中考数学一轮复习：专题13.7 三角形中的边角关系、命题与证明章末拔尖卷（沪科版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习：专题13.7 三角形中的边角关系、命题与证明章末拔尖卷（沪科版）（解析版），共26页。

参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023春·内蒙古·八年级统考期末）下列实际情景运用了三角形稳定性的是（ ）
A．人能直立在地面上B．校门口的自动伸缩栅栏门
C．古建筑中的三角形屋架D．三轮车能在地面上运动而不会倒
【答案】C
【分析】根据三角形的稳定性进行判断即可求解．
【详解】解：古建筑中的三角形屋架是利用了三角形的稳定性，
故选C
【点睛】本题考查了三角形的稳定性，掌握三角形的稳定性是解题的关键．
2．（3分）（2023春·湖南常德·八年级统考期末）如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为22，AM是边BC上的中线，△ABM的周长比△ACM的周长大2，则AC长的可能值有（ ）个．
A．3B．4
C．5D．6
【答案】B
【分析】依据ΔABC的周长为22，ΔABM的周长比ΔACM的周长大2，可得2【详解】解：∵ΔABC的周长为22，ΔABM的周长比ΔACM的周长大2，
∴2解得2又∵ΔABC的三边长均为整数，ΔABM的周长比ΔACM的周长大2，
∴AC=22−BC−22=10−12BC为整数，
∴BC边长为偶数，
∴BC=4，6，8，10，
即AC的长可能值有4个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的运用，解题的关键是掌握：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．
3．（3分）（2023春·四川眉山·八年级校考期中）下列命题是假命题的是（ ）
A．如果∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3
B．对顶角相等
C．如果一个数能被6整除，那么它肯定也能被3整除
D．内错角相等
【答案】D
【分析】利用对顶角的性质、实数的性质、平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、如果∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3，正确，是真命题，故本选项不符合题意；
B、对顶角相等，正确，是真命题，故本选项不符合题意；
C、如果一个数能被6整除，那么它肯定也能被3整除，正确，是真命题，故本选项不符合题意；
D、两直线平行，内错角相等，原命题是假命题，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、实数的性质、平行线的性质．
4．（3分）（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校考期中）如图所示，∠F＝90°，CE⊥AB，C是BF的中点，D是BE上的一点，下列说法正确的是（ ）
A．CD是△ABC的中线B．AF是△ABC的高
C．CE是△ABF的中位线D．AC是△ABF的角平分线
【答案】B
【分析】根据三角形中位线的定义，三角形角平分线、中线和高的定义作答．
【详解】解：A、AC是△ABC的中线，故本选项不符合题意．
B、由∠F＝90°知，AF是△ABC的高，故本选项符合题意．
C、CE是△ABC的高，故本选项不符合题意．
D、AC是△ABF的中线，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形中位线的定义、三角形角平分线、中线和高的定义，掌握三角形中位线的定义、三角形角平分线、中线和高的定义是解题的关键．
5．（3分）（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，若∠B=40°，∠C=60°，则∠ADE的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】C
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义可得∠BAD=∠DAC=40°，最后利用垂线的定义可得∠AED=90°，进而解答即可．
【详解】解：∵∠B=40°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°−40°−60°=80°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC=40°．
∵DE⊥AC，
∴∠AED=90°，
∴∠ADE=90°−∠DAE=50°．
故选C．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，垂线的定义．熟练掌握上述知识是解题关键．
6．（3分）（2023春·江苏·八年级期中）如图，在△ABC中，G是边BC上任意一点，D、E、F分别是AG、BD、CE的中点，S△ABC=48，则SΔDEF的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
【详解】解：连接CD，如图所示：
∵点D是AG的中点，
∴S△ABD=12S△ABG，S△ACD=12S△AGC，
∴S△ABD+S△ACD=12S△ABC=24，
∴S△BCD=12S△ABC=24，
∵点E是BD的中点，
∴S△CDE=12S△BCD=12，
∵点F是CE的中点，
∴S△DEF=12S△CDE=6．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．
7．（3分）（2023春·江苏·八年级统考期末）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为3、4、5、7，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值是（ ）

A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】若两螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，根据三角形任意两边之和大于第三边，进行求解即可．
【详解】解：①当3、4在一条直线上时，三边长为：5、7、7，
此时最大距离为7；
②∵4+5<3+7，
∴ 3、7不可能在一条直线上；
③当4、5在一条直线上时，三边长为：3、7、9，
此时最大距离为9；
④∵4+3<5+7，
∴ 5、7不可能在一条直线上；
综上所述：最大距离为9．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，理解三边关系是解题的关键．
8．（3分）（2023春·江苏南通·八年级统考期末）如图，△ABC中，∠ABC=3∠C，E分别在边BC，AC上，∠EDC=24°，∠ADE=3∠AED，∠ABC的平分线与∠ADE的平分线交于点F，则∠F的度数是（ ）
A．54°B．60°C．66°D．72°
【答案】B
【分析】根据题意可知∠FBC=32∠C，设∠C=x，表示出∠ADE，根据角平分线的定义，可得∠EDF的度数，根据∠FDC=∠F+∠FBC列方程，即可求出∠F的度数．
【详解】解：∵BF平分∠ABC，
∴∠FBC=12∠ABC，
∵∠ABC=3∠C，
∴∠FBC=32∠C，
设∠C=x，则∠FBC=32x，
∵∠EDC=24°，
∴∠AED=x+24°，
∵∠ADE=3∠AED，
∴∠ADE=3x+72°，
∵DF平分∠ADE，
∴∠EDF=32x+36°，
∵∠FDC=∠F+∠FBC，
∴32x+36°+24°=∠F+32x，
∴∠F=60°．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，结合图形分析清楚各角之间的关系是解题的关键．
9．（3分）（2023春·福建福州·八年级福建省福州延安中学校考期末）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D．∠ABD的角平分线BF所在直线与射线AE相交于点G，若∠ABC=3∠C，且∠G=20°，则∠DFB的度数为（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
【答案】C
【分析】由角平分线的定义可以得到∠CAE=∠BAE，∠ABF=∠DBF，设∠CAE=∠BAE=x，假设∠C=y，∠ABC=3y，通过角的等量代换可得到∠DFB=3∠G，代入∠G的值即可．
【详解】∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABD
∴∠CAE=∠BAE，∠ABF=∠DBF
设∠CAE=∠BAE=x
∵∠ABC=3∠C
∴可以假设∠C=y，∠ABC=3y
∴∠ABF=∠DBF=∠CBG=12(180°−3y)=90°−32y
∵AD⊥CD
∴∠D=90°
∴∠DFB=90°−∠DBF=32y
设∠ABF=∠DBF=∠CBG=z，则z=x+∠Gz+∠G=x+y
∴∠G=12y
∴∠DFB=3∠G
∵∠G=20°
∴∠DFB=60°
故答案选：C
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义以及角的等量代换，三角形的内角和定理，外角的性质，二元一次方程组的应用，灵活设立未知数代换角是解题的关键．
10．（3分）（2023春·江苏·八年级期中）如图，∠ABC=∠ACB，BD、CD、BE分别平分∠ABC，外角∠ACP，外角∠MBC，以下结论：①AD∥BC，②BD⊥BE，③∠BDC+∠ABC=90°，④∠BAC+2∠BEC=180°，其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】根据角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、平行线的判定一一判定即可．
【详解】解：①设点A、B在直线MF上，
∵BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACP，
∴AD平分△ABC的外角∠FAC，
∴∠FAD=∠DAC，
∵∠FAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，
∴∠FAD=∠ABC，
∴AD∥BC，故①正确．
②∵BD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠MBC，
∴∠DBE=∠DBC+∠EBC=12∠ABC+12∠MBC=12×180°=90°，
∴EB⊥BD，故②正确．
③∵∠DCP=∠BDC+∠CBD，2∠DCP=∠BAC+2∠DBC，
∴2(∠BDC+∠CBD)=∠BAC+2∠DBC，
∴∠BDC=12∠BAC，
∵∠BAC+2∠ACB=180°，
∴12∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠BDC+∠ACB=90°，故③正确．
④∵∠BEC=180°−12(∠MBC+∠NCB)=180°−12(∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC)=180°−12(180°+∠BAC)
∴∠BEC=90°−12∠BAC，
∴∠BAC+2∠BEC=180°，故④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、平行线的判定等，熟悉各个概念的内容是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023春·河南郑州·八年级河南省实验中学校考期末）如图，有一张三角形纸片ABC，∠B＝32°，∠A＝100°，点D是AB边上的固定点BD<12AB，在BC上找一点E，将纸片沿DE折叠（DE为折痕），点B落在点F处，当EF与AC边平行时，∠BDE的度数为 ．

【答案】124°
【分析】根据已知、折叠和平行线，得∠BEF=∠C，再计算∠BED的度数，最后根据三角形内角和为180°计算∠BDE的度数即可．
【详解】∵EF∥AC，∠B=32°，∠A=100°，
∴∠BEF=∠C=180°−∠A−∠B=180°−100°−32°=48°（两直线平行，同位角相等），
∵纸片沿DE折叠（DE为折痕），点B落在点F处，
∴∠BED=12∠BEF=12×48°=24°，
∴∠BDE=180°−∠B−∠BED=180°−32°−24°=124°（三角形内角和为180°），
故答案为：124°．
【点睛】本题考查了折叠、平行线的性质、三角形内角和，掌握知识点计算角度是解题的关键．
12．（3分）（2023春·江西九江·八年级统考期末）如图，AD为△ABC的中线，DE，DF分别为△ABD，△ACD的一条高，若AB=6，DE=4，DF=83，则AC= ．

【答案】9
【分析】由AD为△ABC的中线得S△ABD=S△ACD，从而得到12⋅AB⋅DE=12⋅AC⋅DF，代入进行计算即可得到答案．
【详解】解：∵ AD为△ABC的中线，
∴BD=CD，
∴S△ABD=S△ACD，
∵ DE，DF分别为△ABD，△ACD的一条高，
∴12⋅AB⋅DE=12⋅AC⋅DF，
∵ AB=6，DE=4，DF=83，
∴AC=9，
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查了三角形的中线的应用，三角形面积的计算，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．
13．（3分）（2023春·海南儋州·八年级统考期末）已知△ABC的边长a，b，c满足a−22+b−4=0，则a、b的值分别是 ，若c为偶数，则△ABC的周长为 ．
【答案】 2、4 10
【分析】由a−22+b−4=0，可得a−2=0，b−4=0，解得a=2，b=4，由三角形三边关系可得，b−a【详解】解：∵a−22+b−4=0，
∴a−2=0，b−4=0，
解得a=2，b=4，
由三角形三边关系可得，b−a∵c为偶数，
∴c=4，
∴△ABC的周长为2+4+4=10，
故答案为：2、4，10．
【点睛】本题考查了绝对值，平方的非负性，三角形三边关系．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
14．（3分）（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期末）如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，CD:AD=1:2，连接BD，点E是线段BD上一点，BE:ED=1:3，连接AE，点F是线段AE的中点，连接CF交线段BD于点G，若△ABC的面积是12，则△EFG的面积是 ．

【答案】94
【分析】连接DF，CE．由题意中的线段的比和S△ABC=12，可推出S△ABD=23S△ABC=8，S△CBD=13S△ABC=4，从而可求出S△ABE=14S△ABD=2，S△ADE=34S△ABD=6．结合中点的性质即得出S△ADF=S△EDF=12S△ADE=3，从而可求出S△CDF=12S△ADF=32，进而得出S△ECF=S△ACF=S△ADF+S△CDF=92，最后即得出DGEG=S△CDFS△ECF=13，最后即可求出S△EFG=34S△EDF=94．
【详解】解：如图，连接DF，CE．

∵CD:AD=1:2，S△ABC=12，
∴S△ABD=23S△ABC=8，S△CBD=13S△ABC=4．
又∵BE:ED=1:3，
∴S△ABE=14S△ABD=2，S△ADE=34S△ABD=6．
∵点F是线段AE的中点，
∴S△ADF=S△EDF=12S△ADE=3．
∵CD:AD=1:2，
∴S△CDF=12S△ADF=32，
∴S△ACF=S△ADF+S△CDF=92，
∴S△ECF=S△ACF=92，
∴S△CDFS△ECF=3292=13，即S△DEF+S△DGCS△EFG+S△EGC=13,
∴DGEG=13，
∴S△EFG=34S△EDF=94．
故答案为：94．
【点睛】本题考查线段的中点的性质，线段的n等分点的性质，与三角形的高有关的计算问题．正确的连接辅助线是解题关键．
15．（3分）（2023春·广东汕头·八年级统考期末）如图△AOB和△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠B=40°，∠C=70°，点D在边OA上，将△COD绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中当CD∥AB时，旋转时间 秒．

【答案】11或29
【分析】根据题意，画出图形，进行分类讨论，①当点C在△AOB内时，根据三角形的内角和定理可得∠D=20°，根据平行线的性质得出∠1=∠B=40°，再根据三角形的外角定理求出∠2，进而得出∠AOD=∠AOB+∠2，即可求解；②当点C在△AOB外时，延长BO交CD于一点，根据平行线的性质得出∠3=∠B=40°，再根据三角形的外角定理求出 ∠4=20°，即可得出∠AOD，即可求解．
【详解】解：①当点C在△AOB内时，如图，
在Rt△OCD中，∠C=70°，
∴∠D=180°−90°−70°=20°，
∵CD∥AB，∠B=40°，
∴∠1=∠B=40°，
∵∠D+∠2=∠1，
∴∠2=40°−20°=20°，
∴∠AOD=∠AOB+∠2=90°+20°=110°，
∴旋转时间=110÷10=11（秒），

②当点C在△AOB外时，延长BO交CD于一点，如图，
∵CD∥AB，∠B=40°，
∴∠3=∠B=40°，
由①可得，∠D=20°，
∴∠4=∠3−∠D=40°−20°=20°，
∴∠AOD=90°−∠4=70°，
∴△COD绕点O沿顺时针方向旋转了360°−70°=290°，
∴旋转时间=290÷10=29（秒），

故答案为：11或29．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和，三角形的外角，平行线的性质，旋转的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和为180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，两直线平行，同位角相等，旋转前后对应边的夹角等于旋转角．
16．（3分）（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）如果三角形中任意两个内角∠α与∠β满足2α−β=60°，那么我们称这样的三角形为“斜等边三角形”．在锐角三角形ABC中，BD⊥AC于点D，若△ABC、△ABD、△BCD都是“斜等边三角形”，则∠ABC= ．

【答案】55°
【分析】根据新定义的“斜等边三角形”的特点分情况分析，然后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：△ABD是“斜等边三角形”， BD⊥AC，
∴∠ADB=90°
（1）2∠A−∠ABD=60°，
∵∠A+∠ABD=90°，
∴解得：∠A=50°，∠ABD=40°；
（2）2∠A−∠ADB=60°，
∴解得：∠A=75°，∠ABD=15°；
（3）2∠ABD−∠A=60°，
∵∠A+∠ABD=90°，
∴解得：∠A=40°，∠ABD=50°；
（4）2∠ABD−∠ADB=60°，
∴解得：∠ABD=75°，∠A=15°；
△BCD是“斜等边三角形”，
①2∠C−∠CBD=60°，
∵∠C+∠CBD=90°，
∴解得：∠C=50°，∠CBD=40°；
②2∠C−∠CDB=60°，
∴解得：∠C=75°，∠CBD=15°；
③2∠CBD−∠C=60°，
∵∠C+∠CBD=90°，
∴解得：∠C=40°，∠CBD=50°；
④2∠CBD−∠CDB=60°，
∴解得：∠CBD=75°，∠C=15°；
当（1）①成立时，∠A=50°，∠ABD=40°，∠C=50°，∠CBD=40°，
∴∠CBA=40°+40°=80°，
∴三个角中不满足“斜等边三角形”的定义，不符合题意；
当（1）②成立时，∠A=50°，∠ABD=40°，∠C=75°，∠CBD=15°，
∴∠CBA=40°+15°=55°，
∵2∠CBA−∠A=60°，
∴△ABC是“斜等边三角形”，符合题意；
同理得：符合题意的只有∠ABC=55°，
故答案为：55°
【点睛】题目主要考查三角形内角和定理，理解题意，进行分情况分析是解题关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023春·贵州铜仁·八年级统考期中）（1）一个多边形的内角和是外角和的3倍，这个多边形是几边形？
（2）小明求得一个多边形的内角和为1280°，小强很快发现小明所得的度数有误，后来小明复查时发现他重复加了一个内角，求出这个多边形的边数以及他重复加的那个角的度数．
【答案】（1）这个多边形是八边形；（2）这个多边形的边数是9，重复加的那个角的度数是20°
【分析】（1）由多边形内角和定理和多边形外角和为360°列方程即可求解；
（2）设这个多边形的边数是m，根据多边形内角和定理可列出不等式组m−2×180<1280【详解】解：（1）设这个多边形的边数是n，
由题意得：n−2×180=360×3，
∴n=8，
∴这个多边形是八边形；
（2）设这个多边形的边数是m，
由题意得：m−2×180<1280解得：819∵m为整数
∴m=9，
∴重复加的那个角的度数是：1280°−9−2×180°=20°
答：这个多边形的边数是9，重复加的那个角的度数是20°．
【点睛】本题考查多边形的内角和定理，外角和定理，解题的关键是熟记多边形内角和公式．
18．（6分）（2023春·河南洛阳·八年级统考期末）如图所示，D是△ABC的边AC上任意一点（不含端点），连结BD，请判断AB+BC+AC与2BD的大小关系，并说明理由．
【答案】AB+BC+AC＞2BD，理由见解析
【分析】根据三角形两边之和大于第三边即可求解．
【详解】解：AB+BC+AC＞2BD．理由如下：
在△ABD中，AB+AD＞BD，
在△BCD中，BC+CD＞BD，
∴AB+AD+BC+CD＞2BD，
即AB+BC+AC＞2BD．
【点睛】本题考查了三角形三边关系．关键是熟悉三角形两边之和大于第三边的知识点．
19．（8分）（2023春·江苏苏州·八年级校联考期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．将△ABC平移，使点C平移至点D，点A、B的对应点分别是点E、F．
(1)在图中请画出△ABC平移后得到的△DEF；
(2)在图中画出△ABC的AB边上的高CH；
(3)若连接CD、AE，则这两条线段之间的关系是 ；
(4)△DEF的面积为 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)平行且相等
(4)152
【分析】（1）根据平移的性质求解即可；
（2）根据三角形高的概念和网格的特点求解即可；
（3）根据网格的特点，平移的性质和平行的概念求解即可；
（4）用长方形的面积减去3个三角形的面积即可求解．
【详解】（1）如图所示，△DEF即为所求；
（2）如图所示，CH即为所求；

（3）如图所示，
∵△ABC平移后得到的△DEF
∴若连接CD、AE，CD∥AE，CD=AE
∴这两条线段之间的关系是平行且相等；
（4）如图所示，
△DEF的面积=4×6−12×4×3−12×1×3−12×3×6=152．
【点睛】本题考查作图平移变换，三角形的高，四边形的面积等知识，解题关键是掌握平移变换的性质，学会用割补法求四边形面积．
20．（8分）（2023春·河南安阳·八年级统考期中）如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90°．

(1)求AD的长；
(2)求△ACE和△ABE周长的差．
【答案】(1)AD的长度为4.8cm
(2)△ACE和△ABE的周长的差是2cm
【分析】（1）根据S△ABC=12AB⋅AC=12BC⋅AD即可求出AD的长.
（2）将△ACE和△ABE的周长分别表示出来，作差即可.
【详解】（1）解：∵∠BAC=90°，AD是边BC上的高，
∴12AB⋅AC=12BC⋅AD，
∴AD=AB⋅ACBC=6×810=4.8(cm)，即AD的长度为4.8cm；
（2）∵AE为BC边上的中线，
∴BE=CE，
∴△ACE的周长−△ABE的周长
=(AC+AE+CE)−AB+BE+AE
=AC−AB
=8−6
=2(cm)，
即△ACE和△ABE的周长的差是2cm．
【点睛】本题主要考查了三角形中的一些重要线段：三角形的高和三角形的中线，熟练掌握利用面积法求三角形的高是解题的关键.
21．（8分）（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末）在△ABC中，∠B，∠C均为锐角且不相等，线段AD是△ABC中BC边上的高，AE是△ABC的角平分线．

(1)如图1，∠B=70°，∠C=30°，求∠DAE的度数；
(2)若∠B=x°，∠DAE=10°，则∠C=______；
(3)F是射线AE上一动点，C、H分别为线段AB，BC上的点（不与端点重合），将△BGH沿着GH折叠，使点B落到点F处，如图2所示，请直接写出∠1，∠2与∠B的数量关系．
【答案】(1)20°
(2)x−20°
(3)∠1+∠2=2∠B
【分析】（1）根据三角形的内角和定理，求出∠BAC=80°，则∠BAE=12∠BAC=40°，再求出∠BAD=180°−∠B−∠ADB=20°，最后根据∠DAE=∠BAE−∠BAD求解即可；
（2）根据直角三角形两个锐角互余可得∠BAD=90°−x°，进而得出∠BAE=100°−x°，再根据角平分线的定义得出∠BAC=2∠BAE=200°−2x°，最后根据三角形的内角和定理即可求解；
（3）连接BF，根据三角形的外角定理得出∠1+∠2=∠B+∠GFH，再根据折叠的性质得出∠B=∠GFH，即可得出结论．
【详解】（1）解：在△ABC中，∠B=70°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−70°−30°=80°，
∵AE是△ABC的角平分线．
∴∠BAE=12∠BAC=12×80°=40°，
∵线段AD是△ABC中BC 边上的高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=180°−∠B−∠ADB=180°−70°−90°=20°，
∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=40°−20°=20°，
（2）解：∵∠B=x°，线段AD是△ABC中BC边上的高，
∴∠BAD=90°−∠B=90°−x°，
∵∠DAE=10°，
∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°−x°+10°=100°−x°，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAC=2∠BAE=200°−2x°，
∴∠C=180°−∠B−∠BAC=180°−x°−200°−2x°=x−20°，
故答案为：x−20°；
（3）解：连接BF，

∵∠1=∠GBF+∠GFB，∠2=∠HBF+∠HFB，
∴∠1+∠2=∠GBF+∠GFB+∠HBF+∠HFB=∠B+∠GFH，
∵△GFH由△GBH折叠所得，
∴∠B=∠GFH，
∴∠1+∠2=2∠B．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角定理，解题的关键是掌握三角形的内角和为180°，直角三角形两个锐角互余，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
22．（8分）（2023春·四川内江·八年级统考期末）已知，在△ABC中，∠BAC=∠ABC，点D在AB上，过点D的一条直线与直线AC、BC分别交于点E、F．

(1)如图1，∠BAC=70°，则∠CFE+∠FEC=______°．
(2)如图2，猜想∠BAC、∠FEC、∠CFE之间的数量关系，并加以证明；
(3)如图3，直接写出∠BAC、∠FEC、∠CFE之间的数量关系______．
【答案】(1)140
(2)∠FEC+∠CFE=2∠BAC，证明见解析
(3)∠FEC+∠CFE=180°−2∠BAC
【分析】（1）根据三角形内角和定理先求出∠ACB=180°−2∠BAC，再根据∠CFE+∠FEC=180°−∠ACB，代入后得出∠CFE+∠FEC=2∠BAC，即可得出答案；
（2）先求出∠CEF+∠CFE=180°−∠C，再得出∠CEF+∠CFE=∠BAC+∠ABC，进而可得出答案；
（3）根据三角形内角和定理和三角形的外角的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：∵∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°，∠BAC=∠ABC，
∴∠ACB=180°−2∠BAC，
∵∠CFE+∠FEC=180°−∠ACB，
∴∠CFE+∠FEC=180°−180°−2∠BAC=2∠BAC，
∵∠BAC=70°，
∴∠CFE+∠FEC=140°；
（2）∠FEC+∠CFE=2∠BAC，
证明：在△CEF中
∵∠C+∠CEF+∠CFE=180°，
∴∠CEF+∠CFE=180°−∠C，
在△ABC中，
∵∠C+∠BAC+∠ABC=180°，
∴∠BAC+∠ABC=180°−∠C，
∴∠CEF+∠CFE=∠BAC+∠ABC，
∵∠BAC=∠ABC，
∴∠CEF+∠CFE=2∠BAC；
（3）解：∵∠ACB=∠FEC+∠CFE，∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°，∠BAC=∠ABC，
∴180°−2∠BAC=∠FEC+∠CFE，
∴∠FEC+∠CFE=180°−2∠BAC．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握三角形内角和180度是解题的关键．
23．（8分）（2023春·福建龙岩·八年级校考期末）将含30°角的三角板ABC（∠B=30°）和含45°角的三角板FDE及一把直尺按图方式摆放在起．使两块三角板的直角顶点A，F重合．点A，F，C，E始终落在直尺的PQ边所在直线上．将含45°角的三角板FDE沿直线PQ向右平移．

(1)当点F与点C重合，请在备用图中补全图形，并求平移后DC与CB形成的夹角∠DCB的度数；
(2)如图，点F在线段AC上移动，M是边AB上的动点，满足∠DFM被FB平分，∠EFM的平分线FN与边BC交于点N，请证明在移动过程中，∠NFB的大小保持不变；

(3)仿照（2）的探究，点F在射线CQ上移动，M是边AB上的动点，满足∠DFM被FB平分，∠EFM的平分线FN′所在直线与直线BC交于点N，请写出一个与平移过程有关的合理猜想．（不用证明）
【答案】(1)图见解析，30°
(2)见解析
(3)在移动过程中，∠NFB的大小保持不变；
【分析】（1）根据题意补全图形，根据平行线的性质即可求解；
（2）根据平行线的性质设∠DFB=∠MBF=α，根据角平分线的定义可得∠DFB=∠MFB=α，根据三角形的外角的性质得出∠AMF=∠MBF+∠MFB=2α，进而根据三角形内角和定理以及角平分线的定义可得∠MFN=45°+α，进而根据∠NFB=∠NFM−∠BFM，即可求解；
（3）仿照（2）的方法即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，

∵DC∥AB
∴∠DCB=∠B=30°，
（2）证明：∵AB∥FD
∴∠DFB=∠MBF，设∠DFB=∠MBF=α
∵∠DFM被FB平分
∴∠DFB=∠MFB，则∠DFB=∠MFB=α，
∴∠AMF=∠MBF+∠MFB=2α，
∵∠BAC=90°
∴∠MFA=90°−2α，
∵FN平分∠EFM
∴∠EFN=∠MFN=12180°−∠MFA=12180°−90°+2α=45°+α
∴∠NFB=∠NFM−∠BFM=45°+α−α=45°，即∠NFB的大小保持不变；
（3）解：在移动过程中，∠NFB的大小保持不变；
如图所示，

证明：∵AB∥FD
∴∠DFB=∠MBF，设∠DFB=∠MBF=α
∵∠DFM被FB平分
∴∠DFB=∠MFB，则∠DFB=∠MFB=α，
∴∠AMF=∠MBF+∠MFB=2α，
∵∠BAC=90°
∴∠MFA=90°−2α，
∵FN′平分∠EFM
∴∠EFN′=∠MFN′=12180°−∠MFA=12180°−90°+2α=45°+α
∴∠N′FB=∠N′FM−∠BFM=45°+α−α=45°，
∴∠NFB=135°，即∠NFB的大小保持不变；
【点睛】本题考查了三角板中角度的计算，平行线的性质，三角形的外角的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．