中考数学一轮复习专题6.5 反比例函数章末七大题型总结（培优篇）（北师大版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习专题6.5 反比例函数章末七大题型总结（培优篇）（北师大版）（解析版），共41页。


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\l "_Tc10497" 【题型1 反比例函数k的几何意义】 PAGEREF _Tc10497 \h 1
\l "_Tc14487" 【题型2 反比例函数图象上点的坐标特征的运用】 PAGEREF _Tc14487 \h 7
\l "_Tc24274" 【题型3 反比例函数的图像与性质的运用】 PAGEREF _Tc24274 \h 10
\l "_Tc17878" 【题型4 反比例函数与一次函数图象的综合判断】 PAGEREF _Tc17878 \h 14
\l "_Tc14749" 【题型5 反比例函数与一次函数图象的交点问题】 PAGEREF _Tc14749 \h 18
\l "_Tc514" 【题型6 反比例函数与一次函数图象的实际应用】 PAGEREF _Tc514 \h 25
\l "_Tc8979" 【题型7 反比例函数与一次函数的其他综合运用】 PAGEREF _Tc8979 \h 32
【题型1 反比例函数k的几何意义】
【例1】（2023春·湖南衡阳·九年级校考期中）如下图，过反比例函数y=2x（x>0）图像上的一点A作y轴的平行线交反比例函数y=kx（x>0）于点B，连接OA、OB．若S△AOB=3，则k的值为（ ）

A．4B．−2C．−4D．−1
【答案】C
【分析】利用反比例函数系数k的几何意义，先求出S△AOC，再求出S△BOC，进而求出k的值即可．
【详解】解：∵点A在反比例函数y=2x（x>0）的图像上，且AB∥y轴，
∴S△AOC=12×2=1，
又∵S△AOB=3，
∴S△BOC=3−1=2，
∴12k=2，而k<0，
∴k=−4．
故选：C．

【点睛】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系数k的几何意义是正确计算的关键．
【变式1-1】（2023春·江苏无锡·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中有一个6×2的矩形ABCD网格，每个小正方形的边长都是1 个单位长度，反比例函数y=−32xx<0的图像经过格点E（小正方形的顶点），反比例函数y=52xx>0的图像经过格点F，同时还经过矩形ABCD的边CD上的G点，连接EG,FG，则△EFG的面积为 ．

【答案】47
【分析】根据题意可得xF−xE=4， 从而得到点E到y的距离为32，到x的距离为1，点F到y的距离为52，到x的距离为1，进而得到点G的横坐标为72，可求出点G到EF的距离为1−57=27，即可求解．
【详解】解：根据题意得：xF−xE=4，
∵反比例函数y=−32xx<0的图像经过格点E（小正方形的顶点），反比例函数y=52xx>0的图像经过格点F，
∴点E到y的距离为32，到x的距离为1，点F到y的距离为52，到x的距离为1，
建立平面直角坐标系，如图所示，

∴点G的横坐标为72，
对于y=52xx>0，
当x=72时，y=57，
∴点G到EF的距离为1−57=27，
∴△EFG的面积为12×27×4=47．
故答案为：47
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数的图象和性质是解决问题的前提．
【变式1-2】（2023秋·河南开封·九年级开封市第十三中学校考期末）如图，点A是反比例函数y=mx(x<0)图象上一点，AC⊥x轴于点C，与反比例函数 y=nx(x<0)图象交于点B，AC＝3BC，连接OA，OB，若△OAB的面积为2，则m+n=（ ）
A．−4B．−8C．−10D．−12
【答案】B
【分析】根据反比例函数的性质可知S△AOC=−12m，BC⋅OC=−n，再根据反比例函数的面积关系解答即可．
【详解】解：∵点A是反比例函数y=mx(x<0)图象上一点，
∴设点Ax,mx，
∵AC⊥x轴于点C，
∴点Cx，0
∴S△AOC=12⋅x⋅mx=12m，
∵m<0，
∴S△AOC=−12m,
∵AC＝3BC，
∴AB=AC−BC=2BC，
∴S△OAB=12⋅AB⋅OC=12⋅2BC⋅OC=BC⋅OC
∵点B在反比例函数y=nx(x<0)图象上，n<0，
∴BC⋅OC=n=−n，
∵△OAB的面积为2，
∴BC⋅OC=−n=2，
∴−n=2，
即n=−2，
∵S△BOC=12⋅BC⋅OC=12×2=1，
∴S△AOC=S△BOC+S△OAB=3，
∴−12m=3，
∴m=−6，
∴m+n=−6+−2=−8，
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数的面积关系，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【变式1-3】（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）如图，A、B是函数y=6x上两点，P为一动点，作PB∥y轴，PA∥x轴，下列说法正确的是（ ）
①△AOP≌△BOP；②S△AOP=S△BOP；③若OA=OB，则OP平分∠AOB；④若S△BOP=2，则S△ABP=8

A．①③B．②③C．②④D．③④
【答案】B
【分析】由点P是动点，可判断出①错误，设出点P的坐标，求出AP、BP的长，再利用三角形面积公式计算即可判断出②；利用角平分线定理的逆定理可判断③；先求出S矩形OMPN=2，进而得出mn=2，最后用三角形的面积公式解答即可．
【详解】解：∵点P是动点，
∴BP与AP不一定相等，
∴△BOP与△AOP不一定全等，故①不正确；
设P(m,n)，
∵PB∥y轴，
∴B(m,6m),A(6n,n)，
∴AP=6n−m
∴S△AOP=12·|6n−m|n=12|6−mn|
同理：S△BOP=12·|6m−n|m=12|6−mn|
∴S△AOP=S△BOP；故②正确；
如图，过点P作PF⊥OA于F，PE⊥OB于E，

∴S△BOP=12OB·PE,S△AOP=12OA·PF
∵S△AOP=S△BOP，
∴OB·PE=OA·PF
∵OA=OB，
∴PE=PF，
∵PE⊥OB,PF⊥OA
∴OP是∠AOB的平分线，故③正确；
如图，延长BP交x轴于N，延长AP交y轴于M，

∴AM⊥y轴，BN⊥x轴，
∴四边形OMPN是矩形，
∵点A，B在双曲线y=6x上，
∴S△AMO=S△ONB=3，
∵S△BOP=2，
∴S△PMO=S△PNO=1，
∴S矩形OMPN=2，
∴mn=2，
∴m=2n
∴BP=6m−n=|3n−n|=2|n|，AP=6n−m=4|n|
∴S△APB=12AP×BP=12×2|n|×4|n|=4故④错误；
故选：B．
【点睛】本题属于反比例函数与几何综合题，主要考查了反比例函数的性质、三角形面积公式、角平分线定理逆定理、矩形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线并灵活应用所学知识是解答本题的关键．
【题型2 反比例函数图象上点的坐标特征的运用】
【例2】（2021春·江苏常州·九年级统考期末）已知反比例函数的图象经过三个点（﹣3，﹣4）、（2m，y1）、（6m，y2），其中m＞0，当y1﹣y2＝4时，则m＝ ．
【答案】1
【分析】先根据反比例函数的图象经过点（﹣3，﹣4），利用待定系数法求出反比例函数的解析式为y＝12x，再由反比例函数图象上点的坐标特征得出y1＝122m＝6m，y2＝126m＝2m，然后根据y1﹣y2＝4列出方程6m﹣2m＝4，解方程即可求出m的值．
【详解】解：设反比例函数的解析式为y＝kx，
∵反比例函数的图象经过点（﹣3，﹣4），
∴k＝﹣3×（﹣4）＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝12x，
∵反比例函数的图象经过点（2m，y1），（6m，y2），
∴y1＝122m＝6m，y2＝126m＝2m，
∵y1﹣y2＝4，
∴6m﹣2m＝4，
∴m＝1，
经检验，m＝1是原方程的解．
故m的值是1，
故答案为1．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，正确求出双曲线的解析式是解题的关键．
【变式2-1】（2023秋·辽宁沈阳·九年级统考期中）已知反比例函数y=kx(k≠0)，在每一个象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（ ）
A．(2,3)B．(−2,3)C．(0,3)D．(−2,0)
【答案】B
【分析】根据反比例函数性质求出k<0，再根据k=xy，逐项判定即可．
【详解】解：∵反比例函数y=kx(k≠0)，且在各自象限内，y随x的增大而增大，,
∴k=xy<0，
A.∵2×3>0，∴点(2,3)不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
B.∵−2×3<0，∴点(−2,3)可能在这个函数图象上，故此选项符合题意；
C.∵3×0=0，∴点(0,3)不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
D.∵−2×0=0，∴点(−2,0)不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【变式2-2】（2023秋·广西北海·九年级统考期中）如图，点A是反比例函数图象上一点，则下列各点在该函数图象上的是（ ）
A．(−1,−1)B．(1,−1)C．2,12D．(−2,1)
【答案】B
【分析】先根据点A（-1，1）是反比例函数y=kxk≠0图象上一点，求出k的值，进而逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵点A（-1，1）是反比例函数y=kxk≠0图象上一点，
∴k=−1×1=−1，
A、−1×−1=1≠−1，点(−1,−1)不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意；
B、1×−1=−1，点(1,−1)在反比例函数图象上，故本选项符合题意；
C、2×12=1≠−1，点2,12不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意；
D、−2×1=−2≠−1，点(−2,1)不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数图象上各点的坐标特征，即反比例函数图象上各点坐标符合k=xy，且k为定值．
【变式2-3】（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，点A−2，3，B3，2，C(−6,m)分别在三个不同的象限，若反比例函数y=kxk≠0的图象经过其中两点则m的值为（ ）
A．1B．-1C．-6D．6
【答案】B
【分析】根据已知条件得到点A−2,1在第二象限，求得点C−6,m一定在第三象限，由于反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过其中两点，于是得到反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过B3，2，C−6,m，于是得到结论．
【详解】∵A−2,1在第二象限，B3,2在第一象限，且点A、B、C在三个不同象限，
又∵点C的横坐标为−6，
∴C−6,m在第三象限，
∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过其中两点，
∴B3,2，C−6,m两点在该反比例函数图象上，
∴2=k3m=k−6
解得k=6m=−1
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，推出点C在第三象限是解题的关键．
【题型3 反比例函数的图像与性质的运用】
【例3】（2020春·浙江温州·九年级统考期末）已知反比例函数y=kx(k≠0)，当−2≤x≤−1时，y的最大值是4，则当x≥2时，y有（ ）
A．最小值−4B．最小值−2C．最大值−4D．最大值−2
【答案】B
【分析】由函数经过第二象限，可确定k＜0，则在−2≤x≤−1上，y值随x值的增大而增大，即可确定函数的解析式为y＝−4x，由此可求解．
【详解】解：∵当−2≤x≤−1时，y的最大值是4，
∴反比例函数经过第二象限，
∴k＜0，
∴在−2≤x≤−1上，y值随x值的增大而增大，
∴当x＝−1时，y有最大值−k，
∵y的最大值是4，
∴−k＝4，
∴k＝−4，
∴y＝−4x，
当x≥2时，y＝−4x有最小值−2，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握反比例函数的图象及性质，通过所给条件确定k＜0是解题的关键．
【变式3-1】（2023秋·河南三门峡·九年级统考期末）已知反比例函数y=3x，下列结论中不正确的是（ ）
A．其图象经过点−1,−3B．其图象分别位于第一、第三象限
C．当x>1时，0【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质直接解答即可．
【详解】解：将−1,−3代入解析式，得−3=−3，故A正确，不符合题意；
由于k=3>0，则函数图象过一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，故B正确，不符合题意、D错误，符合题意；
∵x=1时，y=3，且当x>0时，y随x的增大而减小
∴当x>1时，0故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的性质．
【变式3-2】（2023秋·河南平顶山·九年级统考期末）点A−3,y1、B−1,y2、C2,y3都在反比例函数y=−6x的图像上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1【答案】D
【分析】根据反比例函数y=−6x的图像与性质，当−6<0时，在每一个象限内y随x的增大而增大，由于A−3,y1、B−1,y2在第二象限，−3<−1，则0【详解】解：∵点A−3,y1、B−1,y2、C2,y3都在反比例函数y=−6x的图像上，
∴当−6<0时，在每一个象限内y随x的增大而增大，
∵ A−3,y1、B−1,y2在第二象限，−3<−1，
∴ 0∵ C2,y3在第四象限，y3<0，
∴ y3故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数图像与性质，熟练掌握反比例函数增减性判定自变量或函数值大小的方法是解决问题的关键．
【变式3-3】（2023秋·辽宁阜新·九年级阜新实验中学校考期末）小明根据学习函数的经验，对函数y=1x−1+1的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：
(1)函数y=1x−1+1的自变量x的取值范围是______；
(2)下表列出了y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m= ______，n= ______；
(3)在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象．
(4)结合函数的图象，解决问题：
①方程1x−1+1=x的解为：______
②当函数值1x−1+1>32时，x的取值范围是：______
【答案】(1)x≠1
(2)12，3
(3)见解析
(4)①x1=0，x2=2；②1【分析】（1）根据分式有意义的条件进行求解即可；
（2）分别把x=−1，x=32代入到函数解析式中求出对应的函数值即可得到答案；
（3）先描点，再连线即可；
（4）画出对应的函数图象，然后利用图象法求解即可．
【详解】（1）解：∵y=1x−1+1要有意义，
∴x−1≠0，
∴x≠1，
故答案为：x≠1；
（2）解：当x=−1时，y=1x−1+1=y=1−1−1+1=12，
∴m=12，
当x=32时，y=1x−1+1=y=132−1+1=3，
∴n=3，
故答案为：12，3；
（3）解：如图所示，即为所求；
（4）解：①由下图函数图象可知，
直线y=x与函数y=1x−1+1交于点0，0和2，2，
∴方程1x−1+1=x的解为x1=0，x2=2，
故答案为：x1=0，x2=2；
②由下图函数图象可知当1∴当132，
故答案为：1【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确理解题意并掌握一次函数与反比例函数的相关知识是解题的关键．
【题型4 反比例函数与一次函数图象的综合判断】
【例4】（2023春·广东中山·九年级广东省中山市中港英文学校校考期中）已知一次函数y=kx+m（k，m为常数，k≠0）的图像如图所示，则正比例函数y=−kx和反比例函数y=mx在同一坐标系中的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据一次函数y=kx+m（k，m为常数，k≠0）的图像判定k＞0,m＜0,−k＜0，确定图像分布，判断即可．
【详解】根据一次函数y=kx+m（k，m为常数，k≠0）的图像判定k＞0,m＜0,−k＜0，
∴y=−kx的图像分布在二四象限，反比例函数y=mx的图像分布在二四象限，
故选D．
【点睛】本题考查了一次函数图像分布，反比例函数图像的分布，熟练掌握图像分布与k，m的关系是解题的关键．
【变式4-1】（2023春·上海静安·九年级上海市回民中学校考期中）若反比例函数y=kxx>0，y随x增大而增大，则y=kx−2的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数y=kx(x>0)，y随x增大而增大，得出k<0，则y=kx−2中，y随x的增大而减小，结合−2<0得出y=kx−2与y轴交于负半轴，即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数y=kx(x>0)，y随x增大而增大，
∴k<0，
∴y=kx−2中，y随x的增大而减小，
∵−2<0，
∴y=kx−2与y轴交于负半轴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数和反比例函数的增减性．
【变式4-2】（2023秋·湖南怀化·九年级统考期中）函数y=mx与y=mx−1m≠0在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】C
【分析】先将一次函数表达式化为一般式，再分别根据反比例函数及一次函数的图象在坐标系中的位置，对四个选项逐一分析，即可得到答案．
【详解】解：根据投影可得，一次函数表达式为y=mx−1=mx−m，
A、由反比例函数的图象在可一、三象限知m>0，则−m<0，
∴一次函数的图象经过一，三，四象限，与图象不符，
故A不符合题意；
B、反比例函数的图象在二、四象限可知当m<0，则−m>0，
∴一次函数的图象经过一，二，四象限，与图象不符，
故B不符合题意；
C、由反比例函数的图象在可一、三象限知m>0，则−m<0，
∴一次函数的图象经过一，三，四象限，与图象相符，
故C符合题意；
D、由反比例函数的图象在二、四象限可知当m<0，则−m>0，
∴一次函数的图象经过一，二，四象限，与图象不符，
故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查反比例函数和一次函数的图象比例系数的关系，掌握反比例函数和一次函数的比例系数的几何意义，是解题的关键． 反比例函数y=kx，当k>0时，图象分布在第一、三象限，当k<0时，图象分布在第二、四象限．
【变式4-3】（2023春·江苏苏州·九年级校考期中）如图所示，满足函数y=kx−k和y=kxk≠0的大致图像是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．①④
【答案】B
【分析】先根据反比例函数的图象所在的象限判断出k的符号，然后再根据k符号、一次函数的性质判断出一次函数所在的象限，二者一致的即为正确答案．
【详解】解：一次函数y=kx−k．
∵反比例函数y=kxk≠0的图象经过第二、四象限，
∴k<0，
∴−k>0，
∴一次函数y=kx−k位于第一、二、四象限；
故图①错误，图②正确；
∵反比例函数的图象经过第一、三象限，
∴k>0；
∴−k<0，
∴一次函数y=kx−k位于第一、三、四象限；
故图③正确，图④错误，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
【题型5 反比例函数与一次函数图象的交点问题】
【例5】（2023春·吉林长春·九年级吉林大学附属中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=k1x+bk1≠0的图象与反比例函数y=k2xk2≠0的图象交于Am,2、B−2,−1，与y轴交于点C．

(1)求k1、k2及b的值；
(2)△AOB的面积为______．
【答案】(1)k1的值为1，k2的值为2，b的值为1
(2)32
【分析】（1）将点B分别代入反比例函数解析式中算出k2的值，点A分别代入反比例函数解析式中算出m的值，再将然后根据待定系数法求k1、b的值；
（2）将△AOB分成△AOC和△COB，然后计算面积．
【详解】（1）解：∵点B−2,−1在反比例函数y=k2x的图象上，
∴−1=k2−2，
解得：k2=2，
∴反比例函数函数解析式为：y=2x，
又∵点Am,2在反比例函数y=k2x的图象上，
∴2=k2m=2m，
解得：m=1，
∴A1,2．
将A1,2，B−2,−1分别代入y=k1x+b中，
得到−1=−2k1+b2=k1+b，
解得k1=1b=1
∴该一次函数解析式为：y=x+1，
综上所述：k1的值为1，k2的值为2，b的值为1；
（2）令y=x+1中x=0，
得y=1,
∴C(0,1)
S△AOB=S△AOC+S△BOC
=12×OC×xA+12×OC×xB
=12×1×1+12×1×2
=32
故答案为：32．
【点睛】本题主要考查反比例函数和一次函数的结合，待定系数法式求表达式的方法，计算三角形面积需注意分割计算，掌握待定系数法是解题的关键．
【变式5-1】（2023春·河南南阳·九年级统考期中）如图，A、B两点在函数y1=mxx>0的图象上．

(1)求m的值及直线AB的解析式y2=kx+b．
(2)当kx+b≥mxx>0时，自变量x的取值范围是______．
(3)如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点为格点，请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数．
(4)请在右图中画出函数y3=mx的图象并写出当x=12时y1、y2、y3的大小关系．
【答案】(1)m=6，y=−x+7
(2)1≤x≤6
(3)3个
(4)画图见解析，y3【分析】（1）把点1,6代谢反比例函数的解析，即可求得m的值，把6,1，1,6分别代入表达式y=kx+b，即可求得直线AB的解析式；
（2）由图象即可求得；
（3）根据图象及解析式即可求得．
（4）根据题意，画出函数y=6x的图象，进而根据函数图象，即可求解．
【详解】（1）解：由图可知反比例函数过点1,6，将1,6代入y=mx，得m=6，
∴反比例函数的表达式为y=6x
将点6,1，1,6分别代入表达式y=kx+b得：k+b=66x+b=1，
解得k=−1b=7
∴直线AB的表达式为y=−x+7
（2）解：由图象可知：当1≤x≤6时，kx+b≥mx
故答案为：1≤x≤6
（3）解：格点的横坐标x的取值范围为2≤x≤5且x为整数
当x=2时，y=62=3，y=−2+7=5，此时格点的坐标为2,4
当x=3时，y=63=2，y=−3+7=4，此时格点的坐标为3,3
当x=4时，y=64=32，y=−4+7=3，此时格点的坐标为4,2
当x=5时，y=65，y=−5+7=2，此时没有格点
综上，所含格点的坐标为2,4，3,3，4,2，共3个，
（4）解：如图所示，

∴y3【点睛】本题考查了利用待定系数法求反比例函数及一次函数的解析式，利用图象求不等式的解集，格点问题，采用数形结合的思想是解决此类题的关键．
【变式5-2】（2023春·江苏淮安·九年级统考期中）如图，将反比例函数y=5x(x>0)的图象绕坐标原点0，0顺时针旋转45°，旋转后的图象与x轴相交于A点，若直线y=12x与旋转后的图象相交于B，则△OAB的面积为 ．

【答案】533
【分析】反比例函数y=5x(x>0)的图象上点E绕点O顺时针方向旋转45°得点A，过点E作EF⊥x轴于F，得出OA=OE=10，作BC⊥x轴于C，设Bx，12x，并且△OBC是由△OKH绕点O顺时针旋转45°得到的，则OH=OC=x，从而H22x，22x，可证出△KGH是等腰直角三角形，得K的坐标，代入y=5x(x>0)从而得出x的值，进而求得BC的长度，利用三角形面积公式解决问题．
【详解】解：设反比例函数y=5x(x>0)的图象上点E绕点O顺时针方向旋转45°得点A，过点E作EF⊥x轴于F，
设Ea，5a，
∵∠EOF=45°，
∴EF=OF，
∴a=5a，
∵a>0，
∴a=5，
∴OA=OE=10，
作BC⊥x轴于C，△OBC是由△OKH绕点O顺时针旋转45°得到的，
∴点K在原反比例函数图象上．
设Bx，12x，
∴OH=OC=x，
∴H22x，22x，
∴过点H作GH⊥x轴于H，KG∥x轴，

∴△KGH是等腰直角三角形，
∵KH=BC=12x，
∴KG=GH=24x，
∴K22x−24x，22x+24x，即K24x，324x，
∴ 24x⋅324x=5，
解得x=2303或x=−2303（舍)，
∴ 12x=303，
∴BC=303，
∴S△AOB=12×10×303=533．
故答案为：533．
【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得B点的坐标是解题的关键．
【变式5-3】（2023春·湖南株洲·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+bk≠0的图象与反比例函数y2=mxm≠0的图象相交于第一，三象限内的A3，5，Ba，−3，与x轴交于点C．

(1)求该反比例函数和一次函数的表达式；
(2)在y轴上找一点P使PB−PC最大，求PB−PC的最大值．
【答案】(1)反比例函数的解析式为y2=15x，一次函数的解析式为y1=x+2
(2)32
【分析】（1）依据题意，分析已知条件，利用待定系数法即可解决问题；
（2）求得直线y1与y轴的交点即为P点，此时，PB−PC=BC最大，利用勾股定理即可求得最大值．
【详解】（1）解：把A3，5代入y2=mxm≠0，
得m3=5，
∴m=15，
∴反比例函数的解析式为y2=15x，
把点Ba，−3代入y2=15x，
得15a=−3，
解得：a=−5，
∴B−5，−3，
把A3，5，B−5，−3代入y1=kx+b，
得3k+b=5−5k+b=−3，
∴k=1b=2，
∴一次函数的解析式为y1=x+2；
（2）解：一次函数的解析式为y1=x+2，令x=0，则y=0+2=2，
∴一次函数与y轴的交点为P0，2，
此时，PB−PC=BC最大，P即为所求，
令y=0，则x=−2，
∴C−2，0，
如图，过B点向x轴作垂线，
，
则D−5，0，
∴BD=3，CD=−2−−5=3，
由勾股定理可得：BC=CD2+BD2=32+32=32，
故所求PB−PC的最大值为32．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，根据点的坐标求线段长，熟练数形结合是解题的关键．
【题型6 反比例函数与一次函数图象的实际应用】
【例6】（2023春·江苏宿迁·九年级统考期末）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标y随时间x分钟）变化的函数图像如图所示，当0≤x<10和10≤x<20时，图像是线段；当20≤x≤45时，图像是反比例函数图像的一部分．

(1)求图中点A的坐标；
(2)王老师在一节数学课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．
【答案】(1)20
(2)能，理由见解析
【分析】（1）设反比例函数的解析式为y=kx，由C(20,45)求出k，可得D坐标，从而求出A的指标值；
（2）求出AB解析式，得到y≥36时，x≥325，由反比例函数y=900x可得y≥36时，x≤25，根据25−325=935>17，即可得到答案．
【详解】（1）解：设当20≤x≤45时，反比例函数的解析式为y=kx，将C(20,45)代入得：
45=k20，解得k=900，
∴反比例函数的解析式为y=900x，
当x=45时，y=90045=20，
∴D(45,20)，
∴A(0,20)，即A对应的指标值为20；
（2）解：设当0≤x<10时，AB的解析式为y=mx+n，将A(0,20)、B(10,45)代入得：
20=n45=10m+n，解得m=52n=20，
∴AB的解析式为y=52x+20，
当y≥36时，52x+20≥36，解得x≥325，
由（1）得反比例函数的解析式为y=900x，
当y≥36时，900x≥36，解得x≤25，
∴ 325≤x≤25时，注意力指标都不低于36，
而25−325=935>17，
∴张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36．
【点睛】本题考查函数图象的应用，涉及一次函数、反比例函数及不等式等知识，解题的关键是求出0≤x<10和20≤x≤45时的解析式．
【变式6-1】（2023秋·吉林通化·九年级统考期末）为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与药物点燃后的时间x（分）满足函数关系式y＝2x，药物点燃后6分钟燃尽，药物燃尽后，校医每隔6分钟测一次空气中含药量，测得数据如下表：
(1)在如图所示平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点；
(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一个反比例函数图象上，如果在同一个反比例函数图象上，求出这个反比例函数图象所对应的函数表达式，如果不在同一个反比例函数图象上，说明理由；
(3)研究表明：空气中每立方米的含药量不低于8毫克，且持续4分钟以上才能有效杀灭空气中的病菌，应用上述发现的规律估算此次消毒能否有效杀灭空气中的病菌？
【答案】(1)见解析
(2)它们在同一个反比例函数图象上，反比例函数解析式为y＝72x
(3)此次消毒能有效杀灭空气中的病菌
【分析】（1）根据表格中的x、y的值分别为点的横纵坐标描点即可；
（2）观察上述各点的分布规律，判断它们是在同一个反比例函数图象上．设反比例函数解析式为y=kx，将（6，12）代入解析式求出k即可；
（3）把y＝8代入y＝2x得x＝4，把y＝8代入y＝72x得x＝9，计算9﹣4＝5＞4，即可判断此次消毒能有效杀灭空气中的病菌．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）观察上述各点的分布规律，判断它们是在同一个反比例函数图象上．
设反比例函数解析式为y=kx，
把（6，12）代入解析式得：k＝12×6＝72，
∴反比例函数解析式为y＝72x，
分别把（12，6），（18，4），（24，3）代入y＝72x中，
都满足函数解析式，
∴这些点都在反比例函数y＝72x的图象上；
（3）把y＝8代入y＝2x得，8＝2x，
∴x＝4，
把y＝8代入y＝72x得，
72x＝8，
∴x＝9，
∵9﹣4＝5＞4，
∴此次消毒能有效杀灭空气中的病菌．
【点睛】此题考查了求函数解析式，反比例函数图象的性质，反比例函数的实际应用，正确掌握反比例函数图象上点的特点求出反比例函数解析式是解题的关键．
【变式6-2】（2023秋·河北邢台·九年级校考期末）某品牌热水器中，原有水的温度为20°C，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温y°C与开机时间x分钟满足一次函数关系），当加热到80°C时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温y°C与开机时间x分钟成反比例函数关系）．当水温降至30°C时，热水器又自动以相同的功率加热至80°C……重复上述过程，如图，根据图像提供的信息，则
（1）当0≤x≤15时，水温y°C开机时间x分钟的函数表达式 ；
（2）当水温为30°C时，t= ；
（3）通电60分钟时，热水器中水的温度y约为 ．
【答案】 y=4x+20 40 1603°C
【分析】（1）设直线解析式为y=kx+b，结合图像点(0,20)，(15,80)代入即可得到答案；
（2）设反比例函数解析式为y=kx，结合图像点(15,80)代入求出k，将y=30代入即可得到答案；
（3）根据（1）（2）解析式得到从30℃加热到80℃，需要的时间，从而得到相应时间段，然后利用第一段反比例函数求值即可得到答案．
【详解】解：（1）设直线解析式为y=kx+b，将点(0,20)，(15,80)代入可得，
b=2015k+b=80，解得k=4b=20，
故答案为：y=4x+20；
（2）设反比例函数解析式为y=kx，将点(15,80)代入可得，
k=15×80=1200，
∴y=1200x，
当y=30时，
30=1200x，解得x=40，
故答案为40；
（3）当y=30时，30=4x+20，解得x=2.5，
∴从30℃加热到80℃，需要15−2.5=12.5分钟，40+12.5=52.5，60−52.5=7.5，15+7.5=22.5，将x=22.5 代入，y=1200x，可得y=120022.5=1603．
【点睛】本题考查反比例函数图像与一次函数图像共存问题，解题的关键是求出两个解析式及周期对应的时间．
【变式6-3】（2023春·江苏南京·九年级南师附中新城初中校考期末）如图①，有一块边角料ABCDE，其中AB，BC，DE，EA是线段，曲线CD可以看成反比例函数图象的一部分．测量发现：∠A=∠E=90°，AE=5，AB=DE=1，点C到AB，AE所在直线的距离分别为2，4．

(1)小宁把A，B，C，D，E这5个点先描到平面直角坐标系上，记点A的坐标为−1,0；点B的坐标为−1,1．
请你在图②中补全平面直角坐标系并画出图形ABCDE；
(2)求直线BC，曲线CD的函数表达式；
(3)小宁想利用这块边角料截取一个矩形MNQP，其中M，N在AE上（点M在点N左侧），点P在线段BC上，点Q在曲线CD上．若矩形MNQP的面积是53，则PM=________________．
【答案】(1)见解析
(2)直线BC的函数表达式y=32x+52，曲线CD的函数表达式y=4x
(3)72
【分析】（1）根据A的坐标为−1,0，点B的坐标为−1,1补全平面直角坐标系，根据AE=5，AB=DE=1， ∠A=∠E=90°，点C到AB，AE所在直线的距离分别为2，4，AB，BC，DE，EA是线段，曲线CD是反比例函数图象的一部分画图；
（2）设线段BC的解析式为y=kx+b，把B−1,1，C1,4代入，得到k、b的方程组，解方程组得到k、b的值，即得线段BC的解析式；再设曲线CD的解析式为y=k'x，把C1,4代入，得到方程，解方程得到k'的值，即得曲线CD的解析式；
（3）设Mm,0，根据PM⊥x轴，PM⊥PQ，点P在y=32x+52上，点Q在y=4x上，用m的表达式写出点P、Q的坐标，得到线段PM、PQ的长的表达式，根据PM⋅PQ=53建立方程，解方程得到m的值，即可求出PM的长．
【详解】（1）根据点A的坐标为−1,0，点B的坐标为−1,1，补全x轴和y轴，
∵∠A=∠E=90°，AE=5，AB=DE=1，点C到AB，AE所在直线的距离分别为2，4，
∴C1,4，D4,1，
根据AB，BC，DE，EA是线段，曲线CD是反比例函数图象的一部分，画出图形ABCDE，如图所示，

（2）设线段BC的解析式为y=kx+b，
把B−1,1，C1,4代入得，
−k+b=1k+b=4，
解得，k=32b=52，
∴y=32x+52，
设曲线CD的解析式为y=k'x，
把C1,4代入得，4=k'1，k'=4，
∴y=4x；
（3）设Mm,0，则Pm,32m+52，Q432m+52,32m+52，
∴PM=32m+52，PQ=432m+52−m，
∵PM⋅PQ=32m+52432m+52−m
∴4−32m2−52m=53，
∴9m2+15m−14=0，
∴m=23，或m=−73（舍去），
∴PM=32×23+52=72．
故答案为：72．

【点睛】本题主要考查了补全平面直角坐标系，画图形，一次函数，反比例函数，矩形面积，解决问题的关键是熟练掌握依照点的坐标补全平面直角坐标系，画出坐标系中的图形，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数性质，根据点坐标写线段长的表达式，运用矩形面积公式列方程解方程．
【题型7 反比例函数与一次函数的其他综合运用】
【例7】（2023春·山东济南·九年级统考期末）如图1，点Am,6，B6,1在反比例函数y=kx上，作直线AB，交坐标轴于点M、N，连接OA、OB．

(1)求反比例函数的表达式和m的值；
(2)求△AOB的面积；
(3)如图2，E是线段AB上一点，作AD⊥x轴于点D，过点E作EF∥AD，交反比例函数图象于点F，若EF=13AD，求出点E的坐标．
【答案】(1)y=6x，m=1
(2)352
(3)点E的坐标为2,5或3,4
【分析】（1）把点B的坐标代入函数解析式即可求出k，再把点A的坐标代入函数解析式即可求出m；
（2）先根据待定系数法求出直线AB的解析式，进而可得点M的坐标，然后利用三角形面积的和差求解即可；
（3）设点E的坐标为m,−m+7，用含m的式子表示出EF，然后利用EF=13AD建立关于m的方程，解方程即可求出答案．
【详解】（1）∵B6,1在反比例函数y=kx上，
∴k=1×6=6，
∴反比例函数的表达式为y=6x，
把Am,6代入，得m=1；
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，
则6k+b=1k+b=6，解得k=−1b=7，
∴直线AB的解析式为y=−x+7，
∴直线AB与y轴的交点M的坐标为0,7，
∴△AOB的面积=S△MOB−S△MOA=12×7×6−12×7×1=352;

（3）设点E的坐标为m,−m+7，则点F的坐标为m,6m (1≤m≤6)，
∴EF=−m+7−6m，
∵AD=6，则当EF=13AD=2时，
∴−m+7−6m=2，
解这个方程，得：m1=2,m2=3，
∴点E的坐标为2,5或3,4．

【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、一次函数与反比例函数的综合以及一元二次方程的求解等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键．
【变式7-1】（2023春·黑龙江大庆·九年级统考期中）如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y=1xx>0的图象上，点B1，B2，B3，…Bn在y轴上，且∠B1OA1=∠B2B1A2=∠B3B2A3=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，直线y=x与双曲线y=1x交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3…，则Bn（n为正整数）的坐标是 ．

【答案】0,2n
【分析】如图，过A1作A1H⊥y轴于H，求解A11,1，结合题意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，想办法求出OB1，OB2，OB3，OB4，…，探究规律，利用规律解决问题即可得出结论．
【详解】解：如图，过A1作A1H⊥y轴于H，
∵y=1xy=x，其中x>0，
解得：x=1y=1，即A11,1，
∴OH=A1H=1，
∴∠A1OH=45°，
∵B1A1⊥OA1，
∴△OA1B1是等腰直角三角形，
∴OB1=2；
同理可得：△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，

同理设A2m,m+2，
∴m2+m=1，
解得m=2−1， （负根舍去）
∴OB2=2+22−2=22，
同理可得：OB3=23，
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
∴OBn=2n，
∴Bn0,2n．
故答案为：0,2n．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程的解法，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考选择题中的压轴题．
【变式7-2】（2023春·江苏苏州·九年级星海实验中学校考期中）【阅读理解】把一个函数图象上每个点的纵坐标变为原来的倒数（原函数图象上纵坐标为0的点除外）、横坐标不变，可以得到另一个函数的图象，我们称这个过程为倒数变换．

【知识运用】如图1，将y=x的图象经过倒数变换后可得到y=1x的图象（部分）．特别地，因为y=x图象上纵坐标为0的点是原点，所以该点不作变换，因此y=1x的图象上也没有纵坐标为0的点．小明在求y=x的图象与y=1x的交点时速用了开平方的定义：y=1xy=x，得x2=1，解得x=±1，则图象交点坐标为1,1或−1,−1．
【拓展延伸】请根据上述阅读材料完成：
(1)请在图2的平面直角坐标系中画出y=x+1的图象和它经过倒数变换后的图象．
(2)设函数y=x+1的图象和它经过倒数变换后的图象的交点为A，B（点A在左边），直接写出其坐标．A______，B______；
(3)设C−1,m，且S△ABC=4，求m．
【答案】(1)见解析
(2)(−2,−1)，(0,1)
(3)±4
【分析】（1）画出函数y=x+1和函数y=1x+1(x≠−1)的图象；
（2）解析式联立成方程组，解方程组即可求解；
（3）利用三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：如图所示：

（2）解y=x+1y=1x+1，得x=0y=1或x=−2y=−1，
∴A(−2,−1)，B(0,1)，
故答案为：(−2,−1)，(0,1)；
（3）∵S△ABC=4，
∴ 12×|m|×(0+2)=4，
∴m=±4．
【点睛】本题考查倒数变换，反比例函数与一次函数的交点，三角形面积．理解倒数变换的定义是解题的基础，能够熟练用描点法画图是正确画出图象的关键．
【变式7-3】（2023春·江苏泰州·九年级统考期末）在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了y= 9x (x>0)和y=−x+10的图像，两个函数图像交于A(1,9)，B(9,1)两点，在线段AB上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图像于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现PQ的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究PQ的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题：

(1)设点P的横坐标为x，PQ的长度为y，则y与x之间的函数关系式为______(1≤x≤9)；
(2)为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图像：
①列表：
表中m＝______，n＝______；
②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点；
③连线：请在图2中画出该函数的图像．观察函数图像，当x=______时，y的最大值为______．
(3)①已知某矩形的一组邻边长分别为m，n，且该矩形的周长W与n存在函数关系W=−18n+24，求m取最大值时矩形的对角线长．
②如图3，在平面直角坐标系中，直线y=− 23 x−2与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数y= 6x (x>0)上的任意一点，过点M作MC⊥x轴于点C，MD⊥y轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值．
【答案】(1)y=−x+10−9x
(2)①72，52；②见解析；③3，4
(3)①35；②12
【分析】（1）根据题意，点P的横坐标为x，PQ的长度为y，可得Px,−x+10,Qx,9x根据PQ的长等于P,Q纵坐标之差求解即可；
（2）①根据表格数据分别将x=2,x=6代入即可求得m,n的值；②根据表格数据描点即可；③根据函数图象直接求解即可
（3）由题意可知，W=2m+n，代入W=−18n+24得：m=−n+10−9n，即m=−n+10−9n+2，根据（2）的结论求得最大值，进而求得对角线的长度；
②先求出点A，点B坐标，设点M(x，6x)，,可求CA,BD, 由四边形ABCD面积=12×AC×BD列式，即可求解.
【详解】（1）∵点P的横坐标为x，PQ的长度为y，可得Px,−x+10,Qx,9x
∴ y=−x+10−9x；
故答案为：y=−x+5−1x
（2）①当x=2,m=−2+10−92=72，当x=6时，n=−6+10−96=52
故答案为：72，52；
②如图所示，

③观察函数图象， 当x=3时，y有最大值为4，故答案为: 3,4；
（3）①根据题意可得W=2(m+n)代入
W=−18n+24中，可以得到m=−n+12−9n，
即 m=−n+10−9n+2，
由(2)可知函数y=−n+10−9n在n=3时,y取得最大值为4，
∴当n=3时,m=4+2=6,即m取得最大值6，
∵32+62=35，
∴在m取得最大值6时，矩形的对角线长为35.
②∵直线y=−23x−2与坐标轴分别交于点A、B,
∴点A(−3,0), 点B(0,−2)，
设点M(x,6x)，
∴C(x,0),点D(0,6x)，
∴CA=x+3,DB=6x+2，
∵四边形ABCD面积=12×AC×BD=12×x+36x+2=−−x+10−9x+16
由(2)得,当x=3时,y=−x+10−9x有最大值为4，即−−x+10−9x有最小值−4，
∴四边形ABCD面积的最小值为−4+16=12.
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，画函数图象，根据函数图象获取信息，矩形的性质，数形结合是解题的关键．x
…
−32
−1
−12
0
12
32
2
52
3
72
…
y
…
35
m
13
0
−1
n
2
53
32
75
…
药物点燃后的时间x（分）
6
12
18
24
空气中的含药量y（毫克/立方米）
12
6
4
3
x
1
32
2
3
4
92
6
9
y
0
52
m
4
154
72
n
0