种常见思想方法的理解！
【题型1 整体思想】
1．（2023上·江苏徐州·七年级校考期末）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=10，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点M1、N1；第二次操作：分别取线段AM1和AN1的中点M2，N2；第三次操作：分别取线段AM2和AN2的中点M3，N3；…连续这样操作2023次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和M1N1+M2N2+⋅⋅⋅+M2023N2023=（ ）
A．10+522022B．10+522023C．10−522022D．10−522023
【答案】C
【分析】根据MN=10，M1、N1分别为AM、AN的中点，求出M1N1的长度，再由M1N1的长度求出M2N2的长度，找到MnNn的规律即可求出M1N1+M2N2+⋅⋅⋅+M2023N2023的值．
【详解】解：∵MN=10，M1、N1分别为AM、AN的中点，
∴M1N1=AM1−AN1=12AM−12AN=12AM−AN=12MN=12×10=5，
∵M2、N2分别为AM1、AN1的中点，
∴M2N2=AM2−AN2=12AM1−12AN1=12AM1−AN1=12M1N1=12×5=52，
∵M3、N3分别为AM2、AN2的中点，
∴M3N3=AM3−AN3=12AM2−12AN2=12AM2−AN2=12M2N2=12×52=522，
……
由此可得：MnNn=52n−1，
∴M1N1+M2N2+⋯+M2023N2023=5+52+522+⋯+522022=10×12+122+⋯+122023=10×1−122023=10−522022，
故选C．
【点睛】本题考查线段中点的有关计算，有理数的简便运算，相对较难，根据题意找出规律是解题的关键．
2．（2023上·安徽蚌埠·七年级校考阶段练习）如图，C，D是线段AB上两点，M，N分别是线段AD，BC的中点，下列结论：①若AD=BM，则AB=3BD； ②若AC=BD，则AM=BN； ③ AC−BD=2MC−DN；④2MN=AB−CD．其中正确的结论是（ ）
A．① ② ③B． ③ ④C．① ② ④D． ① ② ③ ④
【答案】D
【分析】根据线段中点的定义与线段的和差结合图形进行分析．
【详解】解：∵M，N分别是线段AD，BC的中点，
∴AM=MD=12AD，BN=CN=12BC，
如图
①若AD=BM，
∴AM+MD=MD+BD，
∴AM=BD，
∴AD=2AM=2BD，
∴AD=2BD，
∴AB=AD+BD=3BD，故①正确；
②若AC=BD，
∴AD=BC，
∵M、N分别是线段AD，BC的中点，
∴ AM=12AD， BN=12BC，
∴AM=BN，故②正确；
∵AC−BD=(AC+CD)−(CD+BD)=AD−BC，
∴AC−BD=2MD−2CN=2(MC+CD)−CD+DN=2MC−DN，故③正确；
∵2MN=2MC+2CN，MC=MD−CD，
∴2MN=2MD−CD+2CN=2MD−CD+CN，
∵MD=12AD，CN=12BC，
∴2MN=212AD+12BC−CD=AD−CD+BC−CD=AC+BD=AB−CD，
故④正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了两点间的距离，线段的和差，能够利用中点的性质求解一些线段之间的关系是解题的关键．
3．（2023上·福建泉州·七年级校考阶段练习）如图，C，D是线段AB上两点，M，N分别是线段AD，BC的中点，下列结论：①若AM=BN，则AC=BD；②若AB=3BD，则AD=BM；③AB−CD=2MN；④AC−BD=3MC−DN．其中正确的结论是 （填序号）．
【答案】①②③
【分析】结合图形，根据线段中点的定义与线段之间的和差关系进行分析，即可进行解答．
【详解】解：①∵M，N分别是线段AD，BC的中点，
∴AM=12AD,BN=12BC，
∵AM=BN，
∴12AD=12BC，即AD=BC，
∴AD−CD=BC−CD，
∴AC=BD，
故①正确，符合题意；
②∵AB=3BD，
∴AD=AB−BD=3BD−BD=2BD，
∵M是线段AD的中点，
∴AM=12AD=BD，
∵BM=AB−AM=3BD−BD=2BD，
∴AD=BM，
故②正确，符合题意；
③∵M，N分别是线段AD，BC的中点，
∴DM=12AD,CN=12BC，
∴MN=DM+CN−CD=12AD+12BC−CD，
整理得：2MN=AD+BC−2CD，即2MN=AB−CD，
故③正确，符合题意；
④∵AC=AM+CM=12AD+CM,BD=BN+DN=12BC+DN，
∴AC−BD=12AD+CM−12BC+DN=12AD−BC+CM−DN，
∴2AC−BD=AD−BC+2CM−DN，
∴AC−BD=2MC−DN，
故④不正确，不符合题意；
故答案为：①②③．
【点睛】本题主要考查了两点之间的距离，解题的关键是掌握中点的定义，根据图形，分析线段之间的和差关系．
4．（2023上·七年级课时练习）如图，点C在线段AB上，点M，N分别是AC，BC的中点．
（1）若AC=9cm，CB=6cm，则线段MN的长为____________cm；
（2）若AC=acm，CB=bcm，则线段MN的长为____________cm；
（3）若AB=mcm，求线段MN的长度；
（4）若点C为线段AB上任意一点，且AB=ncm，其他条件不变，你能猜想MN的长度吗？并用一句简洁的话描述你发现的结论．
【拓展提问】若将例题中的“点C在线段AB上”改为“点C在线段AB的延长线上”，其他条件不变，（3）中结论还成立吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
【答案】（1）152；（2）a+b2；（3）MN=12mcm；（4）MN=12ncm，描述见解析；【拓展提问】MN=m2cm成立，理由见解析
【分析】（1）根据中点性质，AC=9cm，CB=6cm，得到CM=92cm，CN=3cm，得到MN=152cm；
（2）根据中点性质，AC=acm，CB=bcm，CM=a2cm，，CN=b2cm得到MN=a+b2cm；
（3）根据中点性质，得到MC=12AC，CN=12BC，根据AB=mcm，得到MN=m2cm；
（4）猜想MN=n2cm，结论：若点C为线段一点，且点AB上M,N分别是AC，BC的中点，则MN=12AB；
拓展提问：当点C在线段AB的延长线上时， 根据中点性质，得到MC=12AC，CN=12BC．根据MN=MC−CN，得到MN=m2cm．
【详解】（1）∵点M，N分别是AC，BC的中点，AC=9cm，CB=6cm，
∴CM=12AC=92cm，CN=12BC=3cm，
∴MN=CM+CN=152cm；
故答案为：152；
（2）∵点M，N分别是AC，BC的中点，AC=acm，CB=bcm，
∴CM=12AC=a2cm，CN=12BC=b2cm，
∴MN=CM+CN=a+b2cm；
故答案为：a+b2；
（3）∵点M，N分别是AC，BC的中点，
∴MC=12AC，CN=12BC，
∵MN=MC+CN，AB=mcm，
∴MN=12AC+BC=12AB=m2cm；
（4）猜想：MN=12AB=n2cm；
结论：若点C为线段AB上一点，且点M,N分别是AC，BC的中点，则MN=12AB；
【拓展提问】MN=m2cm成立．理由：
当点C在线段AB的延长线上时，如图，
∵点M,N分别是AC，BC的中点，
∴MC=12AC，CN=12BC，
∵MN=MC−CN，
∴MN=12AC−BC=12AB=m2cm．
【点睛】本题主要考查了线段的中点，线段的和差．熟练掌握中点性质，线段的和差关系，是解决问题的关键．
5．（2023上·福建厦门·七年级厦门市湖滨中学校考期末）如图已知线段AB、CD，
(1)线段AB在线段CD上（点C、A在点B的左侧，点D在点C的右侧）
①若线段AB=6，CD=14，M、N分别为AC、BD的中点，求MN的长．
②M、N分别为AC、BD的中点，求证：MN=12AB+CD
(2)线段CD在线段AB的延长线上，M、N分别为AC、BD的中点，②中的结论是否成立？请画出图形，直接写出结论
【答案】(1)①10，②见解析
(2)不成立，见解析
【分析】（1）①利用CD−AB求出AC+BD的值，利用中点平分线段，得到AM=12AC,BN=12BD，再利用MN=AM+AB+BN=12AC+BD+AB，即可得解；②利用中点平分线段，得到AM=12AC,BN=12BD，进而得到AM+BN=12AC+BD=12CD−AB，再利用MN=AM+AB+BN，即可得证；
（2）分C点在D点的左侧，点N在点C的右侧，C点在D点的左侧，点N在点C的左侧，以及D点在C点的左侧，三种情况分类讨论，求解即可．
【详解】（1）解：①∵AB=6，CD=14，
∴AC+BD=CD−AB=8，
∵M、N分别为AC、BD的中点，
∴AM=12AC,BN=12BD，
∴MN=AM+AB+BN=12AC+BD+AB=12×8+6=10；
②∵M、N分别为AC、BD的中点，
∴AM=12AC,BN=12BD，
∵AC+BD=CD−AB，
∴AM+BN=12AC+BD=12CD−AB，
∴MN=AM+AB+BN=12CD−AB+AB=12CD+AB；
（2）不成立；
∵M、N分别为AC、BD的中点，
∴AM=MC=12AC,BN=ND=12BD，
①当C点在D点的左侧，点N在点C的右侧时，如图：
或
MN=MC+CN
=MC+BN−BC
=12AC+12BD−BC
=12AB+BC+12BC+CD−BC
=12AB+CD；
②当C点在D点的左侧，点N在点C的左侧时，如图：
或
MN=AD−AM−DN
=AD−12AC−12BD
=AD−12AD−CD−12AD−AB
=12AB+CD；
③当D点在C点的左侧时，如图：
或
MN=CM−CN
=12AC−CD+DN
=12AB+BD+CD−CD+12BD
=12AB−CD；
综上：MN=12AB+CD或12AB−CD；故结论不成立．
【点睛】本题考查线段之间的和与差．正确的识图，理清线段之间的和，差，倍数关系，是解题的关键．注意分类讨论．
6．（2023上·吉林白城·七年级统考期末）如图，线段 AB=24，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点．设点P的运动时间为x秒．
(1) 秒后，PB=2AM．
(2)当P在线段AB上运动时，试说明2BM−PB为定值．
(3)当P在线段AB的延长线上运动时，N为BP的中点，求MN的长度．
【答案】(1)6
(2)2BM−PB=24
(3)12
【分析】（1）分两种情况讨论，①当点P在线段AB上，②当点P在线段AB的延长线上时分别求出x的值即可；
（2）AP=2x，AM=PM=12AP=x，BM=AB−AM=24−x，BP=24−2x，表示出2BM−PB后，化简即可得出结论；
（3）AP=2x，AM=PM=12AP=x，BP=AP−AB=2x−24，表示出MN的长度，即可作出判断．
【详解】（1）∵点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，
设点P的运动时间为x秒，
∴ AP=2x
∵ M为AP的中点，
∴ AM=PM=12AP=x
∵ PB=2AM
∴ PB=AP，
当点P在线段AB上时，
∵ AB=24
∴ PB=AB−AP=24−2x
∵ PB=2AM
∴ 24−2x=2x
∴ x=6
当点P在线段AB的延长线上时，
PB=AP−AB=2x−24
∵ PB=2AM
∴ 2x−24=2x，无解；
综上所述，当点P出发6秒后，PB=2AM；
（2）由（1）知，AP=2x，AM=PM=12AP=x，
∴ BM=AB−AM=24−x，BP=24−2x，
∴ 2BM−BP=224−x−24−2x=24
∴ 2BM−PB为定值；
（3）由（1）知，AP=2x，AM=PM=12AP=x，
当点P在线段AB的延长线上时，
BP=AP−AB=2x−24
∵ N为BP的中点，
∴ NP=12BP=122x−24=x−12
∴ MN=AP−AM−NP=2x−x−x−12=12．
【点睛】本题主要考查了两点间的距离，用含时间x的式子表示出各线段的长度是解本题的关键．
7．（2023上·辽宁大连·七年级统考期末）如图，在直线l上顺次取A、B、C三点，已知AB=20，BC=80，点M、N分别从A、B两点同时出发向点C运动．当其中一动点到达C点时，M、N同时停止运动．已知点M的速度为每秒2个单位长度，点N速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒．
(1)用含t的代数式表示线段AM的长度为________；
(2)当t为何值时，M、N两点重合?
(3)若点Р为AM中点，点Q为BN中点．问：是否存在时间t，使PQ长度为5?若存在，请说明理由．
【答案】(1)2t
(2)20
(3)30或50
【分析】（1）由点M的速度为2即可得出答案；
（2）根据题意可得出BM=t，当M、N两点重合时，根据线段之间的数量关系即可列出关于t的等式，解出t即可；
（3）根据题意可得：PA=12AM=t，BQ=12BN=12t，且t≤50．由此可求出AQ=AB+BQ=20+12t．再根据PQ=AQ−AP或PQ=AP−AQ，即可列出关于t的等式，解出t即可．
【详解】（1）∵点M的速度为每秒2个单位长度，
∴AM=2t．
故答案为：2t；
（2）根据题意可知BN=t．
当M、N两点重合时，有2t=20+t，
解得：t=20．
故t为20时，M、N两点重合；
（3）根据题意可得：PA=12AM=t，BQ=12BN=12t，且t≤20+802=50．
∴AQ=AB+BQ=20+12t．
∴PQ=AQ−AP或PQ=AP−AQ，
即5=20+12t−t或5=t−20−12t
解得：t=30或t=50．
故存在时间t，使PQ长度为5，此时t的值为30或50．
【点睛】本题考查与线段有关的动点问题，线段的和与差，与线段中点有关的计算以及解一元一次方程的实际应用．根据题意找到线段间的数量关系，列出等式是解题关键．
【题型2 方程思想】
1．（2023上·河南郑州·七年级统考期末）如图1，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“好点”；如图2，已知AB=16cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动；点Q从点B出发，以1cms的速度沿BA向点A匀速运动，点P，Q同时出发，当其中点P到达终点时，运动停止；设运动的时间为t(s)，当t= s时，Q为线段AB的“好点”．
【答案】163或8
【分析】根据题意，得t(s)≤8s；分AQ=2BQ、BQ=2AQ、AB=2BQ=2AQ三种情况分析，分别列一元一次方程并求解，即可得到答案．
【详解】∵动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动
∴点P到达终点时，用时为：16cm2cm/s=8s
∵点P，Q同时出发，点P速度>点Q速度，且当其中点P到达终点时，运动停止
∴t(s)≤8s
如图，Q为线段AB的“好点”
∵点Q从点B出发，以1cms的速度沿BA向点A匀速运动
∴BQ=tcm，则AQ=16−tcm
根据题意，分AQ=2BQ、BQ=2AQ、AB=2BQ=2AQ三种情况分析；
当AQ=2BQ时，16−t=2t
∴t=163s
∵163<8
∴t=163s符合题意；
当BQ=2AQ是，t=216−t
∴t=323s
∵323>8
∴t=323s不符合题意；
当AB=2BQ=2AQ时，16=2t
∴t=8s
∵8=8
∴t=8s符合题意
故答案为：163或8．
【点睛】本题考查了一元一次方程和线段的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程、线段的性质，从而完成求解．
2．（2023上·湖北武汉·七年级统考期末）点C在线段AB上，BC＝2AC．
(1) 如图1，P，Q两点同时从C，B出发，分别以1cm/s，2cm/s的速度沿直线AB向左运动；

①在P还未到达A点时，APCQ的值为 ；
②当Q在P右侧时(点Q与C不重合)，取PQ中点M，CQ的中点是N，求MNQB的值；
(2) 若D是直线AB上一点，且AD−BD=12CD．则BDAB的值为 ．
【答案】（1）①APCQ=12；②14;（2）49或43或815或83
【分析】（1）由线段的和差关系，以及QB=2PC，BC=2AC，即可求解；
（2）设AC=x，则BC=2x，∴AB=3x，D点分四种位置进行讨论，①当D在A点左侧时，②当D在AC之间时，③当D在BC之间时，④当D在B的右侧时求解即可．
【详解】解：（1）①AP=AC-PC，CQ=CB-QB，
∵BC=2AC，P、Q速度分别为1cm/s、2cm/s，
∴QB=2PC，
∴CQ=2AC-2PC=2AP，
∴APCQ=12
②设运动t秒
∴PC=tcm，BQ=2tcm
分两种情况
A:Q在C右侧，
∵M，N分别是PQ，CQ的中点
∴MQ=12PQ，NQ=12CQ，
∴MN=MQ−NQ=12PQ−12CQ =12(PQ−CQ)=12PC=t2
∴MNQB=t22t=14
B:Q在C左侧，
∵M，N分别是PQ，CQ的中点
∴MQ=12PQ，NQ=12CQ，
∴MD=MQ+NQ=12PQ+12CQ =12(PQ+CQ)=12PC=t2
∴MNQB=t22t=14
（2）∵BC=2AC．
设AC=x，则BC=2x，
∴AB=3x，
①当D在A点左侧时，
|AD-BD|=BD-AD=AB=12CD，
∴CD=6x，
∴BDAB=8x3x=83 ；
②当D在AC之间时，
|AD-BD|=BD-AD=12CD，
∴2x+CD-x+CD=12CD，
x=-32CD（不成立），
③当D在BC之间时，
|AD-BD|=AD-BD=12CD，
∴x+CD-2x+CD=12CD，
CD=23x，
∴BDAB=43x3x=49；
|AD-BD|=BD-AD=12CD，
∴2x-CD-x-CD=12CD，
∴CD=25x
∴BDAB=85x3x；
④当D在B的右侧时，
|AD-BD|=BD-AD=12CD，
∴2x-CD-x-CD=12CD，
CD=6x，
∴BDAB=4x3x=43．
综上所述，BDAB的值为49或43或815或83
【点睛】题考查线段的和差问题，距离与绝对值的关系，动点问题．画好线段图，分类讨论是解决本题的关键．
3．（2023上·四川雅安·七年级阶段练习）如图，已知A，B，C是数轴上三点，点C表示的数为6，BC＝4，AB＝12．

(1)写出数轴上点A，B表示的数．
(2)动点P，Q分别从A，C同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．若M为AP的中点，点N在线段CQ上，且CN＝13CQ，设运动时间为ts(t＞0)．
①写出数轴上点M，N表示的数(用含t的式子表示)．
②t为何值时，原点O恰为线段PQ的中点?
【答案】（1）A点表示-10；B点表示2；（2）①点M表示的数是-10+3t；点N表示的数是6-t；②t=43.
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离即可求出A、B表示的数；（2）①根据距离=速度×时间可得AP=6t，CQ=3t，根据中点性质可得AM=3t，根据CN＝13CQ可得CN=t，根据线段的和差关系即可得答案；②根据中点定义可得OP=OQ，再根据数轴的性质解答即可.
【详解】（1）∵C表示的数为6，BC=4，
∴OB=6-4=2，
∴B点表示2，
∵AB=12，
∴AO=12-2=10，
∴A点表示-10；
（2）①由题意得：AP=6t，CQ=3t，
∵M为AP中点，
∴AM=12AP=3t，
∴在数轴上点M表示的数是-10+3t，
∵点N在CQ上，CN＝13CQ，
∴CN=t.
∴在数轴上点N表示的数是6-t.
②∵原点O恰为线段PQ的中点，
∴OP=OQ，
∵OP=-10+6t，OQ=6-3t，
∴-10+6t与6-3t互为相反数，
∴-10+6t=-(6-3t)，
解得：t=43，
∴t=43时，原点O恰为线段PQ的中点.
【点睛】本题主要考查中点的定义、线段之间的和差关系及数轴的性质，熟练掌握线段中点知识的运用是解题关键.
4．（2023上·江苏南京·七年级统考期末）【探索新知】如图1，点C在线段AB上，图中共有3条线段：AB、AC、和BC，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段AB的“二倍点”.
（1）一条线段的中点 这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”）
【深入研究】如图2，点A表示数-10，点B表示数20，若点M从点B，以每秒3cm的速度向点A运动，当点M到达点A时停止运动，设运动的时间为t秒.
（2）点M在运动过程中表示的数为 （用含t的代数式表示）；
（3）求t为何值时，点M是线段AB的“二倍点”；
（4）同时点N从点A的位置开始，以每秒2cm的速度向点B运动，并与点M同时停止.请直接写出点M是线段AN的“二倍点”时t的值.
【答案】（1）是 ；（2）20−3t；（3）103或5或203；（4）152或9011或9013
【分析】（1）可直接根据“二倍点”的定义进行判断；
（2）由题意可直接得出；
（3）用含t的代数式分别表示出线段AM、BM、AB，然后根据“二倍点”定义分类讨论的出结果；
（4）用含t的代数式分别表示出线段AN、MN、AM，然后根据“二倍点”定义分类讨论的出结果；
【详解】解：（1）因为线段的中点将线段分为相等的两部分，该线段等于2倍的中点一侧的线段长，符合“二倍点”的定义，所以一条线段的中点是这条线段的“二倍点”；
故答案为：是．
（2）由题意得出：
点M在运动过程中表示的数为：20-3t(0≤t≤10)；
（3）AB=30，AM=30-3t，BM=3t，
当AM=2BM时，30-3t=6t，解得，t=103；
当2AM=BM时，60-6t=3t，解得，t=203；
当AM=BM时，30-3t=3t，解得，t=5；
答：当103或5或203时，点M是线段AB的“二倍点”．
（4）AN=2t，AM=30-3t，NM=5t-30，
当AN=2NM时2t=10t-60，解得，t=152；
当2AM=NM时，60-6t=5t-30，解得，t=9011；
当AM=2NM时，30-3t=10t-60，解得，t=9013．
答：当152或9011或9013时，点M是线段AN的“二倍点”．
【点睛】本题考查的知识点是一元一次方程的应用以及两点间的距离，读懂题意，领会“二倍点”的定义是解此题的关键，此题需要分情况讨论，注意不要漏解
5．（2023上·福建泉州·七年级校考期末）【概念与发现】
当点C在线段AB上，AC=nAB时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作dACAB=n．
例如，点C是AB的中点时，即AC=12AB，则dACAB=12；
反之，当dACAB=12时，则有AC=12AB．
因此，我们可以这样理解：“dACAB=n”与“AC=nAB”具有相同的含义．
(1)【理解与应用】
如图，点C在线段AB上．若AC=3，AB=4，则dACAB=________；若dACAB=2m，则BCAB=________．
(2)【拓展与延伸】
已知线段AB=10cm，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）．
①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，dAPAB+m⋅dAQAB的值是个定值，求m的值；
②t为何值时，dAQAB−dAPAB=35．
【答案】(1)34，m−2m
(2)①13；②1或8
【分析】（1）根据“点值”的定义得出答案；
（2）①设运动时间为t，再根据dAPAB+m⋅dAQAB的值是个定值即可求出m的值；②分点Q从点B向点A方向运动时和点Q从点A向点B方向运动两种情况分析即可．
【详解】（1）解：∵AC=3，AB=4，
∴AC=34AB，
∴d(ACAB)=34，
∵d(ACAB)=2m，
∴AC=2mAB，
∴∴BC=AB−AC=AB−2mAB=m−2mAB，
∴BCAB=m−2m
故答案为：34，m−2m；
（2）①设运动时间为t，则AP=t，AQ=10−3t，
根据“点值”的定义得：d(APAB)=t10，d(AQAB)=10−3t10，
∵dAPAB+m⋅dAQAB的值是个定值，
∴t10+m⋅10−3t10=10m+1−3mt10的值是个定值，
∴m=13；
②当点Q从点B向点A方向运动时，
∵dAQAB−dAPAB=35，
∴ 10−3t10−t10=35，
∴t=1；
当点Q从点A向点B方向运动时，
∵dAQAB−dAPAB=35，
∴ 3t−1010−t10=35，
∴t=8，
∴t的值为1或8．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解新定义并能运用是本题的关键．
6．（2023上·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，C是线段AB上一点，AC=5cm，点M从点A出发，沿AB以3cm/s的速度匀速向点B运动．点N从点C出发，沿CB以1cm/s的速度匀速向点B运动，两点同时出发，结果点M比点N先到3s．设点M出发时间为t（s）．

(1)求线段AB的长．
(2)是否存在某个时刻，点C恰好是线段MN的中点？如果存在，请求出t的值．若不存在，请说明理由．
(3)求点M与点N重合时（未到达点B），t的值；
(4)直接写出点M与点N相距2cm时，t的值．
【答案】(1)12cm；
(2)存在某个时刻，点C恰好是线段MN的中点，t= 54s；
(3)52
(4)t=32或t=72．
【分析】（1）设AB的长为xcm，则BC＝x−5cm，根据时间=路程÷速度结合点M比点N先到3s，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）令ts时，点C是MN的中点，由题意得AM=3t，CN=t，根据C恰好是线段MN的中点列方程求解即可；
（3）根据路程=速度×时间结合点M与点N重合得出等式，即可得出结论；
（4）分别利用点M追上点N前和追上后分别相距2cm分别得出答案．
【详解】（1）解：设AB=xcm，根据题意可得：
x−5−x3=3，
解得：x=12，
答：AB的长为12cm；
（2）解：令ts时，点C是MN的中点，由题意得AM=3t，CN=t，
∵C恰好是线段MN的中点，
∴CM=CN，即AC−AM=CN，
∴5−3t=t，
解得t= 54s，
∴存在t= 54s，点C恰好是线段MN的中点；
（3）解：由题意可得：3t＝t+5，
解得：t =52，
故点M与点N重合时（未到达点B），t的值为52；
（4）解：当点M追上点N前相距2cm，
由题意可得：3t+2=t+5，
解得：t=32，
点M追上点N后相距2cm，
由题意可得：3t−2=t+5，
解得：t =72，
综上所述：t=32或t=72．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、两点间的距离，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程．
7．（2023上·河南南阳·七年级统考期末）如图，点C是线段AB的中点．点D在线段CB上，且DB=2.5cm，AD=8.5cm．
(1)线段CD的长度为______．
(2)若点E在射线CA上，且AE=3cm，请求出线段CE的长度．
(3)动点M从点A出发以每秒2个单位长度的速度向点B方向运动，同时，点N从点B出发以每秒1个单位长度的速度向点A方向运动，假设t秒时点M与点N相遇，则t=______；假设第m秒时，点M与点N之间的距离为2cm，则m=______．
【答案】(1)3cm
(2)2.5cm或8.5cm
(3)113；3或133
【分析】（1）利用AD+DB求出AB的长，利用中点，求出BC的长，利用BC−DB求出CD的长；
（2）分点E在线段AC上，和在线段CA的延长线上，两种情况，讨论求解；
（3）利用相遇时总路程为线段AB的长度，列方程计算即可；分点M与点N相遇前和相遇后两种情况讨论求解．
【详解】（1）解：∵DB=2.5cm，AD=8.5cm，
∴AB=AD+DB=11cm，
∵点C是线段AB的中点，
∴BC=12AB=5.5cm，
∴CD=BC−DB=3cm；
故答案为：3cm；
（2）解：当点E在线段AC上时，如图：
由（1）知：AC=12AB=5.5cm，
∴CE=AC−AE=5.5−3=2.5cm；
当点E在线段CA的延长线上时：如图：
此时：CE=AC+AE=8.5cm；
综上：CE的长度为2.5cm或8.5cm；
（3）解：由题意，得：2+1t=11，解得：t=113，
即：113秒时点M与点N相遇；
故答案为：113；
当点M与点N之间的距离为2cm时，
①点M与点N相遇前：如图：
由图可知：2m+2+m=11，解得：m=3；
②点M与点N相遇后：如图：
此时：AM−AB−BN=MN，即：2m−11−m=2，
解得：m=133；
综上：当点M与点N之间的距离为2cm时，m=3或133
故答案为：3或133．
【点睛】本题考查线段的和与差，以及线段的中点，一元一次方程的应用．正确的识图，理清线段之间的和差关系，是解题的关键．
8．（2023上·云南楚雄·七年级统考期末）如图1，已知点A，B在数轴上，M是线段AB上一点，多项式m−m3+3m2的次数为a，项数为b，当m=2时，此多项式的值为c．
(1)分别求出a，b，c的值．
(2)如图1，数轴上的点A，M，B表示的数分别是a−2,b+1,c+5，试比较2AM和BM的大小．
(3)在（2）的条件下，如图2，点C在线段AM上，点D在线段BM上，若点C，D分别从M，B出发以1cm/s,3cm/s（一个单位长度表示1cm）的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示．
①当点C，D运动了2s时，求AC+MD的值．
②设点C，D的运动时间为ts．当AD−BD=CD时，求t的值．
【答案】(1)a=3，b=3，c=6，
(2)2AM(3)①2；②t=0.75．
【分析】（1）根据多项式的次数与项数分别求解a，b，再根据多项式的值求解c的值；
（2）先求解数轴上的点A，M，B表示的数分别是1，4，11，再计算2AM=2×3=6，BM=11−4=7，从而可得答案；
（3）①当点C，D运动了2s时，可得C对应的数为4−2×1=2，D对应的数为：11−3×2=5，再利用两点间的距离公式进行计算即可；②当点C，D运动了ts时，C对应的数为4−t，D对应的数为：11−3t，由AD−BD=CD，建立方程10−3t−3t=7−2t，再分情况解方程即可．
【详解】（1）解：∵多项式m−m3+3m2的次数为a，项数为b，
∴a=3，b=3，
当m=2时，此多项式的值为c，
∴c=2−23+3×22=2−8+12=6．
（2）∵数轴上的点A，M，B表示的数分别是a−2，b+1，c+5，而a=3，b=3，c=6，
∴数轴上的点A，M，B表示的数分别是1，4，11，
∴2AM=2×4−1=2×3=6，BM=11−4=7，
∴2AM（3）①当点C，D运动了2s时，
C对应的数为4−2×1=2，D对应的数为：11−3×2=5，
∴AC+MD=2−1+5−4=2；
②当点C，D运动了ts时，
C对应的数为4−t，D对应的数为：11−3t，
∴AD=11−3t−1=10−3t，
BD=11−11−3t=3t，CD=11−3t−4+t=7−2t，
∵AD−BD=CD，
∴10−3t−3t=7−2t，
当0≤t≤103时，原方程化为：10−3t−3t=7−2t，
解得：t=0.75，
当103解得：t=8.5，不符合题意，舍去，
当t>72时，原方程化为：3t−10−3t=2t−7，
解得：t=−32，不符合题意，舍去，
综上：当AD−BD=CD时，t=0.75s．
【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，线段的和差关系，一元一次方程的应用，多项式的项与次数的含义，代数式的值，清晰的分类讨论是解本题的关键．
【题型3 分类讨论思想】
1．（2023上·七年级课时练习）如图1，点P是线段AB或线段AB延长线上的一点，则图中共有3条线段AP、BP、AB，若其中有一条线段的长是另一条线段长的两倍，则点P是线段AB的“倍分点”．
(1)一条线段的中点______这条线段的“倍分点”；（填“是”或“不是”）
(2)深入研究：平面内，已知线段AB长为18cm，点P从A点出发，运动的时间为t秒．
①如图2，点P从A点出发，以每秒4cm的速度在线段AB上运动时，求t为何值时，点P是线段AB的“倍分点”？
②如图2，若点P从A点出发，以每秒4cm的速度沿射线AB方向运动，同时点Q从B点出发沿射线AB方向以每秒1cm的速度也运动了t秒，请直接写出点P是线段AQ的“倍分点”时t的值．
【答案】(1)是
(2)①t=94或3或32；②187、1811秒、3.6秒、18秒、10.8秒、54秒
【分析】（1）根据“倍分点”的含义进行判断即可；
（2）①由题意得：AB=18, AP=4t,BP=18−4t, 再分三种情况；当AB=2AP时， 当AP=2BP时， 当BP=2AP时， 再列方程求解即可；②当P与Q相遇时，则 t=6, 再分两种情况讨论：当0≤t≤6时，AP=4t,AQ=18+t,PQ=18−3t, 当t>6时，AP=4t,AQ=18+t,PQ=3t−18, 再列方程求解即可.
【详解】（1）解：如图，D为AB的中点，
所以AB=2AD=2BD,
所以D是AB的“倍分点”，
故答案：是；
（2）①由题意得：AB=18, AP=4t,BP=18−4t,
当AB=2AP时，此时AB=2BP，8t=18, 解得t=94,
当AP=2BP时，4t=2(18−4t), 解得：t=3,
当BP=2AP时，18−4t=8t, 解得：t=32,
综上：当t=94s或t=3s或t=32s时，点P是线段AB的“倍分点”.
②当P与Q相遇时，4t−t=18, 解得：t=6,
当0≤t≤6时，AP=4t,AQ=18+t,PQ=18−3t,
当AQ=2AP=2PQ时，18+t=8t, 解得：t=187,
当AP=2PQ时，4t=2(18−3t), 解得：t=3.6,
当PQ=2AP时，18−3t=8t, 解得：t=1811,
当t>6时，AP=4t,AQ=18+t,PQ=3t−18,
当AP=2AQ=2PQ时，4t=2(18+t), 解得：t=18,
当AQ=2PQ时，18+t=2(3t−18), 解得：t=10.8,
当PQ=2AQ时，3t−18=2(18+t), 解得：t=54,
综上：当t=187s或t=3.6s或t=1811s或t=18s或t=10.8s或t=54s，点P是线段AQ的“倍分点”.
【点睛】本题考查的是线段的中点的含义，线段的和差运算，一元一次方程的应用，清晰的分类讨论，理解新定义的含义是解本题的关键.
2．（2023上·江苏盐城·七年级景山中学校考阶段练习）【新知理解】
如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“和谐点”．
(1)线段的中点 这条线段的“和谐点”（填“是”或“不是”）；
(2)【初步应用】如图②，若CD＝12cm，点N是线段CD的和谐点，则CN＝ cm；
(3)【解决问题】如图③，已知AB＝15cm，动点P从点A出发，以1cm/s速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以2m/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t，请直接写出t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的和谐点．
【答案】(1)是
(2)6或4或8c
(3)t为3或307或154或458或457或6
【分析】（1）若点M是线段AB的中点时，则AB＝2AM＝2BM，由此即可得到答案；
（2）分①当N为中点时，CN＝12CD＝6cm；②N为CD的三等分点，且N靠近C时，CN＝13CD＝4cm；③N为CD的三等分点且N靠近D时，CN＝23CD＝8cm．
（3）分P为A、Q的和谐点，Q为A、P的和谐点，两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：若点M是线段AB的中点时，满足AB＝2AM＝2BM，
∴线段的中点是这条线段的“和谐点”，
故答案为：是；
（2）解：①当N为中点时，CN＝12CD＝6cm；
②N为CD的三等分点，且N靠近C时，CN＝13CD＝4cm；
③N为CD的三等分点且N靠近D时，CN＝23CD＝8cm．
故答案为：6cm或4cm或8cm；
（3）解：∵AB＝15cm，
∴t秒后，AP＝t，AQ＝15﹣2t（0≤t≤7.5），
由题意可知，A不可能为P、Q的和谐点，此情况排除；
①P为A、Q的和谐点，有三种情况：
1）P为中点，AP＝12AQ，即t＝12（15﹣2t），
解得t＝154；
2）P为AQ的三等分点，且P靠近A，AP＝13AQ，即t＝13（15﹣2t），
解得t＝3；
3）P为AQ的三等分点，且P靠近Q，AP＝23AQ，即t＝23（15﹣2t），
解得t＝307；
②Q为A、P的和谐点，有三种情况：
1）Q为中点，AP＝12AQ，即15﹣2t＝12t，
解得t＝6；
2）Q为AP的三等分点，且P靠近A，AP＝13AQ，即15﹣2t＝13t，
解得t＝457；
3）Q为AP的三等分点，且P靠近Q，AP＝23AQ，即15﹣2t＝23t，
解得t＝458．
综上所述，t为3或307或154或458或457或6时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的和谐点．
【点睛】本题主要考查了与线段中点和三等分点有关的计算，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解．
3．（2023上·浙江杭州·七年级统考期末）某操作车间有一段直线型向左移动的传输带，A，B两位操作工人站于传输带同侧且相距16米，操作组长F也站在该侧，且到A，B距离相等，传输带上有一个8米长的工具筐CE．
(1)如图1，当CE位于A，B之间时，F发现工具筐的C端离自己只有1米，则工具筐C端离A___________米，工具筐E端离B___________米．
(2)工具筐C端从B点开始随传输带向左移动直至工具筐E端到达A点为止，这期间工具筐E端到B的距离BE和工具筐E端到F的距离EF存在怎样的数量关系，并用等式表示．（你可以在图2中先画一画，再找找规律）
【答案】(1)7，1
(2)EF−BE=8或EF+BE=8或BE−EF=8．
【分析】（1）根据线段的和差可得答案；
（2）分三种情况：当点C在线段BF上时或当点C在线段AF上时或当点C在线段BA的延长线上时，正确画出图形即可得到结论．
【详解】（1）由题意得，AB=16m，
∵F到A，B距离相等，
∴AF=BF=8m，
∵CE=8米，CF=1m，
∴EF=8−1=7m，BE=8−7=1m．
故答案为：7，1；
（2）①当点C在线段BF上时，如图，
设BC=x，则BE=8−x，EF=16−x，
∴EF−BE=(16−x)−(8−x)=8；
②当点C在线段AF上时，如图，
设BC=x，则BE=x−8，EF=16−x，
∴EF+BE=(16−x)+(x−8)=8；
③当点C在线段BA的延长线上时，如图，
设BC=x，则BE=x−8，EF=x−16，
∴BE−EF=(x−8)−(x−16)=8；
综上，EF−BE=8或EF+BE=8或BE−EF=8．
【点睛】本题考查两点间的距离，熟练掌握线段的和差是解题关键．
4．（2023上·四川成都·七年级统考期末）如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：AB＝m，CD＝n，且m，n满足m−4+n−82=0，点M，N分别为AB，CD中点．
(1)求线段AB，CD的长；
(2)线段AB以每秒4个单位长度向右运动，线段CD以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，MN＝4，求此时线段BC的长；
(3)若BC＝24，将线段CD固定不动，线段AB以每秒4个单位速度向右运动，在线段AB向右运动的某一个时间段t内，始终有MN+AD为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内．
【答案】(1)线段AB的长是4，线段CD的长是8
(2)16或8
(3)当7.5≤t≤9时，MN+AD为定值，定值为6
【分析】（1）利用绝对值和平方的非负性求出m和n的值即可；
（2）分M′在N′的左侧和M′在N′的右侧两种情况，根据线段的和差关系列出方程，即可求解；
（3）由题意，运动t秒后，MN=30−4t，AD=36−4t，分段讨论即可求解．
【详解】（1）解：∵m−4+n−82=0，
∴m−4=0，n−82=0，
∴m=4，n=8，
∴AB=4，CD=8，
即线段AB的长是4，线段CD的长是8；
（2）解：∵AB=4，CD=8，
∴MB=12AB=2，CN=12CD=4，
设运动后点M对应点为M′，点N对应点为N′，分两种情况，
若6秒后，M′在N′的左侧时：MN+NN′=MM′+M′N′，
∴MB+BC+CN+NN′=MM′+M′N′，
即2+BC+4+6×1=6×4+4，
解得BC=16．
若6秒后，M′在N′的右侧时：MM′=MN+NN′+M′N′，
∴MM′=MB+BC+CN+NN′+M′N′，
即6×4=2+BC+4+6×1+4，
解得BC=8．
即线段BC的长为16或8；
（3）解：∵BC＝24，AB=4，CD=8，
∴MN=BC+12AB+12CD=24+2+4=30，AD=BC+AB+CD=24+4+8=36，
∵线段CD固定不动，线段AB以每秒4个单位速度向右运动，
∴运动t秒后，MN=30−4t，AD=36−4t，
当0≤t<7.5时，MN+AD=30−4t+36−4t=66−8t；
当7.5≤t≤9时，MN+AD=4t−30+36−4t=6；
当t>9时，MN+AD=4t−30+4t−36=8t−66；
故当7.5≤t≤9时，MN+AD为定值，定值为6．
【点睛】本题考查非负数的性质，一元一次方程的应用，线段的和差关系，以及数轴上的动点问题，解题的关键是掌握分类讨论思想．
5．（2023上·四川成都·七年级统考期末）如图，数轴上线段AB=2（单位长度），CD=4（单位长度），点A在数轴上表示的数是-8，点C在数轴上表示的数是10，若线段AB以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以1个单位长度/秒的速度也向右匀速运动．
(1)线段AB与线段CD从开始相遇到完全离开共经过多长时间；
(2)问运动多少秒时BC=2（单位长度）；
(3)设线段AB，CD开始运动后的运动时间为t秒，当t为何值时，恰好满足AD=2BC．
【答案】(1)t=3秒；
(2)①B、C相遇之前：t=7秒，②B、C相遇之后：t=9秒
(3)当t为5秒或9秒后恰好满足AD=2BC
【分析】（1）根据线段AB与线段CD从开始相遇到完全离开相当于线段AB比线段CD多走的路程为AB+CD，由此求解即可；
（2）分B、C相遇之前和B、C相遇之后，两种情况讨论求解即可；
（3）由题可得，t秒后A，B，C，D可分别表示为：A：−8+3t，B：−6+3t，C：10+t，D：14+t．则：AD=14+t−−8+3t=22−2t，BC=10+t−−6+3t=16−2t，然后分分B、C相遇之前和B、C相遇之后，两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：B、C相遇后到A点完全离开：
t=AB+CDVAB−VCD=(−6)−(−8)+(14−10)3−1=2+42=3秒
（2）解：①B、C相遇之前：
t=BC−2VAB−VCD=10−(−6)−23−1=142=7秒
②B、C相遇之后：
t=BC+2VAB−VCD=10−(−6)+23−1=182=9秒
（3）由题可得，t秒后A，B，C，D可分别表示为：A：−8+3t，B：−6+3t，C：10+t，D：14+t．
则：AD=14+t−−8+3t=22−2t，BC=10+t−−6+3t=16−2t，
①B、C相遇之前，由题可得：
22−2t=216−2t
2t=10
t=5
②B、C相遇之后，由题可得：
22−2t=22t−16
−6t=−54
t=9
综上所述：当t为5秒或9秒后恰好满足AD=2BC．
【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，正确理解题意是解题的关键．
6．（2023上·江苏泰州·七年级统考期末）如图，点C在线段AB上，AC＝6cm，CB＝4cm，点M以1cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点N以2cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点M运动到点C时，点M、N都停止运动，设点M运动的时间为ts．
（1）当t＝1时，求MN的长；
（2）当t为何值时，点C为线段MN的中点？
（3）若点P是线段CN的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）7cm；（2）t＝2或143；（3）存在，长度分别为6cm或2cm
【分析】（1）根据题意可知当t＝1时，AM＝1cm，CN＝2cm，MN＝7cm；
（2）由题意，得：AM＝tcm，MC＝（6﹣t）cm，根据点M运动到点C时，点M、N都停止运动，可得0≤t≤6，分三种情况：①当0≤t≤2时，点N从C向B运动，可求得t＝2；②当2＜t≤4时，点N从B向C运动，求出t＝2不合题意；③当4＜t≤6时，点N从C向B运动，可求得t＝143；
（3）由题意可知存在某个时间段，使PM的长度保持不变，与（2）一样分三种情况分别探究即可．
【详解】解：（1）当t＝1时，AM＝1cm，CN＝2cm，
∴MC＝AC﹣AM＝6﹣1＝5（cm），
∴MN＝MC+CN＝5+2＝7（cm）；
（2）由题意，得：AM＝tcm，MC＝（6﹣t）cm，
∵点M运动到点C时，点M、N都停止运动，
∴0≤t≤6，
①当0≤t≤2时，点N从C向B运动，CN＝2tcm，
∵点C为线段MN的中点，
∴MC＝CN，即6﹣t＝2t，
解得：t＝2；
②当2＜t≤4时，点N从B向C运动，BN＝（2t﹣4）cm，CN＝4﹣（2t﹣4）＝（8﹣2t）cm，
∵点C为线段MN的中点，
∴MC＝CN，即6﹣t＝8﹣2t，
解得：t＝2（舍去）；
③当4＜t≤6时，点N从C向B运动，CN＝（2t﹣8）cm，
∵点C为线段MN的中点，
∴MC＝CN，即6﹣t＝2t﹣8，
解得：t＝143；
综上所述，当t＝2或143时，点C为线段MN的中点.
（3）如图2，
①当0≤t≤2时，点N从C向B运动，CN＝2tcm，
∵点P是线段CN的中点，
∴CP＝12CN＝tcm，
∴PM＝MC+CP＝6﹣t+t＝6cm，此时，PM的长度保持不变；
②当2＜t＜4时，点N从B向C运动，CN＝（8﹣2t）cm，
∵点P是线段CN的中点，
∴CP＝12CN＝12（8﹣2t）＝（4﹣t） cm，
∴PM＝MC+CP＝6﹣t+（4﹣t）＝（10﹣2t）cm，此时，PM的长度变化；
③当4≤t≤6时，点N从C向B运动，CN＝（2t﹣8）cm，
∵点P是线段CN的中点，
∴CP＝12CN＝12（2t﹣8）＝（t﹣4）cm，
∴PM＝MC+CP＝6﹣t+（t﹣4）＝2cm，此时，PM的长度保持不变；
综上所述，当0≤t≤2或4≤t≤6时，使PM的长度保持不变；PM的长度分别为6cm或2cm．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，两点之间距离的概念，中点定义，线段和差计算等，运用分类讨论思想是解题的关键．
7．（2023上·浙江杭州·七年级阶段练习）如图，将一条长为60cm的卷尺铺平后折叠，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分（阴影处）沿与卷尺边垂直的方向剪一刀，此时卷尺分为了三段，若这三段长度由短到长的比为1：2：3，则折痕对应的刻度有几种可能．
【答案】折痕对应的刻度有4种：20cm、25cm、35cm和40cm．
【分析】先确定这三段的长度分别为10厘米、20厘米、30厘米，再分以下6种情况：（1）剪切处右边部分长度为10cm，左边为20cm；（2）剪切处右边部分长度为10cm，左边为30cm；（3）剪切处右边部分长度为20cm，左边为10cm；（4）剪切处右边部分长度为20cm，左边为30cm；（5）剪切处右边部分长度为30cm，左边为10cm；（6）剪切处右边部分长度为30cm，左边为20cm；分别求出折痕刻度，问题即得解决．
【详解】解：60÷（1+2+3）＝60÷6＝10（cm），
10×1＝10（cm），10×2＝20（cm），10×3＝30（cm），即三段长分别为10cm、20cm、30cm；
（1）当剪切处右边部分长度为10cm，剪切处左边的卷尺为20cm时，折痕对应刻度为10+20÷2＝20（cm）；
（2）当剪切处右边部分长度为10cm，剪切处左边的卷尺为30cm时，折痕对应刻度为10+30÷2＝25（cm）；
（3）当剪切处右边部分长度为20cm，剪切处左边的卷尺为10cm时，折痕对应刻度为20+10÷2＝25（cm）；
（4）当剪切处右边部分长度为20cm，剪切处左边的卷尺为30cm时，折痕对应刻度为20+30÷2＝35（cm）；
（5）当剪切处右边部分长度为30cm，剪切处左边的卷尺为10cm时，折痕对应刻度为30+10÷2＝35（cm）；
（6）当剪切处右边部分长度为30cm，剪切处左边的卷尺为20cm时，折痕对应刻度为30+20÷2＝40（cm）．
综上所述：折痕对应的刻度有4种：20cm、25cm、35cm和40cm．
【点睛】本题考查了图形的剪拼和线段的和差计算，解答此题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件全面讨论、正确列式求解．
8．（2023上·天津·七年级统考期末）已知点C在线段AB上，AC=2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧．若AB=18，DE=8，线段DE在线段AB上移动．
(1)如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
(2)点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF=3AD，CE+EF=3，求AD的长．
【答案】(1)7
(2)3或5
【分析】（1）根据AC=2BC，AB=18，可求得BC=6，AC=12，根据中点的定义求出BE，由线段的和差即可得到AD的长．
（2）点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF=3AD，CE+EF=3，确定点F是BC的中点，即可求出AD的长．
【详解】（1）AC=2BC，AB=18，
∴BC=6，AC=12，
如图1，
∵E为BC中点，
∴CE=BE=3，
∵DE=8，
∴BD=DE+BE=8+3=11，
∴AD=AB−DB=18−11=7，
（2）Ⅰ、当点E在点F的左侧，如图2，
或
∵CE+EF=3，BC=6，
∴点F是BC的中点，
∴CF=BF=3，
∴AF=AB−BF=18−3=15，
∴AD=13AF=5，
∵CE+EF=3，故图2（b）这种情况求不出；
Ⅱ、如图3，当点E在点F的右侧，
或
∵AC=12，CE+EF=CF=3，
∴AF=AC−CF=9，
∴AF=3AD=9，
∴AD=3．
∵CE+EF=3，故图3（b）这种情况求不出；
综上所述：AD的长为3或5．
【点睛】本题考查了两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答的关键．本题较难，需要想清楚各种情况是否存在．
【题型4 数形结合思想】
1．（2023上·四川成都·七年级石室中学校考期末）如图，有一根木棒MN放置在数轴上，它的两端M、N分别落在点A、B处．将木棒在数轴上水平移动，当MN的中点移动到点B时，点N所对应的数为17.5，当MN的右三等分点移动到点A时，点M所对应的数为4.5，则木棒MN的长度为 ．
【答案】6.
【分析】如图，G为AB的中点，F,P为AB的三等分点，设MN=AB=3x, 再利用线段的和差关系表示AM1，BN1， 结合题意可得M1对应的数为4.5，N1对应的数为17.5， 再求解M1N1， 从而可列方程求解x，于是可得MN的长．
【详解】解：如图，G为AB的中点，F,P为AB的三等分点，
设MN=AB=3x,
由题意得：AG=BG=BN1=1.5x, AF=FP=PB=x, AM1=2x,
∴M1N1=2x+3x+1.5x=6.5x,
∵M1对应的数为4.5，N1对应的数为17.5，
∴M1N1=17.5−4.5=13，
∴6.5x=13,
∴x=2,
∴MN=3x=6.
故答案为：6.
【点睛】本题考查的是线段的中点，线段的三等分点的含义，数轴上两点之间的距离，数轴上动点问题，一元一次方程的应用，掌握以上知识是解题的关键．
2．（2023上·湖北武汉·七年级统考期末）如图所示，把一根细线绳对折成两条重合的线段AB，点P在线段AB上，且AP:BP=2:3．
（l）若细线绳的长度是100cm，求图中线段AP的长；
（2）从点P处把细线绳剪断后展开，细线绳变成三段，若三段中最长的一段为60cm，求原来细线绳的长．
【答案】（1）20cm；（2）150cm或100cm.
【分析】（1）由“一根细线绳对折成两条重合的线段AB”可知线段AB的长为细线长度的一半，由AP:BP=2:3即可求出线段AP长；
（2）分情况讨论，当点A为对折点时，最长的一段为PAP段，由此可求出AP长，根据AP:BP=2:3可得BP长，易得AB长，由细线长为2AB求解即可；当点B为对折点时，最长的一段为PBP段，由此可求出BP长，根据AP:BP=2:3可得AP长，易得AB长，由细线长为2AB求解即可.
【详解】解：（1）由题意得AB=12×100=50cm，
∵AP:BP=2:3,AP+BP=AB
∴AP=AB2+3×2=20cm
所以图中线段AP的长为20cm.
（2）如图，当点A为对折点时，最长的一段为PAP段，
∴2AP=60cm,∴AP=30cm，
∵AP:BP=2:3
∴BP=302×3=45cm
∴AB=AP+BP=30+45=75cm
所以细线长为2AB=2×75=150cm；
如图，当点B为对折点时，最长的一段为PBP段，
∴2BP=60cm,∴BP=30cm，
∵AP:BP=2:3
∴AP=303×2=20cm
∴AB=AP+BP=20+30=50cm
所以细线长为2AB=2×50=100cm，
综合上述，原来细线绳的长为150cm或100cm.
【点睛】本题主要考查了线段的和与差，灵活的利用线段的比例及已知线段的长度是解题的关键.
3．（2023上·河南周口·七年级期末）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件GeGebra做了n次取线段中点实验：如图，设线段OP0=1．第1次，取OP0的中点P1；第2次，取P0P1的中点P2；第3次，取P1P2的中点P3，第4次，取P2P3的中点P4；…
(1)请完成下列表格数据．
(2)小明对线段OP4的表达式进行了如下化简：
因为OP4=1−12+122−123+124，
所以2OP4=21−12+122−123+124 =2−1+12−122+123．
两式相加，得3OP4=2+124．
所以OP4=23+13×24．
请你参考小明的化简方法，化简OP5的表达式．
(3)类比猜想：Pn−1Pn=__________，OPn=_________________，随着取中点次数n的不断增大，OPn的长最终接近的值是__________．
【答案】(1)P4P5=125，OP5=OP4−P4P5=1−12+122−123+124−125
(2)OP5=23−13×25
(3)12n，23+(−1)n3×2n，23
【分析】（1）根据表中的规律可求出P4P5，根据OP5=OP4−P4P5可得出答案；
（2）参照小明对线段OP4的表达式的化简可得OP5的表达式；
（3）根据类比猜想可得答案．
【详解】（1）解：P4P5=125，OP5=OP4−P4P5=1−12+122−123+124−125；
故答案为：P4P5=125，OP5=OP4−P4P5=1−12+122−123+124−125；
（2）解：因为OP5=1−12+122−123+124−125，
所以2OP5=21−12+122−123+124−125 =2−1+12−122+123−124．
两式相加，得3OP5=2−125．
所以OP5=23−13×25；
（3）解：Pn−1Pn=12n，OPn=23+(−1)n3×2n，随着取中点次数n的不断增大OPn的长最终接近的值是23．
故答案为：12n，23+(−1)n3×2n，23．
【点睛】本题考查规律型：图形的变化类，找到规律并会表现出来是解题关键．
4．（2023上·安徽阜阳·七年级统考期末）在数学综合实践活动课上，小轩同学借助于两根小木棒m、n研究数学问题：如图，他把两根木棒放在数轴上，木棒的端点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、3、8，已知a+5+(b+1)2=0
(1)求a和b的值：
(2)若小轩把木棒m沿x轴正方向移动，m的速度为4个单位/s，设平移时间为t(s)，在平移过程中原点O恰好是木棒m的中点，求t的值；
(3)若小轩把木棒n与m同时沿x轴正方向移动，m的速度为4个单位/s，n的速度为3个单位s，设平移时间为t(s)．在平移过程中，当木棒m、n重叠部分的长为3个单位长度时，求t的值．
【答案】(1)a=−5，b=−1
(2)t=34s
(3)t=7s或10s
【分析】（1）根据绝对值的非负性进行求解即可；
（2）根据原点是中点，列式计算即可；
（3）分m在n后面和前面，两种情况分类讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵a+5+b+12=0，
∴a+5=0，b+1=0，
∴a=−5，b=−1；
（2）解：由题意得：木棒m未移动时，木棒m的中点所表示的数为：(a+b)÷2=(−5−1)÷2=−3．
∴当平移过程中原点O恰好是木棒m的中点时，
小棒移动了3个单位长度，
∴t=34s．
（3）解： 设t秒重叠3个单位长度，
m在n后面时，小棒未移动时：BC=3−(−1)=4，
4t=3t+4+3，
t=7，
m在n前面时，小棒未移动时：AD=8−(−5)=13，
4t=3t+13−3，
t=10，
综上t=7s或10s．
【点睛】本题考查绝对值的非负性，数轴上两点间的距离，线段的中点，以及一元一次方程的应用．熟练掌握绝对值的非负性，数轴上两点间的距离以及中点公式，是解题的关键．
5．（2023下·江苏淮安·七年级校考阶段练习）数轴是数学学习的一个很重要的工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴我们可发现许多重要的规律：
①绝对值的几何意义：一般地，若点A、点B在数轴上表示的数分别为a，b，那么A、B两点之间的距离表示为|a﹣b|，记作AB＝|a﹣b|，|3﹣1|则表示数3和1在数轴上对应的两点之间的距离；又如|3+1|＝|3﹣（﹣1）|，所以|3+1|表示数3和﹣1在数轴上对应的两点之间的距离；
②若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，那么线段AB的中点M表示的数为a+b2．
请借用数轴和以上规律解决下列问题：
如图，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为﹣10，6，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度从点B出发沿数轴向左匀速运动，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
(1)A、B两点的距离为 个单位长度；线段AB的中点M所表示的数为 ；
(2)点P运动t秒后所在位置的点表示的数为 ；点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为 ．（用含t的式子表示）
(3)P、Q两点经过多少秒会相距5个单位长度？
(4)在点P、Q运动过程中，O、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，直接写出此时t的值．
【答案】(1)16，−2
(2)−10+2t,6−t
(3)t＝113或7
(4)t＝4或265或112
【分析】（1）利用数轴上两点之间的距离公式，数轴上线段的中点计算公式可得答案；
（2）数轴上点向右移动终点对应的数等于起点对应的数加上移动距离，数轴上点向左移动终点对应的数等于起点对应的数减去移动距离，从而可得答案；
（3）由t秒后，点P表示的数−10+2t，点Q表示的数为6−t，表示PQ=|(−10+2t)−(6−t)|=|3t−16|,再构建绝对值方程，再解方程即可；
（4）分①当0＜t≤5时，O是线段PQ的中点，②当5＜t≤163时，P为线段OQ的中点，③当163＜t≤6时，Q为线段OP的中点，④当6＜t≤8时，O为线段PQ的中点，再利用中点对应的数的计算方法构建方程，再解方程即可．
【详解】（1）解：A、B两点的距离为6−−10=16；
线段AB的中点M所表示数为−10+62=−2；
（2）点P运动t秒后所在位置的点表示的数为−10+2t；
点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为 6−t；
（3）∵t秒后，点P表示的数−10+2t，点Q表示的数为6−t，
∴PQ=|(−10+2t)−(6−t)|=|3t−16|,
又P、Q两点相距5个单位长度，
∴3t−16=5，
解得：t=113或t=7，
∴P、Q两点经过113s或7s时相距5个单位长度
（4）t＝4或265或112．
理由∶①当O是线段PQ的中点，且P点在原点左侧，Q点在原点右侧，此时0＜t≤5，
由题意得−10+2t+6−t2=0，
解得t＝4．
②当P为线段OQ的中点，P点在原点和Q点之间，
当P、Q两点重合时，2t+t=6−−10，即t=163，
∴此时5＜t≤163，
由题意得6−t+02=−10+2t，
解得t=265；
③当Q为线段OP的中点，Q点在原点和P点之间，此时163＜t≤6
由题意得−10+2t+02=6−t，
解得t=112；
④当O为线段PQ的中点，且Q点在原点左侧，P点在原点右侧，此时t＞6，
由题意得−10+2t+6−t2=0，
解得t＝4（不合题意，舍去），
综上所述：t＝4或265或112．
【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，数轴上线段的中点对应的数的计算方法，熟练的构建方程解题是关键．
6．（2023上·江苏南通·七年级校联考期末）请阅读下列材料，并完成相应任务．
完成以下任务：
(1)如图2，线段AB被点C黄金分割．若AB长为10cm，求AC的长；（结果保留小数点后一位）
(2)如图3，一根一侧烧毁的木棒工件AB（粗度不计），在它的两个黄金分割点C，D处钻有小孔．若量得C，D间的距离约为23.6cm，求木棒AB的原长度．
【答案】(1)3.8cm
(2)木棒AB的原长度为100cm．
【分析】（1）根据黄金分割点的定义得到BC≈0.618AB，则AC≈0.382AB，进一步计算即可求解；
（2）根据黄金分割点的定义得到AC≈0.382AB，BD≈0.382AB，进一步计算即可求解．
【详解】（1）解：∵线段AB被C点黄金分割，
∴BC≈0.618AB，
∴AC≈0.382AB，
∵AB=10cm，
∴AC≈0.382×10=3.82≈3.8cm；
（2）解：∵C，D是线段AB的两个黄金分割点，
∴AC≈0.382AB，BD≈0.382AB，
∴CD≈(1−0.382−0.382)AB=0.236AB，
∵CD≈23.6cm，
∴0.236AB=23.6，
解得AB≈100cm，
答：木棒AB的原长度为100cm．
【点睛】本题考查两点之间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是理解黄金分割的定义，根据线段黄金分割分得线段的比值进行计算．
7．（2023上·河北沧州·七年级统考期末）七（1）班的学习小组学习“线段中点”内容时，得到一个很有意思的结论，请跟随他们一起思考.
（1）发现：
如图1，线段AB=12，点C,E,F在线段AB上，当点E,F是线段AC和线段BC的中点时，线段EF的长为_________；若点C在线段AB的延长线上，其他条件不变（请在图2中按题目要求将图补充完整），得到的线段EF与线段AB之间的数量关系为_________.
（2）应用：
如图3，现有长为40米的拔河比赛专用绳AB，其左右两端各有一段（AC和BD）磨损了，磨损后的麻绳不再符合比赛要求. 已知磨损的麻绳总长度不足20米. 小明认为只利用麻绳AB和一把剪刀（剪刀只用于剪断麻绳）就可以得到一条长20米的拔河比赛专用绳EF. 小明所在学习小组认为此法可行，于是他们应用“线段中点”的结论很快做出了符合要求的专用绳EF，请你尝试着“复原”他们的做法：
①在图中标出点E、点F的位置，并简述画图方法；
②请说明①题中所标示E,F点的理由.
【答案】（1）6；补图见解析，EF=12AB （2）①见解析（答案不唯一）②见解析.
【分析】（1）如图1，根据线段中点的定义表示出EC和FC的长，则EF=EC+FC=12AB,得解;如图2，由EF=EC-FC=12AB，得解；
（2）①如图3，在CD上取一点M，使CM=CA，F为BM的中点，点 E与点C重合；
②只要证明CF=20，点F在线段CD上即可.
【详解】解：（1）点C,E,F在线段AB上时，
因为点E是线段AC的中点，所以CE=12AC，
因为点F是线段BC的中点，所以CF=12BC，
所以EF=CE+CF=12AC+12BC=12AB，
又AB=12，所以EF=6．
当点C在线段AB的延长线上时，如图2，
此时，EF=EC-FC═12AC-12BC=12AB.
答案为：6；EF=12AB.
（2）①
图3
如图，在CD上取一点M，使CM=CA，F为BM的中点，点E与点C重合. （答案不唯一）
②因为F为BM的中点，所以MF=BF.
因为AB=AC+CM+MF+BF,CM=CA，
所以AB=2CM+2MF=2(CM+MF)=2EF.
因为AB=40米，所以EF=20米.
因为AC+BD<20米，AB=AC+BD+CD=40米，
所以CD>20米.
因为点E与点C重合，EF=20米，
所以CF=20米，所以点F落在线段CD上.
所以EF满足条件.
【点睛】本题考查了线段的和、差、倍、分及三角形的中位线，要熟练掌握线段中点的三种表达示：若点C是线段的中点，则有①AC=BC，②AB=2AC=2BC，③AC=BC=12AB.次数
Pi-1Pi
线段OPi的长
第1次
P0P1=12
OP1=OP0−P0P1=1−12
第2次
P1P2=122
OP2=OP1+P1P2=1−12+122
第3次
P2P3=123
OP3=OP2−P2P3=1−12+122−123
第4次
P3P4=124
OP4=OP3+P3P4=1−12+122−123+124
第5次
…
…
…
如图1，公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，称为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割是指把一条线段分割成两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值．如图2，在线段AB上找一点C，把线段AB分成AC和CB两段，其中AC是较短的一段．如果AC:CB=CB:AB，那么称线段AB被点C黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点，这个比值叫做黄金分割数，约为0.618，即AC=0.618BC，BC=0.618AB．