中考数学一轮复习：专题21.14 二次函数与反比例函数章末拔尖卷（沪科版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习：专题21.14 二次函数与反比例函数章末拔尖卷（沪科版）（解析版），共35页。

参考答案与试题解析
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023春·广东广州·九年级校考期中）反比例函数y=k−2x过点1，2，则关于一次函数y=kx+k−5说法正确的是（ ）
A．不过第一象限 B．y随x的增大而增大
C．一次函数过点2，9 D．一次函数与坐标轴围成的三角形的面积是4
【答案】B
【分析】把点1，2代入反比例函数y=k−2x，求出k的值，再把k的值代入一次函数y=kx+k−5，再根据一次函数的性质即可解答．
【详解】解：∵反比例函数y=k−2x过点1，2，
∴2=k−2，解得k=4，
∴一次函数y=kx+k−5的解析式为y=4x−1，
∴函数图像过一三四象限，不过第二象限，故A错误，不符合题意；
∵4＞0，
∴y随x的增大而增大，故B正确，符合题意；
∵当x=2时，y=4×2−1=7，
∴一次函数不过点2，9，故C错误，不符合题意；
∵y=4x−1与坐标轴的交点为0，−1，14，0，
∴一次函数与坐标轴围成的三角形的面积为12×1×14=18，故D错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是反比例函数及一次函数的性质，先根据题意得出k的值是解题的关键．
2．（3分）（2023春·江苏·九年级专题练习）一次函数y=cx−b与二次函数y=ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先假设c<0，根据二次函数y=ax2+bx+c图象与y轴交点的位置可判断A，C是否成立；
再假设c>0，b<0，判断一次函数y=cx−b的图象位置及增减性，再根据二次函数y=ax2+bx+c的开口方向及对称轴位置确定B，D是否成立．
【详解】解：若c<0，则一次函数y=cx−b图象y随x的增大而减小，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴的交点在y轴负半轴，故A，C错；
若c>0，b<0，则一次函数y=cx−b图象y随x的增大而增大，且图象与y的交点在y轴正半轴上，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴的交点也在y轴正半轴，若a>0，则对称轴x=−b2a>0，故B错；若a<0，则对称轴x=−b2a<0，则D可能成立．
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数图象与二次函数图象的综合判断问题，解答时可假设一次函数图象成立，分析二次函数的图象是否符合即可．
3．（3分）（2023春·安徽滁州·九年级校考期末）已知抛物线y=x2+m+1x−14m2−1（m为整数）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且OA=OB，则m等于（ ）
A．2+5B．2−5C．2D．−2
【答案】D
【分析】当x=0时，可求得B为0，−14m2−1，由OA=OB可得A为−14m2−1，0或14m2+1，0，将A的坐标代入y=x2+m+1x−14m2−1，进行计算即可得到答案．
【详解】解：当x=0时，y=−14m2−1，
∴抛物线与y轴的交点B为0，−14m2−1，
∵ OA=OB，
∴抛物线与x轴的交点A为−14m2−1，0或14m2+1，0，
∴−14m2−12+m+1−14m2−1−14m2−1=0或14m2+12+m+114m2+1−14m2−1=0，
∴−14m2−1−14m2−1+m+1+1=0或14m2+114m2+1+m+1−1=0，
∴−14m2−1=0或−14m2−1+m+1+1=0或14m2+1=0或14m2+1+m+1−1=0，
解得：m=22+2或m=−22+2或m=−2，
∵ m为整数，
∴m=−2，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与x轴、y轴的交点坐标，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
4．（3分）（2023春·江苏·八年级期末）已知点A(a,y1)，B(a+2,y2)，在反比例函数y=|k|+1x的图像上，若y1−y2>0，则a的取值范围为（ ）
A．a<0B．a<−2C．−20
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点（a，y1）、（a＋2，y2）在图象的同一分支上时；②当点（a，y1）、（a＋2，y2）在图象的两支上时，分别求解即可．
【详解】解：∵|k|+1>0，
∴图像在一、三象限，在反比例函数图像的每一支上，y随x的增大而减小，
∵ y1−y2>0，
∴ y1＞y2，
①当点（a，y1）、（a＋2，y2）在同一象限时，
∵y1＞y2，
i.当在第一象限时，
∴00；
ii.当在第三象限时，
∴a综上所述：a<−2或a>0；
②当点（a，y1）、（a＋2，y2）不在同一象限时，
∵y1＞y2，
∴a＞0，a＋2＜0，此不等式组无解，
因此，本题a的取值范围为a<−2或a>0，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握当反比例函数k的正负对增减性的影响，当k<0时，在图象的每一支上，y随x的增大而增大；当k>0时，在图象的每一支上，y随x的增大而减小．
5．（3分）（2023春·陕西咸阳·九年级统考期中）已知二次函数y=mx2−2mx+2（m≠0）在−2≤x<2时有最小值−2，则m=（ ）
A．−4或−12B．4或−12C．−4或12D．4或12
【答案】B
【分析】先求出二次函数对称轴为直线x=1，再分m>0和m<0两种情况，利用二次函数的性质进行求解即可．
【详解】解：∵二次函数y=mx2−2mx+2=mx−12−m+2，
∴对称轴为直线x=1，
①当m>0，抛物线开口向上，x=1时，有最小值y=−m+2=−2，解得：m=4；
②当m＜0，抛物线开口向下，∵对称轴为直线x=1，在−2≤x<2时有最小值−2，
∴x=−2时，有最小值y=9m−m+2=−2，解得：m=−12．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，掌握分类讨论的思想是解题的关键．
6．（3分）（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）已知二次函数y=−x+m−1x−m+1，点Ax1,y1,Bx2,y2x1A．若x1+x2>1，则y1>y2B．若x1+x2<1，则y1>y2
C．若x1+x2>−1，则y1>y2D．若x1+x2<−1，则y1【答案】A
【分析】将函数化为二次函数的一般形式，可以求得对称轴为x=12，然后根据函数图像上点的坐标与对称轴的关系即可得到答案；
【详解】解：∵y=−(x+m−1)(x−m)+1=−x2+x+m2−m+1
∴函数图像开口向下，对称轴为x=12
当x1+x2=1时，A、B两点关于对称轴对称，此时y1=y2；
当x1+x2>1时，A、B在对称轴右侧或分别在对称轴两侧且A到对称轴的距离小于B到对称轴的距离，此时y1>y2；
当x1+x2<1时，A、B在对称轴左侧或分别在对称轴两侧，且A到对称轴的距离大于B到对称轴的距离，此时y1由此可判断选项，只有A选项符合，故选A；
【点睛】本题考查了二次函数的图像，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键．
7．（3分）（2023春·陕西西安·九年级西安建筑科技大学附属中学校考期中）如图，点A是反比例函数y=4x图像上的一动点，连接AO并延长交图像的另一支于点B．在点A的运动过程中，若存在点C(m,n)，使得AC⊥BC，AC=BC，则m，n满足（ ）
A．mn=−2B．mn=−4C．n=−2mD．n=−4m
【答案】B
【分析】连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，根据等腰直角三角形的性质得出OC=OA，通过角的计算找出∠AOE=∠COF，结合“∠AEO=90°，∠CFO=90°”可得出ΔAOE≅ΔCOF，根据全等三角形的性质，可得出A(−m,n)，进而得到−mn=4，进一步得到mn=−4．
【详解】解：连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，如图所示：
∵由直线AB与反比例函数y=4x的对称性可知A、B点关于O点对称，
∴AO=BO，
又∵AC⊥BC，AC=BC，
∴CO⊥AB，CO=12AB=OA，
∵∠AOE+∠AOF=90°，∠AOF+∠COF=90°，
∴∠AOE=∠COF，
又∵∠AEO=90°，∠CFO=90°，
∴ΔAOE≅ΔCOF(AAS)，
∴OE=OF，AE=CF，
∵点C(m,n)，
∴CF=−m，OF=n，
∴AE=−m，OE=n，
∴A(n,−m)，
∵点A是反比例函数y=4x图像上，
∴−mn=4，即mn=−4，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数的性质，等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定及性质，解题的关键是求出点A的坐标．
8．（3分）（2023春·浙江温州·九年级期末）已知抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）经过点A1，0和点B0，−3，若该抛物线的顶点在第三象限，记m=2a−b+c，则m的取值范围是（ ）
A．0【答案】B
【分析】由顶点在第三象限，经过点A1，0和点B0，−3，可得出： a>0，−b2a<0，即可得出0【详解】∵抛物线y=ax2+bx+c过点1,0和点0,−3，
∴c=−3，a+b+c=0，
即b=3−a，
∵顶点在第三象限，经过点A1，0和点B0，−3，
∴a>0，−b2a<0，
∴b>0，
∴b=3−a>0，
∴a<3，
∴0∵m=2a−b+c=2a−3−a+−3=3a−6，
∵0∴0<3a<9
∴−6<3a−6<3，
∴−6故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=−b2a；抛物线与y轴的交点坐标为0，c．
9．（3分）（2023春·浙江绍兴·九年级校考期中）如图是抛物线y=ax2+bx+ca≠0的部分图象，其顶点坐标为1，n，且与x轴的一个交点在点3，0和4，0之间，则下列结论：①b=2a；②c−a=n；③抛物线另一个交点m，0在−2到−1之间；④当x<0时，ax2+b+2x≥0；⑤一元二次方程ax2+b−12x+c=0有两个不相等的实数根；其中正确的是（ ）
A．①②③B．①④⑤C．②④⑤D．②③⑤
【答案】D
【分析】①根据抛物线的对称轴公式即可求解；②当x等于1时，y等于n，再利用对称轴公式即可求解；③根据抛物线的对称性即可求解；④根据抛物线的平移即可求解；⑤根据一元二次方程的判别式即可求解．
【详解】解：①因为抛物线的顶点坐标为1，n，则其对称轴为x=1，
即−b2a=1，所以b=−2a，所以①错误；
②当x=1时，y=n，
所以a+b+c=n，因为b=−2a，
所以c−a=n，所以②正确；
③因为抛物线的对称轴为x=1，
且与x轴的一个交点在点3，0和4，0之间，
所以抛物线另一个交点m，0在−2到−1之间；所以③正确；
④因为ax2+b+2x≥0，即ax2+bx≥−2x，
根据图象可知：
把抛物线y=ax2+bx+ca≠0图象向下平移c个单位后图象过原点，
即可得抛物线y=ax2+bxa≠0的图象，
所以当x<0时，ax2+bx<−2x，
即ax2+b+2x<0．所以④错误；
⑤一元二次方程ax2+b−12x+c=0，
Δ=b−122−4ac，
因为根据图象可知：a<0，c>0，
所以−4ac>0，
所以Δ=b−122−4ac>0，
所以一元二次方程ax2+b−12x+c=0有两个不相等的实数根．
所以⑤正确．
综上，正确的有②③⑤，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式、根的判别式、二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解决本题的关键是综合运用以上知识．
10．（3分）（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴正半轴上，反比例函数y=kx(k≠0,x>0)的图像同时经过顶点C、D，若点C的横坐标为6，BE=2DE，则k的值为（ ）

A．372B．725C．965D．18
【答案】C
【分析】过点D作DF⊥BC于点F，由勾股定理构造方程求出DE=125，BE=DF=245，再根据反比例函数图像同时经过顶点C、D,即可解答．
【详解】解：过点D作DF⊥BC于点F，

∵点C的横坐标为6，，
∴BC=6．
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=BC=6．C
∵BE=2DE，
∴设DE=x，则BE=2x．
∴DF=BE=2x，BF=DE=x，FC=BC−BF=6−x．
在Rt△DCF中，
∵DF2+CF2=CD2，
∴2x2+6−x2=62．
解得：x1=0（不合题意，舍去），x2=125，
∴DE=125，BE=DF=245．
设OB=a，则D125,a+245，C6,a
∵反比例函数y=kxk≠0,x>0的图像同时经过顶点C，D，
∴k=125×a+245=6a．解得：a=165．
∴k=6a=965．
故选C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征、菱形的性质、勾股定理等知识点，利用勾股定理求出DE和BE的长时解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023春·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+ℎ交于A、B两点，则关于x的不等式ax2+b−kx+c>ℎ的解集为 ．

【答案】x<2或x>4
【分析】根据题意得出：当ax2+bx+c>kx+ℎ时，则ax2+b−kx+c>ℎ，进而结合函数图象得出x的取值范围．
【详解】解：根据题意得出：
当ax2+bx+c>kx+ℎ时，则ax2+b−kx+c>ℎ，
由图象可得：关于x的不等式ax2+b−kx+c>ℎ的解集为：x<2或x>4，
故答案为：x<2或x>4．
【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，采用数形结合的思想解题，是解答此题的关键．
12．（3分）（2023春·江苏南京·九年级统考期末）将二次函数y=4x2+mx+n（m，n为常数）的图像沿与x轴平行的直线翻折，若翻折后的图像将x轴截出长为22的线段，则该二次函数图像的顶点的纵坐标为 ．
【答案】−8
【分析】设设翻折后图像与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2=−m4,x1x2=n4,再进行变形得出x1+x22−4x1x2=8,再代入可得m2−1616=8,进而可得出该二次函数图像的顶点的纵坐标
【详解】∵二次函数y=4x2+mx+n（m，n为常数）的图像沿与x轴平行的直线翻折，若翻折后的图像将x轴截出长为22的线段，
∴翻折前两交点间的距离不变，
设翻折后图像与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2，
则x1+x2=−m4,x1x2=n4,
∴x1−x2=22,
∴x1−x22=8,
∴x1+x22−4x1x2=8,
∴−m42−4×n4=8,
∴m2−1616=8,
又∵y=4x2+mx+n的纵坐标为4×4n−m24×4=16n−m216，
∴16−m216=−8,
即该二次函数图像顶点纵坐标为−8
故答案为：−8
【点睛】本题考查了二次函数图像与几何变换，根据翻折的特征求得翻折后的图像与x轴交点之间的距离是解题的关键．
13．（3分）（2023春·天津津南·九年级统考期末）抛物线y=−12x2+x+4与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，点C(2,y)在在这条抛物线上．
(1)则点C的坐标为 ；
(2)若点P为y轴的正半轴上的一点，且△BCP为等腰三角形，则点P的坐标为 ．
【答案】 (2,4) (0,2)，(0, 12 )
【分析】（1）将点C(2,y)代入函数解析式即可得出结论；
（2）令y=0，求得点B的坐标，依据分类讨论的思想方法，利用△BCP为等腰三角形和等腰三角形的解答即可得出结论．
【详解】解：（1）∵点C(2,y)在抛物线y=−12x2+x+4上，
∴y=4，
∴C(2,4)，
故答案为：(2,4)；
（2）令y=0，则−12x2+x+4=0，
解得：x=4或x=−2．
∵抛物线y=−12x2+x+4与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，
∴B(4,0)．
∵点P为y轴的正半轴上的一点，①当BP=BC时，如图，

过点C作CD⊥OB于点D，
∵C(2,4)，B(4,0)，
∴CD=4，OB=4，OD=2，
∴CD=OB．
在Rt△BPO和Rt△BCD中，
BP=BCOB=DC，
∴Rt△BPO≌Rt△BCD(HL)，
∴OP=BD．
∵OB=4，OD=2，
∴BD=OB−OD=2，
∴OP=BD=2，
∴P(0,2)；
②当BP=PC时，如图，

过点C作CE⊥y轴于点E，
∵C(2,4)，B(4,0)，
∴CE=2，OE=4，OB=4，
设点P(0,a)，
∵点P为y轴的正半轴上的一点，
∴OP=a,EP=4−a，
∵BP=PC，
∴ BP2=PC2，
∴ EP2+CE2=OP2+OB2，
∴ 4−a2+22=a2+42，
解得：a= 12，
∴P(0, 12 )．
综上，当△BCP为等腰三角形，则点P的坐标为(0,2)或(0, 12 )．
故答案为：(0,2)或(0, 12 )．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，等腰三角形的性质，勾股定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
14．（3分）（2023春·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图，抛物线y=x2−2x−3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．点D是抛物线上的一个点，作DE∥AB交抛物线于D、E两点，以线段DE为对角线作菱形DPEQ，点P在x轴上，若PQ= 12 DE时，则菱形对角线DE的长为 ．
【答案】1+652或−1+652
【分析】设菱形DPEQ对角线的交点为M，则PQ⊥DE，PM= 12 PQ，设点D的横坐标为t，由此表示出DE的长，PM的长，进而可得PQ的长，根据PQ= 12 DE建立方程，求解即可．
【详解】解：如图，由抛物线的解析式可知，抛物线y=x2−2x−3的对称轴为直线x=1，
设菱形DPEQ对角线的交点为M，则PQ⊥DE，PM= 12 PQ，
∵点D是抛物线上的一个点，且DE∥AB，设点D的横坐标为t，
∴Dt，t2−2t−3，
∵DE∥AB，
∴点D，点E关于对称轴对称，
∴点P和点Q在对称轴上，
∴E(2−t，t2−2t−3)，
∴DE=(2−2t)，PM=t2−2t−3，
∴PQ=2PM=2t2−2t−3，
∵PQ=12DE，
∴2t2−2t−3=122−2t，
解得t1= 5−654，t2= 5+654(舍去)，t3= 3−654，t4= 3+654(舍去)，
∴DE=2−2t= 1+652或−1+652．
故答案为：1+652或−1+652．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及二次函数的对称性，菱形的性质等内容，利用菱形的性质由点D的坐标表示出PQ的长是解题关键．
15．（3分）（2023春·黑龙江大庆·九年级统考期中）如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y=1xx>0的图象上，点B1，B2，B3，…Bn在y轴上，且∠B1OA1=∠B2B1A2=∠B3B2A3=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，直线y=x与双曲线y=1x交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3…，则Bn（n为正整数）的坐标是 ．

【答案】0,2n
【分析】如图，过A1作A1H⊥y轴于H，求解A11,1，结合题意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，想办法求出OB1，OB2，OB3，OB4，…，探究规律，利用规律解决问题即可得出结论．
【详解】解：如图，过A1作A1H⊥y轴于H，
∵y=1xy=x，其中x>0，
解得：x=1y=1，即A11,1，
∴OH=A1H=1，
∴∠A1OH=45°，
∵B1A1⊥OA1，
∴△OA1B1是等腰直角三角形，
∴OB1=2；
同理可得：△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，

同理设A2m,m+2，
∴m2+m=1，
解得m=2−1， （负根舍去）
∴OB2=2+22−2=22，
同理可得：OB3=23，
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
∴OBn=2n，
∴Bn0,2n．
故答案为：0,2n．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程的解法，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考选择题中的压轴题．
16．（3分）（2023春·河北石家庄·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△OAB是等边三角形，且点B的坐标为4，0，点A在反比例函数y=kxk>0的图象上．
（1）反比例函数y=kx的表达式为 ；
（2）把△OAB向右平移a个单位长度，对应得到△O1A1B1．
①若此时另一个反比例函数y=k1x的图象经过点A1，则k和k1的大小关系是：k k1（填“<”、“>”或“=”）；
②当函数y=kx的图象经△O1A1B1一边的中点时，则a= ．
【答案】 y=43x < 1或3
【分析】（1）如图所示，过点A作AC⊥OB于C，利用等边三角形的性质和勾股定理求出A2，23，再利用待定系数法求解即可；
（2）求出A12+a，23，由a>0，得到2+a>2，则k1>43=k；
（3）分当函数y=kx的图象经过O1A1的中点时，当函数y=kx的图象经过A1B1的中点时，两种情况利用两点中点坐标公式和待定系数法求解即可．
【详解】解：（1）如图所示，过点A作AC⊥OB于C，
∵4，0，
∴OB=4，
∵△AOB是等边三角形，
∴OC=BC=12OB=2，OA=OB=4，
∴AC=OA2−OC2=23，
∴A2，23，
∵点A在反比例函数y=kxk>0的图象上，
∴23=k2，
∴k=43，
∴反比例函数y=kx的表达式为y=43x，
故答案为：y=43x；
（2）①∵把△OAB向右平移a个单位长度，对应得到△O1A1B1，
∴A12+a，23，
∵反比例函数y=k1x的图象经过点A1，
∴23=k12+a，
∴k1=232+a，
∵a>0，
∴2+a>2，
∴k1>43=k，
故答案为：<；
（3）当函数y=kx的图象经过O1A1的中点时，
∵O1a，0，A1a+2,23，
∴函数y=kx的图象经过点a+a+22，232，
∴3=43a+1，
∴a=3；
当函数y=kx的图象经过A1B1的中点时，
∵B1a+4，0，A1a+2,23，
∴函数y=kx的图象经过点a+4+a+22，232，
∴3=43a+3，
∴a=1，
故答案为：1或3．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，坐标与图形变化—平移，等边三角形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023春·四川宜宾·八年级期末）如图，一次函数y=x−2与反比例函数y=kxk>0相交于点A3，n，与x轴交于点B，
(1)求反比例函数解析式
(2)点P是y轴上一动点，连接PA，PB，当PA+PB的值最小时，求P点坐标；
(3)在（2）的条件下，C为直线y=x−2的动点，连接PC，将点C绕点P逆时针旋转90°得到点D，在C运动过程中，求PD的最小值．
【答案】(1)反比例函数解析式为y=3x；
(2)P点坐标为0，25；
(3)PD的最小值为625．
【分析】（1）先求得点A3，1，再利用待定系数法即可求解；
（2）作点B关于y轴的对称点B′，连接AB′交y轴于点P，此时PA+PB的值最小，求得点B和点B′的坐标，利用待定系数法即可求解；
（3）由旋转的性质知PC=PD，当PC⊥AB时，PC有最小值，此时PD的值最小，先求得直线AB交y轴于点E的坐标，利用面积法即可求解．
【详解】（1）解：∵点A3，n在一次函数y=x−2的图象上，
∴n=3−2=1，
∴点A3，1，
∵点A3，1在反比例函数y=kxk>0的图象上，
∴k=3×1=3，
∴反比例函数解析式为y=3x；
（2）解：作点B关于y轴的对称点B′，连接AB′交y轴于点P，此时PA+PB的值最小，
令y=0，则0=x−2，解得x=2，
∴点B2，0，点B′−2，0，
设直线AB′的解析式为y=kx+b，
∴3k+b=1−2k+b=0，解得k=15b=25，
∴直线AB′的解析式为y=15x+25，
令x=0，则y=25，
∴P点坐标为0，25；
（3）解：由旋转的性质知PC=PD，当PC⊥AB时，PC有最小值，此时PD的值最小，
设直线AB交y轴于点E，
令x=0，则y=0−2=−2，
，点E0，−2，
∴OE=2，OB=2，
∴BE=22+22=22，
∵S△PBE=12PE×OB=12BE×PC，
∴PC=25+2×222=625，
∴PD的最小值为625．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、点到直线的距离以及三角形的面积公式．根据点在函数图象上求出点的坐标是关键．
18．（6分）（2023春·安徽六安·八年级校考期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数y=−x2+bx+c（b，c是常数）．
(1)当b=−2，c=3时，求该函数图象的顶点坐标．
(2)设该二次函数图象的顶点坐标是(m,n)，当该函数图象经过点(1,−3)时，求n关于m的函数解析式．
(3)已知b=2c+1，当0≤x≤2时，该函数有最大值8，求c的值．
【答案】(1)−1,4
(2)n=m2−2m−2
(3)2
【分析】（1）将二次函数化为顶点式求解即可；
（2）根据二次函数的性质和已知条件得到m=b2，n=c+b24，b=2m，c=−2−2m，进而求解即可；
（3）当b=2c+1时，二次函数y=−x2+2c+1x+c的对称轴为直线x=2c+12=c+12，开口向下，分0≤c+12≤2 、c+12<0、c+12>2三种情况，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：当b=−2，c=3时，y=−x2−2x+3=−x+12+4，
∴此时该函数图象的顶点坐标为−1,4；
（2）解：∵该函数图象经过点(1,−3)，
∴−1+b+c=−3，则c=−2−b，
∵该二次函数图象的顶点坐标是(m,n)，
∴m=−b2×−1=b2，n=4×−1×c−b24×−1=4c+b24=c+b24，
∴b=2m，c=−2−2m，
∴n=−2−2m+4m24，即n=m2−2m−2；
（3）解：当b=2c+1时，二次函数y=−x2+2c+1x+c的对称轴为直线x=2c+12=c+12，开口向下，
∵0≤x≤2，
∴当0≤c+12≤2即−12≤c≤32时，该函数的最大值为4×−1×c−2c+124×−1=c+2c+124=8，即4c2+8c−31=0，
解得c1=−1+352（不合题意，舍去），c2=−1−352（不合题意，舍去）；
当c+12<0即c<−12时，0≤x≤2时，y随x的增大而减小，
∴当x=0时，y有最大值为c=8，不合题意，舍去；
当c+12>2即c>32时，0≤x≤2时，y随x的增大而增大，
∴当x=2时，y有最大值为−22+22c+1+c=8，
解得c=2，符合题意，
综上，满足条件的c的值为2．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，利用分类讨论思想求解第（3）问是解答的关键．
19．（8分）（2023春·辽宁盘锦·九年级校考期中）如图，抛物线y=ax2+bx−52经过A−1,0，B5,0两点．

(1)求此拋物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使得PA+PC值最小，求最小值；
(3)点M为x轴上一动点，在拋物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=12x2−2x−52
(2)552
(3)4,−52，2+14,52，2−14,52
【分析】（1）把A−1,0，B5,0两点代入求出a、b的值即可；
（2）因为点A关于对称轴对称的点B的坐标为5,0，连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；
（3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论．
【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx−52经过A−1,0，B5,0两点，
∴a−b−52=025a+5b−52=0，
解得：a=12，b=−2，
∴此拋物线的解析式为y=12x2−2x−52；
（2）如图，连接BC，交对称轴于点P，

∵拋物线的解析式为y=12x2−2x−52，
∴其对称轴为直线x=−b2a=−−22×12=2，
当x=0时，y=−52，
∴C0,−52，
又∵B5,0，
∴设BC的解析式为y=kx+bk≠0，
∴5k+b=0b=−52，
解得：k=12，b=−52，
∴ BC的解析式为y=12x−52，
当x=2时，y=2×12−52=−32，
∴P2,−32，
∴PA+PC=−1−22+32+02+0−22+−52+322=552；
（3）存在，如图所示：

①当点N在x轴下方时，
∵抛物线的对称轴为x=2，C0,−52，
∴N14,−52，
②当点N在x轴上方时，
如图，过点N2作N2D⊥x轴于点D，
在△AN2D和△M2CO中，
∠N2AD=∠CM2OAN2=CM2∠N2DA=∠COM2，
∴△AN2D≌△M2COASA，
∴N2D=OC=52，即N2点的纵坐标为52
∴12x2−2x−52=52，
解得：x=2+14或x=2−14，
∴N22+14,52，N32−14,52，
综上所述符合条件的N的坐标有4,−52，2+14,52，2−14,52．
【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，两点间距离的求解，在解答（3）时要注意进行分类讨论．
20．（8分）（2023春·浙江金华·九年级校考期中）如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为−32,−10．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为1,54，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．
(1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标；
(2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由；
(3)在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且EM=212，EN=272，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为y=a（x−ℎ）2+k，且顶点C距水面4米，若该运动员出水点D在MN之间（包括M，N两点），请直接写出a的取值范围．
【答案】(1)y=−54x−12+54；4，−10
(2)该运动员此次跳水失误了，理由见解析
(3)14≤a≤1625
【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a0x−12+54，将0,0代入即可求得解析式；令y=−10，即可求得点B的坐标；
（2）求出距点E水平距离为5米的点的纵坐标即可进行判断；
（3）分别求出当抛物线经过点M、N时的a的值即可．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为y=a0x−12+54
将0,0代入解析式得：a0=−54
∴抛物线的解析式为y=−54x−12+54
令y=−10，则−10=−54x−12+54
解得：x1=−2(舍去),x2=4
∴入水处B点的坐标4，−10
（2）解：距点E的水平距离为5米，对应的横坐标为：x=5−32=72
将x=72代入解析式得：y=−54×72−12+54=−10516
∵−10516−−10=5516<5
∴该运动员此次跳水失误了
（3）解：∵EM=212，EN=272，点E的坐标为−32,−10
∴点M、N的坐标分别为：9,−10,12,−10
∵该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为y=a（x−ℎ）2+k，顶点C距水面4米
y=a(x−132)2−14，
∴当抛物线经过点M时，把点M9,−10代入得：a=1625
同理，当抛物线经过点N 12,−10时，a=14
由点D在MN之间可得：14≤a≤1625
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用．涉及了抛物线的顶点式、求抛物线上的点的坐标等．熟记二次函数的相关形式是解题关键．
21．（8分）（2023春·浙江金华·九年级校考期中）如图，二次函数y1=x2+mx+1的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y2=kxx<0的图象相交于点B−3,1．

(1)求这两个函数的表达式；
(2)当y1随x的增大而增大，且y1(3)平行于x轴的直线l与函数y1的图象相交于点C、D（点C在点D的右边），与函数y2的图象相交于点E．若△ACE与△BDE的面积相等，求点E的坐标．
【答案】(1)y1=x2+3x+1，y2=−3xx>0
(2)−32≤x<0
(3)E−32,2
【分析】（1）利用待定系数法即可求解．
（2）利用函数的性质结合图象即可求解．
（3）根据点A和点B的坐标得出三角形等高，再根据面积相等得出CE=DE，进而确定E点是抛物线对称轴和反比例函数的交点，进而可求解．
【详解】（1）解：∵二次函数y1=x2+mx+1的图像与反比例函数y2=kxx>0的图像相交于点B−3,1，
∴−32−3m+1=1，k−3=1，
解得m=3，k=−3，
∴二次函数的解析式为y1=x2+3x+1，反比例函数的解析式为y2=−3xx>0．
（2）∵二次函数的解析式为y1=x2+3x+1，
∴对称轴为直线x=−32，
由图象知，当y1随x的增大而增大，且y1（3）由题意作图如下：

∵当x=0时，y1=1，
∴A0,1，
∵B−3,1，
∴△ACE的CE边上的高与△BDE的DE边上的高相等，
∵△ACE与△BDE的面积相等，
∴CE=DE，
即E点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点，
当x=−32时，y2=2，
∴E−32,2．
【点睛】本题考查了二次函数与反比例函数的综合、待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数和反比例函数的图象及性质和待定系数法求函数解析式是解题的关键．
22．（8分）（2023春·吉林·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx−4a≠0的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC=4OB．

(1)求直线CA的表达式；
(2)求该二次函数的解析式，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围；
(3)点P是抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为n0(4)当−1≤x≤m时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请直接写出m的取值范围．
【答案】(1)y=x−4
(2)y=x2−3x−4，x<32
(3)P2，−6
(4)32≤m≤4
【分析】（1）先求出点A、点C的坐标，再用待定系数法即可求出直线AC的解析式；
（2）先求出点B的坐标，再根据待定系数法即可求出二次函数的解析式，将二次函数化为顶点式，根据二次函数的性质即可得到函数值y随x的增大而减小时x的取值范围；
（3）过点P作PQ∥y轴交AC于点Q，点P的横坐标为n，Pn，n2−3n−4，则Qn，n−4，PQ=n−4−n2−3n−4=−n2+4n，从而表示出S△PCA=S△PCQ+S△PAQ=−2n−22+8，根据二次函数的性质即可得到答案；
（4）分三种情况讨论：①当−14时，x=32，y有最小值−254，x=m，y有最大值m2−3m−4；即可得到答案．
【详解】（1）解：令x=0，则y=−4，
∴ C0，−4，
∴ OC=4，
∵ OA=OC，
∴ AO=4，
∴ A4，0，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
∴ 4k+b=0b=−4，
解得k=1b=−4，
∴ y=x−4；
（2）解：∵ OC=4OB，
∴ OB=1，
∴ B−1，0，
将A4，0，B−1，0代入y=ax2+bx−4，
∴16a+4b−4=0a−b−4=0，
解得a=1b=−3，
∴ y=x2−3x−4，
∵y=x2−3x−4=x−322−254，a=1>0，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=32，
∴函数值y随x的增大而减小时x的取值范围为x<32；
（3）解：过点P作PQ∥y轴交AC于点Q，

∵点P的横坐标为n，
∴ Pn，n2−3n−4，则Qn，n−4，
∴ PQ=n−4−n2−3n−4=−n2+4n，
由（1）得A4，0，C0，−4，
∴ S△PCA=S△PCQ+S△PAQ
=12QPxP−xC+12QPxA−xP
=12QPxP−xC+xA−xP
=12QPxA−xC
=12×4×−n2+4n
=−2n−22+8，
∵ 0∴当n=2时，△PCA的面积有最大值，此时P2，−6；
（4）解：当32≤m≤4时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，
∵ y=x2−3x−4=x−322−254，
∴抛物线的对称轴为直线x=32，
①当−1∴ 0−m2−3m−4=−m2+3m+4，此时二次函数的最大值与最小值的差随m的变化而变化；
②当32≤m≤4时，x=32，y有最小值−254，x=−1，y有最大值0，
∴ 0−−254=254，此时二次函数的最大值与最小值的差是一个定值；
③当m>4时，x=32，y有最小值−254，x=m，y有最大值m2−3m−4，
∴ m2−4m−4+254=m2−3m+94，此时二次函数的最大值与最小值的差随m的变化而变化；
综上所述：32≤m≤4时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式、待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、二次函数综合—面积问题，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合与分类讨论的思想解题，是解此题的关键．
23．（8分）（2023春·重庆北碚·八年级统考期末）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于点C4,m，D−2,−4．

(1)求一次函数和反比例函数表达式；
(2)点E为y轴正半轴上一点，当△CDE的面积为9时，求点E的坐标；
(3)在（2）的条件下，将直线AB向上平移，平移后的直线交反比例函数图象于点F2,n，交y轴于点G，点H为平面直角坐标系内一点，若以点E、F、G、H为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点H的坐标；并写出求解点H的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】(1)y=x−2，y=8x
(2)E0,1
(3)H点坐标为2,5或−2,−1或2,3，见解析
【分析】（1）先确定C点坐标，再由待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设E0,t，t>0，则EB=t+2，再由SΔCDE=12×BE×4+2=9，求出t的值即可求E点坐标；
（3）先求平移后的直线解析式为y=x+2，则G0,2，设Hx,y，根据平行四边形对角线的情况分三种情况讨论即可．
【详解】（1）∵点C4,m，D−2,−4在反比例函数图象上，
∴4m=−2×−4，
解得m=2，
∴C4,2，
∴反比例函数的解析式为y=8x；
设一次函数的解析式为y=kx+b，
∴ −2k+b=−44k+b=2，
解得k=1b=−2，
∴一次函数的解析式为y=x−2；
（2）直线y=x−2与y轴的交点B0,−2，
设E0,t，t>0，
∴EB=t+2，
∴SΔCDE=12×BE×4+2=9，
∴3t+2=9，
解得t=1，
∴E0,1；
（3）设直线AB向上平移后的函数解析式为y=x−2+ℎ，
∵F2,n在反比例函数图象上，
∴n=4，
∴F2,4，
将F点代入y=x−2+ℎ，则ℎ=4，
∴平移后的直线解析式为y=x+2，
∴G0,2，
设Hx,y，
①当HE为平行四边形的对角线时，x=2，y+1=6，
∴H2,5；
②当HF为平行四边形的对角线时，x+2=0，y+4=3，
∴H−2,−1；
③当HG为平行四边形的对角线时，x=2，y+2=5，
∴H2,3；
综上所述：H点坐标为2,5或−2,−1或2,3．
【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，待定系数法求函数的解析式的方法是解题的关键．