中考数学一轮复习专题4.9 基本平面图形章末拔尖卷（北师大版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习专题4.9 基本平面图形章末拔尖卷（北师大版）（解析版），共25页。
参考答案与试题解析
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023上·四川德阳·七年级四川省德阳市第二中学校校考阶段练习）如果同一平面内有三条直线，那么它们交点个数是（ ）个．
A．3个B．1或3个C．1或2或3个D．0或1或2或3个
【答案】D
【分析】根据三条直线是否有平行线分类讨论即可．
【详解】解：当三条直线平行时，交点个数为0；
当三条直线相交于1点时，交点个数为1；
当三条直线中，有两条平行，另一条分别与他们相交时，交点个数为2；
当三条直线互相不平行时，且交点不重合时，交点个数为3；
所以，它们的交点个数有4种情形．
故选：D．
【点睛】本题考查多条直线交点问题，解题关键是根据三条直线中是否有平行线和是否交于一点进行分类讨论．
2．（3分）（2023下·安徽合肥·七年级校考期末）过多边形的一个顶点可以作3条对角线，则这个多边形的边数是（ ）．
A．五B．六C．七D．八
【答案】B
【分析】过n边形的一个顶点可以作n−3条对角线，据此解答即可．
【详解】解：∵过多边形的一个顶点可以作3条对角线，
∴这个多边形的边数为3+3=6；
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形的对角线，掌握过n边形的一个顶点可以作n−3条对角线是解题关键．
3．（3分）（2023上·重庆江津·七年级统考期末）如图1，线段OP表示一条拉直的细线，A、B两点在线段OP上，且OA:AP=2:3，OB:BP=3:7.若先固定A点，将OA折向AP，使得OA重叠在AP上；如图2，再从图2的B点及与B点重叠处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比是（ ）
A．1:1:2B．2:2:5C．2:3:4D．2:3:5
【答案】D
【分析】设OB=3x，依次表示出BP、OA、AP、AB的长度，折叠后从点B处剪开得到AB段为2x，OB=3x，BP=5x，即可得到比值.
【详解】设OB=3x，则BP=7x，
∴OP=OB+BP=10x，
∵OA:AP=2:3，
∴OA=4x，AP=6x，
∴AB=OA-OB=x，
将OA折向AP，使得OA重叠在AP上，再从点B重叠处一起剪开，
得到的三段分别为：2x、3x、5x，
故选：D.
【点睛】此题考查线段的和差计算，设未知数分别表示各段的长度使分析更加简单，注意折叠后AB段的长度应是原AB段的2倍，由此计算即可.
4．（3分）（2023上·江苏南京·七年级校联考期中）图案的地砖，要求灰、白两种颜色面积大致相同，那么下面最符合要求的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设正方形边长为2a，依次表示出每个图形灰色和白色区域的面积，比较即可得出结论．
【详解】设正方形边长为2a，则：
A、灰色区域面积=正方形面积－圆的面积=(2a)2−πa2=(4−π)a2 ，白色区域面积=圆面积=πa2，两者相差很大；
B、灰色区域面积=正方形面积－圆的面积=(2a)2−πa2=(4−π)a2 ，白色区域面积=圆面积=πa2，两者相差很大；
C、色区域面积=正方形面积－圆的面积=(2a)2−πa2=(4−π)a2 ，白色区域面积=圆面积=πa2，两者相差很大；
D、灰色区域面积=半圆的面积－正方形面积=12π(2a)2−(2a)2=(2π−4)a2 ，白色区域面积=正方形面积－灰色区域面积=(2a)2−(2π−4)a2=(8−2π)a2，两者比较接近．
故选D．
【点睛】本题考查了正方形面积和圆的面积公式．仔细观察图象，得出灰色、白色、正方形、圆的面积之间的关系是解答本题的关键．
5．（3分）（2023上·重庆开州·七年级统考期末）如图，已知∠COB=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD=20°，则∠AOD的度数为（ ）
A．40°B．45°C．60°D．75°
【答案】C
【分析】设∠COB=2∠AOC=2x，则∠AOB=3x，根据角平分线的定义可以推出∠COD=0.5x，结合∠COD=20°，即可求出x的值，进而得到∠AOD的度数．
【详解】解：∵∠COB=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD=20°，
∴设∠COB=2∠AOC=2x，则∠AOB=3x，
∴∠AOD=∠BOD=1.5x
∴∠COD=∠COB−∠BOD=0.5x，
∴0.5x=20°，
解得：x=40°，
∴∠AOD=1.5x=1.5×40°=60°，
故选：C．
【点睛】本题考查的是角度计算，涉及到角平分线的定义以及方程思想，熟练掌握角平分线的定义并灵活运用是解答本题的关键．
6．（3分）（2023上·河北张家口·七年级统考期末）如图，在线段MN上有P、Q两点，PQ长度为2cm，MN长为整数，则以M、P、Q、N为端点的所有线段长度和可能为（ ）

A．19cmB．20cmC．21cmD．22cm
【答案】B
【分析】根据题意可知，所有线段的长度之和是MP+MQ+MN+PQ+PN+QN，然后根据PQ=2cm，线段MN的长度是一个正整数，可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
图中以M、P、Q、N这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是：MP+MQ+MN+PQ+PN+QN
MP+PQ+QN+MQ+PN+MN
=MN+MN+PQ+MN
=3MN+PQ
∴以M、P、Q、N为端点的所有线段长度和为长度为3的倍数多2，
∴以M、P、Q、N为端点的所有线段长度和可能为20．
故选B．
【点睛】本题考查两点间的距离，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
7．（3分）（2023上·山东枣庄·七年级校考期末）已知α=36°18′，β=36.18°，γ=36.3°，下面结论正确的是（ ）
A．α＜γ＜β B．γ>α=β C．α=γ>β D．γ＜α＜β
【答案】C
【分析】将α=36°18′转化为36.3°，即可得出答案．
【详解】由α=36°18′=36°+18÷60°=36°+0.3°=36.3°，
又因为β=36.18°，γ=36.3°，
所以α=γ>β．
故选：C．
【点睛】此题考查了角的大小的比较，掌握角的度、分、秒之间的转化是解题的关键．
8．（3分）（2023上·重庆酉阳·七年级统考期末）如图是一个时钟某一时刻的简易图，图中的12条短线刻度位置是时钟整点时时针（短针）位置，根据图中时针和分针（长针）位置，该时钟显示时间是（ ）
A．10∼11点B．7∼8点C．5∼6点D．2∼3点
【答案】A
【分析】先根据每个刻度间的角度确定12点或6点的位置，即可确定此时的时间．
【详解】解：由图知：时针转动了4小格，每一小格代表：412×5×360°=24° ，
即时针转了24°，
∵分针每转动1°，时针转动112° ，由此知：
分针转动：24°÷112=288° ，
由每一大格对应30°知：288°÷30°=935 ，
即分针走了9大格，3个小格，从而确定12点位置：
由此确定此时是10点48分；
故答案为：A．
【点睛】此题考查角度的计算，根据指针的位置确定12点是关键．
9．（3分）（2023上·重庆·七年级校考期末）已知点C在线段AB上，AC=2BC，点D，E在线段AB上，点D在点E的左侧．若AB=2DE，线段DE在线段AB上移动，且满足关系式AD+ECBE=32，则CDCB的值为（ ）
A．5B．1714C．1714或56D．1110
【答案】B
【分析】设BC=x，则AC=2BC=2x，求得AB=3x，设CE=y，当点E在线段BC之间时，得到AE=2x+y，BE=x−y，求得y=27x，进而即可求出CDCB；当点E在线段AC之间时，同理可求出与条件不符，故舍去；
【详解】设BC=x，则AC=2BC=2x，
∴AB=3x．
∵AB=2DE，
∴DE=32x．
设CE=y，
当点E在线段BC之间时，如图，
∴AE=AC+CE=2x+y，BE=BC−CE=x−y，
∴AD=AE−DE=2x+y−32x=12x+y．
∵AD+ECBE=32，
∴12x+y+yx−y=32，
∴y=27x，
∴CD=DE−CE=32x−y=32x−27x=1714x，
∴CDCB=1714xx=1714；
当点E在线段AC之间时，如图，
∴AE=AC−CE=2x−y，
∴AD=AE−DE=2x−32x−y=12x−y，BE=x+y．
∵AD+ECBE=32，
∴12x−y+yx+y=32，
解得：y=−23x，不符合题意，舍；
综上可得CDCB=1714．
故选B．
【点睛】本题主要考查两点间的距离及线段的和与差．解答的关系是分类讨论点E的位置．
10．（3分）（2023上·山西晋中·七年级统考期末）如图，点O为线段AD外一点，点M，C，B，N为AD上任意四点，连接OM，OC，OB，ON，下列结论不正确的是（ ）
A．以O为顶点的角共有15个
B．若MC=CB，MN=ND，则CD=2CN
C．若M为AB中点，N为CD中点，则MN=12AD−CB
D．若OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∠AOD=5∠COB，则∠MON=32∠MOC+∠BON
【答案】B
【分析】由于B选项中的结论是CD=2CN,而CD=CN+ND,因此只要判断ND和CN是否相等即可，根据ND=MN,而MN>CN,因此得到ND>CN，由此得出B选项错误．
【详解】解：以O为顶点的角有6×52=15个，
所以A选项正确；
∵MN=ND，
∴ND>CN,
∴CD=CN+ND>CN+CN,即 CD>2CN,
所以B选项错误；
由中点定义可得：MB=12AB,NC=12CD,
∴MN=MB+CN−CB=12AB+12CD−CB=12AB+CD−CB，
∵AB+CD=AD+CB,
∴MN=12AD+CB−CB=12AD−CB,
所以C选项正确；
由角平分线的定义可得：∠AOC=2∠MOC,∠BOD=2∠BON,
∵∠AOD=∠AOC+∠COB+∠DOB=5∠COB,
∴2∠MOC+2∠BON+∠BOC=5∠BOC,
∴∠MOC+∠BON=2∠BOC,
∴∠MON=∠MOC+∠COB+∠BON=2∠COB+∠COB=3∠COB
32∠MOC+∠BON=32×2∠COB=3∠COB,
∴∠MON=32∠MOC+∠BON,
所以D选项正确，
所以不正确的只有B，
故选：B.
【点睛】本题综合考查了角和线段的相关知识，要求学生能正确判断角以及不同的角之间的关系，能正确运用角平分线的定义，能明确中点的定义，并能正确地进行线段之间的关系转换，考查了学生对相关概念的理解以及几何运算的能力．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023下·四川成都·七年级成都外国语学校校考开学考试）如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2023个三角形，那么这个多边形的边数为 ．
【答案】2025
【分析】从n边形的一个顶点出发作它的对角线，将n边形分成(n−2)个三角形，由此即可解决问题．
【详解】解：∵从n边形的一个顶点出发作它的对角线，将n边形分成(n−2)个三角形，
∴n−2=2023，
∴n=2025，
故答案为：2025．
【点睛】本题考查多边形的有关知识，解题的关键是掌握，从n边形的一个顶点出发作它的对角线，将n边形分成(n−2)个三角形．
12．（3分）（2023上·四川成都·七年级统考期末）如图，长方形纸片ABCD，点P在边AD上，点M，N在边CB上，连接PM，PN．将∠DPN对折，点D落在直线PN上的点D′处，得折痕PE；将∠APM对折，点A落在直线PM上的点A′处，得折痕PF．若∠MPN=30°，则∠EPF= ．
【答案】75°或105°
【分析】分两种情形：如图1中，当点N在点M的上方时，可得∠DPN+∠APM=180°−∠MPN=150°，由翻折变换的性质可知∠EPN=12∠DPN，∠FPM=12∠APM，由∠EPF=∠MPN+∠EPN+∠FPM可得答案；当点N在点M的上方时，设∠DPM=x，∠APN=y，则可以得到x+y=180°−∠MPN=150°，由翻折变换的性质可知∠DPE=12∠DPN=12x+30°，∠APF=12∠APM=12y+30°，根据∠EPF=180°−∠DPE+∠APF即可求解．
【详解】解：如图1中，当点N在点M的上方时．
∵∠MPN=30°，
∴∠DPN+∠APM=180°−∠MPN=180°−30°=150°，
由翻折变换的性质可知∠EPN=12∠DPN，∠FPM=12∠APM，
∴∠EPN+∠FPM=12×150°=75°，
∴∠EPF=∠MPN+∠EPN+∠FPM=30°+75°=105°．
当点N在点M的下方时，设∠DPM=x，∠APN=y，
则x+y=180°−∠MPN=150°，
由翻折变换的性质可知∠DPE=12∠DPN=12x+30°，∠APF=12∠APM=12y+30°，
∴∠EPF=180°−∠DPE+∠APF=180°−12x+y−30°=75°．
综上所述，满足条件的∠EPF=75°或105°．
故答案为：75°或105°．
【点睛】本题考查角的计算，翻折的性质等知识，解题关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
13．（3分）（2023上·湖北武汉·七年级校考期末）已知线段AB=8，延长BA至点C，使CB=2AB，点D、E均为线段BA延长线上两点，且BD=4AE，M、N分别是线段DE、AB的中点，当点C是线段BD的三等分点时，MN的长为 ．
【答案】15或29
【分析】分BC=23BD时和BC=13BD时两种情况，画出对应的图形分别讨论求解即可．
【详解】解：∵AB=8，CB=2AB，N是线段AB的中点，
∴CB=16，AN=BN=12AB=4，
①若BC=23BD，如图1所示：
∴BD=3AB=24，
∴AD=BD−AB=16，
∵BD=4AE，
∴AE=6，
∴DE=AD−AE=10，
∵M是线段DE的中点，
∴DM=ME=5，
∴MN=BD−DM−BN=15，
②若BC=13BD，如图：
∴BD=3BC=48，
∴AD=BD−AB=40，
∵BD=4AE，
∴AE=12，
∴DE=AD−AE=28，
∵M是线段DE的中点，
∴DM=DE2=14，
∴MN=BD−DM−BN=29；
故答案为：15或29．
【点睛】本题考查了线段的和差问题，画出线段有助于更直观地解题，注意分情况讨论．
14．（3分）（2023上·河南省直辖县级单位·七年级校联考期末）如图，∠AOB=α,OA1、OB1分别是∠AOM和∠MOB的平分线，OA2、OB2分别是∠A1OM和∠MOB1的平分线，OA3、OB3分别是∠A2OM和∠MOB2的平分线，…，OAn,OBn分别是∠An−1OM和∠MOBn−1的平分线，则∠AnOBn的度数是 ．

【答案】α2n
【分析】由角平分线性质推理得∠A1OB1=12α，∠A2OB2=α22，∠A3OB3=α23，据此规律可解答．
【详解】解：∵∠AOB=α，OA1、OB1分别是∠AOM和∠MOB的平分线，
∴∠A1OM=12∠AOM,∠B1OM=12∠BOM，
∴∠A1OB1=12(∠AOM+∠BOM)=12∠AOB=12α，
∵OA2、OB2分别是∠A1OM和∠MOB1的平分线，
∴∠A2OM=12∠A1OM,∠B2OM=12∠B1OM，
∴∠A2OB2=12(∠A1OM+∠B1OM)=12∠A1OB1=12×12∠AOB=14α=α22，
∵OA3、OB3分别是∠A2OM和∠MOB2的平分线，
∴∠A3OM=12∠A2OM,∠B3OM=12∠B2OM，
∴∠A3OB3=12(∠A2OM+∠B2OM)=12∠A2OB2=12×12∠A1OB1=12×12×12∠AOB=18α=α23，
…，由此规律得：
∠AnOBn=α2n．
故答案为：α2n．
【点睛】本题考查角平分线的性质、图形规律等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
15．（3分）（2023下·山东青岛·七年级统考期末）如图所示的七巧板起源于我国先秦时期，由古算书《周髀算经》中关于正方形的分割术，经过历代演变而成，19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”）．图2是由边长为2的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的“叶问蹬”图，则图中拍起的“腿”（即阴影部分）的面积为 ．

【答案】34/0.75
【分析】根据七巧板中各部分面积的关系可得小三角形的面积为大正方形的116，平行四边形的面积以为小三角形的面积的2倍，即可求解．
【详解】∵图2是由边长为2的正方形分割制作的七巧板拼摆成的，
∴大正方形面积=4，
由图形可知，阴影部分面积为小三角形的面积与平行四边形的面积之和，即116×4×2+116×4=34
故答案为：34．
【点睛】本题主要考查了七巧板，正方形和等腰直角三角形的性质，熟练掌握七巧板中各部分面积之间的关系是解题的关键．
16．（3分）（2023上·浙江温州·七年级统考期末）如图1，一款暗插销由外壳AB，开关CD，锁芯DE三部分组成，其工作原理如图2，开关CD绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯DE移动.图3为插销开启状态，此时连接点D在线段AB上，如D1位置.开关CD绕点O顺时针旋转180°后得到C2D2，锁芯弹回至D2E2位置（点B与点E2重合），此时插销闭合如图4.已知CD=74mm，AD2−AC1=50mm，则BE1= mm.
【答案】24
【分析】结合图形得出当点D在O的右侧时，即D1位置时，B与点E的距离为BE1，当点D在O的左侧时，即D2位置时，B与点E重合，即E2位置，得出BE1=OD1+OD2=2OD2，再由图形中线段间的关系得出D=OC1+OD2=OD2+50+OD2=74mm，即可求解．
【详解】解：由图3得，当点D在O的右侧时，即D1位置时，B与点E的距离为BE1，
由图4得，当点D在O的左侧时，即D2位置时，B与点E重合，即E2位置，
∴BE1=OD1+OD2=2OD2，
∵AD2−AC1=50mm，
∴AO−OD2−AO−OC1=50mm，
∴OC1−OD2=50mm，
∴OC1=OD2+50，
∵CD=OC+OD=OC1+OD1，
∴CD=OC1+OD2=OD2+50+OD2=74mm，
∴2OD2=24mm，
∴BE1=24mm，
故答案为：24．
【点睛】题目主要考查线段间的数量关系，理解题意，结合图形求解是解题关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023上·广东惠州·七年级惠州一中校考期末）按要求解题：
(1)A，B，M，N四点如图所示，读下列语句，按要求作出图形（不写作法）：
①连接AB；
②在线段AB的延长线上取点C，使BC=2AB；
③连接AN，BM，它们相交于点P；
(2)在（1）题图中，若AB=3cm，D为AB的中点，E为AC的中点，求DE的长．
【答案】(1)见解析
(2)DE=3cm
【分析】（1）根据题意，作出对应的线段和点即可；
（2）根据题意求得线段AC、AE、AD的长度，由图形可得DE=AE−AD，即可求解．
【详解】（1）解：如图：
（2）解：如图：
∵AB=3cm，BC=2AB，
∴BC=6cm，
∴AC=AB+BC=9cm，
又∵D为AB的中点，E为AC的中点，
∴AD=12AB=32cm，AE=12AC=92cm，
∴DE=AE−AD=3cm．
【点睛】本题考查了线段的作图方法和线段中点的性质，线段的和差的计算，解题的关键是掌握线段的作图方法以及有关线段中点的性质．
18．（6分）（2023上·甘肃白银·七年级统考期末）【问题回顾】我们曾解决过这样的问题：如图1，点O在直线AB上，OC，OD分别平分∠AOE，∠BOE，可求得∠OOD=90°．（不用求解）

【问题改编】点O在直线AB上，∠COD=90°，OE平分∠BOC．
(1)如图2，若∠AOC=50°，求∠DOE的度数；
(2)将图2中的∠COD按图3所示的位置进行放置，写出∠AOC与∠DOE度数间的等量关系，并写明理由．
【答案】(1)∠DOE=25°；
(2)∠DOE=12∠AOC．
【分析】（1）先求∠COB，利用角平分线定义再求∠COE，最终求∠DOE的度数；
（2）设∠AOC=α，再根据（1）的求解过程，用含α的式子表示两个角的数量关系．
【详解】（1）∵∠COD=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°．
∵∠AOC=50°，
∴∠BOD=40°．
∴∠COB=∠COD+∠BOD=90°+40°=130°．
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=12∠BOC=12×130°=65°．
∴∠DOE=∠COD−∠COE=90°−65°=25°．
（2）设∠AOC=α，则∠BOC=180°−α．
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=12∠BOC=12×180°−α=90°−12α．
∵∠BOD=∠COD−∠BOC=90°−180°−α=α−90°，
∴∠DOE=∠DOB+∠BOE=α−90°+90°−12α=12α．
∴将图2中的∠COD按图3所示的位置放置时，∠AOC与∠DOE度数间的等量关系为∠DOE=12∠AOC．
【点睛】本题考查了角的和差，角的平分线，平角的性质；关键是弄清角之间的关系，利用数形结合的思想求解．
19．（8分）（2023上·河南信阳·七年级统考期末）请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：
（1）观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整，其中①______________________；②______________________；
（2）实际应用：数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？
【答案】（1）①n−3；②12nn−3；（2）135个
【分析】（1）观察表可知从一个顶点出发的对角线的条数是多边形的顶点数减3，即得n-3，由此可完成①；从一个顶点可以引出n－3条对角线，则n个顶点可以引出n(n-3)条，其中每一条都重复算了一次，则可完成②；
（2）把6个组共18名学生看成18边形的顶点，不同组的两位同学之间打一个电话是这个多边形的对角线，因此问题转化为有多少条对角线的问题，由（1）中结论即可完成。
【详解】（1）由表可得，当多边形的顶点数为n时，从一个顶点出发的对角线的条数为n-3；从一个顶点可以引出n－3条对角线，则n个顶点可以引出n(n-3)条，其中每一条都重复算了一次，因此实际的对角线条数为12nn−3．
故答案为：①n−3；②12nn−3
（2）因为3×6=18（名），18名学生看成是顶点数为18的多边形，不同组的两位同学之间打一个电话是这个多边形的对角线，则由（1）可得，数学社团的同学们一共将拨打电话为12×18×18−3=135（个）．
【点睛】本题考查了多边形对角线规律及其应用，难点是理解这个规律的应用：同组三个人之间不能打电话，对应多边形的一个顶点不能与相邻的两个顶点连成对角线，因此18个人对应18个顶点，不同组的两位同学间打一个电话对应连接两顶点的一条对角线.
20．（8分）（2023上·全国·七年级专题练习）（1）如图，点C在线段AB上，点M在线段AC上，点N在线段BC上．
①已知AC=13,CB=8,，若点M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长；
②已知AC=13,CB=8,，若点M是AC的中点， BN=34BC，求线段MN的长；
③已知AC=a,CB=b,，若AM=23AC， BN=13BC，请直接写出线段MN的长（用含a，b的式子表示）；
（2）若点C在直线AB上，（1）中其他条件不变，已知AC=a,CB=35a，5AM=3CM，3BN=2CN，请直接写出线段MN的长．
【答案】（1）①10.5；②8.5；③13a+23b；（2）173200a或77200a
【分析】（1）①根据线段中点的性质可得，CM=12AC,CN=12BC，由MN=CM+CN，代入计算即可得出答案；
②由点M是AC的中点， BN=34BC，可得CM=12AC,CN=14BC，由MN＝CM+CN，代入计算即可得出答案；
③由已知AM=23AC,BN=13BC，可得CM=13AC， CN=23BC，由MN＝CM+CN，代入计算即可得出答案；
（2）由已知5AM＝3CM，3BN＝2CN，可得CM=38AC,CN=25BC，由MN＝CM+CN，代入计算即可得出答案．
【详解】解：（1）①∵点M，N分别是AC，BC的中点，
∴CM=12AC=12×13=6.5， CN=12BC=12×8=4，
∴MN＝CM+CN＝6.5+4＝10.5；
②∵点M是AC的中点， BN=34BC，
∴CM=12AC=12×13=6.5， CN=14BC=14×8=2，
∴MN＝CM+CN＝6.5+2＝8.5；
③MN=13a+23b；
∵AM=23AC,BN=13BC，
∴CM=13AC=13a,CN=23BC=23b，
∴MN=CM+CN=13a+23b；
（2）MN=173200a或77200a．
∵5AM＝3CM，3BN＝2CN，
∴CM=58AC=58a,CN=25BC=25×35a=625a，
若点C在线段AB上时，
∴MN=CM+CN=(58+625)a=173200a．
若点B在线段AC上时，MN=CM−CN=58a−625a=(58−625)a＝77200a．
综上，线段MN的长为173200a或77200a．
【点睛】本题主要考查了线段中点有关的线段的计算，认真审题，数形结合，明确线段直接的数量关系进行求解是解决本题的关键,（2）小题注意分两种情况讨论．
21．（8分）（2023下·山东济南·七年级统考期末）解答下列问题
如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．

(1)一个角的平分线 这个角的“巧分线”，（填“是”或“不是”）．
(2)如图2，若∠MPN=60°，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ= （表示出所有可能的结果探索新知）．

(3)如图3，若∠MPN=α，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ= （用含α的代数式表示出所有可能的结果）．

【答案】(1)是
(2)30°，20°或40°
(3)12α或13α或23α
【分析】（1）根据“巧分线”定义，一个角的平分线将一个角均分成两个等角，大角是这两个角的两倍即可解答；
(2)根据“巧分线”定义，分∠MPN=2∠MPQ1、∠NPQ2=2∠MPQ2、∠MPQ3=2∠NPQ3三种情况求解即可；
(3) 根据“巧分线”定义，分∠MPN=2∠MPQ1、∠NPQ2=2∠MPQ2、∠MPQ3=2∠NPQ3三种情况求解即可．
【详解】（1）解：如图1：∵OC平分∠AOB，
∴∠AOB=2∠AOC=2∠BOC,
∴根据巧分线定义可得OC是这个角的“巧分线”．
故答案为：是．

（2）解：如图3：①当∠MPN=2∠MPQ1时，则∠MPQ1=12∠MPN=12×60°=30°；
②当∠NPQ2=2∠MPQ2，则∠MPN=∠MPQ2+∠NPQ2=3∠MPQ2=60°，解得：∠MPQ2=20°；
③当∠MPQ3=2∠NPQ3，则∠MPN=∠MPQ3+∠NPQ3=32∠MPQ3=60°，解得：∠MPQ3=40°．
综上，∠MPQ可以为30°，20°，40°．
（3）解：如图3：①当∠MPN=2∠MPQ1时，则∠MPQ1=12∠MPN=12×α=α2；
②当∠NPQ2=2∠MPQ2，则∠MPN=∠MPQ2+∠NPQ2=3∠MPQ2=α，解得：∠MPQ2=13α；
③当∠MPQ3=2∠NPQ3，则∠MPN=∠MPQ3+∠NPQ3=32∠MPQ3=α，解得：∠MPQ3=23α．
综上，∠MPQ可以为α2，13α，23α．

【点睛】本题主要考查了新定义下的计算、角平分线的定义等知识点，读懂题意、理解“巧分线”的定义是解题的关键．
22．（8分）（2023上·四川成都·七年级统考期末）已知线段AB=m(m为常数)，点C为直线AB上一点（不与点A、B重合），点M、N分别在线段BC、AC上，且满足CN=3AN，CM=3BM.
(1)如图，当点C恰好在线段AB中点，且m=8时，则MN=______；
(2) 若点C在点A左侧，同时点M在线段AB上(不与端点重合)，请判断CN+2AM -2MN的值是否与m有关？并说明理由.
(3) 若点C是直线AB上一点（不与点A、B重合），同时点M在线段AB上(不与端点重合)，求MN长度 (用含m的代数式表示).
【答案】(1)6；(2) 无关，理由见解析；(3)34m.
【分析】（1）根据中点可得到AC、BC的长，再根据CN=3AN，CM=3BM，可计算出CN、CM，最后根据线段的和差关系进行计算即可；
（2）根据线段之间的关系及CN=3AN，CM=3BM，分别表示出CN、AM及MN，再进行化简即可；
（3）分情况讨论，画出图形，根据线段之间的关系计算即可.
【详解】解：（1）∵点C恰好在线段AB中点，且AB=m=8，
∴AC=BC=12AB=4，
∵CN=3AN，CM=3BM，
∴CN=34AC，CM=34BC，
∴CN=3，CM=3，
∴MN=CN+CM=3+3=6;
（2）若C在A的左边，如图所示，
∵CN=3AN，CM=3BM，
∴MN=CM－CN=3BM－3AN，
∴AM=MN－AN=3BM－3AN－AN=3BM－4AN，
∴CN +2AM－2MN=3AN+2(3BM－4AN)－2(3BM－3AN)=AN，
∴CN +2AM－2MN的值与m无关；
（3）①当点C在线段AB上时，如图所示，
∵CN=3AN，CM=3BM，
∴CN=34AC，CM=34BC，
∴MN=CM+CN=34BC+34AC=34(BC+AC)=34AB=34m；
②当点C在点A的左边，如图所示，
∵CN=3AN，CM=3BM，
∴CN=34AC，BM=14BC，
∴MN=BC－CN－BM=BC－34AC－14BC =34(BC－AC)=34AB=34m；
③当点C在点B的右边，如图所示：
∵CN=3AN，CM=3BM，
∴AN=14AC，CM=34BC，
∴MN=AC－AN－CM=AC－14AC－34BC =34(AC－BC)=34AB=34m，
综上所述，MN的长度为34m.
【点睛】本题考查线段的计算，分情况讨论，正确找出线段之间的关系是解题的关键.
23．（8分）（2023上·河北唐山·七年级统考期末）如图，点O为直线AB上一点，将斜边为CD的直角三角板的直角顶点放在点O处，OE平分∠BOC．

(1)如图1，若∠AOC=30°，求∠DOE的度数；
(2)将直角三角板绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，探究∠AOC和∠DOE度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
(3)在图1中，∠AOC=30°，OP与OD的起始位置重合，再将三角板COD绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，射线OD恰好是锐角∠BOP的三等分线，则t的值为__________秒（直接写出结果）．
【答案】(1)15°
(2)∠AOC=2∠DOE，理由见解析
(3)2或4
【分析】（1）根据邻补角互补和角平分线的定义可得∠EOC=75°，再结合∠COD是直角运用角的和差即可解答；
（2）根据角平分线的定义可得∠BOC=2∠COE，根据余角的性质可得∠COE=∠BOE=90°−∠DOE，再根据∠AOC=180°−∠BOC=180°−2∠COE并将∠COE=∠BOE=90°−∠DOE代入化简即可解答；
（3）由角∠BOP的三等分线有两条，需分∠POD=13∠POB和∠POD=23∠POB两种情况，分别根据旋转的性质列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵∠AOC=30°，
∴∠BOC=180°−∠AOC=150°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠EOC=12∠BOC=75°,
∵∠COD是直角，
∴∠DOE=∠COD−∠EOC=90°−75°=15°．
（2）解：∠AOC=2∠DOE；理由如下：
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC=2∠COE，
∵∠COD=90°，
∴∠COE=∠BOE=90°−∠DOE，
∴∠AOC=180°−∠BOC=180°−2∠COE=180°−290°−∠DOE，
∴∠AOC=2∠DOE．
（3）解：由角∠BOP的三等分线有两条，需分以下两种情况解答：
①∵射线OD恰好是锐角∠BOP的三等分线，
∴∠POD=13∠POB,
∵三角板COD绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，
∴∠POD=10t；
由（1）可得：∠BOP=180°−30°−90°=60°,
∴∠POD=13∠POB=20°，
∴10t=20，即t=2；
②∵射线OD恰好是锐角∠BOP的三等分线，
∴∠POD=23∠POB,
∵三角板COD绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，
∴∠POD=10t；
由（1）可得：∠BOP=180°−30°−90°=60°,
∴∠POD=23∠POB=40°，
∴10t=40，即t=4．
综上，当t=2或4时，射线OD恰好是锐角∠BOP的三等分线．
【点睛】本题主要考查了邻补角的性质、角平分线的定义、垂直的定义、角三等分线等知识点，灵活运用相关定义是解答本题的关键．多边形的顶点数/个
4
5
6
7
8
……
n
从一个顶点出发的对角线的条数/条
1
2
3
4
5
……
①___________
多边形对角线的总条数/条
2
5
9
14
20
……
②___________