中考数学一轮复习专题4.7 一次函数章末拔尖卷（北师大版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习专题4.7 一次函数章末拔尖卷（北师大版）（解析版），共28页。

参考答案与试题解析
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．(3分)（2023春·河南郑州·八年级校考期末）在平面直角坐标系中，已知直线y=kx+b与直线y=2x+2022平行，且与y轴交于点M0,4，与x轴的交点为N，则△MNO的面积为（ ）
A．2022B．1011C．8D．4
【答案】D
【分析】先根据两直线平行k值相等，以及直线经过点M(0,4)，即可求出直线MN的解析式，进而可求出N点坐标，然后根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】∵直线y=kx+b与直线y=2x+2022平行，
∴k=2，即y=2x+b，
∵直线y=2x+b过点M(0,4)，
∴4=2×0+b，即b=4，
∴直线MN的解析式为y=2x+4，
当y=0时，有x=-2，
∴N点坐标为(-2,0)，
∴ON=2，
∵M(0,4)，
∴OM=4，
∴△MON的面积为：S=12×2×4=4，
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标系中两直线平行的性质以及直线与坐标轴交点的知识，掌握坐标系中两直线平行时两直线的解析式的k值相等是解答本题的关键．
2．(3分)（2023春·浙江台州·八年级统考期末）当x>−3时，对于x的每一个值，函数y=kx（k≠0）的值都小于函数y=−12x+3的值，则k的取值范围是（ ）
A．k≥−32且k≠0B．k≤−12C．−32≤k≤−12D．0【答案】C
【分析】先求得x=−3时，y=−12x+3=92，当k=−12，直线y=kx（k≠0）与直线y=−12x+3平行，且在直线y=−12x+3下方；当直线y=kx与直线y=−12x+3的交点在−3，92的上方时，函数y=kx（k≠0）的值都小于函数y=−12x+3的值，据此求解即可．
【详解】解：当x=−3时，y=−12x+3=92，即有点−3，92，
将点−3，92代入y=kx，
有92=−3k，解得k=−32，
当k=−12，直线y=kx（k≠0）与直线y=−12x+3平行，且在直线y=−12x+3下方；

结合图象可知：直线y=kx与直线y=−12x+3的交点在−3，92的上方时，并随着交点的不断上移，直至直线y=kx（k≠0）与直线y=−12x+3平行时，满足当x>−3时，函数y=kx（k≠0）的值都小于函数y=−12x+3的值，
∴−32≤k≤−12，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
3．(3分)（2023春·江苏泰州·八年级校考期末）已知x1,y1，x2,y2，x3,y3为直线y=−3x+1上的三个点，且x1A．若x1x2=1，则y1y3>0B．若x1x3=−2，则y1y2>0
C．若x2x3=3，则y1y3>0D．若x2x3=−1，则y1y2>0
【答案】D
【分析】根据一次函数增减性，结合各选项条件逐项验证即可得到答案．
【详解】解：∵直线y=−3x+1中−3<0，
∴ y随x的增大而减小，
∵ x1∴ y1>y2>y3，
A、若x1x2=1，则x1x2>0，即x1与x2同号（同时为正或同时为负），
∵ x1∴若取x1与x2同为负数，由x1∵ x1,y1，x3,y3为直线y=−3x+1上的三个点，
∴ y1=−3x1+1>0，y3=−3x3+1正负不能确定，则无法判断y1y3符号，该选项不合题意；
B、若x1x3=−2，则x1x3<0，即x1与x3异号（一正一负），
∵ x1∴ x1<0，x3>0，由x1∵ x1,y1，x2,y2为直线y=−3x+1上的三个点，
∴ y1=−3x1+1>0，y2=−3x2+1正负不能确定，则无法判断y1y2符号，该选项不合题意；
C、若x2x3=3，则x2x3>0，即x2与x3同号（同时为正或同时为负），
∵ x1∴若取x2与x3同为正数，由x1∵ x1,y1，x3,y3为直线y=−3x+1上的三个点，
∴ y1=−3x1+1正负不能确定，y3=−3x3+1正负不能确定，则无法判断y1y3符号，该选项不合题意；
D、若x2x3=−1，则x2x3<0，即x1与x3异号（一正一负），
∵ x1∴ x2<0，x3>0，由x1∵ x1,y1，x2,y2为直线y=−3x+1上的三个点，
∴ y1=−3x1+1>0，y2=−3x2+1>0，则y1y2>0，该选项合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数图像与性质，由题中条件判断出x1,x2,x3正负，结合一次函数增减性求解是解决问题的关键．
4．(3分)（2023春·天津红桥·八年级统考期末）关于函数y=k−3x+k（k为常数），有下列结论：①当k≠3时，此函数是一次函数；②无论k取什么值，函数图像必经过点−1,3；③若图像经过二、三、四象限，则k的取值范围是k<0；④若函数图像与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是0A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】①根据一次函数定义即可求解；②y=k−3x+k=k(x+1)−3x，即可求解；③图像经过二、三、四象限，则k−3<0，k<0，解关于k的不等式组即可；④函数图像与x轴的交点始终在正半轴，则x>0，即可求解．
【详解】解：①根据一次函数定义：形如y=kx+b(k≠0)的函数为一次函数，
∴ k−3≠0，
∴ k≠3，
故①正确；
②y=k−3x+k=k(x+1)−3x，
∴无论k取何值，函数图像必经过点−1,3，
故②正确；
③∵图像经过二、三、四象限，
∴ k−3<0k<0，
解不等式组得：k<0，
故③正确；
④令y=0，则x=−kk−3，
∵函数图像与x轴的交点始终在正半轴，
∴ −kk−3>0，
∴ kk−3<0，
经分析知：k>0k−3<0，
解这个不等式组得0故④正确．
∴①②③④都正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与不等式的相关知识，是难点和易错点．解答此题的关键是熟知一次函数图像上点的坐标特征，确定函数与系数之间的关系．
5．(3分)（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）若平面直角坐标系内的点M满足横，纵坐标都为整数，则把点M叫做“整点”，例如，P1，0，Q2，−2都是“整点”，四边形OABC（O为原点）为正方形且B点坐标为6，6，有4条直线y=knx+bnn=1，2，3，4，其中k1，k2，k3，k4互不相等，则这4条直线在正方形OABC内（包括边上）经过的整点个数最多是（ ）个．
A．22B．24C．28D．25
【答案】A
【分析】根据“整点”的定义可知，在正方形OABC内（包括边上）扥整点横坐标的取值范围是0到6的自然数，直线y=knx+bnn=1，2，3，4在0≤x≤6范围时，当k=±1，k=0时对应的整点数最多为7个，其次是k=±2或k=±12时对应的整点数最多为4个，由此即可得到答案．
【详解】解：由画图可知：
，
直线y=x在正方形OABC内（包括边上）经过的整点的个数有7个，
直线y=−x+6在正方形OABC内（包括边上）经过的整点的个数有7个，
直线y=3在正方形OABC内（包括边上）经过的整点的个数有7个，
直线y=2x−2在正方形OABC内（包括边上）经过的整点的个数有4个，
其中点3，3是三条直线y=x、y=−x+6、y=3的交点，点2，2是直线y=x、y=2x−2的交点，
∴经过的整点的个数最多是：7+7+7+4−3=22（个），
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象上的性质，抓住k1，k2，k3，k4互不相等时哪些直线上的整点数最多，注意整点的函数值与自变量的取值范围是解题的关键．
6．(3分)（2023春·贵州贵阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，点P是BC边上一点，点P从B点出发沿BC向点C运动，到达C点时停止．若BP=x，图中阴影部分面积为S，则图中可以近似地刻画出S与x之间关系的是（ ）
B．
C． D．
【答案】C
【分析】如图:作△ABC的高AD，则AD为定值．根据三角形的面积公式得出S=12PB⋅AD=12x⋅AD=12AD⋅x;可判断得到S是x的正比例函数，最后根据正比例函数的图像与性质即可求解．
【详解】解：如图，作△ABC的高AD，则AD为定值．
△PAB(图中阴影部分)的面积S=12PB⋅AD=12x⋅AD=12AD⋅x，即S=12AD⋅x，
∵AD为定值，
∴12AD为定值，
∴S是x的正比例函数．
故答案是C．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图像、三角形的面积、正比例函数的定义等知识点，求出S与x的函数关系式是解题的关键．
7．(3分)（2023春·河北沧州·八年级统考期末）如图，直线y=12x−2与x轴交于点A，以OA为斜边在x轴上方作等腰直角三角形OAB，将直线沿x轴向左平移，当点B落在平移后的直线上时，则直线平移的距离是（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】A
【分析】先求出平移过B点的直线解析式，再求出其与x轴的交点坐标，交点记为C，把A点横坐标与C点的横坐标相减即可作答．
【详解】如下图，
过B作x轴垂线，垂足为D，记平移后的直线与x轴的交点为C，
对于直线y=12x−2，令y=0，解得x=4，∴A点坐标为(4,0)
∴OA=4
∵△OAB为等腰直角三角形，BD⊥x轴
∴易得OD=2，BD=2
∴B(2,2)；
设平移后的直线为：y=12x+b，把B(2,2)代入得2=1+b，解得b=1，
所以平移后的直线解析式为y=12x+1，令其y=0得
0=12x+1
解之得x=-2
∴C(0,-2)，
∴OC=2
∴平移的距离为OA+OC=4+2=6．
故选：A．
【点睛】此题主要考查一次函数图象的平移的相关性质和求一次函数与x轴的交点坐标．其关键是要知道平移前后两直线解析式中的k相等
8．(3分)（2023春·上海·八年级专题练习）甲乙两人在同一条笔直的公路上步行从A地去往B地，已知甲、乙两人保持各自的速度匀速步行，且甲先出发，甲乙两人的距离y（千米）与甲步行的时间t（小时）的函数关系图像如图所示，下列说法：
①乙的速度为7千米/时；
②乙到终点时甲、乙相距8千米；
③当乙追上甲时，两人距A地21千米；
④A,B两地距离为27千米．
其中错误的个数为（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】①由函数图象数据可以求出甲的速度，再由追击问题的数量关系建立方程就可以求出乙的速度；
②由函数图象的数据由乙到达终点时走的路程-甲走的路程就可以求出结论；
③乙或甲行驶的路程就是乙追上甲时，两人距A地的距离；
④求出乙到达终点的路程就是A，B两地距离．
【详解】解：①由题意，得
甲的速度为：12÷4=3千米/时；
设乙的速度为a千米/时，由题意，得
（7-4）a=3×7，
解得：a=7．
即乙的速度为7千米/时，
故①正确；
②乙到终点时甲、乙相距的距离为：
（9-4）×7-9×3=8千米，
故②正确；
③当乙追上甲时，两人距A地距离为：
7×3=21千米．
故③正确；
④A，B两地距离为：
7×（9-4）=35千米，
故④错误．
综上所述：错误的只有④．
故选：A．
【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，行程问题的追击题型的等量关系的运用，一元一次方程的运用，解答时分析清楚函数图象的数据之间的关系是关键．
9．(3分)（2023春·浙江·八年级期末）如图，Ax1,y1,Bx2,y2分别是直线y=2x+1,y=−x+4上的动点，若x1−x2≤1时，都有y1−y2≤4，则x1的取值范围为（ ）
A．−13≤x1≤0B．0≤x1≤2C．−73≤x1≤−13D．−23≤x1≤2
【答案】B
【分析】将Ax1,y1,向右平移1个单位得到点C，过点C作x的垂线，交y=−x+4于点B，交y=2x+1于点D，当BC≤4时，符合题意，同理将点A向左平移一个单位得到C，进而即可求解．
【详解】解：如图，将Ax1,y1,向右平移1个单位得到点C，过点C作x的垂线，交y=−x+4于点B，交y=2x+1于点D，当BC≤4时，符合题意，
∴Cx1+1,2x1+1，Bx1+1,−x1+1+4即Bx1+1,−x1+3，
∴BC=2x1+1−−x1+3=3x1−2
∴3x1−2≤4
解得x1≤2
如图，将点A向左平移一个单位得到C，
∴ Cx1−1，2x1+1，Bx1−1,−x1−1+4即Bx1−1,−x1+5，
∴BC=−x1+5−2x1+1 =−3x1+4 ≤4
解得x1≥0
综上所述，0≤x1≤2，
故选B
【点睛】本题考查了一次函数的性质，坐标与图形，根据题意作出图形分析是解题的关键．
10．(3分)（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级校联考期末）如图，已知直线a：y=x，直线b：y=−12x和点P1,0，过点P1,0作y轴的平行线交直线a于点P1，过点P1作x轴的平行线，交直线b于点P2，过点P2作y轴的平行线，交直线a于点P3，过点P3作x轴的平行线交直线b于点P4，…，按此作法进行下去，则点P15的横坐标为（ ）

A．−26B．−27C．−214D．−215
【答案】B
【分析】点P1,0，P1在直线y=x上，得到P11,1，求得P2的纵坐标=P1的纵坐标=1，得到P2−2,1，即P2的横坐标为−2=−21，同理，P3的横坐标为−2=−21，P4的横坐标为4=22，P5的横坐标为22，P6的横坐标为−23，P7的横坐标为−23，P8的横坐标为24，P9的横坐标为24，……，求得P4n的横坐标为22n，于是得到结论．
【详解】解：∵过点P1,0作y轴的平行线交直线a于点P1，
∴P1在直线y=x上，
∴P11,1，
∵P1P2∥x轴，
∴P2的纵坐标=P1的纵坐标=1，
∵P2在直线y=−12x上，
∴1=−12x，
∴x=−2，
∴P2−2,1，即P2的横坐标为−2=−21，
∵P2P3∥y轴，
∴P3的横坐标为−2=−21，且P3在直线y=x上，
∴y=−2，
∴P3−2,−2，
∵P3P4∥x轴，
∴P4的纵坐标=P3的纵坐标=−2，且P4在直线y=−12x上，
∴−2=−12x，
∴x=4，
∴P44,−2，即P4的横坐标为4=22，
∵P4P5∥y轴，
∴P5的横坐标为4=22，且P5在直线y=x上，
即：P1的横坐标为1，
P2的横坐标为−21，P3的横坐标为−21，
P4的横坐标为22，P5的横坐标为22，
用同样的方法可得：
P6的横坐标为−23，P7的横坐标为−23，
P8的横坐标为24，P9的横坐标为24，
……，
∴P4n的横坐标为22n，
∴P12的横坐标为22×3=26，P13的横坐标为26，
∴P14的横坐标为−27，P15的横坐标为−27．
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，规律型：点的坐标，有理数乘方的应用，列代数式等知识点．正确地找出点的横坐标的规律是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．(3分)（2023春·江苏淮安·八年级校考期末）若一次函数y=2x−5的图像过点a，b，则b−2a+1= ．
【答案】−4
【分析】先把点a,b代入一次函数y=2x−5，得到b=2a−5，然后代入代数式计算即可．
【详解】解：∵一次函数y=2x−5的图像过点a，b，
∴b=2a−5，
∴b−2a+1=2a−5−2a+1=−4．
故答案为：−4．
【点睛】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特点、代数式求值等知识点，掌握凡是函数图像经过的点必能满足解析式是解答本题的关键．
12．(3分)（2023春·江苏南通·八年级统考期中）若一次函数y=kx+b与y=mx的图象交于点2,4，则关于x的方程2k+bx=mx+m的解为x= ．
【答案】1
【分析】由一次函数y=kx+b与y=mx的图象交于点2,4得到2k+b=2m，代入方程2k+bx=mx+m即可求出方程的解．
【详解】解：∵一次函数y=kx+b与y=mx的图象交于点（2，4），
∴当x=2时，kx+b=mx，m≠0，
∴2k+b=2m，
由2k+bx=mx+m得2mx=mx+m，
∵m≠0，
∴x=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，解题的关键是根据图象的交点得到2k+b=2m．
13．(3分)（2023春·上海长宁·八年级上海市第三女子初级中学校考期中）一次函数y=k+3x+k+1的图象不经过第二象限，则k的取值范围是 ．
【答案】−3【分析】已知中，一次函数y=k+3x+k+1的图象不经过第二象限，可判断即k+3>0，且k+1<0，解之可得k的取值范围．
【详解】解：∵一次函数y=k+3x+k+1的图象不经过第二象限，
∴k+3>0k+1<0
解得：−3故答案为：−3【点睛】本题是对一次函数的图象与系数的关系，解不等式组解．熟练掌握根据一次函数图象经过的象限得出不等式组是解题的关键．
14．(3分)（2023春·浙江绍兴·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为2,0，1,2，直线l的函数表达式为y=kx+4−3kk≠0．若线段AB与直线l没有交点，则k的取值范围是 ．
【答案】k<0或04
【分析】分别利用当直线y=kx+4−3kk≠0过点B1,2时，k值最小，当直线y=kx+4−3kk≠0过点A2,0时，k值最大，即可求出线段AB与直线l有交点时，k的取值范围，据此即可求解．
【详解】解：当直线y=kx+4−3kk≠0过点B1,2时，k值最小，
则k+4−3k=2，解得k=1，
当直线y=kx+4−3kk≠0过点A2,0时，k值最大，
则2k+4−3k=0，解得k=4，
故线段AB与直线l有交点时，k的取值范围为1≤k≤4，
故线段AB与直线l没有交点时，k的取值范围为k<0或04，
故答案为：k<0或04．
【点睛】本题考查了直线相交或平行问题，熟练掌握直线相交或平行问题的特点是解题的关键．
15．(3分)（2023春·山东德州·八年级统考期末）如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为A(−4,0)，B(−2,−1)，C3,0，D0,3，当过点B的直线l将四边形ABCD的面积分成面积相等的两部分时，则直线l的函数表达式为 ．
【答案】y=54x+32
【分析】先求出四边形ABCD的面积为14，然后根据当直线l与x轴平行时，直线l不能平分四边形ABCD的面积，可设直线l的解析式为y=kx+b，即可求出直线l的解析式为y=kx+2k−1，则直线l与x轴的交点坐标为（1−2kk，0），求出直线CD的解析式为y=−x+3，则直线l与直线CD的交点坐标为（4−2kk+1，5k−1k+1），再由过点B的直线l将四边形ABCD的面积分成面积相等的两部分，得到7=12×3−1−2kk×5k−1k+1+1，由此即可得到答案．
【详解】解：∵A（-4，0），B（-2，-1），C（3，0），D（0，3），
∴AC=7，
∴S四边形ABCD=12AC⋅OD+12AC⋅−yB=14，
∵当直线l与x轴平行时，直线l不能平分四边形ABCD的面积，
∴可设直线l的解析式为y=kx+b，
∴−2k+b=−1，
∴b=2k−1，
∴直线l的解析式为y=kx+2k−1，
∴直线l与x轴的交点坐标为（1−2kk，0）
∵点C坐标为（3，0），点D坐标为（0，3），
∴直线CD的解析式为y=−x+3，
∵当k=−1时，直线l与直线DC平行，此时直线l不可能平分四边形ABCD的面积
∴联立y=kx+2k−1y=−x+3，
解得x=4−2kk+1y=5k−1k+1，
∴直线l与直线CD的交点坐标为（4−2kk+1，5k−1k+1），
∵过点B的直线l将四边形ABCD的面积分成面积相等的两部分，
∴7=12×3−1−2kk×5k−1k+1+1，
解得k=54或k=0（舍去），
∴直线l的解析式为y=54x+32 ，
故答案为：y=54x+32．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的相关知识．
16．(3分)（2023春·福建莆田·八年级校考期末）如图，有一种动画程序，在平面直角坐标系屏幕上，直角三角形是黑色区域（含直角三角形边界），其中A1,1，B2,1，C1,3，用信号枪沿直线y=3x+b发射信号，当信号遇到黑色区域时，区域便由黑变白，则能够使黑色区域变白的b的取值范围是 ．

【答案】−5≤b≤0
【分析】根据直线的解析式可知此直线必然经过一三象限，当经过点B时b的值最小，当经过点C时b的值最大，由此可得出结论．
【详解】解：∵直线y=3x+b中，k=3>0，
∴此直线必然经过一三象限．
∵A1,1，B2,1，C1,3，
∴当经过点B时，1=6+b，解得b=−5；
当经过点C时，3=3+b，解得b=0，
∴−5≤b≤0．
故答案为：−5≤b≤0．
【点睛】此题主要考查是一次函数的图象和性质，解答此类题目时一定要注意数形结合的运用．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．(6分)（2023春·广西贵港·八年级校考期末）已知函数y=2m+1x+m−3．
(1)若函数图象经过原点，求m的值；
(2)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围；
(3)若这个函数是一次函数，且图象不经过第四象限，求m的取值范围．
【答案】(1)m=3
(2)m<−12
(3)m≥3
【分析】（1）根据待定系数法，只需把原点代入即可求解；
（2）直线y=kx+b中，y随x的增大而减小说明k<0；
（3）根据图象不经过第四象限，说明k>0且b≥0，即2m+1>0且m−3≥0，建立健全不等式组求解即可．
【详解】（1）解：把(0,0)代入y=2m+1x+m−3，得
m−3=0，
解得∶m=3；
（2）解：∵y随x的增大而减小，
∴2m+1<0，
解得：m<−12；
（3）解：∵函数是一次函数，且图象不经过第四象限，即：k>0，b>0，
2m+1>0m−3≥0
解得：m≥3．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，能够熟练运用待定系数法确定待定系数的值，还要熟悉在直线y=kx+b中，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小．能够根据k，b的符号正确判断直线所经过的象限．
18．(6分)（2023春·新疆喀什·八年级统考期末）已知y+2与x成正比例函数关系，且x=3时，y=7．
(1)写出y与x之间的函数解析式；
(2)求当x=−3时，y的值；
(3)求当y=4时，x的值．
【答案】(1)y=3x−2
(2)y=−11
(3)x=2
【分析】（1）根据y+2与x成正比例函数关系设出函数的解析式，再把x=3，y=7代入函数解析式即可求出k的值，进而求出y与x之间的函数解析式．
（2）根据（1）中所求函数解析式，将x=−3代入其中，求得y值；
（3）利用（1）中所求函数解析式，将y=4代入其中，求得x值．
【详解】（1）解：依题意得：设y+2=kx．
将x=3，y=7代入：得k=3
所以，y=3x−2．
（2）由（1）知，y=3x−2，
∴当x=−3时，y=3×−3−2=−11，即y=−11；
（3）由（1）知，y=3x−2，
∴当y=4时，4=3x﹣2，
解得，x=2．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式．利用待定系数法求一次函数的解析式，关键是掌握待定系数法．
19．(8分)（2023春·山东东营·八年级统考期末）已知：同一个坐标系中分别作出了一次函数y=k1x+b1和y=k2x+b2的图象，分别与x轴交于点A，B，两直线交于点C．已知点A−1,0，B2,0，C1,3，请你观察图象并结合一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的相关知识回答下列问题：

(1)关于x的方程k1x+b1=0的解是_______；关于x的方程k2x+b2=0的解是________；
(2)请直接写出关于x的不等式k1x+b1≥k2x+b2的解集；
(3)请直接写出关于x的不等式组k1x+b1>0k2x+b2>0的解集．
(4)求△ABC的面积．
【答案】(1)x=−1，x=2
(2)x≥1
(3)−1(4)92
【分析】（1）利用直线与x轴交点即为y=0时，对应x的值，进而得出答案；
（2）利用两直线交点坐标，结合图象得出答案；
（3）根据函数图像分别解不等式，再取公共部分即可；
（4）利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）∵一次函数y=k1x+b1和y=k2x+b2的图象，分别与x轴交于A−1,0，B2,0，
∴关于x的方程k1x+b1=0的解是x=−1；
关于x的方程k2x+b2=0的解是x=2；
（2）∵一次函数y=k1x+b1和y=k2x+b2的图象交于点C1,3
∴根据图象可以得到：关于x的不等式k1x+b1≥k2x+b2的解集为x≥1；
（3）根据图象可以得到：关于x的不等式k1x+b1>0的解集为x>−1，
关于x的不等式k2x+b2>0的解集为x<2
∴关于x的不等式组k1x+b1>0k2x+b2>0的解集为−1（4）∵A−1,0，B2,0，
∴AB=2−−1=3
∴△ABC的面积=12×AB×yC=12×3×3=92．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式，一次函数与不等式组，正确利用数形结合解题是解题关键．
20．(8分)（2023春·上海闵行·八年级校考期中）本市城镇居民年度生活天然气收费标准如下表所示：
根据表格信息回答问题：
(1)一同学家2021年度截止到4月已使用328立方米天然气，求至2021年4月，此同学家中使用燃气总共花费多少钱？
(2)试写出缴纳燃气总费用y（元）关于燃气使用量x（立方米）(310(3)如果该同学家2020年度天然气总缴费1665元，求该同学家2020年度天然气使用总量．
【答案】(1)此同学家中使用燃气总共花费989.4元
(2)y=3.3x−93310(3)该同学家2020年度天然气使用总量为530立方米
【分析】（1）根据表格中的收费标准直接列式计算即可；
（2）根据第一阶段和第二阶段的收费标准列函数关系式即可；
（3）首先求出天然气使用量是520立方米时的费用，可得该同学家2020年度天然气总使用量超过了520立方米，然后求出第三阶段天然气使用量再加上520即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得：310×3+328−310×3.3=989.4（元），
答：此同学家中使用燃气总共花费989.4元；
（2）解：由题意得：y=310×3+x−310×3.3=3.3x−93310（3）解：由（2）知，y=3.3x−93310当x=520时，y=3.3x−93=1623，
∵1665>1623，
∴该同学家2020年度天然气总使用量超过了520立方米，
1665−1623÷4.2+520=530（立方米），
答：该同学家2020年度天然气使用总量为530立方米．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，正确理解收费标准，列出函数关系式是解题的关键．
21．(8分)（2023春·江苏南通·八年级统考期中）定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于n(n>0)的点，叫做该函数图象的“n阶和点”.例如，2,1为一次函数y=x−1的“3阶和点”．
(1)若点−1,−1是y关于x的正比例函数y=mx的“n阶和点”，则m= ______ ，n= ______ ；
(2)若y关于x的一次函数y=kx−2的图象经过一次函数y=x+3图象的“5阶和点”，求k的值；
(3)若y关于x的一次函数y=nx−4的图象有且仅有2个“n阶和点”，求n的取值范围．
【答案】(1)1，2
(2)6或−14
(3)n>4或1【分析】（1）利用待定系数法和“n阶和点”的都有即点即可；
（2）利用分类讨论的方法和“5阶和点”的定义求得“5阶和点”，再利用待定系数法解答即可；
（3）利用一次函数的性质确定y关于x的一次函数y=nx−4的图象经过第一、三、四象限，再利用分类讨论的方法和“n阶和点”的定义，求得x的值，进而得到关于n的不等式，解不等式求得n的取值范围，再利用已知条件即可得出结论．
【详解】（1）解：∵点−1,−1是y关于x的正比例函数y=mx的点，
∴−m=−1，
∴m=1，
∵点−1,−1到两坐标轴的距离之和等于2，
∴点−1,−1是y关于x的正比例函数y=mx的“2阶和点”，
∴n=2．
故答案为：1；2；
（2）设一次函数y=x+3图象的“5阶和点”为a,b，则a+b=5，b=a+3，
一次函数y=x+3图象经过第一、二、三象限，
当a,b在第一象限时，a+b=5，
∴a=1，b=4，
∴一次函数y=x+3图象的“5阶和点”为（1,4），
∴k−2=4，
∴k=6；
当a,b在第二象限时，−a+b=5，由于b=a+3，此种情形不存在；
当a,b在第三象限时，−a−b=5，
∴a=−4，b=−1，
∴一次函数y=x+3图象的“5阶和点”为−4,−1，
∴−4k−2=−1，
∴k=−14．
综上，y关于x的一次函数y=kx−2的图象经过一次函数y=x+3图象的“5阶和点”，k的值为6或−14；
（3）由题意得：n>0，
∵−4<0，
∴y关于x的一次函数y=nx−4的图象经过第一、三、四象限，
设M(x，y)为y关于x的一次函数y=nx−4的图象的“n阶和点”，
∴x+y=n，
①当M在第一象限时，x+y=n，
∴x+nx−4=n，
∴x=n+4n+1，
∵n>0，
∴n+1>0，n+4>0，
∴x>0，符合题意，
∴当M在第一象限时，n>0；
②当M在第三象限时，−x−y=n，
∴−x−nx+4=n，
∴x=4−nn+1<0，
∵n>0，
∴n+1>0，
∴4−n<0，
∴n>4；
∴当M在第三象限时，n>4；
③当M在第四象限时，x−y=n，
∴x−nx+4=n，
∴x=n−41−n>0，
∴1∴当M在第四象限时，1∵y关于x的一次函数y=nx−4的图象有且仅有2个“n阶和点”，
∴以上①②③三个条件中同时满足其中两个即可，
当满足①②不满足③时，n>4；
当满足①③不满足②时，1当满足②③不满足①时，n的值不存在，
综上，y关于x的一次函数y=nx−4的图象有且仅有2个“n阶和点”，n的取值范围为n>4或1【点睛】本题主要考查了一次函数的图形与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，本题是新定义型，理解新定义并熟练运用是解题的关键．
22．(8分)（2023春·吉林长春·八年级校考期末）一艘轮船在航行中遇到暗礁，船身有一处出现进水现象，等到发现时，船内已有一定积水，船员立即开始自救，一边排水一边修船，在整个过程中进水速度不变，同时修船过程中排水速度不变，船修好后不再进水，此时的排水速度与修船过程中进水速度相同，直到将船内积水排尽，设轮船触礁后船舱内积水量为yt，时间为xmin，y与x之间的函数图象，如图所示．

(1)修船过程中排水速度为 t/min，a的值为 .
(2)求修船完工后y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(3)当船内积水量是船内最高积水量的34时，直接写出x的值．
【答案】(1)1；24
(2)y=−4x+9613≤x≤24
(3)x=283或x=634
【分析】（1）先求出进水速度，再求出排水速度，最后根据船修好后不再进水，此时的排水速度与修船过程中进水速度相同，求出排水完成所用时间即可得出答案；
（2）利用待定系数法求出函数关系式，并求出自变量x的取值范围即可；
（3）分修船过程中和修完船后两种情况进行解答即可．
【详解】（1）解：进水速度为：205=4t/min，
排水速度为：13−5×4−44−2013−5=1t/min，
∵船修好后不再进水，此时的排水速度与修船过程中进水速度相同，
∴a=13+44÷4=24；
故答案为：1；24．
（2）解：设修船完工后y与x之间的函数关系式为y=kx+bk≠0，根据题意得：
24k+b=013k+b=44，
解得：k=−4b=96，
∴修船完工后y与x之间的函数关系式为y=−4x+9613≤x≤24；
（3）解：设修船过程中y与x之间的函数关系式为y=k′x+b′k′≠0，根据题意得：
5k′+b′=2013k′+b′=44，
解得：k=3′b=5′，
∴修船过程中y与x之间的函数关系式为y=3x+55≤x≤13
当修船过程中，船内积水量是船内最高积水量的34时，根据题意得：
3x+5=44×34，
解得：x=283；
当船修好后不再进水，船内积水量是船内最高积水量的34时，根据题意得：
−4x+96=44×34，
解得：x=634；
综上分析可知，当x=283或x=634时，船内积水量是船内最高积水量的34．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，从函数图象中获得有用的信息，熟练掌握待定系数法．
23．(8分)（2023春·广东珠海·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴相交于点P，直线l上的两点A(1，a)，B(b，1)满足a−3+b+1=0，将线段AB向右平移5个单位长度得到线段DC．

(1)点C的坐标为_________；
(2)连接AD，BC，AC，点Q是x轴上一点（不与点P重合），连接AQ，交BC于点E．
①当AC恰好平分∠DAQ时，试判断∠AQP与∠ACB有什么数量关系？并说明理由；
②设点Q(t，0)，记三角形ABQ的面积为S，三角形AOC的面积为S0．当S=811S0时，求点Q的坐标．
【答案】(1)(4，1)
(2)①∠AQP=2∠ACB，理由见解析；②(2，0)或(−6，0)
【分析】（1）由a−3+b+1=0得a=3，b=−1，从而求出点B(−1，1)，再由B(−1，1)向右平移5个单位得C(4，1)；
（2）①由角平分线的定义可得∠DAQ=2∠DAC，再由平移的性质得AD∥BC，由平行线的性质知∠ACB=∠DAC，∠AQP=∠DAQ，从而可得∠AQP=2∠ACB；
②令直线l的解析式为y=kx+b，将点A(1，3)，B(−1，1)代入求出，直线l的解析式为y=x+2，再求出点P(−2，0），求出S0=3×4−12×4×1−12×3×1−12×3×2=112，
S=S△APQ−S△BPQ =12|t+2|×3−12|t+2|×1 =|t+2|，最后结合S=811S0，求出t即可．
【详解】（1）解：∵ a−3+b+1=0，
∴ a=3，b=−1，
∵ A(1，a)，B（b，1），
∴ A(1，3)，B(−1，1)，
∵B向右平移5个单位得到C，
∴ C(4，1)
故答案为：(4，1)．
（2）①∠AQP=2∠ACB．理由如下：
∵AC平分∠DAQ，
∴∠DAQ=2∠DAC，
∵AB向右平移5个单位得到CD，
∴AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，∠AQP=∠DAQ
∴ ∠AQP=2∠ACB．
②令直线l的解析式为y=kx+b，
∵ A(1，3)，B(−1，1)在直线l上，
∴ k+b=3−k+b=1，解得k=1b=2
∴直线l的解析式为y=x+2，
当y=0时，x=−2
∴P(−2，0）
∵ A(1，3)，C(4，1)，
∴S0=3×4−12×4×1−12×3×1−12×3×2=112，
如图，连接BQ，

∵ Q(t，0)，A(1，3)，B(−1，1)，P(−2，0），
∴S=S△APQ−S△BPQ
=12|t+2|×3−12|t+2|×1
=|t+2|
∵ S=811S0，
∴ |t+2|=811×12，
解得t=2或t=−6
∴Q点坐标为(2，0)或(−6，0)．
【点睛】本题考查了用坐标表示点的平移，平行线的性质，待定系数法求一次函数解析式，平面直角坐标系内图形面积等知识点，掌握待定系数法求一次函数解析式及直角坐标系内图形面积的求法是解题关键，此题应为压轴题．阶段
使用量（立方米）
单价（元/立方米）
第一阶段
0−310（含）
3.00
第二阶段
310−520（含）
3.30
第三阶段
超过520
4.20