中考数学一轮复习专题7.2 平行线的性质【十大题型】（举一反三）（北师大版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习专题7.2 平行线的性质【十大题型】（举一反三）（北师大版）（解析版），共59页。


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\l "_Tc4766" 【题型1 由平行线的性质求角度】 PAGEREF _Tc4766 \h 1
\l "_Tc31178" 【题型2 由平行线的性质解决折叠问题】 PAGEREF _Tc31178 \h 5
\l "_Tc9329" 【题型3 平行线性质的实际应用】 PAGEREF _Tc9329 \h 10
\l "_Tc3945" 【题型4 由平行线的判定与性质进行证明】 PAGEREF _Tc3945 \h 13
\l "_Tc11118" 【题型5 由平行线的判定与性质进行计算】 PAGEREF _Tc11118 \h 17
\l "_Tc10120" 【题型6 由平行线的判定与性质探究角度之间的关系】 PAGEREF _Tc10120 \h 22
\l "_Tc19950" 【题型7 由平行线的判定与性质确定角度定值问题】 PAGEREF _Tc19950 \h 29
\l "_Tc10508" 【题型8 由平行线的判定与性质探究规律问题】 PAGEREF _Tc10508 \h 38
\l "_Tc4463" 【题型9 由平行线的判定与性质解决三角尺问题】 PAGEREF _Tc4463 \h 45
\l "_Tc32001" 【题型10 由平行线的判定与性质解决旋转问题】 PAGEREF _Tc32001 \h 50
【知识点 平行线的性质】
1. 两条平行被第三条直线所截同位角相等.简单说成两直线平行同位角相等.
2. 两条平行线被第三条直线所截内错角相等.简单说成两直线平行内错角相等.
3. 两条平行线被第三条直线所截同旁内角互补.简单说成两直线平行同旁内角互补.
【题型1 由平行线的性质求角度】
【例1】（2023下·福建厦门·八年级校考期中）如图，CD∥AB，OE平分∠AOD，OF⊥OE，OG⊥CD，∠CDO=50°，则下列结论：①∠AOE=65°；②OF平分∠BOD；③∠GOE=∠DOF；④∠AOE=∠GOD．其中正确的有 ．

【答案】①②③
【分析】由CD∥AB，∠CDO=50°，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠BOD的度数，∠AOE的度数；又由OF⊥OE，即可求得∠BOF的度数，得到OF平分∠BOD，由OG⊥CD，即可求得∠GOE与∠DOF的度数，得到结论
【详解】解：∵CD∥AB，∠CDO=50°，
∴∠BOD=∠CDO=50°，
∴∠AOD=180°−∠BOD=130°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE=12∠AOD=65°；
故①正确；
∵OF⊥OE，
∴∠EOF=90°，
∴∠BOF=180°−∠EOF−∠AOE=25°，
∵∠BOD=50°，
∴OF平分∠BOD；
故②正确；
∵OG⊥CD，CD∥AB，
∴OG⊥AB，
∴∠AOG=90°，
∴∠GOE=90°−∠AOE=25°，
∵∠DOF=12∠BOD=25°，
∴∠GOE=∠DOF；
故③正确；
∵∠GOE=∠DOF=25°，∠EOF=90°，
∴∠GOD=∠EOF−∠GOE−∠DOF=40°，
∵∠AOE=65°，
∴∠AOE≠∠GOD
故④错误．
故答案为：①②③
【点睛】此题考查了平行线的性质、垂线的定义以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
【变式1-1】（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期中）如图所示，已知AB∥CD，点E在线段AD上（不与点A、点D重合），连接CE，若∠C=15°，∠AEC=60°．则∠A的值为（ ）

A．45°B．75°C．46°D．76°
【答案】A
【分析】根据三角形外角的性质、平行线的性质进行求解即可．
【详解】∵∠C+∠ADC=∠AEC，
∴∠ADC=∠AEC−∠C＝60°−15°=45°，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠ADC=30°，
故选：A．
【点睛】此题考查了三角形外角的性质、平行线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．
【变式1-2】（2023下·陕西西安·八年级校考期末）如图，已知AM∥BN,∠A=60°，点P是射线AM上一动点（与A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C、D，（推理时不需要写出每一步的理由）

(1)求∠CBD的度数．
(2)当点P运动时，那么∠APB:∠ADB的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律．
【答案】(1)∠CBD=60°；
(2)不变，理由见解析
【分析】（1）由平行线的性质可求得∠ABN，再根据角平分线的定义和整体思想可求得∠CBD；
（2）由平行线的性质可得∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，再由角平分线的定义可求得结论．
【详解】（1）∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A=180°，
∴∠ABN=180°−60°=120°，
∴∠ABP+∠PBN=120°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP=120°，
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=60°；
（2）不变，∠APB:∠ADB=2:1．
∵AM∥BN，
∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN=2∠DBN，
∴∠APB:∠ADB=2:1．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质并灵活运用，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
【变式1-3】（2023上·陕西渭南·八年级统考期中）在△ABC中，点D是AC延长线上的一点，过点D作DE∥BC，∠ABC和∠ADE的平分线交于点G．

(1)如图1，若∠ACB=90°，∠A=40°，求出∠G的度数；
(2)如图2，若∠ACB≠90°，试判断∠G与∠A的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)20°
(2)∠A=2∠G，见解析
【分析】（1）先根据三角形的内角和得∠ABC=50°，分别根据角平分线的定义和三角形内角和定理得∠G的度数；
（2）根据三角形内角和定理和角平分线定义，可得∠A和∠G的关系．
【详解】（1）如图1，∵∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠ABC=50°，
∵BG平分∠ABC，
∴∠CBG=25°，
∵DE∥BC，
∴∠CDE=∠BCD=90°，
∵DG平分∠ADE，
∴∠CDF=45°，
∴∠CFD=45°，
∴∠G=∠CFD−∠CBG=45°−25°=20°；
（2）如图2，∠A=2∠G，理由是：
由（1）知：∠ABC=2∠FBG，∠CDF=∠CFD，
设∠ABG=x，∠CDF=y，
∵∠ACB=∠DCF，
∴∠A+∠ABC=∠CDF+∠CFD，即∠A+2x=2y，
∴y=12∠A+x，
同理得∠A+∠ABG=∠G+∠CDF，
∴∠A+x=∠G+y，即∠A+x=∠G+12∠A+x，
∴∠A=2∠G；
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及三角形外角性质，解决该题型题目时，利用平行线的性质找出相等（或互补）的角是关键．
【题型2 由平行线的性质解决折叠问题】
【例2】（2023下·山东青岛·八年级统考期中）按如图方式折叠一张对边互相平行的纸条，EF是折痕，若∠EFB=34°，则以下结论正确的是（ ）
①∠C′EF=34°；②∠AEC=146°；③∠BGE=68°；④∠BFD=112°

A．①③B．②④C．①③④D．②③④
【答案】C
【分析】根据平行线的性质及翻折变换的性质对各结论进行逐一分析，即可解答．
【详解】解：∵AC′∥BD′，∠EFB=34°，
∴∠C′EF=∠EFB=34°，①结论正确；
由折叠可知，∠C′EF=∠CEF=34°，
∴∠AEC=180°−∠C′EF−∠CEF=180°−34°−34°=112°，②结论错误；
∵AC′∥BD′，∠AEC=112°
∴∠BGE=180°−∠AEC=68°，③结论正确；
∵CE∥DF，且∠BGE=∠CGF=68°，
∴∠BFD=180°−∠CGF=112°，④结论正确；
所以，以上结论正确的是①③④，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，翻折的性质，解题关键是平行线的性质．
【变式2-1】（2023上·福建福州·八年级期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，∠B=50°，将△ADE沿DE折叠得到△A1DE，则∠BDA1的度数为 °．
【答案】80
【分析】由两直线平行，同位角相等推知∠ADE=∠B=50°；由折叠的性质知∠ADE=∠A1DE，结合三角形的内角和即可求得∠BDA1的度数．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B=50°.
又∵∠ADE=∠A1DE,
∴∠A1DA=2∠B,
∴∠BDA1=180°−2∠B=180°−2×50°=80°.
故答案为：80°．
【点睛】本题考查了平行线性质、翻折变换（折叠问题），折叠的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
【变式2-2】（2023下·广东佛山·八年级校考期中）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若α+β=120°，则∠EMF的度数为（ ）

A．57°B．58°C．59°D．60°
【答案】D
【分析】根据平行线的性质得到∠DEG=α，∠AFH=β，由折叠得∠DEM=2∠DEG=2α，∠AFM=2∠AFH=2β，求出∠MEF和∠MFE，然后根据三角形内角和等于180°即可求出答案．
【详解】解：∵在长方形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DEG=α，∠AFH=β，
由折叠得：∠DEM=2∠DEG=2α，∠AFM=2∠AFH=2β，
∴∠MEF=180°−2α，∠MFE=180°−2β，
∴∠EMF=180°−180°−2α−180°−2β
=2α+β−180°，
∵α+β=120°，
∴∠EMF=240°−180°=60°；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质、折叠的性质、三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握三角形内角和等于180°与轴对称的性质．
【变式2-3】（2023下·浙江台州·八年级统考期末）如图，有一张长方形纸条ABCD，AD∥BC，在线段DE，CF上分别取点G，H，将四边形CDGH沿直线GH折叠，点C，D的对应点为C′，D′，将四边形ABFE沿直线EF折叠，点A，B的对应点为A′，B′，设∠EFB=α0<α<90°．

(1)若C′、D′在直线AD的上方，当α=50°且满足C′H∥B′F时，求∠CHG的度数．
(2)在（1）的条件下，猜想直线EF和GH的位置关系，并证明
(3)在点G，H运动的过程中，若C′H∥B′F，请直接用含有α的式子表示∠CHG的度数
【答案】(1)40°
(2)EF⊥GH，理由见解析过程
(3)∠CHG=90°−a 或180°−α
【分析】（1）由折叠的性质可得：∠BFB′=2∠EFB=100°，∠CHG=12∠CHC′，由平行线的性质可得∠CHC′=∠B′FH=80°，即可求解；
（2）由平行线的性质可求∠PFH=∠CHG=40°，可求∠EFP=90°，即可得结论；
（3）分两种情况讨论，由平行线的性质和折叠的性质可求解．
【详解】（1）解：由折叠得：∠BFB′=2∠EFB=100°，∠CHG=12∠CHC′，
∴∠B′FH=180°−100°=80°，
∵C′H∥B′F，
∴∠CHC′=∠B′FH=80°，
∴∠CHG=12∠CHC′=40°；
（2）解：猜想：EF⊥GH，理由如下：
如图，过点F作FP∥HG交AD于点P，

∴∠PFH=∠CHG=40°，
∵∠EFB=50°，
∴∠EFP=180°−40°−50°=90°，
即EF⊥FP．
又∵FP∥HG，
∴EF⊥GH；
（3）解：如图，当C′、D′在直线AD的上方时，

由折叠得：∠BFB′=2∠EFB=2α，∠CHG=12∠CHC′，
∴∠B′FH=180°−2a．
∵C′H∥B′F，
∴∠CHC′=∠B′FH=180°−2a，
∴∠CHG=12∠CHC′=90°−α；
如图，当C′、D′在直线AD的下方时，

由折叠得：∠BFB′=2∠EFB=2α，∠DGH=12∠DGD′
∵AD∥BC，
∴∠BFB′=∠FPG=2α，∠DGH+∠CHG=180°，
∵C′H∥B′F，C′H∥D′G，
∴D′G∥B′F，
∴∠DGD′=∠FPG=2α．
∴∠DGH=12∠DGD′=α，
∴∠CHG=180°−a，
综上所述：∠CHG=90°−a 或180°−α．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
【题型3 平行线性质的实际应用】
【例3】（2023下·河北沧州·八年级统考期末）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面AB与CD平行，入射光线m与出射光线n平行，若入射光线m与镜面AB的夹角∠1=40°，且∠2=40°，则∠6的度数为（ ）

A．100°B．90°C．80°D．70°
【答案】A
【分析】先根据∠1和∠2的度数，求出∠5的度数，最后根据平行线的性质得出即可．
【详解】解：∵ ∠1=40°，∠2=40°，∠1+∠2+∠5=180°，
∴∠5=180°−40°−40°=100°，
∵入射光线m与出射光线n平行，
∴∠6=∠5=100°．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，能灵活运用平行线的性质定理推理是解此题的关键．
【变式3-1】（2023下·山西临汾·八年级统考期中）图①是某种青花瓷花瓶，图②是其抽象出来的简易轮廓图，已知AG∥EF，AB∥DE，若∠DEF=120°，则∠A的度数为（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
【答案】A
【分析】连接CF，根据AB∥CF，AG∥EF可得出∠CFE=∠BAG，再由平行线的性质即可得出结论．
【详解】解：连接CF，延长AG交CF于点H，作MN∥AG，如图
∵AB∥CF∥DE，∠DEF=120°
∴∠CEF=180°−120°=60°，∠AHF=∠BAG
∵AG∥EF，AG∥MN
∴∴∠AHF=∠MNF，EF∥MN
∴∠CFE=∠FNM=∠BAG=60°．
故选：A．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解题的关键．
【变式3-2】（2023·天津·天津实验中学校考模拟预测）光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，如图，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．若水面和杯底是互相平行的，且∠1=45°，∠2=122°，则∠3= °，∠4= °．
【答案】 45 58
【分析】先根据EG∥FH得出∠3的度数，再由AB∥CD得出∠ECD的度数，根据CE∥DF即可得出结论．
【详解】解：如图：
∵EG∥FH，∠1=45°，
∴∠3=∠1=45°．
∵AB∥CD，∠2=122°，
∴∠ECD=180°-122°=58°．
∵CE∥DF，
∴∠4=∠ECD=58°．
故答案是：45；58．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．解题的关键是熟练掌握平行线的性质进行解题.
【变式3-3】（2023下·吉林松原·八年级统考期中）如图1，为响应国家新能源建设，公交站亭装上了太阳能电池板．当地某一季节的太阳光（平行光线），如图2，电池板AB与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，要使AB∥CD，需将电池板CD逆时针旋转α度，α= ．0<α<90

【答案】20
【分析】先根据AB与太阳光线互相垂直，得出∠FEB=28°，再根据平行线的性质可得当AB∥CD时，∠GFD=∠FEB，即可得出结论．
【详解】解：∵AB与太阳光线互相垂直，
∴∠FEB=90°−62°=28°，
当AB∥CD时，∠GFD=∠FEB=28°，
∴需将电池板CD逆时针旋转48°−28°=20°，
故答案为：20．

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等．
【题型4 由平行线的判定与性质进行证明】
【例4】（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨风华中学校考期中）完成下面的证明：
如图，已知AB∥EF，EP⊥EQ，∠1+∠APE=90°，求证：AB∥CD．

证明：∵AB∥EF，
∴∠APE=______（__________），
∵EP⊥EQ，
∴∠PEQ=______（__________）．
即∠2+∠3=90°，
∴∠APE+∠3=90°，
∵∠1+∠APE=90°，
∴∠1=______，
∴______∥CD（__________）．
又∵AB∥EF，
∴AB∥CD（__________）．
【答案】∠2，两直线平行，内错角相等；90°，垂直定义；∠3；EF，内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条直线互相平行
【分析】先根据平行线的性质得到∠APE= ∠2，再根据余角的性质得到∠2+∠3=90°，再根据平行线的判定及性质即可得到结论．
【详解】证明：∵AB∥EF，
∴∠APE= ∠2（两直线平行，内错角相等），
∵EP⊥EQ，
∴∠PEQ= 90°（垂直定义），
即∠2+∠3=90°．
∴∠APE+∠3=90°，
∵∠1+∠APE=90°，
∴∠1= ∠3，
∴ EF ∥CD（内错角相等，两直线平行）．
又∵AB∥EF，
∴AB∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
【变式4-1】（2023下·山东潍坊·八年级阶段练习）如图所示，已知AB∥DC，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，∠CFE=∠E，试证明：AD∥BC．

【答案】见解析
【分析】根据平行线性质得出∠BAE=∠CFE，根据角平分线定义得出∠BAE=∠DAF，求出∠DAF=∠E，根据平行线的判定得出即可．
【详解】证明：∵AB∥DC，
∴∠BAE=∠CFE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAF，
∴∠CFE=∠DAF，
∵∠CFE=∠E，
∴∠DAF=∠E，
∴AD∥BC．
【点睛】本题考查了角平分线定义和平行线的性质和判定，能熟练地运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键．
【变式4-2】（2023下·贵州遵义·八年级校联考期中）如图，点A、D、E、F四点共线，已知BE∥CF，∠5=∠A，求证：∠1=∠2．完善下面的解答过程．

证明：因为∠3=∠4（已知），
所以AE∥ （ ），
所以∠EDC=∠5（ ），
因为∠5=∠A（已知），
所以∠EDC= ，
所以DC∥AB，
所以∠5+∠ABC=180°，（ ）
即：∠5+∠3+∠2=180°，
因为BE∥CF（已知），
所以∠BCF+∠3=180°，
即：∠5+∠1+∠3=180°，
因此∠1=∠2（ ）．
【答案】BC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠A，同旁内角互补；等量代换
【分析】由内错角相等，两直线平行可得AE∥BC，则有∠EDC=∠5，从而可求得∠EDC=∠A，即可得DC∥AB，∠5+∠ABC=180°，即可求证．
【详解】解：∵∠3=∠4（已知），
∴AE∥BC（内错角相等，两直线平行）．
∴∠EDC=∠5（两直线平行，内错角相等）．
∵∠5=∠A（已知），
∴∠EDC=∠A．
∴DC∥AB，
∴∠5+∠ABC=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
即：∠5+∠3+∠2=180°，
∵BE∥CF（已知），
∴∠BCF+∠3=180°，
即：∠5+∠1+∠3=180°，
∴∠1=∠2（等量代换）．
故答案为：BC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠A，同旁内角互补；等量代换
【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定定理与性质并灵活运用．
【变式4-3】（2023下·辽宁大连·八年级统考期末）如图，∠GDB+∠F=180°，∠DEF=∠B．用等式表示∠AED与∠HCK的数量关系，并证明．
【答案】∠AED=∠HCK，证明见解析
【分析】根据同角的补角相等得到∠F=∠BDF，进而证明AB∥EF得到∠BDE+∠DEF=180°，由此可得∠B+∠BDE=180°得到DE∥BC，再由平行线的性质和对顶角相等即可证明∠AED=∠HCK．
【详解】解：∠AED=∠HCK，证明如下：
∵∠GDB+∠F=180°，∠GDB+∠BDF=180°，
∴∠F=∠BDF，
∴AB∥EF，
∴∠BDE+∠DEF=180°，
∵∠B=∠DEF，
∴∠B+∠BDE=180°，
∴DE∥BC，
∴∠AED=∠ACB，
又∵∠HCK=∠ACB，
∴∠AED=∠HCK．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角相等，同角的补角相等等知识，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．
【题型5 由平行线的判定与性质进行计算】
【例5】（2023下·山西吕梁·八年级统考期中）综合与实践
如图，三角形ABC中，∠ABC=30°，∠BCA=90°，∠BAC=60°．将三角形ABC向右平移得到三角尺DEF．分别连接AD，CF，BE．
(1)线段AD与CF的数量关系和位置关系是：____________，其依据是____________；
(2)求证：∠ADF+∠BEF=90°；
(3)猜想∠BAD与∠BCF的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)AD=CF，AD∥CF；图形平移前后，连接各组对应点的线段平行且相等
(2)见解析
(3)∠BAD−∠BCF=30°．理由见解析
【分析】（1）根据平移的性质即可解答；
（2）延长CF至点G．由题意可知AD∥FG∥BE，根据平行线的性质即得出∠ADF=∠DFG，∠BEF=∠GFE，从而得出∠ADF+∠BEF=∠DFG+∠GFE=∠DFE，由三角板的特点可知∠DFE=90°，即得出∠ADF+∠BEF=90°；
（3）延长EB至H，由AD∥BE，可推出∠BAD=∠ABH．由CF∥BE，可推出∠BCF=∠CBH，从而即可得出∠BAD−∠BCF=∠ABH−∠CBH=∠ABC．由三角板的特点可知∠ABC=30°，即得出∠BAD−∠BCF=30°．
【详解】（1）AD=CF，AD∥CF；图形平移前后，连接各组对应点的线段平行且相等；
（2）证明：如图，延长CF至点G．
由平移可得：AD∥CF∥BE，
∴AD∥FG∥BE，
∴∠ADF=∠DFG，∠BEF=∠GFE，
∴∠ADF+∠BEF=∠DFG+∠GFE=∠DFE=90°，
（3）∠BAD−∠BCF=30°．理由如下：
如图，延长EB至H，
∵AD∥BE，
∴∠BAD=∠ABH，
∵CF∥BE，
∴∠BCF=∠CBH，
∴∠BAD−∠BCF=∠ABH−∠CBH=∠ABC=30°．
【点睛】本题考查平移的性质，平行线的判定和性质，三角板中的角度计算．正确的作出辅助线是解题关键．
【变式5-1】（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市萧红中学校考期中）如图，已知DE∥BC，∠ABC=105∘，点F在射线BA上，且∠EDF=125∘，则∠DFB的度数为 ．

【答案】20∘或130∘
【分析】本题考查了平行线的性质，分两种情况讨论，画出图形，分别依据平行线的性质，即可得到∠DFB的度数，解题的关键是知道分两种情况对点F讨论．
【详解】解：分两种情况：
①如图，延长ED交AB于G，

∵DE∥BC，
∴∠FGD=∠B=105°，
又∵∠EDF=125°，
∴∠DFB=125°−105°=20°；
②如图，过F作FG∥BC，

∵DE∥BC，
∴FG∥DE∥BC，
∴∠EDF+∠DFG=180°，∠B+∠BFG=180°，
又∵∠ABC=105°，∠EDF=125°，
∴∠BFG=75°，∠DFG=55°，
∴∠DFB=75°+55°=130°，
故答案为：20°或130°．
【变式5-2】（2023上·安徽合肥·八年级校考期中）如图，在△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，AD交BE于F．已知EG∥AD交BC于G，EG平分∠BEH，EH⊥BE交BC于H．

(1)求∠BFD的度数．
(2)若∠BAD=∠EBC，∠C=47°，求∠BAC的度数．
【答案】(1)45°
(2)88°
【分析】（1）由EH⊥BE得到∠BEH=90°，由EG平分∠BEH得到∠BEG=45°，进而由AD∥EG得到∠BFD=45°；
（2）由三角形的外角性质得到∠BFD=∠BAD+∠ABE，然后结合∠BAD=∠EBC得到∠ABC=∠BFD=45°，再结合∠C=47°和三角形的内角和求得∠BAC的度数．
【详解】（1）解：∵EH⊥BE，
∴∠BEH=90°，
∵EG平分∠BEH，
∴∠BEG=∠HEG=12∠BEH=45°，
又∵EG∥AD，
∴∠BFD=∠BEG=45°；
（2）解：∵∠BFD=∠BAD+∠ABE，∠BAD=∠EBC，
∴∠BFD=∠EBC+∠ABE=∠ABC=45°，
∵∠C=47°，
∴∠BAC=180°−∠ABC−∠C=180°−45°−47°=88°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，角平分线的定义，三角形的内角和与外角的性质，解题的关键是熟知平行线的性质求得∠BFD的度数．
【变式5-3】（2023下·江苏泰州·八年级校考期中）如图，在△ABC中，点D、F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上，EF与GD的延长线交于点H，∠BDH=∠B，∠AEH=∠ADH．

(1)EH与AD平行吗？为什么？
(2)若∠H=40°，求∠BAD的度数．
【答案】(1)平行，见解析
(2)40°
【分析】（1）EH∥AD，理由如下：由已知条件，∠BDH=∠B，根据平行线的判定可得AB∥GH，根据平行线的性质得∠BAD+∠ADH=180°，等量代换得到∠BAD+∠AEH=180°，即可得出答案；
（2）结合（1）根据平行线的性质即可得解．
【详解】（1）EH∥AD，理由如下：
∵∠BDH=∠B，
∴AB∥GH，
∴∠BAD+∠ADH=180°，
∵∠AEH=∠ADH，
∴∠BAD+∠AEH=180°，
∴EH∥AD；
（2）∵∠BAD+∠ADH=180°，
又∵EH∥AD，
∴∠H+∠ADH=180°，
∴∠H=∠BAD，
∵∠H=40°，
∴∠BAD=40°．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质定理是解题的关键．
【题型6 由平行线的判定与性质探究角度之间的关系】
【例6】（2023下·河北石家庄·八年级石家庄市藁城区第一中学校联考期中）如图，直线m∥n，直线PQ和直线m、n分别交于C、D两点，点A、B分别在直线m、n上，点O在直线PQ上，连接OA，OB．

(1)猜想：如图1，若点O在线段PQ上，∠OAC=25°，∠OBD=30°，则∠AOB=_____________；
(2)探究：如图1，若点O在线段PQ上，写出∠AOB，∠OAC，∠OBD之间的数量关系并说明理由；
(3)拓展：如图2，若点O在射线CP上或在射线DQ上时，写出∠AOB，∠OAC，∠OBD之间的数量关系并说明理由．
【答案】(1)55°
(2)∠AOB=∠OAC+∠OBD，理由见解析
(3)∠AOB=∠OBD−∠OAC或∠AOB=∠OAC−∠OBD，理由见解析
【分析】（1）如图所示，过点O作OE∥m，可得m∥n∥OE，根据两直线平行，内错角相等可得∠AOE=∠OAC=25°，∠BOE=∠OBD=30°，由此即可求解；
（2）证明方法同（1）；
（3）根据点的不同位置，分类讨论，①如图2，当点O在射线CP上时，过点O作OE∥m；②如图3，当点O在射线DQ上时，过点O作OE∥m；根据平行性的性质，图形结合分析，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点O作OE∥m，

∵m∥n，
∴m∥n∥OE，
∴∠AOE=∠OAC=25°，∠BOE=∠OBD=30°，
∴∠AOB=∠AOE+∠BOE=∠OAC+∠OBD=25°+30°=55°，
故答案为：55°．
（2）解：∠AOB=∠OAC+∠OBD，理由如下：
如图1，过点O作OE∥m，

∵m∥n，
∴m∥n∥OE，
∴∠AOE=∠OAC，∠BOE=∠OBD，
∴∠AOB=∠AOE+∠BOE=∠OAC+∠OBD，即∠AOB=∠OAC+∠OBD．
（3）解：∠AOB=∠OBD−∠OAC或∠AOB=∠OAC−∠OBD，理由如下：
①如图2，当点O在射线CP上时，过点O作OE∥m，

∵m∥n，
∴m∥n∥OE，
∴∠AOE=∠OAC，∠BOE=∠OBD，
∴∠AOB=∠BOE−∠AOE=∠OBD−∠OAC，即∠AOB=∠OBD−∠OAC；
②如图3，当点O在射线DQ上时，过点O作OE∥m，

∵m∥n，
∴m∥n∥OE，
∴∠AOE=∠OAC，∠BOE=∠OBD，
∴∠AOB=∠AOE−∠BOE=∠OAC−∠OBD，即∠AOB=∠OAC−∠OBD；
综上所述，∠AOB=∠OBD−∠OAC或∠AOB=∠OAC−∠OBD．
【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
【变式6-1】（2023下·四川宜宾·八年级统考期末）如图，将线段AB平移至DC，使点A与点D对应，点B与点C对应，连接AD，BC．E为BC延长线上一点，连接DE，BD，且∠ECD=∠EDC，作DF平分∠BDE交BE于点F．

(1)若当∠ADC=70°,∠BDE=110°时，求∠CDF的度数；
(2)若∠CDF=α,∠DBC=β，试探究α与β之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)15°
(2)α=12β，理由见解析
【分析】（1）平移，得到AD∥BC，推出∠ECD=∠EDC=70°，角平分线的定义，得到∠EDF=∠BDF=12∠BDE=55°，再根据∠CDF=∠CDE−∠FDE进行求解即可；
（2）设∠FDE=x,∠CDF=α，得到∠DCE=∠CDE=x+α，角平分线推出∠BDC=∠BDF−∠CDF=x−α，进而得到∠DBC=∠DCF−∠BDC=x+α−x−α=2α=2∠CDF，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵将线段AB平移至DC，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC,∠ADC=∠ECD=70°，
∴∠ECD=∠EDC=70°，
∴∠ADC=∠EDC，
∵DF平分∠BDE，
∴∠EDF=∠BDF=12∠BDE=55°，
∴∠CDF=∠CDE−∠FDE=15°；
（2）α=12β，
理由：设∠FDE=x,∠CDF=α，
则∠DCE=∠CDE=x+α，
∵DF平分∠BDE，
∴∠BDF=∠EDF=x，
∴∠BDC=∠BDF−∠CDF=x−α，
∴∠DBC=∠DCF−∠BDC=x+α−x−α=2α=2∠CDF，
∴∠CDF=12∠DBC，即α=12β．
【点睛】本题考查平移的性质，平行线的性质，与角平分线有关的计算．解题的关键是掌握平移的性质，理清角之间的和差，倍数关系．
【变式6-2】（2023下·上海静安·八年级上海市市北初级中学校考期中）已知：四边形ABCD，AD∥BC（如图1），点P在直线CD上运动，点P和点C，D不重合，点P，A，B不在同一条直线上，若记∠DAP，∠APB，∠PBC分别为∠α，∠β，∠γ．

(1)如图2，当点P在线段CD上运动时，写出∠α，∠β，∠γ之间的关系并说出理由．

(2)如果点P在线段CD的延长线上运动，探究∠α，∠β，∠γ之间的关系，并说明理由．
【答案】(1)∠β=∠α+∠γ
(2)∠β=∠γ−∠α
【分析】（1）过点P作PE∥AD，如图1，由PE∥AD得∠α=∠APE，由AD∥BC得PE∥BC，则∠γ=∠BPE，所以∠β=∠APE+∠BPE=∠α+∠γ；
（2）如图2，根据平行线的性质由AD∥BC得∠PBC=∠1，根据三角形外角性质得∠1=∠PAD+∠APB，所以∠APB=∠PBC−∠PAD，即∠β=∠γ−∠α．
【详解】（1）∠β=∠α+∠γ．理由如下：
过点P作PE∥AD，如图1，
∵PE∥AD，
∴∠α=∠APE，
∵AD∥BC，
∴PE∥BC，
∴∠γ=∠BPE，
∴∠β=∠APE+∠BPE=∠α+∠γ；
（2）如图2，∵AD∥BC，
∴∠PBC=∠1，
而∠1=∠PAD+∠APB，
∴∠APB=∠PBC−∠PAD，
即∠β=∠γ−∠α．

【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
【变式6-3】（2023下·河南焦作·八年级统考期中）如图1，已知∠A=50°，C为射线AD上一点(不与点A 重合)，连接BC

【发现】如图2过点C作CE∥AB
（1）若∠BCD=73°，求∠B 的度数；
（2）若∠B=30°，求∠BCD的度数；
【探究】直接写出图1中∠A,∠B和∠BCD之间的数量关系： ；
【拓展】利用【探究】中的结论完成下列问题．
如图3，∠A=50°，C为射线AD上一点(不与点A 重合)，在射线BC上取一点O，过点O作直线MN，使MN∥AD，BE平分∠ABC交AD于点E，OF平分∠BON交AD于点F，OG∥BE交AD于点G，当点C沿着射线AD方向运动时，∠FOG的度数是否会变化 ？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个不变的值．
【答案】（1）23°（2）80°
【探究】∠BCD=∠BAD+∠B
【拓展】不变，25°
【分析】【发现】（1）根据平行线的性质∠BAD=∠ECD=50°，再求出∠BCE的度数，利用内错角相等可求出角的度数；（2）由（1）可得出∠BCD=∠A+∠B=50°+30°=80°；
【探究】过点C作CE∥AB，类似（1）利用平行线的性质，得出三个角的关系；
【拓展】运用（2）的结论和平行线的性质、角平分线的性质，可求出∠FOG度数，可得结论．
【详解】【发现】(1)∵CE∥AB，
∴∠A=∠DCE=50°,∠B=∠BCE，
∵∠BCD=73°
∴∠B=∠BCE=∠BCD−∠DCE=23°
（2）由（1）可知∠BCD=∠A+∠B=50°+30°=80°
【探究】∠BCD=∠BAD+∠B，
理由：过点C作 CE∥AB，如图2，
则∠BAD=∠ECD,∠B=∠BCE，
∵∠BCD=∠ECD+∠BCE，
∴∠BCD=∠BAD+∠B；
故答案为：∠BCD=∠BAD+∠B
【拓展】不变，设∠ABE=x，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠ABE=x，
由 【探究】结论可知∠BCD=∠BAD+∠ABC，且 ∠BAD=50°，
则：∠BCD=50°+2x，
∵AD∥MN，
∴∠BCD=∠BON，
∵OF平分∠BON，
∴∠COF=∠NOF=12∠BON=25°+x，
∵OG∥BE,∠COG=∠CBE=x，
∴∠FOG=∠COF−∠COG=25°+x−x=25°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题关键是熟练掌握用平行线的性质证明角相等，通过等量代换等方法得出角之间的关系．
【题型7 由平行线的判定与性质确定角度定值问题】
【例7】（2023下·湖北十堰·八年级校考期中）如图，已知AM∥BN，∠A=60°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于点C，D．

(1)∠CBD=__________°；
(2)当点P运动时，∠APB∠ADB是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是，请说明理由；
(3)当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，求∠ABC的度数．
【答案】(1)60
(2)是定值，2
(3)30°
【分析】（1）根据角平分线的定义，和平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，进行求解即可；
（2）根据两直线平行，内错角相等，以及角平分线的定义，进行求解即可；
（3）根据平行线的性质，以及∠ACB=∠ABD，推出∠DBN=∠ABC，进而推出2∠ABC+2∠DBN=4∠ABC=120°，即可得解．
【详解】（1）解：∵AM∥BN，∠A=60°，
∴∠ABN=180°−∠A=120°，
∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠PBC=12∠PBA,∠PBD=12∠NBP，
∵∠ABN=∠ABP+∠PBN，
∴∠CBD=∠PBC+∠PBD=12∠PBA+∠NBP=12∠ABN=60°，
故答案为：60．
（2）∠APB∠ADB是定值，理由如下：
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN=2∠DBN，
设∠DBN=x，则∠PBN=2∠DBN=2x，
∵AM∥BN，
∴∠ADB=∠DBN=x，∠APB=∠PBN=2x，
∴∠APB∠ADB=2xx=2．
（3）∵AM∥BN，
∴∠ACB=∠CBN，
∵∠ACB=∠ABD，
∴∠CBN=∠ABD，
∴∠CBN−∠CBD=∠ABD−∠CBD，
∴∠DBN=∠ABC，
∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A=180°，
∵∠A=60°，
∴∠ABN=180°−∠A=120°，
又∵BC平分∠ABP，
∴∠ABP=2∠ABC，
由（2）知，∠PBN=2∠DBN，
∵∠ABN=∠ABP+∠PBN，
∴2∠ABC+2∠DBN=4∠ABC=120°，
∴∠ABC=30°．

【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义．熟练掌握两直线平行，内错角相等，同旁内角互补，是解题的关键．
【变式7-1】（2023下·四川达州·八年级统考期末）已知直线AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，连接EF，FG平分∠EFD．
(1)如图1，连接EG，若EG平分∠BEF．求∠G的度数；
(2)如图2，连接EG，若∠BEG=∠FEH，猜想∠EHF和∠G的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，点H为线段EF（端点除外）上的一个动点，过点H作EF的垂线交AB于M，连接MG，若MG平分∠EMH，问∠G的度数是否为定值？若是，求出∠G的度数；若不是，请说明理由．
【答案】(1)∠EGF＝90°
(2)∠EGF＋∠EHF＝180°；理由见解析
(3)∠MGF​的度数是为定值，且∠MGF＝45°​
【分析】（1）根据EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，得到∠BEF＝2∠FEG，∠EFD＝2∠GFE，由干 BE∥CF到∠BEF＋∠EFD＝180°，于是得到2∠FEG＋2∠GFD＝180°，即可得到结论：
（2）过点G作GN∥AB，因为AB∥CD，所以GN∥CD．设∠EGN＝∠BEG＝α，∠NGF＝∠GFD＝β．由已知可得∠EGF＝∠BEG＋∠GFD＝α＋β，∠EHF＝180°−∠EFG−∠FEH＝180°−α−β，即可解答；
（3）过点 G作GN∥AB，因为AB∥CD，所以GN∥CD．所以设∠MGN＝∠BMG＝α，∠NGF＝∠GFD＝β．即∠MGF＝∠BMG＋∠GFD＝α＋β．根据∠EMH、∠EFD的平分线相交于G，得到∠MEF＝∠EFD＝2β．所以∠HME＝90°−∠MEF＝90°−2β．再因为MH⊥EF，所以∠HME＝90°−∠MEF＝90°−2β．再根据MG平分∠BMH，利用等量代换即可得到结论MH⊥EF，所以∠HME＝90°−∠MEF＝90°−2β．再根据条件MG平分∠BMH，得到∠EMG＝45°−β，即可得解．
【详解】（1）解：∵EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，
∴∠BEF＝2∠FEG，∠EFD＝2∠EFG，
∵AB∥CD，
∴∠BEF＋∠EFD＝180°，
∴2∠FEG＋2∠GFE＝180°，
∴∠FEG＋∠GFE＝90°，
∵∠EGF＋∠FEG＋∠GFE＝180°，
∴∠EGF＝90°．
（2）解：猜想：∠EGF＋∠EHF＝180°，
过点G作GN∥AB，
∵AB∥CD，
∴GN∥CD，
∴设∠EGN＝∠BEG＝α，∠NGF＝∠GFD＝β，
∴∠EGF＝∠BEG＋∠GFD＝α＋β，
∵FG平分∠EFD，
∴∠EFG＝∠GFD＝β，
∵∠EHF＝180°−∠EFG−∠FEH＝180°−α−β，
∴∠EHF＝180°−α−β＝180°−∠EGF，
∴∠EGF＋∠EHF＝180°．
（3）解：结论：∠MGF＝45°，理由如下：
过点 G作GN∥AB，
∵AB∥CD，
∴GN∥CD，
∴设∠MGN＝∠BMG＝α，∠NGF＝∠GFD＝β，
∴∠MGF＝∠BMG＋∠GFD＝α＋β，
∵FG平分∠EFD，
∴∠EFG＝∠GFD＝β，
∵AB∥CD，
∴∠MEF＝∠EFD＝2β，
∵MH⊥EF，
∴∠HME＝90°−∠MEF＝90°−2β，
∵MG平分∠BMH，
∴∠EMG＝∠GMH＝α＝12∠HME，
∴∠EMG＝α＝12∠HME＝12(90°−2β)＝45°−β，
∴∠MGF＝α＋β＝45°−β＋β＝45°，
∴∠MGF＝45°，
∴∠MGF的度数是为定值．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
【变式7-2】（2023下·山东济南·八年级统考期中）如图①，∠EFH=90°，点A，C分别在射线FE和FH上，AB∥CD．

(1)若∠FAB=150°，则∠HCD的度数为______；
(2)小明同学发现，无论∠FAB如何变化，∠FAB−∠HCD的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法：如图②，过点A作AM∥FH，交CD于点M．请你根据小明同学提供的辅助线，确定该定值，并说明理由；
(3)如图③，把“∠EFH=90°”改为“∠EFH=120°”，其他条件保持不变，猜想∠FAB与∠HCD的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)60°
(2)90°，理由见解析
(3)∠FAB−∠HCD=60°，理由见解析
【分析】（1）过点F作FG∥AB，如图，由已知FG∥AB，∠FAB＝150°，根据平行线的性质可得∠AFG＋∠FAB＝180°，可计算出∠AFG的度数，由∠EFH＝90°，可计算出∠CFG的度数，由平行线的性质即可得出答案；
（2）由已知条件AM∥FH，∠EFH＝90°，根据平行线的性质可得∠EFH＋∠FAM＝180°，计算出∠FAM的度数，由平行线的性质可得∠BAM＝∠AMC，由∠FAB−∠HCD＝∠FAB−∠BAM即可得出答案；
（3）过点A作AN∥FH与CD相交与点N，如图，由已知条件AN∥FH，∠EFH＝120°，根据平行线的性质可得∠EFH＋∠FAM＝180°，∠HCD＝∠ANC，即可计算出∠FAN的度数，由∠FAB−∠HCD＝∠FAB−∠BAN，代入计算即可得出答案．
【详解】（1）解：过点F作FG∥AB，如图所示，
∵FG∥AB，∠FAB＝150°，
∴∠AFG＋∠FAB＝180°，
∴∠AFG＝180°−∠FAB＝180°−150°＝30°，
∵∠EFH＝90°，
∴∠CFG＝∠EFH−∠AFG＝90°−30°＝60°，
∵AB∥CD，
∴FG∥CD，
∴∠HCD＝∠CFG＝60°．
故答案为：60°；
（2）解：该定值为90°．理由如下：
∵AM∥FH，∠EFH=90°，
∴∠FAM=180°−∠EFH=180°−90°=90°，∠HCD=∠AMC．
∵AB∥CD，
∴∠BAM=∠AMC．
∴∠HCD=∠BAM．
∴∠FAB−∠HCD=FAB−BAM=FAM=90°．
∴无论∠FAB如何变化，∠FAB−∠HCD的值始终为定值，且该定值为90°．
（3）解：∠FAB−∠HCD=60°．理由如下：
过点A作AN∥FH，交CD于点N，如图所示，
∵AN∥FH，∠EFH=120°，
∴∠FAN=180°−∠EFH=180°−120°=60°，∠HCD=∠ANC．
∵AB∥CD，
∴∠BAN=∠ANC．
∴∠HCD=∠BAN．
∴∠FAB−∠HCD=∠FAB−∠BAN=∠FAN=60°．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质进行求解是解决本题的关键．
【变式7-3】（2023下·福建龙岩·八年级统考期末）如图1，点A、D分别在射线BM、CN线上，BM∥CN，BM⊥BC于点B，AE平分∠BAD交BC于点E，连接DE，∠1+∠2=90°．
(1)求证：AE⊥ED；
(2)求证：DE平分∠ADC；
(3)如图2，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，试猜想∠F的值是否为定值，若是，请予以证明；若不是，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)∠F为定值，∠F=135°，理由见解析
【分析】（1）过点E作EG∥BM，根据两直线平行内错角相等，得出∠AED=∠1+∠2，即可求解．
（2）根据两直线平行同旁内角互补，得出∠BAD+∠CDA=180°，再将各个角代入计算，得出(∠1+∠2)+(∠1+∠5)=180°，∠5=∠2，即可求解．
（3）过点F作FH∥BM，∠AFH=α，∠DFH=β，根据平行线性质得出∠α+∠β=∠6+∠7，由于∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，所以∠α+∠β=12(180°−∠1)+12(180°−∠2)，即可求解．
【详解】（1）证明：如图1，
过点E作EG∥BM，则∠1=∠3，
∵BM∥CN，
∴EG∥CN，
∴∠4=∠2，
∴∠3+∠4=∠1+∠2=90°，
∴∠AED=90°，
∴AE⊥ED．
（2）证明：∵ AE平分∠BAD，
∴∠BAD=2∠1，
∵BM∥CN，
∴∠BAD+∠CDA=180°，
∴2∠1+∠CDA，
=2∠1+∠2+∠5=180°，
=(∠1+∠2)+(∠1+∠5)=180°，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠1+∠5=90°，
∴∠5=∠2，
∴DE平分∠ADC．
（3）∠F为定值．
证明：如图2，过点F作FH∥BM，设∠AFH=α，∠DFH=β，
∵BM∥CN，
∴FH∥CN，
∴∠α+∠β=∠6+∠7，
∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，
∴∠α+∠β=12(180°−∠1)+12(180°−∠2)=180°−12(∠1+∠2)
=180°−45°=135°，
∴∠F=∠α+∠β=135°，
∴∠F为定值，∠F=135°，
故答案为：∠F=135°．
【点睛】本题主要考查垂线、角平分线的性质，解题的关键是掌握垂垂线的概念和角平分线的性质及角的和差计算等知识点．
【题型8 由平行线的判定与性质探究规律问题】
【例8】（2023下·四川成都·八年级树德中学校考阶段练习）（1）如图①，已知AB∥CD，图中∠1，∠2，∠3之间有什么关系？
（2）如图②，已知AB∥CD，图中∠1，∠2，∠3，∠4之间有什么关系？
（3）如图③，已知AB∥CD，请直接写出图中∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系
（4）通过以上3个问题，你发现了什么规律？
【答案】（1）∠2=∠1+∠3；（2）∠1+∠3=∠2+∠4；（3）∠1+∠3+∠5=∠2+∠4；（4）当AB∥CD时，∠1+∠3+∠5+…+∠2n-1=∠2+∠4+…+∠2n．
【分析】（1）过E作EM//AB，推出AB//EM//CD，根据平行线性质得出∠1=∠NEM，∠3=∠MEO，即可求出答案；
（2）通过作辅助线：过E作EM//AB，过F作NF//AB，得到EM//AB//NF//CD，得到∠PEM=∠1，∠MEF=∠EFN，∠4=∠QFN即可得:∠PEM+∠MEF+∠4=∠1+∠EFN+∠QFN,即可得到答案：∠2+∠4=∠1+∠3；
（3）做辅助线，GM//CD通过（2）可知：∠1+∠3=∠2+∠FGM，再由平行得∠5=∠MGD，即可∠1+∠3+∠5=∠2+∠FGM+∠MGD，即：∠1+∠3+∠5=∠2+∠4．
（4）通过以上3个问题，发现：当AB∥CD时，奇数角的和等于偶数角的和．
【详解】解：（1）∠2=∠1+∠3，
理由是：
过E作EM//AB，推出AB//EM//CD，
过E作EM//AB，
∵AB//CD，
∴AB//EM//CD，
∴∠1=∠NEM，∠3=∠MEO，
∴∠NEO=∠NEM+∠MEO=∠1+∠3；
∴∠2=∠1+∠3，
（2）∠1+∠3=∠2+∠4;
理由如下：过E作EM//AB，过F作NF//AB
∵EM//AB，NF//AB，CD//AB
∴EM//AB//NF//CD
∴∠PEM=∠1
同理：∠MEF=∠EFN
∠4=∠QFN
∴∠PEM+∠MEF+∠4=∠1+∠EFN+∠QFN
即：∠2+∠4=∠1+∠3
即：已知AB∥CD，图中∠1，∠2，∠3，∠4之间关系：∠1+∠3=∠2+∠4．
（3）∠1+∠3+∠5=∠2+∠4；
理由如下：过点G，作GM//CD
由（2）可知：∠1+∠3=∠2+∠FGM
∵GM//CD
∴∠5=∠MGD
∴∠1+∠3+∠5=∠2+∠FGM+∠MGD、
即：∠1+∠3+∠5=∠2+∠4
（4）通过以上3个问题，发现：当AB∥CD时，∠1+∠3+∠5+…+∠2n-1=∠2+∠4+…+∠2n．
【点睛】本题考查了平行线性质的应用，关键是正确作辅助线，题目比较典型，是一道比较好的题目．
【变式8-1】（2023上·广东江门·八年级江门市福泉奥林匹克学校校考阶段练习）如图，已知直线AE，BF被直线AB所截，且AE∥BF，AC1，BC1分别平分∠EAB，∠FBA，AC2，BC2，分别平分∠BAC1和∠ABC1，AC3，BC3分别平分∠BAC2，∠ABC2…依次规律，得点Cn，则∠Cn的度数为 ．
【答案】∠Cn=180°−90°2n−1
【分析】根据平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理分别求得∠C1，∠C2，∠C3的度数，再总结出变化规律，根据规律得出结论即可．
【详解】解：∵AE∥BF，
∴∠BAE+∠ABF=180°，
∵ AC1，BC1分别平分∠EAB，∠FBA，
∴∠BAC1=12∠BAE，∠ABC1=12∠ABF，
∴∠BAC1+∠ABC1=12∠BAE+12∠ABF=12∠BAE+∠ABF=90°，
∴∠C1=180°−∠BAC1+∠ABC1=180°−90°，
∵ AC2，BC2，分别平分∠BAC1和∠ABC1，
∴∠BAC2=12∠BAC1，∠ABC2=12∠ABC1，
∴∠BAC2+∠ABC2=12∠BAC1+12∠ABC1=12∠BAC1+∠ABC1=90°2，
∴∠C2=180°−∠BAC2+∠ABC2=180°−90°2，
∵ AC3，BC3分别平分∠BAC2，∠ABC2，
∴∠BAC3=12∠BAC2，∠ABC3=12∠ABC2，
∴∠BAC3+∠ABC3=12∠BAC2+12∠ABC2=12∠BAC2+∠ABC2=90°4，
∴∠C3=180°−∠BAC3+∠ABC3=180°−90°4，
……
由上面规律得：∠Cn=180°−90°2n−1，
故答案为：∠Cn=180°−90°2n−1．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理，关键是熟练应用这些知识解题．
【变式8-2】（2023下·河南郑州·八年级郑州外国语中学校考期中）在小学我们学过三角形的内角和等于180°；科学实验又证明，平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．例如：在图①、图②中，都有∠1=∠2，∠3=∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC=α．
(1)如图①，若α=90°，∠1=50°，则∠4=_________°；
(2)如图②，若α=115°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH=β．求β的度数；
(3)如图③，若90°<α<180°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD=γ90°<γ<180°，入射光线EF与镜面AB的夹角∠1=m0°【答案】(1)40
(2)50°
(3)γ−m=90°，理由见解析
【分析】（1）利用光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等结合等量代换即可求解．
（2）根据三角形内角和∠1+∠4=65°，利用对顶角相等得∠1=∠MEB，∠4=∠MGB，再利用三角形内角和结合等量代换即可求解．
（3）延长NM和FE，交点为G，由（2）得∠MNH=180°−2∠5，根据平行线的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵∠1=50°，
∴∠2=∠1=50°，
∵∠α=90°，
∴∠3=180°−90°−50°=40°，
∴∠4=∠3=40°，
故答案为：40．
（2）∵∠α=115°，
∴∠2+∠3=180°−115°=65°，
∴∠1+∠4=65°，
∵∠1=∠MEB，∠4=∠MGB，
∴∠MEG+∠MGE=∠1+∠2+∠3+∠4=130°，
∴∠EMG=∠β=180°−130°=50°．
（3）γ−m=90°，理由如下：
延长NM和FE，交点为G，如图所示：
由（2）的思路可得，∠G=180°−2m−2∠3=180°−2m+∠4，
∠MNH=180°−2∠5，
∵EF∥NH，
∴∠G+∠MNH=180°，即180°−2m+∠4+180°−2∠5=180°，
整理得，m+∠4+∠5=90°，
m+180°−γ=90°，
即γ−m=90°．
【点睛】本题考查了三角形内角和、平行线的性质，列代数式，解决问题的关键是掌握平行线的性质．
【变式8-3】（2023上·广东广州·八年级广州市黄埔军校纪念中学校考开学考试）如图①所示，四边形MNBD为一张长方形纸片．如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（∠BAE、∠AEC、∠ECD），则∠BAE+∠AEC+∠ECD= （度）；

（1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（∠BAE、∠AEF、∠EF、∠FCD），则∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD= （度）；
（2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD），则∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD= （度）；
（3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是 （度）．
【答案】 360 540 720 180n
【分析】过点E作EH∥AB，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于180°的2倍；
（1）分别过E、F分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍；
（2）分别过E、F、G分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的四倍；
（3）根据前三问个的剪法，剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度．
【详解】过E作EH∥AB（如图②）．
∵原四边形是长方形，
∴AB∥CD，
又∵EH∥AB，
∴CD∥EH（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．
∵EH∥AB，
∴∠BAE+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵CD∥EH，
∴∠2+∠DCE=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠BAE+∠1+∠2+∠ECD=360°，
又∵∠1+∠2=∠AEC，
∴∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；

（1）分别过E、F分别作AB的平行线，如图③所示，

用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=540°；
（2）分别过E、F、G分别作AB的平行线，如图④所示，

用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=720°；
（3）由此可得一般规律：剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度．
故答案为：360；540；720；180n．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点．
【题型9 由平行线的判定与性质解决三角尺问题】
【例9】（2023下·湖北孝感·八年级统考期末）将一副三角尺的直角顶点重合按如图放置，其中∠CAB=∠DAE=90°，∠B=∠C=45°，∠D=30°，∠E=60°．有下列结论：
（1）∠BAE与∠CAD互为补角；
（2）若∠BAD=60°，则AC∥DE；
（3）若BC∥AD，则BC⊥AE；
（4）若AB⊥DE，则∠CAD=150°．

其中正确的结论个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】由三角板各个角的度数，结合图形，数形结合，按照结论逐项证明即可得到答案．
【详解】解：（1）如图所示，∠BAE+∠CAE=90°，∠BAE+∠DAB=90°，
∵∠CAD=∠DAB+∠BAE+∠CAE，
∴ ∠BAE+∠CAD=∠BAE+∠CAE+∠BAE+∠DAB=90°+90°=180°，
∴ ∠BAE与∠CAD互为补角，故（1）正确，符合题意；
（2）如图所示：

∵∠D=30°，∠BAD=60°，
∴在△ADF中，∠AFD=90°，
∵ ∠CAB=90°，
∴∠CAB=∠DFA=90°，
由内错角相等，两直线平行可得AC∥DE，
∴若∠BAD=60°，则AC∥DE，故（2）正确，符合题意；
（3）如图所示：

∵ BC∥AD，∠DAE=90°，
∴∠CFA=∠DAE=90°，
∴若BC∥AD，则BC⊥AE，故（3）正确，符合题意；
（4）如图所示：

∵∠D=30°，AB⊥DE，
∴在Rt△ADF中，∠DAF=60°，
∵ ∠CAB=90°，
∴∠CAD=∠CAB+∠DAF=90°+60°=150°，
∴若AB⊥DE，则∠CAD=150°，故（4）正确，符合题意；
综上所述，（1）（2）（3）（4）四个结论均正确，
故选：D．
【点睛】本题考查与三角板有关的角度关系，数形结合，得到各个角之间的关系是解决问题的关键．
【变式9-1】（2023上·河南郑州·八年级校考期末）一副三角尺如图所示摆放，∠α 的大小为（ ）度
A．90B．100C．105D．120
【答案】C
【分析】过点G作GH∥AB，根据直角三角形的性质分别求出∠A、∠E，由题意证明EF∥AB，易得GH∥EF，再根据平行线的性质计算，得到答案．
【详解】解：如图，过点G作GH∥AB，
由题易得：∠E＝90°−45°＝45°，
∠A＝90°−30°＝60°，，
∵∠F=∠FIB=90°，
∴EF∥AB，
∵GH∥AB
∴GH∥EF
∴∠EGH=∠E=45°，∠AGH=∠A=60°，
∴∠α＝45°＋60°＝105°，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定、直角三角形的性质，作出辅助线是解题的关键．
【变式9-2】（2023下·云南玉溪·八年级统考期末）含45°的三角板ABC和含30°的三角板DEF如图摆放，若AB∥DE，∠C=45°，∠D=60°，则∠1的度数是（ ）

A．75°B．90°C．100°D．105°
【答案】D
【分析】AC于DF交于G，作GH∥AB，可得AB∥DE∥GH，从而可求∠AGH=∠A=45°，∠DGH=∠D=60°，即可求解．
【详解】解：如图，AC于DF交于G，作GH∥AB，

因为AB∥DE，
所以AB∥DE∥GH，
所以∠AGH=∠A=45°，
∠DGH=∠D=60°，
所以∠AGD=∠AGH+∠DGH
=45°+60°=105°；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，掌握判定方法及性质是解题的关键．
【变式9-3】（2023下·贵州六盘水·八年级统考期末）如图，MN∥PQ，将两块直角三角尺（一块含30°，一块含45°）按如下方式进行摆放，恰好满足∠NAC=20°，∠MAE=∠CBQ．

(1)求∠CBQ的度数；
(2)试判断AB与DE的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)25°
(2)AB∥DE，理由见解析
【分析】（1）过点C作CF∥PQ，根据平行线的判定和性质，得到∠ACF=∠CAN=20°,∠CBQ=∠BCF，根据∠ACB=∠ACF+∠BCF=45°，进行求解即可；
（2）利用平角的定义求出∠EAB=90°，进而得到∠DEA+∠EAB=180°，即可得出结论．
【详解】（1）解：过点C作CF∥PQ，

∵MN∥PQ，
∴MN∥CF∥PQ，
∴∠ACF=∠CAN=20°，∠CBQ=∠BCF，
∵∠ACB=∠ACF+∠BCF=45°，
∴∠BCF=25°，
∴∠CBQ=25°；
（2）AB∥DE，理由如下：
∵∠MAE=∠CBQ=25°，∠BAC=45°,∠NAC=20°，
∴∠EAB=180°−∠MAE−∠BAC−∠NAC=90°，
∵∠DEA=90°，
∴∠DEA+∠EAB=180°，
∴AB∥DE．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，三角板中角度的计算．解题的关键是构造平行线，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理．
【题型10 由平行线的判定与性质解决旋转问题】
【例10】（2023上·山西太原·八年级校考期末）问题情境：如图1，将含 30°角的三角板 ABC 和含45°角的三角板 ADE叠放在一起，使直角顶点重合，点 D 落在直线 AB 上，点 E 落在直线 AC上．△ADE 绕点 A 旋转， 边 DE 与 AB、BC 分别相交与点 F、点N，边 AE与 BC 相交于点 M．
(1)如图 2，当 AD ∥ BC 时：
①求∠DFB的度数．
②判断∠DAB 与∠CAE的数量关系，并说明理由．
(2)如图 3，当 AE 平分∠BAC 时：
①求∠DFB的度数；
②判断 AC 与 DE的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)①75°；②∠DAB=∠CAE
(2)①90°；②AC∥DE
【分析】（1）①根据平行线的性质可得∠DAF=∠B=30°，再根据三角形的内角定理即可求解；②根据平行线的性质可得∠DAF=∠B=30°，再求出∠BAE的度数，最后求出∠CAE的度数即可；
（2）①根据角平分线的性质，先求出∠BAE的度数，再求出∠BAD的度数，最后根据三角形的外角定理即可求解；②根据角平分线的性质，可求出∠CAE的度数，即可得到∠CAE=∠E，即可得出结论．
【详解】（1）解：①∵AD ∥ BC，
∴∠DAB=∠B=30°，
∵∠D=45°，
∴∠DFB=∠D+∠DAB=45°+30°=75°；
②由①得∠DAB=∠B=30°，
∴∠BAE=∠DAE−∠DAB=90°−30°=60°，
∴∠CAE=∠BAC−∠BAE=90°−60°=30°，
∴∠DAB=∠CAE．
（2）①∵AE 平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC=45°，
∴∠BAD=∠DAE−∠BAE=90°−45°=45°，
∵∠D=45°，
∴∠DFB=∠D+∠BAD=45°+45°=90°；
②由①可得∠CAE=45°，
∵∠E=45°，
∴∠CAE=∠E，
∴AC∥DE．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，三角形的外角定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形的各个角的度数．
【变式10-1】（2023下·重庆·八年级西南大学附中校考期中）如图，△OAB为等腰直角三角形（∠A＝∠B＝45°，∠AOB＝90°），△OCD为等边三角形（∠C＝∠D＝∠COD＝60°），满足OC＞OA，△OCD绕点O从射线OC与射线OA重合的位置开始，逆时针旋转，旋转的角度为α（0°＜α＜360°），下列说法错误的是（ ）
A．当α＝15°时，DC∥AB
B．当OC⊥AB时，α＝45°
C．当边OB与边OD在同一直线上时，直线DC与直线AB相交形成的锐角为15°
D．整个旋转过程，共有10个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行
【答案】B
【分析】设OC与AB交点为M，OD与AB交点为N，当α＝15°时，可得∠OMN＝α＋∠A＝60°，可证DC∥AB；当OC⊥AB时，α＋∠A＝90°，可得α＝30°；当边OB与边OD在同一直线上时，应分两种情况，则直线DC与直线AB相交形成的锐角也有两种情况；整个旋转过程，其中DC边可以与OB，OA，AB分别平行时，之后OC可以和AB平行，OD可以和AB平行，可以得到5个位置，这5个位置再旋转180度又是平行的，所以可以得到10不同的位置．
【详解】解：设OC与AB交点为M，OD与AB交点为N，
当α＝15°时，∠OMN＝α＋∠A＝60°，
∴∠OMN＝∠C，
∴DC∥AB，
故A说法正确，不符合题意；
当OC⊥AB时，α＋∠A＝90°或α﹣180°＝90°﹣∠A，
∴α＝45°或225°，
故B说法错误，符合题意；
当边OB与边OD在同一直线上时，
此时，∠EBO=∠ABO=45°，
∠EDB=180°−∠ODC=180°−60°=120°，
∴∠E=180°−∠EBO−∠EDB=45°；
当边OB与边OD在同一直线且不重合时，
此时，∠EBD=45°,∠EDB=180°−∠ODC=180°−60°=120°，
∴∴∠E=180°−∠EBD−∠EDB=15°
故C说法正确，不符合题意；
整个旋转过程，其中DC边可以与OB，OA，AB分别平行时，之后OC可以和AB平行，OD可以和AB平行，可以得到5个位置，这5个位置再旋转180度又是平行的，所以可以得到10不同的位置，所以D说法正确不符合题意，
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
【变式10-2】（2023下·四川成都·八年级校考期中）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了A，D两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即PQ∥CN，A，B为PQ上两点，AD平分∠CAB交CN于点D，E为AD上一点，连接BE，AF平分∠BAD交BE于点F．

(1)若∠C=20°，则∠EAP= ；
(2)作AG交CD于点G，且满足∠1=13∠ADC，当∠2+65∠GAF=180°时，试说明：AC∥BE；
(3)在（1）问的条件下，探照灯A、D照出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线AC以每秒5度的速度逆时针转动，探照灯D射出的光线DN以每秒15度的速度逆时针转动，DN转至射线DC后立即以相同速度回转，若它们同时开始转动，设转动时间为t秒，当DN回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，当AC与DN互相平行或垂直时，请直接写出此时t的值．
【答案】(1)100°
(2)见解析
(3)t的值为2s或11s或12.5s或17s或21.5s
【分析】（1）利用平行线的性质和角平分线的性质可解；
（2）通过计算，利用内错角相等，两直线平行进行判定即可；
（3）分五种情况画图，列出关于t的式子即可解答．
【详解】（1）∵PQ∥CN，
∴∠CAB+∠C=180°，∠PAC=20°．
∵∠C=20°，
∴∠CAB=160°．
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=80°．
∴∠EAP=∠DAC+∠PAC=100°．
故答案为：100°．
（2）∵PQ∥CN，
∴∠ADC=∠BAD．
∵∠1=13∠ADC，
∴∠1=13∠BAD．
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAD=2∠EAF．
∴∠1=23∠EAF．
∴∠GAF=∠1+∠EAF=53∠EAF．
∵∠2+65∠GAF=180°，
∴∠2+2∠EAF=180°．
∴∠2+∠BAD=180°．
∵∠2+∠AEB=180°，
∴∠BAD=∠AEB．
∵∠BAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠AEB．
∴AC∥BE．
（3）360°÷15°=24．
当AC∥DN时，则∠ACD=∠HDN，如图，

∵PB∥CH，
∴∠PAC=∠ACD．
∴∠PAC=HDN．
由题意，∠PAC=20+5t，∠HDN=15t
∴20+5t=15t．
∴t=2．
当AC⊥DN时，则∠CND=90°，如图，

∵PB∥CH，
∴∠ACD=∠PAC=20+5t．
∵∠NDH=15t，
∴∠NDC=180−15t．
∴20+5t+180−15t．
∴t=11．
当AC⊥DN时，则∠CND=90°，如图，

∵PB∥CH，
∴∠ACD=∠PAC=20+5t．
∵∠NDC=15t−180，
∴20+5t+15t−180=90．
∴t=12.5．
当ND∥AC时，则∠NDC=∠ACH，如图，

由题意，∠MDN=15t−180，∠PAC=20+5t．
∴∠NDC=180°−∠MDN=360−15t．
∵PB∥CH，
∴∠ACH=∠PAC=20+5t．
∴20+5t=360−15t．
∴t=17．
当DN⊥AC时，∠DNC=90°，如图，

∵∠NDC=360−15t．
∴∠NDC+∠DCN=90°．
∵∠NCD=180−(20+5t)，
∴360−15t+180−(20+5t)=90．
∴t=21.5．
综上，t的值为2s或11s或12.5s或17s或21.5s．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行，反之亦然．
【变式10-3】（2023下·湖北武汉·八年级统考期末）已知直线EF与直线AB、CD分别交于E、F两点，∠AEF和∠CFE的角平分线交于点P，且∠AEP+∠CFP=90°．
（1）求证：AB//CD；
（2）如图，∠PEF和∠PFM的角平分线交于点Q，求∠Q的度数；
（3）如图，若∠AEP:∠CFP=2:1，延长线段EP得射线EP1，延长线段FP得射线FP2，射线EP1绕点E以每秒15°的速度逆时针旋转360°后停止，射线FP2绕点F以每秒3°的速度顺时针旋转180°以后停止．设它们同时旋转t秒，问t为多少时，射线EP1//FP2，直接写出t的值t=______秒．
【答案】（1）见解析；（2）45°；（3）5或15
【分析】（1）由角平分线的定义，可知∠AEP=∠PEF，∠PFC=∠CFP，再由已知可求∠AEF+∠PFC=180°，根据同旁内角互补两直线平行即可证明；
（2）设∠PEQ=α，由角平分线的定义可分别求∠AEP=2α，∠QEF=∠PEQ=α，则可求∠PFE=90°-2α，∠PFM=90°+2α，∠PFQ=45°+α，再由三角形内角和可得∠Q=180°-∠QEF-∠EFQ=45°；
（3）分两种情况讨论：∠P1EF=∠P2FE时，∠P1EF=15°t-60°，∠P2FE=30°-3°t，则15°t-60°=30°-3°t；∠P1EF+∠EFP2=180°时，∠P1EF=15°t-60°，∠EFP2=3°t-30°，则15°t-60°+3°t-30°=180°，分别求出t即可．
【详解】（1）证明：∵EP、FP分别平分∠AEF和∠CFE
∴∠AEP=∠FPE，∠CFP=∠EFP
∵∠AEP+∠CFP=90°
∴∠AEF+∠CFE=180°
∴AB//CD
（2）解：设∠PEQ=α，
∵PE平分∠AEF，
∴∠AEP=2α，
∵EQ平分∠PEF，
∴∠QEF=∠PEQ=α，
∵∠EPF=90°，
∴∠PFE=90°-2α，
∴∠PFM=180°-(90°-2α)=90°+2α，
∵FQ平分∠PFM，
∴∠PFQ=45°+α，
∴∠Q=180°-∠QEF-∠EFQ=180°-α-(90°-2α)-(45°+α)=45°；
（3）解：如图1，EP1//FP2时，
∵∠AEP：∠CFP=2：1，∠AEP+∠CFP=90°，
∴∠AEP=60°，∠CFP=30°，
∴∠P1EF=15°t-60°，∠P2FE=30°-3°t，
∵EP1//FP2，
∴∠P1EF=∠P2FE，
∴15°t-60°=30°-3°t，
∴t=5；
如图2，EP1//FP2时，
∴∠P1EF=15°t-60°，∠EFP2=3°t-30°，
∵EP1//FP2，
∴∠P1EF+∠EFP2=180°，
∴15°t-60°+3°t-30°=180°，
∴t=15；
综上所述：当t=5或15时，射线EP1//FP2，
故答案为5或15．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，以及分类讨论的数学思想，熟练两直线平行角之间的关系，根据射线的运动情况画出符合题意的图是解题的关键．