中考数学一轮复习：专题15.10 轴对称图形与等腰三角形章末九大题型总结（拔尖篇）（沪科版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习：专题15.10 轴对称图形与等腰三角形章末九大题型总结（拔尖篇）（沪科版）（解析版），共66页。

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\l "_Tc21650" 【题型1 设计轴对称图案】 PAGEREF _Tc21650 \h 1
\l "_Tc5163" 【题型2 利用轴对称性质求最值】 PAGEREF _Tc5163 \h 4
\l "_Tc24102" 【题型3 翻折变换】 PAGEREF _Tc24102 \h 12
\l "_Tc2831" 【题型4 两圆一线画等腰】 PAGEREF _Tc2831 \h 21
\l "_Tc13368" 【题型5 等边三角形手拉手问题】 PAGEREF _Tc13368 \h 24
\l "_Tc30657" 【题型6 分身等腰】 PAGEREF _Tc30657 \h 32
\l "_Tc17418" 【题型7 一线分二腰】 PAGEREF _Tc17418 \h 35
\l "_Tc24246" 【题型8 角平分线的综合应用】 PAGEREF _Tc24246 \h 43
\l "_Tc910" 【题型9 垂直平分线的综合应用】 PAGEREF _Tc910 \h 53
【题型1 设计轴对称图案】
【例1】（2023·全国·八年级假期作业）如图，点A、B、C都在方格纸的格点上，请你再找一个格点D，使点A、B、C、D组成一个轴对称图形，并画出对称轴．

【答案】见解析
【分析】如图1，以线段AB的垂直平分线为对称轴，找出点C的对称点D，然后顺次连接即可；
如图2，以线段AB所在的直线为对称轴，找出点C的对称点D，然后顺次连接即可；
如图3，以线段BC的垂直平分线为对称轴，找出点A的对称点D，然后顺次连接即可；
如图4，以线段BC所在的直线为对称轴，找出点A的对称点D，然后顺次连接即可．
【详解】解：如图所示：


【点睛】此题考查利用轴对称设计图案，熟练掌握轴对称的性质，利用轴对称的作图方法作图是解此题的关键．
【变式1-1】（2023春·八年级单元测试）图形设计：请将网格中的某些小方格涂黑，使它与已涂黑的小方格组成轴对称图形，并且有两条对称轴．（要求用两种不同的方法）

【答案】见解析
【分析】根据轴对称图形的性质来画轴对称图形，先确定对称轴，再找出阴影部分图形关键点的对称点，画出图形即可，图形的两部分沿对称轴折叠后可完全重合
【详解】解：画图如下：

【点睛】此题主要考查了作图--轴对称变换，关键是掌握轴对称图形的定义．
【变式1-2】（2023春·吉林延边·八年级阶段练习）图①、图②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，在每个网格中标注了5个格点，按下列要求画图．
（1）在图①中，以格点为顶点画一个等腰三角形，使其内部已标注的格点只有4个；
（2）在图②中，以格点为顶点，画一个轴对称图形，使其内部已标注的格点只有3个．
【答案】见解析
【详解】试题分析：（1）根据要求画图即可．因为画的是等腰三角形，因此至少要有两条边相等；
（2）利用已知结合轴对称图形性质画出一个等腰三角形即可．
解：（1）如图①所示：
（2）如图②所示：
．
考点：利用轴对称设计图案．
【变式1-3】（2023春·八年级单元测试）请你分别在下面的三个网格（两相邻格点的距离均为1个单位长度）中，各补画一个小正方形，要求：
①三个图形形状各不相同，②所设计的图案是轴对称图形．
【答案】详见解析
【分析】利用轴对称图形性质分别得出图案即可．
【详解】如图所示：
【点睛】本题考查了利用轴对称性质设计图案，利用轴对称图形是沿某条直线折叠后能够与直线的另一边完全重合的图形设计图案是解题的关键．
【题型2 利用轴对称性质求最值】
【例2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上的中线且BF=b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是 ，此时∠CFE= ．

【答案】 12a+b 90°/90度
【分析】通过分析点E的运动轨迹，点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于点E'，此时AE′+FE′的值最小
【详解】解：∵△ABC，△ADE均为等边三角形，
∴AB=AC=a,AD=AE,∠BAC=∠DAE=∠ABC=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∴AF=CF=12a,BF=b，
∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°,BF⊥AC
∴点E在射线CE上运动（∠ACE=30°）
作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于点E'，此时AE′+FE′的值最小，∠CFE'=90°

∵CA=CM,∠ACM=60°
∴△ACM是等边三角形，
∴AM=AC，
∵BF⊥AC，
∴FM=BF=b，
∴△AEF周长的最小值是AF+FE′+AE′=AF+FM=12a+b，
故答案为：12a+b，90°
【点睛】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E的运动轨迹，本题难度比较大，属于中考填空题中的压轴题．
【变式2-1】（2023春·湖北武汉·八年级校考期末）如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为BC中点，AD=6，P为AB上一个动点，当P点运动时，PC+PD的最小值为 ．
【答案】6
【分析】作出点C关于AB的对称点F，连接FD，根据对称性，得到BC=BF,∠CBA=∠ABF=45°，证明Rt△ACD≌Rt△FBD，得到PC+PD的最小值为DF，计算即可．
【详解】如图，∵AC=BC，∠ACB=90°，D为BC中点，
∴BD=CD,∠CAB=∠CBA=45°；
作点C关于AB的对称点F，连接FD，交AB于点E，当点P与点E重合时，PC+PD取得最小值，且最小值为DF，
根据对称性，得到BC=BF,∠CBA=∠ABF=45°，
∴FB=AC,∠FBD=90°；
∴AC=FB∠ACD=∠FBD=90°CD=BD，
∴Rt△ACD≌Rt△FBD，
∴AD=FD，
∵AD=6，
∴FD=6，
∴PC+PD的最小值为6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了轴对称性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握轴对称性质是解题的关键．
【变式2-2】（2023春·河北张家口·八年级统考期末）如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C、M、N都在格点上．

(1)画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1；
(2)在直线MN上找点P使PB+PC最小，在图形上画出点P的位置；
(3)在直线MN上找点Q使QB−QA最大，直接写出这个最大值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)作图见解析；QB−QA最大值为3
【分析】（1）利用网格特点，先画出A、B、C关于直线MN的对称点A1、B1、C1，再顺次连接即可；
（2）作点C关于MN的对称点D，连接BD交MN于一点，该点即为点P；
（3）由于QA=QA1，则|QB−QA=QB−QA1|，而由三角形的三边关系可得QB−QA1≤A1B，当Q、A1、B三点共线时取等号，从而可得答案．
【详解】（1）解：△A1B1C1即为所求作的三角形，如图所示：

（2）解：如图，作点C关于MN的对称点D，连接BD交MN于一点，该点即为所求作的点P；

∵点C与D关于MN的对称，
∴PC=PD，
∴PB+PC=PD+PB，
∵PB+PD≥BD，只有当点P、B、D三点共线时等号成立，
∴当点P、B、D三点共线时，PB+PD最小，即PB+PC最小；
（3）解：先作出A关于直线MN的对称点A1，连接BA1并延长交MN于一点，该点即为点Q，如图所示：

∵QA=QA1，
∴|QB−QA=QB−QA1|，
根据三角形的三边关系可得QB−QA1≤A1B，当Q、A1、B三点共线时取等号，
∴QB−QA的最大值为A1B=3．
【点睛】本题主要考查了作图—轴对称变换、轴对称的性质和三角形的三边关系，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．
【变式2-3】（2023春·广东深圳·八年级校考开学考试）【初步感知】
(1)如图1，已知ΔABC为等边三角形，点D为边BC上一动点（点D不与点B，点C重合）．以AD为边向右侧作等边ΔADE，连接CE．求证：ΔABD≌ΔACE；

【类比探究】
(2)如图2，若点D在边BC的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明：

①AB与CE的位置关系为： ；
②线段EC、AC、CD之间的数量关系为： ；
【拓展应用】
(3)如图3，在等边ΔABC中，AB=3，点P是边AC上一定点且AP=1，若点D为射线BC上动点，以DP为边向右侧作等边ΔDPE，连接CE、BE．请问：PE+BE是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由．

【答案】(1)见解析
(2) 平行 EC=AC+CD
(3)有最小值，5
【分析】（1）由ΔABC和ΔADE是等边三角形，推出AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，又因为∠BAC=∠DAE，则∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE，从而利用“SAS”证明ΔABD≌ΔACE；
（2）①由（1）得ΔABD≌ΔACE（SAS），得出∠B=∠ACE=60°，CE＝BD，∠BAC=∠ACE，则AB∥CE；
②因为CE=BD，AC=BC，所以CE=BD=BC+CD=AC+CD；
（3）在BC上取一点M，使得DM=PC，连接EM，可证ΔEPC≌ΔEDM（SAS），EC=EM，求得∠CEM=60°，得出ΔCEM是等边三角形，则∠ECD＝60°，即点E在∠ACD角平分线上运动，在射线CD上截取CP′=CP，当点E与点C重合时，BE+PE=BE+P′E≥BP′＝5，进而解答此题．
【详解】（1）证明：∵ΔABC和ΔADE是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，
∠BAC=∠DAE=60°，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC
即∠BAD=∠CAE
在ΔABD和ΔACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE ，
∴ΔABD≌ΔACE（SAS）；
（2）平行，EC=AC+CD，理由如下：
由（1）得ΔABD≌ΔACE（SAS），
∴∠B=∠ACE=60°，CE＝BD，
∴∠BAC=∠ACE，
∴AB∥CE，
∵CE=BD，AC=BC，
∴CE=BD=BC+CD=AC+CD；
（3）有最小值，理由如下：
如图，在射线BC上取一点M，使得DM=PC，连接EM，

∵ΔABC和ΔDPE是等边三角形，
∴PE=ED，∠DEP=∠ACB=60°，
∴∠ACD=180°−∠ACB=180°−60°=120°，
∴∠ACD+∠DEP=120°+60°=180°，
由三角形内角和为180°，可知：∠PCE+∠CEP+∠EPC=180°，∠ECD+∠CDE+∠CED=180°，
∴∠PCE+∠CEP+∠EPC+∠ECD+∠CDE+∠CED=360°，
又∵∠PCE+∠ECD+∠CEP+∠CED=∠ACD+∠DEP=180°，
∴∠EPC+∠CDE=360°−180°=180°，
∵∠EDM+∠CDE=180°，
∴∠EPC=∠EDM，
在ΔEPC和ΔEDM中，
PE=ED∠EPC=∠EDMPC=DM ，
ΔEPC≌ΔEDM（SAS），
∴EC=EM，∠PEC=∠DEM，
∵∠PEC+∠CED＝∠DEP=60°，
∴∠CEM=∠DEM+∠CED=60°，
∴ΔCEM是等边三角形，
∴∠ECD=60°，∠ACE=180°−∠ECD−∠ACB=180°−60°−60°=60°，
即点E在∠ACD的角平分线上运动，
在射线CD上截取CP′=CP，连接EP′，
在ΔCEP和ΔCEP′中，
PC=P′C∠PCE=∠P′CE=60°CE=CE ，
ΔCEP≌ΔCEP′（SAS），
∴PE=P′E，
则BE+PE=BE+P′E，
由三角形三边关系可知，BE+P′E≥BP′，
即当点E与点C重合，BE+P′E=BP′时，PE+BE有最小值BP′，
∵BP′=BE+CP′=BC+CP=3+2=5，
∴BE+PE=BE+P′E≥BP′=5，
∴BE+PE最小值为5．

【点睛】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，正确添加辅助线、掌握相关图形的性质定理是解题的关键．
【题型3 翻折变换】
【例3】（2023春·福建泉州·八年级统考期末）在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，点D是AB边上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△ECD．

(1)如图1，当点E落在BC上时，求∠BDE的度数；
(2)当点E落在BC下方时，设DE与BC相交于点F．
①如图2，若DE⊥BC，试说明：CE∥AB；
②如图3，连接BE，EG平分∠BED交CD的延长线于点G，交BC于点H．若BE∥CG，试判断∠CFE与∠G之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)10°
(2)①见解析；②4∠G−∠CFE=40°
【分析】（1）根据翻折可得∠A=∠CED=50°，再利用外角即可求出∠BDE的度数；
（2）①根据翻折可得∠A=∠CED=50°，再利用垂直可得∠B=∠ECF=40°，即可得到CE∥AB；
②设∠G=x，根据角平分线和平行线可得∠G=∠DEG=∠BEG=x，∠ADC=∠CDE=∠DEB=2x，可求得∠BCD=90°−∠ACD=90°−180°−∠A−∠ADC=2x−40°，再利用外角可得∠CFE=∠BCD+∠CDE=4x−40°，即可得到4∠G−∠CFE=40°．
【详解】（1）∵∠ACB=90°，∠A=50°，
∴∠B=40°，
∵将△ACD沿CD翻折后得到△ECD，
∴∠A=∠CED=50°，
∴∠BDE=∠CED−∠A=50°−40°=10°；
（2）①根据翻折可得∠A=∠CED=50°，∠ADC=∠CDE
∵DE⊥BC，
∴∠ECF=90°−∠E=40°=∠B，
∴CE∥AB；
②4∠G−∠CFE=40°，理由如下：
设∠G=x，
∵BE∥CG，
∴∠G=∠BEG=x，∠CDE=∠DEB
∵EG平分∠BED，
∴∠G=∠DEG=∠BEG=x，∠ADC=∠CDE=∠DEB=2x，
∴∠ACD=180°−∠A−∠ADC=130°−2x，
∴∠BCD=90°−∠ACD=90°−130°−2x=2x−40°，
∴∠CFE=∠BCD+∠CDE=4x−40°，
∴∠CFE=4∠G−40°，即4∠G−∠CFE=40°．
【点睛】本题考查折叠的性质，平行线的性质与判定，三角形的外角性质，解题的关键是理清角度之间的关系．
【变式3-1】（2023春·辽宁丹东·八年级统考期末）在锐角△ABC中，AB=AC，将△ABC沿AC翻折得到△AB′C，直线AB与直线B′C相交于点E，若△AEB′是等腰三角形，则∠BAC的度数为 ．
【答案】540°7或36°
【分析】分三种情形：当B′A=B′E，点E在CB′和BA的延长线上，当AE=B′E，点E在AB和B′C的延长线上，分别画出图形，分别求解即可．
【详解】解：①如图，当B′A=B′E，点E在CB′和BA的延长线上，

∵AB=AC，
∴∠B=∠BCA，
由折叠得：∠B=∠AB′C，∠BCA=∠B′CA，
设∠B=x，则∠AB′C=∠BCA=∠B′CA=x，∠AEB′=∠EAB′=12x，∠EAC=2x，
在△AEC中，由三角形内角和定理得：x+2x+12x=180°，
∴x=360°7，
即∠B=360°7，
∴∠BAC=180°−∠B−∠ACB=540°7，
∵360°7